Các bất đẳng thức trong xác suất

KHÓA LU¾N TOT NGHIfiĐE TÀI CÁC BAT ĐANG THÚC TRONG XÁC SUAT Ho tên sinh viên thNc hi¾n : HOÀNG TH± MAN Giáng viên hưáng dan : NGUYEN TRUNG DŨNG TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2 KHOA TOÁN.

Ngưài hưáng dan

Th.s Nguyen Trung Dũng

KHÓA LU¾N TOT NGHIfi

ĐE TÀI CÁC BAT ĐANG THÚC TRONG XÁC SUAT

Ho tên sinh viên thNc hi¾n : HOÀNG TH± MAN

Giáng viên hưáng dan : NGUYEN TRUNG DŨNG

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2

KHOA TOÁN

Lài cám ơn

Trong quá trình nghiên cúu và thnc hi¾n khóa lu¾n, vói sn cogang cna bán thân cùng vói sn hưóng dan và giúp đõ nhi¾t tìnhcna các thay cô giáo và các ban sinh viên, em đã hoàn thànhkhóa lu¾n này Em xin bày tó lòng biet ơn tói các thay, các côcông tác tai Khoa Toán Trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i 2 vàcác Thay cô đã trnc tiep giáng day, truyen đat cho em nhung kienthúc quý báu ve chuyên môn cũng như kinh nghi¾m nghiên cúukhoa hoc trong thòi gian qua Em xin chân thành gúi lòi cám ơnđen nhung ngưòi thân trong gia đình, ban bè đã luôn giúp đõ,đ®ng viên và tao moi đieu ki¾n cho em trong suot quá trình hoct¾p và hoàn thi¾n lu¾n văn này

Đ¾c bi¾t em xin bày tó lòng biet ơn sâu sac đen thay giáo, thac

sĩ Nguyen Trung Dũng, ngưòi đã t¾n tình giúp đõ chí báo và cungcap cho em nhung kien thúc nen táng đe em hoàn thành bài khóalu¾n này Thay cũng là ngưòi đã giúp em ngày càng tiep c¾n và

có niem say mê khoa hoc trong suot thòi gian đưoc làm vi¾c cùngThay

Em xin chân thành cám ơn!

Hà N®i, Ngày 16 tháng 5 năm 2013

Lài cam đoan

Tên em là: Hoàng Th% Man là sinh viên đai hoc khóa 2009 –

2013, lóp K35A-CN Toán, khoa Toán , trưòng Đai hoc Sư pham

Hà N®i 2 Em xin cam đoan đe tài: “Các bat đang thúc trong xácsuat” là ket quá nghiên cúu và thu th¾p cna riêng em Nhung n®idung trong khóa lu¾n này là do em thnc hi¾n dưói sn hưóng dantrnc tiep cna thay Nguyen Trung Dũng Các lu¾n cú, ket quá thuđưoc trong đe tài là trung thnc, không trùng vói các tác giá khác.Moi tham kháo dùng trong báo cáo này đeu đưoc trích dan rõràng tên tác giá, tên công trình, thòi gian, đ%a điem công bo Neu

có gì không trung thnc trong lu¾n văn em xin hoàn toàn ch%u tráchnhi¾m trưóc h®i đong khoa hoc

Hà N®i, Ngày 16 tháng 5 năm 2013

Mnc lnc

Lài

nói đau 5

Chương 1: Cơ sá lý thuyet 6 1.1 Không gian L p 6

1.2 Kì v ong có đieu ki¾n 6

1.2.1 Đ%nh nghĩa 6

1.2.2 Tính chat 7

1.3 Martingale vói thòi gian ròi rac 9

1.3.1 Khái ni¾m ve tương thích và dn báo đưoc 9

1.3.2 Thòi điem dùng 9

1.3.3 Martingale 11

Chương 2: Các bat đang thNc trong xác suat 15 2.1 Bat đang thúc moment 15

2.1.1 Bat đang thúc Chebyshev 15

2.1.2 Bat đang thúc C r 16

2.1.3 Bat đang thúc Holder 16

2.1.4 Bat đang thúc Cauchy-Buniakowski 17

2.1.5 Bat đang thúc Minkowski 18

2.1.6 Bat đang thúc Jensen 18

2.1.7 Bat đang thúc Liapunov 18

2.1.8 Bat đang thúc Kolmogorov 19

2.1.9 C¾n trên Chernoff 21

2.2 Bat đang thúc cna kì vong có đieu ki¾n 22

2.2.1 Bat đang thúc Holder 22

2.2.2 Bat đang thúc Minkowski 22

2.2.3 Bat đang thúc Jensen 22

2.3 Bat đang thúc trong Martingale 25

2.3.1 Bat đang thúc Kolmogorov 26

2.3.2 Bat đang thúc Doob 26

2.3.3 Bat đang thúc cat ngang 28

Ket lu¾n 30

6

Hoàng Th% Man - Toán-K35

MUC LUC MUC LUC

Tài li¾u tham kháo 31

7

Hoàng Th% Man - Toán-K35

Lài nói đau

Bat đang thúc là m®t van đe khá quan trong cna toán hoc, nó làm®t dang toán tương đoi khó vì chúng ta không có m®t phươngpháp thnc sn “tot” nào đe giái quyet loat các bài toán này Nhunglòi giái cho nhung bat đang thúc thưòng mang nhung ý tưóng kháhay và đ®c đáo.Càng ngày van đe này càng đưoc khai thác sâuhơn, chính vì đó phương pháp giái cũng rat đa dang phong phú

và ngày càng phúc tap Trong xác suat bat đang thúc cũng là m®t

đe tài thú v% thu hút sn quan tâm cna khá nhieu ngưòi

Vói nhung lí do trên cùng vói lòng say mê nghiên cúu cùng sngiúp đõ t¾n tình cna thay giáo, Th.s Nguyen Trung Dũng, em đã

chon đe tài: "Các bat đang thNc trong xác suat"

N®i dung khóa lu¾n bao gom 2 phan sau:

• Chương 1: Cơ só lý thuyet

é phan này em trình bày nhung lý thuyet cơ só phuc vu cho vi¾c chúng minh các bat đang thúc em trình bày ó chương 2

• Chương 2: Các bat đang thúc trong xác suat.

Đây là chương trình bày các bat đang thúc và chúng minh gomcác bat đang thúc moment, các bat đang thúc cna kì vong cóđieu ki¾n, và các bat đang thúc trong Martingale vói thòi gian ròi

rac.Tuy đã có nhieu co gang nhưng do thòi gian và khá năng có hannên các van đe trong khóa lu¾n van chưa đưoc trình bày sâu sac

và không the tránh khói có nhung sai sót trong cách trình bày

Em rat mong đưoc sn góp ý xây dnng cna thay cô và các ban

Em xin chân thành cám ơn!

Hà N®i, Ngày 16 tháng 5 năm 2013

Chương 1

Cơ sá lý thuyet

1.1 Không gian L p

Đ%nh nghĩa 1.1.1 Vói p > 0, kí hi¾u L p = L p (Ω, F, P) là t¾p

hop các bien ngau nhiên X( xác đ%nh trên (Ω, F, P)) sao cho E

|X| p < ∞ Khi X ∈ L p , p > 0 ta kí hi¾u

" X "= (E |X| p)p là chuan b¾c p cna X.

1.2 Kì vong có đieu ki¾n

1.2.1 Đ%nh nghĩa

Cho bien ngau nhiên X mà E( |X|) < ∞ Ta đã biet, E(X|Y ) là

kì vong có đieu ki¾n cna X đoi vói Y , và đưoc đ%nh nghĩa là hàm

cna Y khi Y = y bang:

E[X | Y = y]f Y (y)dy neu X, Y liên tuc.

đây là ket quá quan trong mà đưoc sú dung trong m®t loat các tính toán sau này

Đ%nh nghĩa 1.2.1 Cho hai bien ngau nhiên X, Y, ta goi E[X | Y ]

là kì vong có đieu ki¾n cna X theo Y , là m®t hàm h(Y ) mà có tính chat vói moi A ∈ σ(Y ) thì

1.2.2 Tính chat

(1) Neu C là hang so thì E(C | F ) = C (h.c.c).

(2) Neu X ≤ Y (h.c.c) thì E(X | F ) ≤ E(Y | F ) (h.c.c)

(3) |E(X | F )| ≤ E(|X| | F ).

(4) Neu a, b là hang so và aEX + bEY xác đ%nh thì

E((aX + bY ) | F ) = aE(X | F ) + bE(Y | F ) (h.c.c).

E[E(X | F2) | F1] = E[E(X | F1) | F2] = E(X | F1) (h.c.c).

(9) Neu X đ®c l¾p vói F (nghĩa là σ(X) và F đ®c l¾p) thì

(2) X ≤ Y (h.c.c) suy ra E[XI A] ≤ E[Y I A ] vói moi A ∈ F

−E(|X| | F ) ≤ E(X | F ) ≤ E(|X| | F )

Tù đó, ta có đieu can chúng minh

Tù đó ta có ket lu¾n.

12

1.3 Martingale vái thài gian rài rac

1.3.1 Khái ni¾m ve tương thích và dN báo đưac

Giá sú (Ω, A, P) là không gian xác suat, F ∈ A là σ− trưòng

con cna A và X là bien ngau nhiên nào đó Ta nói rang X tương

thích vói F neu X là F− đo đưoc Trong trưòng hop đó ta viet X

∈ F Kí hi¾u σ(X) = X −1(B), trong đó B là σ− trưòng Borel cna

R Rõ ràng, X ∈ F khi và chí σ(X) ⊂ F Cho trưóc dãy ngau

nhiên X =

{X n , n ∈ N} Kí hi¾u σ({X n , n ∈ N}) là σ− trưòng con bé nhat

cna A chúa tat cá các σ− trưòng σ(X n ), n ∈ N Ta goi σ({X n , n

Cho dãy σ − trưòng con {F n , n ∈ N} cna A Dãy này đưoc goi

là không giám, neu F m ⊂ F n , m ≤ n, ∀m, n ∈ N Chang han, {σ ≤n , n ∈ N} là ho không giám Ta lưu ý rang σ ≤n gom các bien

co quan sát

đưoc tính đen thòi điem n.

Đ%nh nghĩa 1.3.1 Vói các kí hi¾u như trên, ta nói rang quá

trình ngau nhiên X = {X n , F n , n ∈ N} là dãy tương thích, neu

X n ∈ F n vói moi n ∈ N.

Ta nói rang V = {V n , F n−1 , n ∈ N, F −1 = F0} là dãy dn báo

đưoc neu V n ∈ F n−1 vói moi n ∈ N.

Rõ ràng dãy dn báo đưoc là dãy tương thích

1.3.2 Thài điem dNng

Đ%nh nghĩa 1.3.2 Giá sú τ : Ω → N ∪ {∞} là bien ngau nhiên

( có the lay giá tr% ∞) Ta nói rang τ là thòi điem Markov đoi vói {F n , n ∈ N}, neu

Chú ý 1.3.3 τ là thòi điem Markov khi và chí khi

Ví dn 1.3.6 Giá sú {X n , n ∈ N} là dãy các bien ngau nhiên, và

B n , n = 1, 2, là dãy t¾p Borel cna R Đ¾t τ1 = τ B1 ;

∞ trong trưòng hop còn lai.

τ n đưoc đ%nh nghĩa tương tn Khi đó, (τ n , n ∈ N) là dãy các thòi

điem Markov đoi vói {σ ≤n , n ∈ N} Chúng minh đoi vói τ2 suy ra

Tính chat 3 Neu τ1, τ2, là dãy các thòi điem Markov đoi vói {F n , n ∈ N}, thì _ τ n = sup τ n , ^ τ n = inf τ n cũng là thòi điem

Tính chat 4 Neu τ là thòi điem Markov đoi vói {F n , n ∈ N},

thì τ ∈ F τ Neu τ và σ là các thòi điem Markov đoi vói {F n , n ∈

Tính chat 7 Giá sú {X n , F n , n ∈ N} là dãy tương thích và τ là thòi

điem Markov đoi vói {F n , n ∈ N}, thì

X τ (ω)(ω) neu ω ∈ {τ (ω) < ∞}

X τ : Ω → R, X τ (ω)

là đo đưoc đoi vói F τ , túc là, X τ ∈ F τ

Tính chat 8 Giá sú f : Ω → R là bien ngau nhiên F ∞ − đo đưoc

và τ là thòi điem Markov đoi vói {F n , n ∈ N} Khi đó f là F τ −

đo đưoc neu và chí neu vói moi n ∈ N, han che cna f trên {τ = n} là F n − đo đưoc, túc là, f I { τ = n} ∈ F n

Neu Z là bien ngau nhiên không âm ho¾c có kì vong huu han, thì

Đ%nh nghĩa 1.3.8 Giá sú (Ω, A, P) là không gian xác suat Dãy X = {X n , F n , n ∈ N} đưoc goi là martingale dưói (đoi vói {F n , n ∈ N}),

neu

(i) {X n , F n , n ∈ N} là dãy tương thích;

(ii) E |X n | < ∞, ∀n ∈ N;

(iii)vói m ≤ n, m, n ∈ N

E(X n | F m) ≥ X m , P − hau chac chan.

Đ%nh nghĩa 1.3.9 Giá sú (Ω, A, P) là không gian xác suat Dãy

X = {X n , F n , n ∈ N} đưoc goi là martingale (đoi vói {F n , n ∈ N}),

neu

(i) {X n , F n , n ∈ N} là dãy tương thích;

(ii) E |X n | < ∞, ∀n ∈ N;

(iii)vói m ≤ n, m, n ∈ N

E(X n | F m ) = X m , P − hau chac chan.

Ví dn 1.3.10 Giá sú {X n , n ∈ N} là dãy các bien ngau nhiên đ®c

l¾p vói EXn = 0, n ∈ N Khi đó các tong riêng

S n = X0 + · · · + X n

là dãy martingale đoi vói F n = σ(X0, , X n ) Th¾t v¾y, do S n−1

∈ F n−1 , tính đ®c l¾p cna X n vói F n−1, ta có

E(S n | F n−1) = E(Sn−1 + X n | F n−1 ) = S n−1 + EXn = S n−1

Ví dn 1.3.11 Giá sú {X n , n ∈ N} là dãy các bien ngau nhiên nào

đó có E |X| < ∞ và {Fn , n ∈ N} là dãy σ− trưòng con không giám

X n−1 = E(X | Fn−1) = E(E((X | F ) | Fn−1)) = E(Xn | F n−1 ).

Tính chat 1 Neu X = {X n , F n , n ∈ N} là martingale, thì hàm

trung bình EXn không phu thu®c n ∈ N.

Tính chat 2 Neu X = {X n , F n , n ∈ N} là martingale dưói, thì

hàm trung bình EXn không giám theo n ∈ N.

Tính chat 3 Neu X = {X n , F n , n ∈ N} là martingale, thì hàm

E |X n | p , 1 ≤ p < ∞ không giám theo n ∈ N.

ho¾c tương đương

X τ∧σ ≥ E(X τ | F σ ), (P − hau chac chan)

martingale trên, và τ, σ là hai thòi điem Markov (đoi vói F n , n

= 0, 1, , N ) sao cho P{τ ≤ N} = P{σ ≤ N} = 1 Khi đó

X σ = E(X τ | F σ ), ({τ ≥ σ}, P − hau chac

chan), ho¾c tương đương

X τ∧σ = E(X τ | F σ ), (P − hau chac chan)

N

cũng là martingale (martingale dưói).

∧

Chương 2

Các bat đang thNc trong xác suat

2.1 Bat đang thNc moment

2.1.1 Bat đang thNc Chebyshev

Giá sú X ∈ L0 và g : R −→ R+ là hàm Borel không âm và không

giám trên [0, ∞) Khi đó neu g(X) > 0 thì

Eg(X) P{ω : X(ω) ≥ s}

≤

g(X)

, Y ∈ L

E |XY | ≤" X " p · " Y " q (2.4)

2.1 Bat đang thúc moment CHƯƠNG 2 CÁC BAT ĐANG THÚC TRONG XÁC SUAT

Chúng minh Vì hàm f (x) = x p , x ∈ (0, +∞) loi dưói, nên

Tù đó ta có (2.4) Neu E |X|p · E |Y | q = 0 thì (2.4) là hien nhiên

2.1.4 Bat đang thNc Cauchy-Buniakowski

2.1.5 Bat đang thNc Minkowski

Giá sú X, Y ∈ L p , 1 ≤ p < ∞ Khi đó X + Y ∈ L p và

" X + Y " p ≤" X " p + " Y " p (2.6)

Chúng minh Do bat đang thúc C r ta chí còn phái chúng minh

bat đang thúc Minkowski vói p > 1 Ta có

Tù đây suy ra đieu phái chúng minh

2.1.6 Bat đang thNc Jensen

Giá sú ϕ : R → R là hàm loi dưói, X và ϕ(X) là các bien ngau

nhiên khá tích Khi đó

Chúng minh Th¾t v¾y, vì ϕ là hàm loi nên ϕ liên tuc có đao hàm

phái, và đao hàm trái tai moi điem Do đó ϕ(X) cũng là bien ngau nhiên, ngoài ra vói x0 ∈ R tùy ý ta có

ϕ(x) ≥ ϕ(x0) + (x − x0)k(x0), x ∈ R, (2.8)

ó đây k(x0) có the lay là đao hàm phái ho¾c trái cna ϕ tai x0

Thay x bói X, x0 bói EX vào (2.8) sau đó lay kỳ vong ta có

Eϕ(X) ≥ ϕ(EX) + k(EX)(EX − EX) = ϕ(EX).

2.1.7 Bat đang thNc Liapunov

Đoi vói bien ngau nhiên X bat kì và 0 < s < t, ta có

" X " s ≤" X " t (2.9)

2.1.8 Bat đang thNc Kolmogorov

a Giá sú (X = 0, DX k n < ∞, k = 1, n Khi đó, vói s tùy ý ta có:)n≥1 là dãy các bien ngau nhiên đ®c l¾p và EX k

DS n

P {max |S n | ≥ s} ≤ ,

≤ trong đó S n = X1 + · · · + X n

−2c2

P (X − E[X] ≤ −c) ≤ e

Tuy nhiên, neu Y là bien ngau nhiên có phân phoi Bernoulli vói

và chúng minh tương tn như trên

2.2 Bat đang thNc cúa kì vong có đieu ki¾n

2.2.1 Bat đang thNc Holder

Neu X ∈ L r , Y ∈ L s , trong đó r, s là các so sao cho 1 < r <

∞,

E(|XY | | F ) ≤ (E(|X| r | F )) r · (E(|Y | s | F )) s

2.2.2 Bat đang thNc Minkowski

Neu X, Y ∈ L r , 1 ≤ r thì

E(|X + Y | r | F ) ≤ (E(|X| r | F )) r + (E(|Y |r | F )) r

2.2.3 Bat đang thNc Jensen

Chúng minh Ta thay vì g là hàm loi nên se ton tai m®t chuoi đem

đưoc (a n , b n) điem cna R2 sao cho

g(x) = sup(a n x + b n) ∀x ∈ R

n Cho moi n co đ%nh, tù tính chat thú 2 cna kì vong có đieu ki¾n và tù

g(X) ≥ a n X + b n, ta có

E[g(X) | F ] ≥ a n E[X | F ] + b n Đieu này đúng vói moi n, suy ra

E[g(X) | F ] ≥ sup(a n E[X | F ] + b n ) = g(E[X | F ])

M¾nh đe 2.2.1 (Bat đang thÚc moment cap hai)

Cho bien ngau nhiên X không âm Khi đó

i=1

Bo đe 2.2.2 Vói moi bien ngau nhiên R bat kì, khi đó ta có

n E[XR] = p i E[R|X i = 1].

i=1

Chúng minh.

n E[XR] = E[ X i R]

i=1

n

= E[X i R]

i= 1

n

= {E[X i R|X i = 1]p i + E[Xi R|X i = 0](1 − p i)}

i= 1

trong đó công thúc cuoi suy ra tù bat đang thúc Jensen

Ví dn 2.2.4 Xét h¾ thong gom m b® ph¾n, moi b® ph¾n này có

the làm vi¾c ho¾c không Giá sú S j , j = 1, , n là các b® ph¾n

con sao

1

cho S i ∩ S j = ∅ vói i ƒ= j, h¾ thong hoat đ®ng đưoc neu có ít nhat

m®t b® ph¾n con S j hoat đ®ng Giá sú các b® ph¾n j hoat đ®ng đ®c l¾p vói xác suat α j Van đe đ¾t ra là tìm c¾n dưói cna xác suat

đe h¾ thong hoat đ®ng

Lài giái

Đ¾t

X i = 1 neu tat cá các b® ph¾n nam trong S i hoat đ®ng

0 neu trái lai

p i = P (X i = 1) = Y α j

j∈S i n

Khi đó, ket hop X = X i, ta có

Bat đang thúc thú hai đưoc chúng minh tương tn.

2.3.1 Bat đang thNc Kolmogorov

Neu {X n F n , n = 0, , N} là martingale vói E |X n | p < ∞, n

= 0, , N, 1 ≤ p < ∞, thì vói moi λ > 0

λ pP( max

0≤n≤N |X n | > λ) ≤ E |X N | p Chúng minh Vì {|X n | p , F n , n = 0, , N} là martingale dưói

(không âm), nên theo bat đang thúc trong đ%nh lý trên vói a > 0

aP( max

0≤n≤N |X n | p > a) ≤ E |X N | p

Đieu này đúng vói a = λ p hoàn thành chúng minh

2.3.2 Bat đang thNc Doob

Neu {X n , F n , n = 0, , N} là martingale dưói không âm vói

E |X n | p < ∞, n = 0, , N, 1 < p < ∞, thì

" X N " p ≤" max

0≤n≤N |X n | " p ≤ q " X N " p ,

phía trái là tam thưòng Đe chúng minh bat đang thúc phía phái ta

sú dung bat đang thúc trong đ%nh lý trên và bat đang thúc Holder,

Tù đó rút ra bat đang thúc phía phái

Bây giò chúng ta chúng minh đoi vói p = 1 Bat đang thúc phía trái

là tam thưòng Đe đơn gián ta đ¾t

Tù đó rút ra bat đang thúc phía phái.

Tiep theo ta trình bày bat đang thúc cat ngang Vói các so thnc

a, b sao cho −∞ < a < b < ∞, kí hi¾u ν = ν(a, b, N ) là so lan dãy {X n , n = 0, , N} chuyen tù giá tr% nhó hơn ho¾c bang a tói giá tr%

lón hơn ho¾c bang b ν đưoc goi là so lan cat ngang tù dưói lên

trên đoan [a, b] cna dãy {X n , n = 0, , N}

2.3.3 Bat đang thNc cat ngang

Neu {X n , F n , n = 0, , N} là martingale dưói, thì:

(b − a)Eν ≤ E(X N − a)+ − E(X0 − a)+ Chúng minh Vì {X n , F n , n = 0, , N} là martingale dưói, nên

Kí hi¾u l là so n lón nhat sao cho τ n đưoc xác đ%nh đúng đan

(nghĩa là t¾p lay min tương úng khác rong) Rõ ràng 0 ≤ l ≤ N