phương pháp toán tử đơn điệu và ứng dụng nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bải toán biến đổi với phương trình elliptic không tuyến tính

24 2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán biên đối với phương trình elliptic không tuyến tính.. 33 2.2 Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic cấp 2 nửa tuyến tính.. 2.2.2 Bài toán Di

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌCPGS.TS HOÀNG QUỐC TOÀN

Hà Nội - Năm 2012

Rn là không gian thực n chiều.

Ω là miền bị chặn có biên trơn trong Rn

∂Ω là biên của Ω

α = (α1 , αn), αi ∈ N(i = 1, , n) được gọi là đa chỉ số

|α| = α1 + + αn được gọi là cấp của đa chỉ số α

kukX chuẩn của u ∈ X, X là không gian Hilbert

hu, vi: tích trong của u và v trong không gian Hilbert

+ + ∂

2u

∂x2 n

C0k(Ω), C0∞(Ω) kí hiệu các hàm trong Ck(Ω), C∞(Ω)với giá compact

W1,p(Ω) = {u ∈ Lp(Ω)|Du ∈ Lp(Ω)}với chuẩn

kukW1,p = kukLp (Ω) + k∇ukLp (Ω)

W01,p(Ω) = {u ∈ W1,p(Ω)|u = 0 trên ∂Ω} với chuẩn

H01(Ω) : không gian hàm W01,p(Ω) với p = 2

H−1(Ω) : không gian W−1,q(Ω) với p = q = 2

Lời nói đầu 3

1.1 Giới thiệu chung 5

1.2 Bài toán xuất phát 5

1.3 Toán tử trên Rn 7

1.4 Toán tử trên không gian Hilbert thực 8

1.5 Toán tử trên không gian Hilbert thực tách được 24

2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán biên đối với phương trình elliptic không tuyến tính 27 2.1 Một số kiến thức chuẩn bị 27

2.1.1 Phương trình đạo hàm riêng 27

2.1.2 Không gian Sobolev 28

2.1.3 Toán tử −∆ 31

2.1.4 Một số định lí 33

2.2 Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic cấp 2 nửa tuyến tính 35

2.2.1 Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic cấp 2 nửa tuyến tính 35

2.2.2 Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic cấp 2

nửa tuyến tính phụ thuộc tham số 422.2.3 Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic cấp 2

nửa tuyến tính với số hạng phi tuyến phụ thuộc gradient 452.2.4 Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic cấp 2

phụ thuộc tham số với số hạng phi tuyến phụ thuộcgradient 482.3 Bài toán Neumann đối với phương trình elliptic cấp 2 nửa

tuyến tính 502.3.1 Bài toán Neumann đối với phương trình elliptic cấp 2

nửa tuyến tính phụ thuộc tham số 502.3.2 Bài toán Neumann đối với phương trình elliptic cấp 2

nửa tuyến tính với số hạng phi tuyến phụ thuộc gradient 542.3.3 Bài toán Neumann đối với phương trình elliptic cấp

2 nửa tuyến tính phụ thuộc tham số với số hạng phituyến phụ thuộc gradient 57

Các phương pháp của giải tích phi tuyến có vai trò quan trọng trongviệc nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng không tuyến tính Trong luậnvăn này, tác giả trình bày về phương pháp toán tử đơn điệu và ứng dụngnghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán biên đối với phương trình elliptickhông tuyến tính.

Luận văn gồm hai chương:

Chương 1 bao gồm các kiến thức cơ bản về toán tử đơn điệu trên Rn,trên không gian Hilbert thực, không gian Hilbert thực tách được

Chương 2 của luận văn xét việc áp dụng phương pháp toán tử đơn điệunghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của các bài toán Dirichlet vàNeumann với những lớp các phương trình elliptic cấp 2 nửa tuyến tính vớiphần chính là toán tử Laplace

− ∆u = g(x, u) hoặc

− ∆u = h(x, u, ∇u)

trong miền bị chặn Ω với biên trơn ∂Ω trong Rn

Trong quá trình viết luận văn, tác giả đã nhận được sự hướng dẫn nhiệttình của PGS.TS Hoàng Quốc Toàn Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy.Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô trong tổ Giải tíchcủa khoa Toán-Cơ-Tin học đã giúp đỡ và tạo điều kiện để tác giả bảo vệ luậnvăn đúng thời hạn

Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã luôn cổ

vũ, ủng hộ tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành luận văn.

Luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, hạn chế Tác giả rấtmong nhận được sự góp ý của quý bạn đọc

Tác giảNguyễn Thị Duyên

Phương pháp toán tử đơn điệu.

Giải tích phi tuyến là một lĩnh vực tương đối rộng Về một khía cạnh nào

đó nó cho chúng ta những bài toán thực tế hơn so với giải tích tuyến tính

Vì thế việc giải các bài toán phi tuyến cũng khó khăn hơn và ta thường sửdụng các kết quả của bài toán tuyến tính tương ứng Một số phương pháptruyền thống thường được sử dụng khi giải quyết các bài toán phi tuyến đólà: Phương pháp hàm Green, phương pháp biến phân, phương pháp bậc ánh

xạ, phương pháp nghiệm trên - nghiệm dưới, phương pháp điểm bất động,phương pháp toán tử đơn điệu Mỗi phương pháp đều có những ưu - nhượcđiểm riêng mà nếu nắm rõ chúng, ta có thể lựa chọn sử dụng đối với từng bàitoán cụ thể Trong chương này chúng ta sẽ tìm hiểu về phương pháp toán tửđơn điệu

Định nghĩa 1.2.1 Cho một toán tử F : R → R Ta nói:

(i) F đơn điệu tăng nếu

F (x) ≤ F (y), ∀x < y

(ii) F đơn điệu giảm nếu

(v) F đơn điệu nếu F đơn điệu tăng hoặc đơn điệu giảm

(vi) F đơn điệu thực sự nếu F đơn điệu tăng hoặc đơn điệu giảm thực sự.Định lý 1.2.1 Cho một hàm số F : R → R liên tục Khi đó điều kiện cần

và đủ để phương trình

có nghiệm duy nhất x ∈ R với mỗi y ∈ R là:

(i) F đơn điệu thực sự

(i) |F (x)| → ∞ khi |x| → ∞

Chứng minh Điều kiện cần:

(i) Giả sử ngược lại F không đơn điệu thực sự Thế thì tồn tại u < v < x

thỏa mãn F (u) < F (x) < F (v) Vì F liên tục nên tồn tại z ∈ (u, v)

sao cho F (z) = F (x) Điều này mâu thuẫn với tính duy nhất nghiệmcủa phương trình F (x) = y Do đó F đơn điệu thực sự

(ii) Hiển nhiên

Điều kiện đủ: giả sử F liên tục và đơn điệu thực sự trên R suy ra F làsong ánh trên R Từ đó ta có điều phải chứng minh

1.3 Toán tử trên Rn

Định nghĩa 1.3.1 Cho toán tử F : Rn →Rn Ta nói:

(i) F đơn điệu nếu

được xác định và do F (x) liên tục nên g(x) liên tục trên hình cầu đóng Br

Áp dụng định lý điểm bất động Brouwer tồn tại x∗ ∈ Br sao cho

g(x∗) = x∗

Từ đó suy ra |x∗| = |g(x∗)| =

|F (x∗)|F (x

∗)

Định lý 1.3.1 Cho một toán tử F : Rn →Rn liên tục và thỏa mãn

Hơn nữa nếu F đơn điệu chặt, giả sử phương trình có hai nghiệm x1, x2 ∈

Rn phân biệt thì (F (x1) − F (x2)).(x1 − x2) = 0, mâu thuẫn với tính đơnđiệu chặt của F

Vậy phương trình F (x) = 0 có nghiệm duy nhất

Định nghĩa 1.4.1 Cho H là không gian Hilbert thực Một toán tử

Định nghĩa 1.4.2 Cho H là không gian Hilbert thực với tích vô hướng

h., iH và cho một toán tử T : H → H Ta nói:

(i) T đơn điệu nếu hT (x) − T (y), x − yiH ≥ 0, ∀x, y ∈ H

(ii) T đơn điệu chặt nếu hT (x) − T (y), x − yiH > 0, ∀x, y ∈ H; x 6= y

(iii) T đơn điệu mạnh nếu ∃c > 0 sao cho

hu, T (u) − T (0)iH ≥ ckuk2H (1.3)

Bổ đề 1.4.1 Cho H là một không gian Hilbert thực, T : H → H là mộttoán tử liên tục yếu và thỏa mãn

hh − T (v), u − viH ≥ 0, ∀v ∈ H (1.5)Khi đó T (u) = h

kT (u) − T (v)kH ≤ Lku − vkH, ∀u, v ∈ H

Khi đó phương trình

T (u) = h

có nghiệm duy nhất u ∈ H với mỗi h ∈ H

Chứng minh Xét ánh xạ G : H → H, G(u) = u − t(T (u) − h) với t > 0 đủnhỏ được cố định

Dễ thấy nghiệm của phương trình T (u) = h là điểm bất động của G vàngược lại

Mặt khác từ tính đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz của T ta có

kG(u) − G(u)k2H = ku − uk2H − 2t hT (u) − T (u), u − uiH + t2kT (u) − T (u)k2H

≤ (1 − 2tc + t2L2)ku − uk2H

Với t ∈ (0, 2c

L2) ta có 1 − 2tc + t2L2 < 1, khi đó G là ánh xạ co và theođịnh lí ánh xạ co Banach ta có G có điểm bất động duy nhất hay phươngtrình

T (u) = h

có nghiệm duy nhấtu ∈ H với mỗi h ∈ H Định lí đã được chứng minh

Định lý 1.4.2 (Lax-Milgram phi tuyến) Giả sử H là một không gianHilbert thực Giả thiết rằng các phiếm hàm thựca : H ×H →R và b : H → R

thỏa mãn:

(i) b(.) là tuyến tính liên tục

(ii) a(u, ) là tuyến tính liên tục với mỗi u ∈ H

(iii) Tồn tại L, c > 0 thỏa mãn:

a(u, u − v) − a(v, u − v) ≥ cku − vk2H, ∀u, v ∈ H

|a(u, ω) − a(v, ω)| ≤ Lku − vkHkωkH, ∀u, v, ω ∈ H

Từ (iii) ta có T là toán tử đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz vì

hT (u) − T (v), u − viH = a(u, u − v) − a(v, u − v) ≥ cku − vk2H, ∀u, v ∈ H

Theo định lí Zarantonello suy ra phương trình

T (u) = h

có nghiệm duy nhất u ∈ H với mỗi h ∈ H Do đó phương trình

ău, v) = b(v), ∀v ∈ H

có nghiệm duy nhất u ∈ H Định lí được chứng minh

Định lý 1.4.3 (Lax-Milgram tuyến tính) Giả sử H là một không gianHilbert thực Giả thiết rằng các phiếm hàm thựca : H ×H →R và b : H → R

thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) b(.) là tuyến tính liên tục

(ii) ặ, ) là song tuyến tính liên tục

(iii) a thỏa mãn điều kiện bức, nghĩa là tồn tại c > 0 thỏa mãn

ău, u) ≥ ckuk2H, ∀u ∈ H

Khi đó phương trình

ău, v) = b(v), ∀v ∈ H

có nghiệm duy nhất u ∈ H

Chứng minh Ta suy trực tiếp từ định lí trên vì lúc này:

ău, u − v) − ăv, u − v) = ău − v, u − v) ≥ cku − vk2H, ∀u, v ∈ H

|ău, ω) − ăv, ω)| = |ău − v, ω)| ≤ Lku − vkHkωkH, ∀u, v, ω ∈ H

Để phục vụ cho việc chứng minh định lí tiếp theo chúng ta cần chứngminh mệnh đề saụ

Mệnh đề 1.4.1 Cho H là một không gian Hilbert thực và S : H → H làtoán tử liên tục và đơn điệu mạnh Khi đó

S(H) = H

Chứng minh Vì H là không gian metric liên thông, nên ta chỉ cần chứngminh S(H) vừa đóng vừa mở trong H thì S(H) = H, bởi vì chỉ có một tậpcon khác rỗng của H vừa mở, vừa đóng chính là H

Đầu tiên ta chứng minh S(H) đóng

Bổ đề 1.4.2 ChoD là một tập đóng trong không gian HilbertH, S : D → H

là một toán tử liên tục và đơn điệu mạnh Khi đó S(D) là tập đóng trong H

Chứng minh Cho {un}+∞n=1 ⊂ D sao cho S(un) → h (n → +∞) Do S làtoán tử đơn điệu mạnh nên tồn tại c > 0 sao cho

ckun− umk2H ≤ hun− um, S(un) − S(um)iH

là một toán tử thỏa mãn

kV (u) − V (v)kH ≤ ku − vkH, với u, v ∈ D

Khi đó tồn tại toán tử W : H → H sao cho

kW (u) − W (v)kH ≤ ku − vkH, với u, v ∈ H

Hơn nữa W (u) = V (u), ∀u ∈ D

Chứng minh Gọi Φ là tập hợp các toán tử W : DomW → H có miền xácđịnh DomW chứa D sao cho

W2(u) = W1(u), ∀u ∈ DomW1

Khi đó ” ≤ ” là một quan hệ thứ tự bộ phận và nếu F là một tập sắpthứ tự toàn phần trong Φ thì F có cận trên Theo bổ đề Zorn: "Với một tậpkhác rỗng được trang bị một quan hệ thứ tự bộ phận, nếu mọi tập con đượcsắp thứ tự tuyến tính của nó đều có cận trên thì tập này có ít nhất một phần

tử cực đại" Do đó tồn tại một phần tử cực đại W trong Φ thỏa mãn

Ta thu được toán tử W : DomW ∪ {u˜ 0} −→ H thỏa mãn

Điều này mâu thuẫn với tính cực đại của W

Để kết thúc chứng minh bổ đề, ta chỉ ra rằng tồn tại v0 Lấy B là mộttập con hữu hạn của DomW Kí hiệu

AB = {v0 ∈ H : kv0 − W (u)kH ≤ ku0 − ukH, ∀u ∈ B},

A = {v0 ∈ H : kv0 − W (u)kH ≤ ku0 − ukH, ∀u ∈ DomW }

Bn là hệ thống các tập con hữu hạn B của DomW được chứa trong hìnhcầu đóng {u ∈ H : kukH ≤ n}, n ∈ N Đặt An = T

Ta sẽ chứng minh rằng A 6= ∅, điều đó sẽ hoàn tất chứng minh

Trước tiên ta sẽ chứng minh AB 6= ∅ Thật vậy, giả sử tồn tại tập

B = {u1, u2, , um} ⊂ DomW sao cho AB = ∅ Đặt

kωk H →∞h(ω) = ∞ (ω ∈ Hf) Do đó tồn tại ω0 ∈ Hf saocho

1 < λ = h(ω0) = min

ω∈H f

h(ω)

Ta đánh số lại u1, u2, , um sao cho

kzj − znk2H = kW (un) − W (uj)k2H ≤ kun − ujk2H = kˆzj − ˆznk2H

Vậy AB 6= ∅ với mỗi tập hữu hạn B ∈ DomW.

Mặt khác AB và An là các tập compact yếu (bị chặn và đóng yếu) nên

An 6= ∅ với mỗi n ∈ N.

Áp dụng quá trình trên một lần nữa ta thu được A 6= ∅

Bây giờ ta chứng minh S(H) là tập mở trong H

Bổ đề 1.4.4 Cho D ⊂ H là một tập mở; S : D → H là một toán tử liêntục và đơn điệu mạnh Khi đó S(D) là một tập mở của H

Chứng minh Để chứng minh bổ đề này ta chỉ cần chứng minh với S đơnđiệu mạnh trong trường hợp c = 1 nghĩa là

hu − u1, S(u) − S(u1)iH ≥ ku − u1k2H

Đặt F (u) = S(u) − u Khi đó F là toán tử đơn điệu, thật vậy với

u, u1 ∈ D ta có

hu − u1, F (u) − F (u1)iH = hu − u1, S(u) − S(u1) − (u − u1)iH

= hu − u1, S(u) − S(u1)iH − ku − u1k2H

≥ 0

Kí hiệu R = S(D) Từ tính đơn điệu mạnh của S suy ra S là đơn ánh

trên D và S−1 liên tục trên R Thật vậy, giả sử S không đơn ánh, nghĩa là

tồn tại u1 6= u2sao choS(u1) = S(u2) khi đó

hu1 − u2, S(u1) − S(u2)iH ≥ ku1 − u2k2H

Suy ra 0 ≥ ku1 − u2k2

H (vô lý) Vậy S là đơn ánh

Xét ánh xạ ngược S−1 : R → D, ta có với mọi ω ∈ R tồn tại u ∈ D sao

cho S−1(ω) = u Giả sử {ωn}+∞n=1 là một dãy hội tụ đến ω trong R, áp dụng

nên kS−1(ωn) − S−1(ω)kH → 0 Vậy S−1 liên tục trên R

Với mỗi v ∈ R đặt K(v) = S−1(v) − F (S−1(v)) Lấy v1, v ∈ R sao cho

v = S(u), v1 = S(u1) Khi đó u = S−1(v); u1 = S−1(v1) và

kK(v) − K(v1)k2H = ku − F (u) − u1 + F (u1)k2H

= ku − u1k2H + kF (u) − F (u1)k2H − 2 hu − u1, F (u) − F (u1)iH

kv − v1k2H = kF (u) + u − F (u1) − u1k2H

= ku − u1k2H + kF (u) − F (u1)k2H + 2 hu − u1, F (u) − F (u1)iH

Mà F đơn điệu nên suy ra kv − v1kH ≥ kK(v) − K(v1)kH Áp dụng Bổ đề

1.4.3 tồn tại K1 là mở rộng của K trên H và thỏa mãn

Nên ta có T (v) = u = S−1(v) với mọi v ∈ R và R ⊂ T−1(D).

Lấy u0 ∈ D, S(u0) = v0 ∈ Rsuy ra T (v0) = S−1(v0) = u0 Vì T liên tụcnên với mỗi lân cận U (u0) của u0 tồn tại một lân cận V (v0) của v0 sao cho

T (V (v0)) ⊂ U (u0)

Ta sẽ chứng minh T−1(D) ⊂ R Khi đó từ tính liên tục của T ta có

R = S(D) là tập mở Để chứng minh T−1(D) ⊂ R ta chỉ cần chứng minhvới mỗi v ∈ T−1(D) ta có v = S(T (v)) Giả sử ngược lại tồn tại v ∈ T−1(D)

sao cho u = T (v) ta có

kv − S(u)kH > 0

Do S liên tục nên F liên tục Với  = kv − S(u)kH > 0, tồn tại d > 0

sao cho B(u, d) ⊂ D và u1 ∈ B(u, d) ta có

kF (u) − F (u1)kH = kS(u) − u − S(u1) + u1kH

= hS(u1) − u1 − v + v − S(u) + u, t(v − S(u)iH

= hS(u1) − u1 − v + u, t(v − S(u))iH + hv − S(u), t(v − S(u))iH

≥ hv − S(u), t(v − S(u))iH

= t.kv − S(u)k2H

Suy ra

t.kv − S(u)k2H ≤ hS(u1) − u1 − S(u) + u, t(v − S(u))iH

≤ t.kS(u1) − u1 − S(u) + ukH.kv − S(u)kH

Định lý 1.4.4 (Pavel Drábek, Jaroslav Milota [7]) Cho H là khônggian Hilbert thực và T : H → H là toán tử liên tục, đơn điệu và thỏa mãnđiều kiện bức yếu Khi đó

Nhưng vì T (u1) = T (u2) = h nên suy ra vô lý Vì vậy u1 = u2

Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của (1.8) với mỗih ∈ H ta chứng minhtheo hai bước:

Bước 1 Xét toán tử Tn : H → H, n ∈ N xác định bởi

Bước 2 Ta sẽ chứng minh rằng {un}∞n=1 là dãy bị chặn trong H Thật vậy,giả sử {un}∞n=1 là dãy không bị chặn Suy ra tồn tại dãy con {unk}∞k=1 saocho lim

k→∞kunkkH = ∞ Từ tính đơn điệu của T ta có

nkunk}∞k=1 ⊂ {1

nun}∞n=1 hội tụyếu, nghĩa là

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất.

Từ tính đơn điệu và liên tục yếu của F suy ra

Vậy Fn liên tục trên không gian véc tơ hữu hạn chiều Xn

Với mọi y ∈ X cho trước, đặt yn = Pny ∈ Xn ta có

luôn có nghiệm xn ∈ Xn thỏa mãn kxnkX ≤ r.

Vì X là không gian Hilbert nên tồn tại dãy con {xnk} của dãy {xn} saocho

Sự tồn tại nghiệm của bài toán biên đối với phương trình elliptic không tuyến tính.

2.1.1 Phương trình đạo hàm riêng

Định nghĩa 2.1.1 Cho U là một tập con mở của Rn, k ≥ 1 là một sốnguyên Một biểu thức có dạng

F (Dku(x), Dk−1u(x), , Du(x), u(x), x) = 0 (x ∈ U ) (2.1)được gọi là phương trình đạo hàm riêng cấp k Trong đó

Định nghĩa 2.1.2 (i) Phương trình đạo hàm riêng (2.1) được gọi là tuyếntính nếu nó có dạng

(iiii) Phương trình đạo hàm riêng (2.1) được gọi là phi tuyến hoàn toàn nếu

nó phụ thuộc không tuyến tính vào đạo hàm cấp cao nhất

2.1.2 Không gian Sobolev

Định nghĩa 2.1.3 ChoΩ là một miền trong Rn, u ∈ L1loc(Ω), Dαu ∈ L1loc(Ω)

là đạo hàm suy rộng cấp α của u nếu

Định nghĩa 2.1.4 (Không gian Wk,p(Ω), 1 ≤ p < ∞).

Không gian Wk,p(Ω)với 1 ≤ p < ∞ là không gian bao gồm các hàm

Định nghĩa 2.1.5 (Không gian Hk(Ω) )

Khi p = 2, không gian Wk,p(Ω) = Wk,2(Ω) ký hiệu là Hk(Ω) Như vậy

Định nghĩa 2.1.6 (Không gian W0k,p(Ω), 1 ≤ p < ∞).

Không gian W0k,p(Ω)với 1 ≤ p < ∞ là bao đóng của C0∞(Ω) trong chuẩncủa không gian Wk,p(Ω)

Đặc biệtH01(Ω) = W01,2(Ω) Không gianH01(Ω)được trang bị chuẩn cảmsinh từ không gian H1(Ω) và H01(Ω) cũng là một không gian Hilbert đối vớitích vô hướng của H1(Ω)

Định lý này cung cấp cho chúng ta một cách hiểu khác về không gian

W01,p(Ω), đó là không gian các hàm thuộc Wk,p(Ω) và triệt tiêu trên ∂Ω.Thay vì nói T u = 0 trong Lp(∂Ω) ta thường dùng

”u = 0 trên ∂Ω theo nghĩa của vết”

nhưng chúng ta thường viết

u = 0 trên ∂Ω

Định nghĩa 2.1.7 (Không gian H−1(Ω))

Không gian đối ngẫu của H01(Ω) được kí hiệu là H−1(Ω) Nói cách khác

H−1(Ω) là không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên H01(Ω)

Vì H01(Ω) ⊂ L2(Ω) nên L2(Ω) ⊂ H−1(Ω) Hơn nữa, với f ∈ H−1(Ω) thì

kf kH−1 = sup

kuk≤1

|f (u)|

Bổ đề 1.4.4 Cho D ⊂ H tập mở; S : D → H toán tử liêntục đơn điệu mạnh Khi S(D) tập mở H

Chứng minh Để chứng minh bổ đề ta cần chứng minh với S đơn? ?iệu... 30

Sự tồn nghiệm toán biên phương trình elliptic khơng tuyến tính.

2.1.1 Phương trình đạo hàm riêng

Định nghĩa 2.1.1 Cho U tập... suy phương trình< /p>

T (u) = h

có nghiệm u ∈ H với h ∈ H Do phương trình

ău, v) = b(v), ∀v ∈ H

có nghiệm u ∈ H Định lí chứng minh

Định lý 1.4.3 (Lax-Milgram tuyến tính)