NỬA NHÓM MỘT THAM SỐ
Nửa nhóm tuyến tính
Định nghĩa 1.1.1 Một họ các ánh xạ S(t) ∈ L(E), 0≤t < ∞, được gọi là nửa nhóm tuyến tính trên E nếu nó thỏa mãn
Định nghĩa 1.1.2 cho phép xác định toán tử sinh của nửa nhóm tuyến tính một tham số {S(t)} với t ≥ 0 Một toán tử tuyến tính A được coi là toán tử sinh của nửa nhóm {S(t)} nếu thỏa mãn điều kiện S(t+s) = S(t)S(s) với mọi t, s ≥ 0.
S(t)x−x t , với mọi x ∈D(A), trong đó D(A) là miền xác định của toán tử A
Nửa nhóm {S(t)} t≥0 được gọi là nửa nhóm liên tục mạnh (C0-nửa nhóm) nếu limt→0S(t)x = x với mọi x ∈ E Định lý 1.1.4 chỉ ra rằng nếu A là toán tử sinh của một C0-nửa nhóm, thì A là toán tử tuyến tính đóng và D(A) trù mật trong E.
Mệnh đề dưới đây đưa ra ước lượng về chuẩn toán tử của một C 0 -nửa nhóm.
Mệnh đề 1.1.5 chỉ ra rằng, với C 0 -nửa nhóm {S(t)} t≥0, tồn tại các hằng số ω ≥ 0 và M ≥ 1 sao cho kS(t)k ≤ M e ωt cho mọi t ≥ 0 Nếu ω < 0, nửa nhóm {S(t)} được gọi là nửa nhóm ổn định mũ; và nếu ω ≤ 0 với M = 1, thì nửa nhóm này được gọi là nửa nhóm co Định nghĩa 1.1.6 cung cấp thông tin về nửa nhóm {S(t)} t≥0 là một C 0 -nửa nhóm trên không gian E.
(a) nửa nhóm liên tục theo chuẩn nếu ánh xạ (0,∞) 3 t 7→ S(t) ∈ L(E) liên tục theo chuẩn trong L(E);
(b) nửa nhóm khả vi nếu với mỗi x ∈ E thì ánh xạ t 7→ S(t)x khả vi tại mọi t > 0;
(c) nửa nhóm compact nếu S(t) là toán tử compact với mọi t > 0.
Nếu toán tử sinh của một nửa nhóm tuyến tính là toán tử bị chặn, nghĩa là
A∈ L(E), nửa nhóm {S(t)} t≥0 sinh bởi A được định nghĩa bởi
(i) D(A) =E và {e tA } t≥0 là nửa nhóm compact.
Nửa nhóm khả vi {e tA } có đặc điểm quan trọng khi E = R n, vì mọi toán tử tuyến tính trên E đều bị chặn, cho phép A được biểu diễn qua ma trận cấp n×n Hơn nữa, dạng biểu diễn của nửa nhóm sinh bởi A có thể được thể hiện thông qua chuỗi lũy thừa Trường hợp này sẽ được phân tích chi tiết trong chương đầu tiên của luận án.
Ví dụ 1.1.7 (1) Nửa nhóm tịnh tiến: Xét họ các toán tử tuyến tính.
S(t) : E → E (S(t)f)(s) =f(t+s), s∈ R + Khi đó {S(t)} t≥0 là một C 0 -nửa nhóm và có toán tử sinh là
Af := f 0 , với miền xác định
(i) D(A) ={f ∈C ub (R + ) :f khả vi vàf 0 ∈ C ub (R + )}nếuE :=C ub (R + ) và
(ii) D(A) = {f ∈ L p (R + ) : f liên tục tuyệt đối và f 0 ∈ L p (R + )} nếu
(2) Nửa nhóm sinh bởi toán tử Laplace: Cho Ω là miền bị chặn trong R n với biên ∂Ω thuộc lớp C 2 Xét toán tử Laplace với điều kiện biên Dirichlet
Khi đó nửa nhóm {e tA } t≥0 trên E :=L 2 (Ω) là compact và ổn định mũ.
Theo Định lý 7.2.5 và Định lý 7.2.8 trong tài liệu [54], tính compact của tập hợp {S(t)} = {e^(tA)} được xác nhận thông qua định lý Sobolev-Rellich-Kondrachov Tính ổn định mũ được chứng minh trực tiếp bằng công thức Green Đặt u(t) = S(t)ξ với ξ ∈ D(A), và định nghĩa hàm f : R + → R + sao cho f(t) = (e^(λt) kS(t)ξk L^2(Ω))^2, trong đó λ là giá trị riêng đầu tiên của toán tử −∆ với điều kiện biên Dirichlet Kết quả là e^(−2λt) f'(t) = 2λ.
Từ đó dẫn đến kS(t)ξk L 2 (Ω) ≤ e −λt kξk L 2 (Ω) với mỗi ξ ∈ D(A) và t ≥ 0.Vậy {S(t)} t≥0 là ổn định mũ.
Nửa nhóm phi tuyến
Cho tập hợp D sao cho ∅ 6= D ⊂ E, dưới đây là các khái niệm về nửa nhóm phi tuyến không giãn và toán tử sinh của nửa nhóm phi tuyến Lưu ý rằng nửa nhóm là phi tuyến khi mỗi thành phần của nó không thuộc lớp các ánh xạ tuyến tính trên E Định nghĩa 1.1.8: Một họ {S(t)} t≥0 các hàm S(t) :D → D được gọi là nửa nhóm các ánh xạ không giãn trên D nếu
S(t+s) =S(t)S(s), ∀t, s ≥0, S(0) =I, lim t→0 + S(t)x =x, ∀x ∈D, kS(t)x−S(t)¯xk ≤ kx−xk,¯ ∀t≥ 0, x,x¯∈D.
Nếu bất đẳng thức cuối cùng được thay bởi kS(t)x−S(t)¯xk ≤e ωt kx−xk,¯ ∀t≥0, x,x¯∈D, ta gọi {S(t)} t≥0 là nửa nhóm không giãn kiểu ω.
Trong nửa nhóm phi tuyến, toán tử sinh A 0 đóng vai trò quan trọng, tương tự như trong nửa nhóm tuyến tính Toán tử A 0 được xác định cho nửa nhóm {S(t)} với t≥0, và nó được gọi là toán tử sinh của nửa nhóm này.
S(h)x−x h , với những x∈D sao cho giới hạn trên tồn tại.
Bài viết định nghĩa toán tử tăng trưởng và ω-tăng trưởng trong không gian Banach E Đầu tiên, với X và Y là hai không gian tuyến tính, tích Cartesian của chúng được ký hiệu là X×Y Nếu T là ánh xạ đa trị từ X vào Y, ta có thể đồng nhất T với đồ thị của nó, bao gồm các cặp (x, y) sao cho x thuộc D(A) và y thuộc T(x) Ngược lại, nếu T là một tập con của X × Y, ta có thể xác định ánh xạ đa trị T trên miền D(T) thuộc X.
Gọi E ∗ là không gian đối ngẫu của E với chuẩn k ã k ∗ Hã,ãi là tớch vụ hướng của cặp đối ngẫu E, E ∗ Chúng ta kí hiệu J : E → P(E ∗ ) là ánh xạ đối ngẫu của E.
J(x) ={x ∗ ∈E ∗ :hx, x ∗ i=kxk 2 =kx ∗ k 2 ∗ }. Định nghĩa 1.1.9 Toán tử A : D(A) ⊂ E → P(E) (hay tập A ⊂ E ×E) được gọi là
(i) tăng trưởng nếu với mọi (x 1 , y 1 ),(x 2 , y 2 ) ∈ A, tồn tại w ∈ J(x 1 −x 2 ) sao cho hy 1 −y2, wi ≥0.
Khi đó nếu A là toán tử tăng trưởng thì ta gọi −A là toán tử tiêu hao; (ii) ω-tăng trưởng (với ω ∈R) nếu A+ωI là toán tử tăng trưởng;
(iii) m-tăng trưởng nếu nó tăng trưởng và R(A+I) =E;
(iv) ω-m-tăng trưởng nếu nó là ω-tăng trưởng và m-tăng trưởng.
Về mặt thuật ngữ, ta có thể gọi toán tử A tăng trưởng (ω-tăng trưởng, m-tăng trưởng, ω-m-tăng trưởng) trên E×E. Định nghĩa 1.1.10 Toán tử A : D(A) ⊂ E → P(E ∗ ) (hay tập A ⊂ E × E ∗ ) được gọi là
(ii) đơn điệu cực đại nếu nó không bị chứa trong bất kì một tập đơn điệu nào của E ×E ∗
Trong trường hợp E = H là một không gian Hilbert ta có mệnh đề nói lên mối liên hệ giữa toán tử m-tăng trưởng và toán tử đơn điệu cực đại.
Mệnh đề 1.1.11, hay còn gọi là định lý Minty, khẳng định rằng trong không gian Hilbert H, một toán tử A được coi là m-tăng trưởng nếu và chỉ nếu nó là một toán tử đơn điệu cực đại.
Nếu nửa nhóm không giãn {S(t)} t≥0 nhận A làm toán tử sinh, thì A có tính chất tiêu hao Để làm rõ mối quan hệ giữa nửa nhóm phi tuyến không giãn {S(t)} t≥0 và toán tử m-tăng trưởng, chúng ta xem xét bài toán Cauchy thuần nhất với phương trình x 0 (t) + Ax(t) = 0 và điều kiện ban đầu x(0) = x 0.
Với mỗi x, y∈ E, ta định nghĩa
Theo tài liệu [9, trang 102], giới hạn vế phải tồn tại và được định nghĩa là tích của hai phần tử x và y, ký hiệu là [x, y]+ Định nghĩa nghiệm tích phân cho bài toán (1.1)-(1.2) được trình bày như sau: Một hàm x∈ C([0, T];E) với điều kiện x(0) = x0 được gọi là nghiệm tích phân của bài toán (1.1)-(1.2) nếu thỏa mãn điều kiện kx(t)−uk ≤ kx(s)−uk+.
[x(τ)−u, v] + dτ, 0≤ s≤t ≤T,∀(u, v) ∈A. Mệnh đề sau được suy ra từ [9, Định lý 4.1].
Mệnh đề 1.1.13 Giả sử A là một toán tử ω-m-tăng trưởng Với mỗi x 0 ∈ D(A), tồn tại nghiệm tích phân duy nhất của bài toán (1.1)-(1.2).
Khi đó ta định nghĩa họ các ánh xạ {S A (t)} t≥0 bởi
S A (t)x 0 ={x(t, x 0 ), với x là nghiệm tích phân của (1.1)−(1.2).}
Mệnh đề 1.1.14 {S A (t)} t≥0 được xác định ở trên là một nửa nhóm không giãn kiểu ω trên D(A) Khi đó {S A (t)} t≥0 là nửa nhóm sinh bởi toán tử đa trị −A.
Mệnh đề dưới đây là trường hợp đặc biệt khi toán tử sinh của nửa nhóm là m-tăng trường, tuyến tính và có miền xác định trù mật.
Giả sử A là một toán tử tuyến tính, m-tăng trưởng với miền xác định D(A) trù mật trong không gian E, thì nửa nhóm sinh bởi −A là C 0 -nửa nhóm tuyến tính không giãn trên E, và ánh xạ S(t) là toán tử bị chặn cho mọi t ≥ 0 Theo định lý Komura, nếu A là một toán tử đơn điệu cực đại trên không gian Hilbert H, thì D(A) là tập con lồi, đóng của H và D(S A) = D(A).
Giả sử C là một tập con lồi đóng trong không gian Hilbert H và {S(t)} t≥0 là nửa nhóm không giãn trên C Khi đó, tồn tại một toán tử đơn điệu cực đại duy nhất A trên H với miền xác định D(A) = C và S A (t) = S(t) cho mọi t ≥ 0.
Khi đó{S(t)} t≥0 là nửa nhóm các ánh xạ phi tuyến không giãn trên R với toán tử sinh xác định bởi
Một trong những lớp toán tử m-tăng trưởng là các toán tử dưới vi phân, được mở rộng từ khái niệm đạo hàm Gateaux của một ánh xạ Giả sử H là một không gian Hilbert với tích vô hướng (ã,ã) và φ : H → (−∞,+∞] là một hàm chính thường, lồi và nửa liên tục dưới Khi đó, dưới vi phân ∂φ : H → P(H) được định nghĩa là một hàm tập.
Khi đó bởi [9, Mệnh đề 1.1, Định lý 2.8] và [53, Mệnh đề 2.2.2], ta suy ra các mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.1.18 Hàm φ bị chặn dưới bởi một hàm affin, nghĩa là tồn tại số α∈ R và một phần tử x ∗ ∈H sao cho φ(x)≥ (x ∗ , x) +α.
Mệnh đề 1.1.19 Dưới vi phân ∂φ là toán tử m-tăng trưởng trên H×H.
Mệnh đề 1.1.20 Nửa nhóm phi tuyến {S(t)} sinh bởi −∂φ là đồng liên tục trên
H, tức là với mọi 0< a < b và mọi tập D bị chặn trong H, tập S(ã)D là một tập đồng liên tục trong C([a, b];H) Nếu tập mức H r ={u∈H : kuk 2 H +φ(u)≤ r} là tập compact trong H với mỗi r >0, thì nửa nhóm này là compact, tức là S(t) là compact với mỗi t > 0.
ĐỘ ĐO KHÔNG COMPACT (MNC) VÀ CÁC ƯỚC LƯỢNG 27
Lượng độ đo không compact (measure of noncompactness - MNC) là khái niệm quan trọng trong lý thuyết giải tích đa trị Độ đo không compact được định nghĩa qua hàm β: P b (E) → R +, với điều kiện β(co Ω) = β(Ω) cho mọi Ω∈ P b (E), trong đó co Ω là bao lồi đóng của Ω Bài viết này sẽ trình bày khái niệm, tính chất và một số ước lượng liên quan đến độ đo không compact.
(i) đơn điệu nếuΩ 1 ,Ω 2 ∈ P b (E), Ω 1 ⊂Ω 2 kéo theo β(Ω 1 )≤ β(Ω 2 );
(ii) không suy biến nếuβ({x} ∪Ω) = β(Ω) với mỗi x∈E,Ω∈ P b (E);
(iii) bất biến với nhiễu compact nếu β(K ∪Ω) = β(Ω) với mọi tập compact tương đối K ⊂E và Ω∈ P b (E);
(iv) nửa cộng tính nếu β(Ω 0 ∪ Ω 1 ) ≤ max{β(Ω 0 ), β(Ω 1 )} với mọi Ω 0 ,Ω 1 ∈
(v) nửa cộng tính đại số nếu β(Ω 1 + Ω 2 ) ≤ β(Ω 1 ) +β(Ω 2 ) với mỗi Ω 1 ,Ω 2 ∈
(vi) chính quy nếu β(Ω) = 0 tương đương với tính compact tương đối của Ω.
Hai ví dụ về các độ đo không compact thỏa mãn các tính chất cần thiết là độ đo Hausdorff và độ đo Kuratowski Những độ đo này giúp chúng ta quan sát cách một tập bị chặn "gần với" một tập compact.
Ví dụ 1.2.2 (1) Hàm χ: P b (E)→ R + xác định bởi χ(B) = inf{ >0 : B có một-lưới hữu hạn}, được gọi là độ đo không compact Hausdorff trên E.
(2) Hàm β :P b (E) → R + xác định bởi β(B) = inf{d >0 : B được phủ bởi hữu hạn các tập có đường kính nhỏ hơn d}, được gọi là độ đo không compact Kuratowski trên E.
Độ đo χ và β có mối liên hệ với nhau theo công thức χ(B)≤ β(B)≤ 2χ(B) Độ đo không compact Hausdorff được sử dụng để xác định một đặc trưng quan trọng của toán tử tuyến tính trên không gian Banach, đó là chuẩn toán tử theo độ đo Cụ thể, cho toán tử tuyến tính bị chặn L :E → E và hình cầu đơn vị B ⊂ E, chuẩn χ của toán tử L được định nghĩa là kLk χ :=χ(L(B)).
Ta có mệnh đề sau về ước lượng độ đo không compact của một tập bị chặn thông qua một dãy trong tập đó.
Mệnh đề 1.2.4 chỉ ra rằng nếu Ω ⊂ E là một tập bị chặn, thì với mọi > 0, tồn tại một dãy {x n } ⊂ Ω sao cho χ(Ω)≤ 2χ({x n }) + Trong phần tiếp theo, chúng ta ký hiệu J = [0, T] Định nghĩa 1.2.5 nêu rõ rằng D⊂ L 1 (J;E) được gọi là tập bị chặn tích phân nếu tồn tại hàm ν ∈L 1 (J) sao cho kf(t)k ≤ ν(t) với mọi f ∈ D và với hầu khắp t∈J.
Mệnh đề 1.2.6([33], Định lý 4.2.2) Nếu {w n } ⊂ L 1 (J;E) bị chặn tích phân, thì χnZ t
Z t 0 χ({w n (s)})ds, với t∈ J. Áp dụng Mệnh đề 1.2.4 và Mệnh đề 1.2.6, ta có mệnh đề sau đây.
Mệnh đề 1.2.7 Nếu D ⊂ L 1 (J;E) sao cho D bị chặn tích phân và χ(D(t))≤ q(t), với hầu khắpt ∈J, và q ∈L 1 (J;R + ), thì χ
Chứng minh Với > 0, tồn tại một dãy {ξ n } ⊂ D sao cho χZ t 0
+, do Mệnh đề 1.2.4 Áp dụng Mệnh đề 1.2.6, ta có χZ t 0
Do là bất kì, ta có điều phải chứng minh.
Hệ quả 1.2.8 Giả sử các giả thiết của Mệnh đề 1.2.7 thỏa mãn Thêm vào đó, giả sử E là một không gian Banach phản xạ Khi đó ta có χ
Ta xét các độ đo không compact trên các không gian hàm C(J;E) và BC([0,∞);E) sẽ được sử dụng trong các chương sau Cho trước L > 0 và
D ⊂C(J;E), đặt ω T (D) = sup t∈[0,T ] e −Lt χ(D(t)), với D(t) :={x(t) : x∈D}, mod T (D) = lim δ→0sup x∈D t,s∈[0,Tmax],|t−s|0 χ T (π T (D)), D⊂ BC([0,∞);R n ), (1.4) là một độ đo không compact thỏa mãn các tính chất được đưa ra trong Định nghĩa 1.2.1, trừ tính chính quy Thật vậy, lấy {f k } ⊂BC([0,∞);R n ) như sau f k (x)
Khi đó {π T (f k )} là một dãy compact (hội tụ về 0 trong C(J;R)) với mọi
|f k (t)−f l (t)| = 1, k 6=l, do đó{f k }không là một dãy Cauchy trongBC([0,∞);R Từ đóχ T (π T ({f k })) 0với mọiT >0, suy raχ ∞ ({f k }) = 0, nhưngf k không phải là một dãy compact tương đối.
Chúng ta thiết lập một độ đo không compact trên không gianBC([0,∞);R n ).
Ta gọi lại các độ đo không compact trênBC([0,∞);R n ) (xem [10, Ví dụ 2.1.4]). d T (D) = sup x∈D sup t≥T kx(t)k, d ∞ (D) = lim
Đo lường χ ∗ là một độ đo không compact trên BC([0,∞);R n ) Chúng ta sẽ chứng minh rằng độ đo χ ∗ có tính nửa chính quy, tức là nếu χ ∗ (D) = 0 thì D là một tập compact tương đối trong BC([0,∞);R n ).
Bổ đề 1.2.9 Độ đo không compact χ ∗ có tính chất nửa chính quy.
Chứng minh rằng tập con bị chặn ChoD ⊂BC([0,∞);R n) với χ ∗ (D) > 0 là một tập compact tương đối Xét không gian P BC([0,∞);R n) gồm các hàm bị chặn, liên tục từng khúc trên R + với giá trị trong R n Không gian này là một không gian Banach với chuẩn kxk P BC = sup t≥0 kx(t)k và chứa không gian con đóng BC([0,∞);R n).
Với > 0, vìd ∞ (D) = 0nên ta có thể chọnT > 0sao chosup t≥T kx(t)k< /2 với mọi x ∈D Từ đó kx−π T (x)k P BC < /2, ∀x∈ D, ở đó π T là hàm của P BC([0,∞);R n ) xác định bởi π T (x)(t)
Vì D bị chặn và χ T (D) = 0, theo định lý Arzelà-Ascoli, tập π T (D) là compact tương đối trong C([0, T];R n) Do đó, chúng ta có π T (D) nằm trong hợp của các hình cầu B T (x i , /2), với x i ∈ C([0, T];R n) cho i = 1, , N, và B T (x, r) là hình cầu có tâm x và bán kính r trong C([0, T];R n).
0, t > T; khi đó {ˆx i } N i=1 ⊂ P BC([0,∞);R n ) Ta suy ra rằng
D ⊂ ∪ N i=1 B ∞ (ˆx i , ), ở đây B ∞ (x, r) là hình cầu trong P BC([0,∞);R n ) tâm x bán kính r Ta thấy rằng nếu x∈ D thì tồn tại k ∈ {1,2, , N} sao cho kπ T (x)−x k k C < /2, ở đú k ã k C là chuẩn trong C(J;R n ) Ta suy ra kπ T (x)−xˆ k k P BC < /2.
Từ đó dẫn đến kx−xˆ k k P BC ≤ kx−π T (x)k P BC +kπ T (x)−xˆ k k P BC ≤/2 +/2 =.
Vì x thuộc vào B ∞ (ˆx k), ta có D là tập hợp con của ∪ N i=1 B ∞ (ˆx i), cho thấy D là tập compact tương đối trong P BC([0,∞);R n) Để chứng minh D cũng compact tương đối trong BC([0,∞);R n), cần lưu ý rằng với mỗi dãy {x n} thuộc D, tồn tại một hàm x thuộc tập hợp này.
P BC([0,∞);R n ) sao cho n→∞lim kx n −xk P BC = lim n→∞sup t≥0 kx n (t)−x(t)k= 0.
Vậy dãy {x n } hội tụ đến x đều trên R + Vì x n liên tục nên x liên tục, do đó x∈BC([0,∞);R n ) Bổ đề được chứng minh.
GIẢI TÍCH ĐA TRỊ, ÁNH XẠ NÉN VÀ CÁC ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG
Một số vấn đề về giải tích đa trị
Định nghĩa 1.3.1 Ánh xạ đa trị F : Y → P(E) được gọi là:
(i) nửa liên tục trên nếu F −1 (V) = {y ∈ Y : F(y)∩V 6=∅} là tập con đóng của Y với mọi tập đóng V ⊂ E;
(ii) nửa liên tục trên yếu nếuF −1 (V) là tập con đóng của Y với mọi tập đóng yếu V ⊂E;
(iii) đóng nếu đồ thị Γ F ={(y, z) : z ∈ F(y)} là tập đóng trong Y ×E;
(iv) compact nếu F(Y) compact tương đối trong E;
(v) tựa compact nếu ánh xạ hạn chế trên một tập con compact A ⊂Y bất kì là compact.
Ta có kết quả sau về điều kiện đủ cho tính nửa liên tục trên của một ánh xạ đa trị.
Bổ đề 1.3.2 ([33, Định lý 1.1.12]) Cho G : Y → P(E) là ánh xạ đa trị đóng, tựa compact và có giá trị compact Khi đó G là nửa liên tục trên.
Bổ đề 1.3.3 khẳng định rằng trong không gian Banach E và tập rỗng Ω thuộc không gian Banach X, nếu G : Ω → P(E) là ánh xạ đa trị lồi và compact yếu, thì G nửa liên tục trên yếu nếu và chỉ nếu với dãy {x n } ⊂ Ω hội tụ về x 0 ∈ Ω và y n ∈ G(x n ), tồn tại dãy con của y n hội tụ yếu về y 0 ∈ G(x 0 ).
Hàm F : [0, T] → K(E) được gọi là hàm đo được mạnh nếu tồn tại một dãy các hàm đa trị bậc thang {F n } ∞ n=1 sao cho khoảng cách Hausdorff h(Fn(t), F(t)) tiến tới 0 khi n tiến tới vô cùng, với h.k n.t ∈ J Ngoài ra, hàm f : [0, T] → E được xem là hàm chọn đo được (hoặc đo được mạnh) của hàm đa trị F : [0, T] → Kv(E) nếu f là hàm đo được (hoặc đo được mạnh) và f(t) thuộc F(t) h.k.n t ∈ [0, T].
Tập hợp các hàm chọn đo được của F được ký hiệu là S F Một tập con D trong L 1 (J;E) được gọi là nửa compact nếu nó bị chặn tích phân và tập D(t) = {f(t) : f ∈ D} là compact tương đối trong E với hầu hết các t thuộc J.
Nếu {f n} là một dãy nửa compact trong L1 (J;E), thì {f n} sẽ là compact yếu Một họ đếm được các hàm {f n} ∞ n=1 ⊂ S F được gọi là một biểu diễn Castaing của F.
Bổ đề sau được suy ra từ [33, Bổ đề 1.3.3].
Bổ đề 1.3.8 Nếu E là không gian Banach và F : J → K(E) là hàm đa trị đo được mạnh thì F có biểu diễn Castaing.
Ánh xạ nén và một số định lý điểm bất động
Ánh xạ F : Z ⊆ E → P(E) được gọi là ánh xạ nén theo độ đo β (β-nén) nếu với tập bị chặn Ω⊂Z, bất đẳng thức β(Ω)≤ β(F(Ω)) dẫn đến tính compact tương đối của Ω.
Với β là một độ đo đơn điệu và không suy biến trong không gian E, theo Hệ quả 3.3.1 và Mệnh đề 3.5.1 trong tài liệu [33], ta có thể rút ra định lý điểm bất động Định lý 1.3.10 khẳng định rằng cho M là một tập con khác rỗng, lồi, đóng và bị chặn của E.
F : M → Kv(M) là ánh xạ đóng và β-nén Khi đó, Fix(F) := {x ∈ F(x)} là tập khác rỗng và compact.
Các nguyên lý điểm bất động sau đây được coi là hệ quả của Định lý 1.3.10. Định lý 1.3.11 Cho M là một tập con khác rỗng, lồi, compact trong E và
F : M → P(M) là một ánh xạ đa trị đóng với giá trị lồi, dẫn đến việc Fix(F) là một tập khác rỗng Định lý 1.3.12 khẳng định rằng nếu M là một tập con khác rỗng, lồi, đóng và bị chặn của E, thì sẽ có những kết quả quan trọng liên quan đến ánh xạ này.
F : M → M là một ánh xạ liên tục và β-nén, dẫn đến việc Fix(F) là một tập compact khác rỗng Định lý điểm bất động này là một trường hợp đặc biệt của định lý đã được đề cập Cụ thể, nếu M là một tập khác rỗng, lồi, đóng và bị chặn trong không gian Banach E, và ánh xạ đa trị F : M → P(M) là một ánh xạ compact và nửa liên tục trên với giá trị lồi, compact, thì Fix(F) sẽ là một tập compact khác rỗng.
TẬP HÚT TOÀN CỤC CỦA NỬA DÒNG ĐA TRỊ
Trong phần này, chúng ta sẽ xem xét lại các khái niệm liên quan đến nửa dòng đa trị và tập hút toàn cục cho nửa dòng đa trị, theo lược đồ của Melnik và Valero Giả sử Γ là một nửa nhóm con không tầm thường thuộc nửa nhóm cộng tính các số thực.
R và Γ + = Γ∩[0,∞). Định nghĩa 1.4.1 Ánh xạ G: Γ + ×E → P(E) được gọi là một nửa dòng đa trị nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
Nửa dòng đa trị G được gọi là ngặt nếu G(t 1 +t 2 , w) = G(t 1 , G(t 2 , w)) với mọi w∈ E và t 1 , t 2 ∈Γ + G được gọi là bị chặn chung cuộc nếu với mỗi tập bị chặn
B ⊂ E, tồn tại số T(B) > 0 sao cho γ T + (B) (B) là bị chặn Ở đây, γ T + (B) (B) là tập các quỹ đạo sau thời điểm T(B) : γ T + (B) (B) = S t≥T (B)
G(t, B) G được gọi là tiệm cận trên nửa compact nếu với mỗi B là một tập đóng trong E sao cho với
T(B) >0, γ T + (B) (B) bị chặn, thì mỗi dãy {ξ n }, ξ n ∈ G(t n , B) với t n → ∞ là tiền compact trong E.
Mệnh đề 1.4.2 chỉ ra rằng nếu G(t,ã) : E → P(E) là compact khi t=t1 với t1 ∈Γ\ {0}, thì nửa dòng đa trị G là nửa compact tiệm cận trên Định nghĩa 1.4.3 mô tả rằng một tập bị chặn B1 ⊂ E được gọi là tập hấp thụ của nửa dòng đa trị G nếu với mỗi tập bị chặn B ⊂ E, tồn tại τ = τ(B) ≥ 0 sao cho γτ(B) + (B) ⊂ B1 Cuối cùng, định nghĩa 1.4.4 nêu rõ rằng tập con A ⊂ E được gọi là tập hút toàn cục của nửa dòng đa trị G nếu nó thỏa mãn các điều kiện nhất định.
1 A hút mọi tập B ∈ B(E), nghĩa là dist(G(t, B), A) → 0 khi t → ∞,với mọi tập bị chặn B ⊂ E, trong đú dist(ã,ã) kớ hiệu nửa khoảng cỏchHausdorff của hai tập con trong E;
Nửa bất biến âm A, với A ⊂ G(t,A) cho mọi t ∈ Γ+, cho thấy sự tồn tại của tập hút toàn cục cho nửa dòng đa trị G Định lý 1.4.5 cung cấp điều kiện đủ để khẳng định tính chất này của nửa dòng đa trị G.
1) G(t,ã) là nửa liờn tục trờn và cú giỏ trị đúng với mỗi t∈ Γ + ;
2) G là tiêu hao điểm, tức là tồn tạiK >0 sao cho vớiw∈ E, u(t)∈ G(t, w), thì ku(t)k E ≤ K với t≥ t 0 (kwk E );
3) G là tiệm cận trên nửa compact.
Nếu G là bị chặn chung cuộc, thì nó có một tập hút toàn cục compact A trong
E Hơn nữa, nếu G là một nửa dòng ngặt, thì A là bất biến, tức là A=G(t,A) với mỗi t∈Γ +
MỘT SỐ KẾT QUẢ BỔ TRỢ
Một số bất đẳng thức thường dùng
Ta đưa ra một vài bất đẳng thức quan trọng được sử dụng trong luận án: bất đẳng thức Gronwall, bất đẳng thức Halanay ([28, 29]), bất đẳng thức Poincaré ([48]).
Bất đẳng thức Gronwall khẳng định rằng nếu x(t) là một hàm liên tục tuyệt đối trên đoạn [0;T] và thỏa mãn điều kiện dx/dt ≤ g(t)x + h(t) với g(t) và h(t) là các hàm khả tích trên [0;T], thì x(t) không vượt quá x(0)e^G(t) + t.
? Bất đẳng thức Gronwall dạng tích phân: Cho x(t) là một hàm khả tích, không âm trên [0;T] và thỏa mãn bất đẳng thức tích phân x(t) ≤C 1 +C 2 t
0 x(s)ds, với hầu khắp t và với C 1 , C 2 là các hằng số không âm Khi đó x(t) ≤ C 1 (1 +C 2 te C 2 t ), với hầu khắp t,0≤t ≤T.
?Bất đẳng thức Halanay: Giả sửf : [t 0 −τ, T) →R + ,0≤t 0 < T < +∞ thỏa mãn phương trình vi phân hàm sau f 0 (t) ≤ −γf(t) +ν sup s∈[t−τ,t] f(s), với t ≥t 0 , ở đó γ > ν >0 Khi đó f(t) ≤κe −`(t−t 0 ) , t ≥t 0 , ở đây κ= sup s∈[t 0 −τ,t 0 ] f(s) và ` là một nghiệm của phương trình γ =`+νe −`τ
?Bất đẳng thức Poincaré: ChoΩlà một miền bị chặn trongR n có đường kính không quá d Khi đó tồn tại hằng số C chỉ phụ thuộc k và d sao cho
|D α u| 2 dx với mọi u∈ H 0 k (Ω) Trong trường hợp k = 1, C = λ −1 1 trong đó λ 1 chính là giá trị riêng đầu tiên của toán tử Laplace −∆ D với điều kiện biên Dirichlet.
Một số bổ đề và định lý
Bổ đề 1.5.1 (Bổ đề Mazur) khẳng định rằng, trong không gian Banach X, nếu có một dãy u n *u,¯, thì tồn tại một hàm N : N → N và một dãy các tập số thực không âm {α(n) k } N k=n Các giá trị này thỏa mãn điều kiện P N (n) k=n αk(n) = 1 và v n : N (n).
Trong không gian metric compact X, một tập con D của C(X;Y) được coi là compact tương đối nếu và chỉ nếu nó đồng liên tục và có lát cắt hoàn toàn bị chặn, theo định lý Arzelà-Ascoli Điều này cung cấp một tiêu chuẩn quan trọng để xác định tính compact của các tập hợp trong không gian các hàm liên tục.
Một số không gian hàm
Cho Ω là một miền bị chặn trong R n Trong luận án này, ta sử dụng một số không gian hàm Sobolev quan trọng sau đây:
1 L 2 (Ω) là không gian bao gồm tất cả những hàm u khả tích cấp 2 theo Lebesgue trong Ω với chuẩn kuk L 2 (Ω) Z
2 L ∞ (Ω) là không gian bao gồm các hàm đo được và bị chặn hầu khắp nơi trên Ω với chuẩn kuk ∞ =esssup x∈Ω
3 H 1 (Ω)là không gian bao gồm tất cả những hàmu∈L 2 (Ω)sao chou x i (x) ∈
L 2 (Ω),∀1≤i ≤ n và có chuẩn được cho bởi công thức kuk H 1 (Ω) Z
4 H 0 1 (Ω) là bao đóng của C 0 ∞ (Ω) trong chuẩn của H 1 (Ω);
5 H −1 (Ω) là không gian đối ngẫu của H 0 1 (Ω).
Ngoài ra, ta cần sử dụng một số không gian hàm phụ thuộc thời gian sau:
1 L p (0, T;E), 1≥p < ∞ là không gian với chuẩn kuk Z T 0
2 W 1,p ([0, T];E) là không gian bao gồm các hàm u : (0, T) → E sao cho u ∈L p (0, T;E) và u 0 ∈L p (0, T;E) với chuẩn kuk W 1,p ([0,T ];E) Z T 0
3 W 1,p ((0, T];E) là không gian bao gồm các hàm u : (0, T) → E sao cho u ∈L p (0, T;E) và u 0 ∈L p (δ, T;E),∀δ ∈(0, T).
BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIỀU 41
ĐẶT BÀI TOÁN
Ta nghiên cứu bất đẳng thức vi biến phân có dạng: x 0 (t) = Ax(t) + h(x(t)) + B(x(t), x t )u(t), với t thuộc [0, T] Bất đẳng thức này yêu cầu rằng hvưu(t), F(x(t)) + G(u(t))i ≥ 0 cho mọi v thuộc K, hầu hết với t trong khoảng [0, T] Điều kiện biên được xác định bởi x(s) = ϕ(s) với s thuộc [-τ, 0] Trong đó, T và τ đều lớn hơn 0, x(t) thuộc R n, u(t) thuộc K, với K là một tập hợp con lồi đóng trong R m Hàm x t đại diện cho quá khứ của trạng thái tại thời điểm t, được định nghĩa là x t (s) = x(t+s) với s thuộc [-τ, 0]; A, B, F, G và h là các ánh xạ đã cho.
SỰ TỒN TẠI NGHIỆM
J = [0, T], C T =C([0, T];R n ), C τ =C([−τ,0];R n ), C =C([−τ, T];R n ). Chúng tôi đưa ra các giả thiết sau để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán. (H1) Toán tử A: R n → R n là tuyến tính trên R n
(H2) Ánh xạ B : R n ×C τ → R n×m là liên tục sao cho tồn tại các hằng số dương η B và ζ B thỏa mãn kB(v, w)k ≤ η B (kvk+kwk C τ ) +ζ B , với mọi v ∈R n , w ∈C τ
(H3) Hàm F : R n → R m liên tục và tồn tại số η F dương sao cho kF(v)k ≤ η F với mọi v ∈R n
(H4) Hàm G: K →R m là liên tục thỏa mãn:
1 G đơn điệu trên K, nghĩa là: hu−v, G(u)−G(v)i ≥ 0,∀u, v∈ K;
2 tồn tại v 0 ∈K sao cho lim v∈K,kvk→∞ hv−v 0 , G(v)i kvk 2 > 0.
Hàm h: R n → R n được coi là liên tục nếu tồn tại hai hằng số dương η h và ζ h thỏa mãn điều kiện kh(u)k ≤ η h kuk + ζ h với mọi u ∈ R n Nghiệm của bài toán (2.1)-(2.3) được định nghĩa như sau: Cặp hàm (x, u) với x: [−τ, T] → R n là hàm liên tục tuyệt đối và u: [0, T] → K là hàm khả tích, được xem là nghiệm của bất đẳng thức biến phân (2.1)-(2.3) nếu x(t) = e tA ϕ(0) + t.
0 e (t−s)A h(x(s))ds, t ∈J, hvưu(t), F(x(t)) +G(u(t))i ≥0, với hầu khắp t∈ J và với mọi v ∈K, x(s) =ϕ(s), s ∈[−τ,0].
Với mỗi hàm Q :R m → R m , kí hiệu SOL(K, Q) là tập nghiệm của bất đẳng thức biến phân hw−v, Q(v)i ≥ 0,∀w ∈K.
Dựa vào [49, Mệnh đề 6.2], ta thu được tính chất sau của tập nghiệm SOL(K, Q).
Bổ đề 2.2.2 khẳng định rằng nếu điều kiện (H4) được thỏa mãn, thì với mọi z ∈ R m, tập nghiệm SOL(K, z+G(ã) không chỉ là khác rỗng mà còn lồi và compact Hơn nữa, tồn tại một số η G >0 sao cho kvk ≤ η G (1 +kzk) với mọi v ∈ SOL(K,z + G(ã)) Để xây dựng lược đồ cho tính giải được của hệ (2.1)-(2.3), chúng ta sẽ biến đổi DVI đã cho thành một bao hàm thức vi phân.
Theo Bổ đề 2.2.2, toán tử U : R m → P(R m ) là một ánh xạ lồi và đóng Hơn nữa, U cũng là một ánh xạ đóng Dựa vào (2.4), ta nhận thấy rằng U là một toán tử bị chặn địa phương, do đó theo Bổ đề 1.3.2, nó có tính chất nửa liên tục.
Bây giờ ta định nghĩa Φ : R n ×C τ → P(R n ) như sau: Φ(v, w) ={B(v, w)y +h(v) :y ∈U(F(v))}.
Do toán tử B(v, w) là tuyến tính với mỗi v ∈ R n và w ∈ C τ, cùng với việc U có giá trị lồi, đóng, ta có thể kết luận rằng Φ cũng có giá trị lồi, đóng Hơn nữa, nhờ vào tính liên tục của các ánh xạ B, F, h và tính nửa liên tục trên của ánh xạ đa trị U, ánh xạ đa trị hợp thành Φ cũng sở hữu tính chất nửa liên tục trên.
Từ các thiết lập trên, bất đẳng thức vi biến phân (2.1)-(2.3) được chuyển về bao hàm thức vi phân sau x 0 (t) ∈Ax(t) + Φ(x(t), xt), t∈ J, (2.5) x(t) =ϕ(t), t∈ [−τ,0], (2.6) u(t)∈ U(x(t)) (2.7)
Khi đó, ta nhận thấy rằng nếu (x, u) là một nghiệm của (2.1)-(2.3) thì x ∈ C được cho bởi công thức dưới đây x(t) =e tA ϕ(0) + t
Nếu x ∈ C là nghiệm của hệ phương trình (2.8)-(2.9), thì bất đẳng thức vi biến phân (2.1)-(2.3) sẽ có một nghiệm (x, u) Điều này được khẳng định bởi tính chất nửa liên tục trơn của ánh xạ đa trị U và tính liên tục của hàm F, dẫn đến sự tồn tại của hàm khả tích u(t) trên khoảng [0, T] sao cho u(t) thuộc U(F(x(t))) Như vậy, hàm u không chỉ khả tích mà còn thỏa mãn bất đẳng thức biến phân.
Cho y ∈C T và ϕ ∈C τ , ta định nghĩa hàm y[ϕ] ∈ C như sau y[ϕ](t)
Với mỗi ϕ ∈C τ cho trước, ta định nghĩa toán tử nghiệm F : C T → P(C T ) như sau
Khi đó y ∈ C T là một điểm bất động của ánh xạ F nếu và chỉ nếu y[ϕ] là một nghiệm của (2.8)-(2.9).
Bổ đề 2.2.3 Với các giả thiết (H2)-(H5), ánh xạ P Φ được xác định và có tính chất nửa liên tục trên yếu.
Chứng minh Dựa trên kết quả của Bổ đề 2.2.2, ta có kΦ(v, w)k:= sup{kzk: z ∈Φ(v, w)}
Vì Φ là nửa liên tục trên với giá trị lồi và compact, ánh xạ đa trị Λ(t) Φ(x(t), x t ) được xác định là đo được mạnh Theo Bổ đề 1.3.8, Φ có biểu diễn Castaing, dẫn đến P Φ (x) không rỗng với x thuộc tập C.
Khẳng định thứ hai được chứng minh thông qua Bổ đề 1.3.3, với tập {x k } ⊂ C sao cho xk → x ∗ và fk ∈ P Φ (xk) Từ đó, fk(t) ⊂ C(t) : Φ({x k (t),(x k ) t }) và C(t) là tập compact cho mỗi t∈ J Theo (2.11), {f k } bị chặn tích phân, dẫn đến {f k } là tập compact yếu trong L 1 (J;R n ) Do đó, tồn tại f ∗ ∈L 1 (J;R n ) sao cho f k * f ∗ trong L 1 (J;R n ) Áp dụng Bổ đề Mazur, có f¯ k ∈ co{fi :i ≥ k} sao cho f¯ k → f ∗ trong L 1 (J;R n ) và f¯ k (t) → f ∗ (t) với hầu khắp t ∈ J Tính nửa liên tục trên của ánh xạ đa trị Φ cho thấy với mỗi >0, Φ(x k (t),(x k ) t )⊂ Φ(x ∗ (t), x ∗ t ) +B với mọi k đủ lớn, trong đó B là hình cầu mở trong R n Từ đó, suy ra f k (t) ∈Φ(x ∗ (t), x ∗ t ) +B và f¯ k (t) ∈Φ(x ∗ (t), x ∗ t ) +B với hầu khắp t ∈J Kết luận cuối cùng dẫn đến f ∗ (t) ∈ Φ(x ∗ (t), x ∗ t ) +B với hầu khắp t ∈ J, từ đó suy ra f ∗ ∈ P Φ (x ∗ ) và tính nửa liên tục yếu của ánh xạ.
Bổ đề 2.2.4 Toán tử W được xác định bởi (2.10) là một toán tử compact.
Chúng ta chứng minh rằng W(Ω) là compact tương đối trong C T với mọi tập bị chặn Ω ⊂ L 1 (J;R n ) Cụ thể, W(Ω)(t) bị chặn trong R n và có tính chất đồng liên tục nhờ nửa nhóm S(t) = e tA liên tục theo chuẩn Theo định lý Arzelà-Ascoli, điều này dẫn đến kết luận W(Ω) là compact tương đối trong C T, từ đó khẳng định W là một toán tử compact.
Bổ đề 2.2.5 Giả sử các điều kiện (H1)-(H5) được thỏa mãn Khi đó toán tử nghiệm F là compact và có đồ thị đóng.
Chứng minh rằng W là một tập hợp compact cho phép chúng ta dễ dàng xác minh rằng F(B) là tập hợp compact tương đối với mọi tập bị chặn B ⊂ C T Do đó, F được xác định là một ánh xạ đa trị compact.
Bây giờ lấy {x k } ⊂ C T , x k → x ∗ , y k ∈ F(x k [ϕ]) và y k → y ∗ Chúng ta sẽ chỉ ra rằng y ∗ ∈ F(x ∗ ) Lấy f k ∈ P Φ (x k [ϕ]) sao cho y k (t) =e tA ϕ(0) +W(f k )(t), t∈ J (2.12)
Dựa vào tính nửa liên tục yếu của P Φ và tính compact của {x k }, chúng ta suy ra rằng {f k } là một dãy compact yếu, cho phép giả sử rằng f k * f ∗ thuộc L 1 (J;R n ) Hơn nữa, f ∗ thuộc P Φ (x ∗ [ϕ]) Từ tính compact của W, chúng ta có W(f k ) hội tụ đến W(f ∗ ) trong C T Khi chuyển qua giới hạn đẳng thức (2.12) khi k tiến tới vô cực, ta nhận được y ∗ (t) = e tA ϕ(0) + W(f ∗ )(t), với t thuộc J.
Theo định lý 2.2.6, nếu các điều kiện (H1)-(H5) được thỏa mãn, bài toán (2.5)-(2.6) sẽ có ít nhất một nghiệm trong khoảng [−τ, T] Hơn nữa, tập nghiệm của bài toán này là một tập compact trong không gian C Điều này dẫn đến việc chứng minh tính giải được của bất đẳng thức vi biến phân (2.1)-(2.3) trong không gian C × L1([0, T]; K).
Để chứng minh rằng Fix(F) khác rỗng, chúng ta cần tìm một tập lồi, đóng, bị chặn M 0 thuộc C T sao cho F(M 0 ) nằm trong M 0 Bắt đầu với y thuộc F(x), từ định nghĩa của toán tử nghiệm và ước lượng của ánh xạ Φ, có tồn tại một hàm f thuộc P Φ(x[ϕ]) sao cho ky(t)k = ke tA ϕ(0) + t.
[(η+η h )kx(s)k+ηkx[ϕ] s k C τ +η G (1 +η F )ζ B +ζ h ]ds, với mọi t ∈J, ở đó M = sup t∈J ke tA k, η =η G (1 +η F )η B Mặt khác, ta có kx[ϕ] s k C τ = sup θ∈[−τ,0] kx[ϕ](s+θ)k ≤ kϕk C τ + sup ρ∈[0,s] kx(ρ)k, từ đó suy ra ky(t)k ≤M 1 +M
Z t 0 sup ρ∈[0,s] ku(ρ)kds, ở đây M 1 =Mkϕ(0)k+M T[ηkϕk C τ +η G (1 +η F )ζ B +ζ h ] Do vế phải của bất đẳng thức cuối cùng không giảm theo t, ta nhận được sup ρ∈[0,t] ky(ρ)k ≤ M 1 +M(2η+η h ) t
M 0 ={x∈ C T : sup s∈[0,t] kx(s)k ≤ ψ(t), t ∈ [0, T]}, với ψ là nghiệm duy nhất của phương trình tích phân ψ(t) =M 1 +M(2η +η h )
Ta thấy rằng M 0 là một tập đóng, lồi trong C T và ước lượng (2.13) suy ra rằng
F(M 0 ) ⊂ M 0 Áp dụng Định lý 1.3.13, tồn tại hàm liên tục x trên [−τ, T] là điểm bất động của ánh xạ F Định lý được chứng minh.
SỰ TỒN TẠI NGHIỆM PHÂN RÃ
Trong phần này, chúng tôi chứng minh bài toán (2.5) có một nghiệm phân rã với tốc độ mũ Với mỗi số dương γ và hàm ϕ ∈C τ , kí hiệu
Khi đú, B γ ϕ (R) cựng với chuẩn supremum k ã k BC là một tập con đúng của BC([0,∞);R n )vàB ϕ γ (R)là tập các hàm phân rã tốc độ mũ trongBC([0,∞);R n ).
Chúng ta sẽ phân tích toán tử nghiệm F trên không gian B ϕ γ (R) Để chứng minh sự tồn tại của nghiệm có tính phân rã, các giả thiết (H1), (H2) và (H5) sẽ được thay thế bằng những giả thiết mạnh mẽ hơn.
(H1*) Toán tử A là tuyến tính trên R n sao cho tồn tại a >0 : h−Az, zi ≥akzk 2 với mọi z ∈ R n
(H2*) Ánh xạ B thỏa mãn (H2) với ζ B = 0.
Bổ đề 2.3.1 Giả sử (H1*), (H2*), (H3)-(H4) và (H5*) được thỏa mãn Khi đó nếu η G (1 +η F )η B (1 +e γτ ) +η h +γ < a (2.14) thì F(B ϕ γ (R))⊂ B ϕ γ (R) với số R >0 nào đó.
Chứng minh Do (H1*) ta có ke tA k ≤ e −at , t ≥0 (2.15)
Giả sử ngược lại rằng: với mỗi số n ∈ N tồn tại x n ∈ B ϕ γ (n) và y n ∈ F(x n ) với y n 6∈B ϕ γ (n) Khi đó tồn tại hàm khả tích f n ∈ P Φ (x n [ϕ]) sao cho y n (t) =e tA ϕ(0) + t
Ta sử dụng (2.15) và ước lượng (2.11) để nhận được ky n (t)k ≤ e −at kϕk C τ +η G (1 +η F )η B t
Dễ thấy e γt kx n (t)k ≤ n với mọi t ≥0 Khi đó với mọi t ≥τ, ta có e γt kx n [ϕ] t k C τ =e γt sup ρ∈[−τ,0] kx n (t+ρ)k
≤ne γτ Mặt khác, với mỗi t ∈[0, τ] ta có e γt kx n [ϕ] t k C τ ≤ e γτ kϕk C τ Vì vậy, e γt kx n [ϕ] t k C τ ≤ e γτ (n+kϕk C τ ) với mọi t≥0.
Kết hợp với (2.16) ta suy ra rằng e γt ky n (t)k ≤ e −(a−γ)t kϕk C τ + [η G (1 +η F )η B +η h ] t
Chuyển qua giới hạn bất đẳng thức (2.17), khẳng định nhận được mâu thuẫn với giả thiết (2.14) Bổ đề được chứng minh.
Trong phần này, chúng tôi trình bày định lý chính về sự tồn tại nghiệm phân rã của hệ động lực liên kết với bất đẳng thức vi biến phân (2.1)-(2.3) Kí hiệu phép chiếu Π: BC([−τ,∞];R n )×L 1 loc (R + ;R) → BC([−τ,∞];R n ) được xác định bởi Π(x, u) := x Định lý 2.3.2 nêu rằng nếu các điều kiện (H1*)-(H2*), (H3)-(H4), (H5*) được thỏa mãn và tồn tại một số γ > 0 sao cho η G (1 +η F )η B (1 +e γτ ) +η h +γ < a, thì nghiệm phân rã tồn tại.
Khi đó tập nghiệm S của DVI (2.1)-(2.3) là khác rỗng Hơn nữa Π(S) là một tập compact, khác rỗng trên BC([−τ,∞];R n ) và e γt kx(t)k=O(1) khi t→ ∞, với mọi x∈Π(S).
Chứng minh Xét ánh xạ F : B ϕ γ (R) → P(B ϕ γ (R)), với số R > 0 được xác định trong Bổ đề 2.3.1 Bởi Định lý 1.3.13, để chỉ ra sự tồn tại điểm bất động của
Để chứng minh rằng F trên B ϕ γ (R) là compact và nửa liên tục trên, trước tiên chúng ta cần chỉ ra rằng F là compact Cụ thể, cho D ⊂ B ϕ γ (R), chúng ta sẽ chứng minh rằng F(D) là compact, tức là χ ∗ (F(D)) = 0.
Bằng lập luận tương tự như trong chứng minh của Bổ đề 2.2.5, ta có χ T (π T (F(D))) = 0.
Ta còn phải chỉ ra rằng d ∞ (F(D)) = 0 Lấy x∈D và y ∈ F(x) Khi đó bởi Bổ đề 2.3.1 ta có ky(t)k ≤Ce −γt ,∀t≥ 0, ở đó C = C(R, a, γ, η B , η F , η G , η h ) Vì vậy với mỗi T > 0, ta suy ra sup t≥T ky(t)k ≤ Ce −γT ,∀y ∈D.
Từ đó d T (D) ≤ Ce −γT , ta suy ra d ∞ (D) = lim
Khi T tiến tới vô cùng, ta có T →∞d T (D) = 0, từ đó kết hợp với (2.18) dẫn đến χ ∗ (F(D)) = 0 Điều này cho thấy F(D) là một tập compact tương đối nhờ vào tính nửa chính quy của độ đo χ ∗ (theo Bổ đề 1.2.9) Để chứng minh rằng F là nửa liên tục, cần chỉ ra rằng F có đồ thị đóng, và quá trình chứng minh sẽ tương tự như trong Bổ đề 2.2.5.
TẬP HÚT TOÀN CỤC CHO NỬA DÒNG ĐA TRỊ SINH BỞI
Trong phần này, chúng ta sẽ nghiên cứu sự tồn tại của tập hút toàn cục cho thành phần tiến hóa của bất đẳng thức vi biến phân Cụ thể, chúng ta sẽ khảo sát nửa dòng đa trị sinh ra từ bao hàm thức vi phân Dựa vào Định lý 2.2.6, chúng ta sẽ tiến hành các phân tích cần thiết.
G(t, ϕ) ={x t :x[ϕ] là một nghiệm của (2.5)−(2.6) trên [−τ, T] với mọi T >0}.
Nửa dòng đa trị sinh bởi hệ vi phân (2.5)-(2.6) được chứng minh là ngặt, theo lập luận tương tự như trong [43, Bổ đề 5].
Với mỗi ϕ∈ C τ , ta kí hiệu Σ(ϕ) ={x∈ C([0,∞);R n ) :x[ϕ] là một nghiệm của (2.5)-(2.6) trên [−τ, T] với mọi T >0}. Khi đó ta có π t ◦Σ(ϕ) ⊂S(ã)ϕ(0) +W ◦ P Φ (π t ◦Σ(ϕ)[ϕ]).
G(t, ϕ) được định nghĩa là tập hợp các giá trị x[ϕ] t với x thuộc Σ(ϕ) Theo Định lý 2.2.6, π t ◦Σ(ϕ) là tập con compact trong không gian C([0, t];R n) cho mọi t > 0, điều này cho thấy G(t, ϕ) cũng là tập compact trong C τ Do đó, G(t, ϕ) có giá trị compact, và các tính chất của G(t, ϕ) sẽ được trình bày trong các bổ đề sau đây.
Bổ đề 2.4.1 Giả sử (H1)-(H5) được thỏa món Khi đú ỏnh xạ đa trị G(t,ã) là compact với mỗi t > τ.
Chứng minh Lấy Ω là tập bị chặn trong C τ và {z n } là dãy trong G(t,Ω) Khi đó với mỗi số n, ta có thể tìm được các hàm ϕ n ∈ Ω và x n ∈ Σ(ϕ n ) sao cho z n =x n [ϕ n ] t
Bởi vì t > τ, ta có z n = x n (t+ã) = e (t+ã)A ϕ n (0) + W(f n )(t+ã), với f n ∈ P Φ (x n [ϕ n ]) Dãy {ϕ n (0)} ⊂ R n là dãy bị chặn và A sinh ra nửa nhóm compact, do đó tập hợp {e (t+ã)A ϕ n (0)} là compact tương đối trong C τ Mặt khác, theo ước lượng (2.11), vì {x n} là dãy bị chặn nên {f n} cũng là dãy bị chặn tích phân.
W là một toán tử compact, ta suy ra {W(f n )} là compact tương đối trong C τ
Từ đó suy ra dãy {z n } là dãy compact tương đối Bổ đề được chứng minh.
Hệ quả 2.4.2 Giả sử (H1)-(H5) được thỏa mãn Khi đó nửa dòng đa trị G là nửa compact tiệm cận trên.
Chứng minh Lấy t 1 > τ, ta cú G(t 1 ,ã) là toỏn tử compact do Bổ đề 2.4.1 Từ Mệnh đề 1.4.2, ta suy ra G là nửa compact tiệm cận trên.
Bổ đề 2.4.3 Giả sử (H1)-(H5) được thỏa món Khi đú G(t,ã) là nửa liờn tục trên với mỗi t ≥0.
Theo Bổ đề 1.3.2, vỡ G(t, ϕ) là ánh xạ đa trị compact, vì vậy cần chứng minh G(t, ϕ) đúng với mỗi t ≥ 0 Giả sử ϕ n hội tụ về ϕ ∗ trong không gian C τ và tồn tại z n ∈ G(t, ϕ n) sao cho z n hội tụ về z ∗ Chúng ta có thể chỉ ra rằng z ∗ thuộc G(t, ϕ ∗), tức là z ∗ = x ∗ [ϕ ∗] t với x ∗ ∈ Σ(ϕ ∗) Lấy dãy x n ∈ Σ(ϕ n) sao cho z n = x n [ϕ n] t, dẫn đến việc tồn tại f n ∈ P Φ (x n [ϕ n]) thỏa mãn x n = e(ϕ)A ϕ n (0) + W(f n).
Vì {ϕ n } bị chặn trong C τ, nên {x n } cũng là dãy bị chặn trong C(J;R n ) Điều này dẫn đến việc {f n } bị chặn khả tích trong L 1 (0, T;R n ) Từ tính compact của W, ta suy ra rằng {W(fn)} là tập compact tương đối trong C(J;R n ) Hơn nữa, {e (ã)A ϕ n (0)} là dãy hội tụ trong C([0, T];R n ), kết hợp với (2.19), ta có thể khẳng định rằng {x n } có một dãy con hội tụ.
Đặt x ∗ = lim n→∞x n trong C([0, T];R n ), ta có x n [ϕ n ] → x ∗ [ϕ ∗ ] trong C([−τ, T];R n ) Do P Φ là nửa liên tục trên yếu, áp dụng Bổ đề 1.3.3, ta suy ra sự hội tụ yếu theo dãy con: f n * f ∗ ∈ P Φ (x ∗ [ϕ ∗ ]) Từ giới hạn đẳng thức (2.19), ta có x ∗ =e (ã)A ϕ ∗ (0) +W(f ∗ ), với f ∗ ∈ P Φ (x ∗ [ϕ ∗ ]) Do đó, x ∗ [ϕ ∗ ] là một nghiệm của (2.5)-(2.6) và x ∗ [ϕ ∗ ] t ∈ G(t, ϕ ∗ ) Rõ ràng rằng z n =x n [ϕ n ] t → z ∗ =x ∗ [ϕ ∗ ] t và z ∗ ∈G(t, ϕ ∗ ).
Để chứng minh Bổ đề, ta cần áp dụng Định lý 1.4.5 nhằm xác định sự tồn tại của tập hút toàn cục cho nửa dòng đa trị G Điều này yêu cầu chứng minh rằng G có một tập hấp thụ trong C τ, và kết quả này được thiết lập thông qua bất đẳng thức Halanay.
Bổ đề 2.4.4 Giả sử (H1*) và (H2)-(H5) được thỏa mãn Nếu
2η B η G (1 +η F ) +η h < a, thì tồn tại một tập hấp thụ cho nửa dòng đa trị G.
Chứng minh Với t > 0 và ϕ ∈ C τ , ta xét nghiệm x[ϕ] của bài toán được cho bởi x(t) =e tA ϕ(0) + t
0 e (t−s)A f(s)ds, x(t) =ϕ(t), t∈ [−τ,0], với f ∈ P Φ (x[ϕ]) Sử dụng (H1*) và bất đẳng thức (2.11), ta thu được kx(t)k ≤e −at kϕ(0)k
0 e −a(t−s) [(η+η h )kx(s)k+ηkx[ϕ] s k C τ +η G (1 +η F )ζ B +ζ h ]ds, ở đây η =η B η G (1 +η F ) Vì a−(2η+η h ) >0 nên ta có thể chọnR > 0sao cho η + η G (1 +η F )ζ B +ζ h
R = d < a− (η +η h ) Đầu tiên, chúng ta chứng minh rằng với mỗi ϕ ∈ C τ thỏa mãn kϕk C τ ≤ C, nghiệm x[ϕ] có tính chất: tồn tại t 0 > 0 sao cho kx[ϕ] t 0 k C τ ≤ R Giả sử ngược lại, với mọi t > 0, ta có kx[ϕ] t k C τ > R Khi đó, ta có ηkx[ϕ] s k C τ +η G (1 +η F )ζ B +ζ h ≤ dkx[ϕ] s k C τ, ∀s ≥ 0.
Do đó ta có kx(t)k ≤ e −at kϕ(0)k+ t
Khi đó kx(t)k ≤ y(t),∀t≥ −τ, từ đó ta suy ra ước lượng sau y 0 (t) ≤ −[a−(η+η h )]y(t) +d sup s∈[t−τ,t] y(s). Áp dụng bất đẳng thức Halanay, ta thu được kx(t)k ≤ kϕk C τ e −`t ≤Ce −`t ,∀t≥ 0, ở đây ` là một số dương.
Vậy kx t k C τ có giới hạn 0 khi t → ∞, suy ra tồn tại t 1 >0 sao chokx t 1 k C τ < R.
Với mỗi C > 0, nếu kϕk C τ < C thì tồn tại t₀ > 0 sao cho kx(t₀)k C τ ≤ R Bằng phương pháp phản chứng, ta chứng minh rằng kx(t)k C τ ≤ R với mọi t ≥ t₀ Giả sử ngược lại, tồn tại t₁ ≥ t₀ sao cho kx(t₁)k C τ ≤ R, nhưng kx(t)k C τ > R với mọi t ∈ (t₁, t₁ + θ), với θ > 0 Do x[ϕ] là nghiệm của bài toán trên khoảng [t₁, t₁ + θ), ta có x(t) = e^(t−t₁)Ax(t₁) + t.
Sử dụng lập luận tương tự như trên, ta thu được kx(t)k ≤ kx t 1 k C τ e −`(t−t 1 ) ≤ kx t 1 k C τ ≤ R, ∀t∈ [t 1 , t 1 +θ).
Do đó với mỗi t∈ [t 1 , t 1 +θ), ta có kx t k C τ = sup s∈[−τ,0] kx(t+s)k= sup r∈[t−τ,t] kx(r)k
= max{ sup r∈[t 1 −τ,t 1 ] kx(r)k, sup r∈[t 1 ,t] kx(r)k}
Từ đó, có thể rút ra mâu thuẫn, cho thấy rằng tồn tại một hình cầu với điểm gốc làm tâm và bán kính R, đây là một tập hợp hấp thụ của nửa dòng đa trị G, trong đó R được lựa chọn sao cho phù hợp.
Theo định lý 2.4.5, nếu các giả thuyết (H1*), (H2)-(H5) được thỏa mãn, thì tồn tại một tập hút toàn cục cho nửa dòng đa trị G được sinh ra bởi công thức (2.5), với điều kiện có ước lượng nhất định.
Chứng minh Kết luận của định lý được suy ra từ Hệ quả 2.4.2, Bổ đề 2.4.3 và
Trong chương này, chúng tôi đã thu được các kết quả chính bao gồm:
1) Chứng minh được sự tồn tại nghiệm toàn cục và tính chất của tập nghiệm đối với bài toán Cauchy (Định lý 2.2.6).
2) Chứng minh được sự tồn tại nghiệm phân rã của hệ động lực sinh bởi bất đẳng thức vi biến phân với mỗi giá trị ban đầu bất kì (Định lý 2.3.2).
3) Chỉ ra được sự tồn tại một tập hút toàn cục trong C τ của nửa dòng đa trị liên kết với hệ động lực sinh bởi bất đẳng thức vi biến phân (Định lý 2.4.5).
Kết quả nghiên cứu của chúng tôi trong chương này áp dụng cho lớp bài toán bù vi phân tuyến tính có trễ Cụ thể, chúng tôi đạt được các kết quả tương tự cho bài toán x 0 (t) = Ax(t) + h(x(t)) + B(x(t), x t)u(t), với t thuộc khoảng [0, T].
BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN DẠNG PARABOLIC-
ĐẶT BÀI TOÁN
Cho (X,k ã k X) là không gian Banach và (U,k ã k U) là không gian Banach phản xạ Chúng tôi xem xét bài toán sau: x₀(t)−Ax(t) ∈ F(x(t), u(t)), x(t) ∈ X, t ≥ 0, và B(u(t)) + ∂φ(u(t)) ∋ g(x(t), u(t)), u(t) ∈ U, t ≥ 0, với điều kiện x(0) = ξ Ở đây, x là hàm trạng thái thuộc X, u là hàm ràng buộc thuộc U Hàm đa trị F được định nghĩa trên X × U, và A là toán tử tuyến tính đóng sinh ra một C₀-nửa nhóm trong X Hàm φ: U → R là hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới với dưới vi phân ∂φ ⊂ U × U∗, trong đó U∗ là đối ngẫu của U.
U Ta kớ hiệu tớch vụ hướng của cặp đối ngẫu là hã,ãi Cỏc hàm B : U → U ∗ và g : X×U → U ∗ được cho trước với điều kiện cụ thể trong phần sau.
Bài toán (3.1)-(3.3) được xác định dưới dạng một bất đẳng thức vi biến phân suy rộng, trong đó hàm trạng thỏi x(ã) tuân theo một bao hàm parabolic, trong khi ràng buộc u(ã) thỏa mãn bất đẳng thức biến phân elliptic với các điều kiện phù hợp cho toán tử B Đặc biệt, khi K được chọn là tập lồi đóng trong U, thì φ= I K trở thành hàm chỉ của K.
Nếu x∈K, thì bài toán (3.1)-(3.3) được viết lại dưới dạng x 0 (t)−Ax(t) ∈F(x(t), u(t)), với x(t) ∈X và t≥ 0 Điều kiện hvưu(t), B(u(t))ưg(x(t), u(t))i ≥0 phải được thỏa mãn cho mọi v ∈ K Ngoài ra, điều kiện khởi đầu x(0) =ξ cũng cần được xác định Để đảm bảo tính giải được toàn cục cho bài toán (3.1)-(3.3), chúng ta sẽ đưa ra những điều kiện thích hợp và nghiên cứu dáng điệu nghiệm thông qua sự tồn tại của tập hút từ nửa dòng đa trị sinh ra bởi hệ động lực của DVI-PE.
SỰ TỒN TẠI NGHIỆM
Để nghiên cứu tính giải được cho bài toán (3.1)-(3.3), ta đưa ra các giả thiết như sau.
(A) Toán tử A sinh ra một C 0 -nửa nhóm {S(t)} t≥0 trên X.
(B) Toán tử B :U →U ∗ được xác định bởi hu, Bvi= b(u, v),∀u, v ∈U, ở đó b : U×U → R là hàm song tuyến tính trên U ×U sao cho tồn tại số dương η B thỏa mãn b(u, u)≥ η B kuk 2 U ,∀u∈U.
(F) Ánh xạ đa trị F : X × U → P(X) là nửa liên tục trên với giá trị lồi, compact Hơn nữa
Nếu nửa nhúm S(ã) không có tính compact, thì F thỏa mãn ước lượng χ(F(C, D)) ≤ pχ(C) + qU(D) với mọi tập bị chặn C ⊂ X và D ⊂ U, trong đó p, q là các hằng số dương; χ và U là các độ đo không compact Hausdorff trên các không gian X và U.
(2) Tồn tại các hằng số dương a, b, c sao cho kF(x, u)k:= sup{kξk X : ξ ∈F(x, u)} ≤ akxk X +bkuk U +c, với mọi x∈ X, y ∈U.
(G) Hàm g : X ×U → U ∗ là hàm liên tục Lipschitz, nghĩa là tồn tại hai số dương η 1 và η 2 sao cho kg(y, v)−g(¯y,v)k¯ U ∗ ≤ η 1 ky−yk¯ X +η 2 kv−vk¯ U , với mọi y,y¯∈ X và v,v¯∈U.
Với mỗi T > 0, kí hiệu P F là một ánh xạ đa trị được xác định bởi
Như vậy,P F (x, u)là tập cỏc hàm chọn khả tớch củaF(x(ã), u(ã))với mỗi(x, u) ∈ C([0, T];X)×L 1 (0, T;U).
Nghiệm yếu của bài toán (3.1)-(3.3) được định nghĩa như sau: Một cặp hàm (x, u) với x : [0, T] → X liên tục và u: [0, T] → U khả tích được coi là nghiệm yếu nếu tồn tại hàm chọn f thuộc P F (x, u) thỏa mãn điều kiện x(t) = S(t)ξ +.
Kí hiệu tập nghiệm của bất đẳng thức biến phân elliptic bởi
Sử dụng [9, Định lý 2.13], ta suy ra bổ đề dưới đây.
Bổ đề 3.2.2 Giả sử điều kiện (B) được thỏa mãn Khi đó với mỗi z ∈ U ∗ , tập nghiệm S(z) là tập đơn trị Hơn nữa, ánh xạ z 7→ S(z) là ánh xạ Lipschitz từ
U ∗ vào U, cụ thể ta có kS(z 1 )−S(z 2 )k U ≤ 1 η B kz 1 −z 2 k U ∗ ,∀z 1 , z 2 ∈U ∗ (3.8) Chứng minh Do tính cưỡng của toán tử B nên ta suy ra lim kyk U →∞
Từ đó bởi [9, Định lý 2.13], tập S(z) là đơn trị với mỗi z ∈U ∗ Tiếp theo, ta sẽ chỉ ra tương ứng z 7→ S(z) là liên tục Lipschitz.
Thật vậy, đặt u 1 =S(z 1 ), u 2 =S(z 2 ), sử dụng giả thiết (B) ta có b(u 1 , u 1 −v) +φ(u 1 )−φ(v) ≤ hu 1 −v, z 1 i,∀v ∈U, (3.9) và b(u 2 , u 2 −v) +φ(u 2 )−φ(v) ≤ hu 2 −v, z 2 i,∀v ∈U (3.10)
Lấy v = u 2 trong (3.9) và v =u 1 trong (3.10) sau đó cộng theo từng vế hai bất đẳng thức lại với nhau ta thu được b(u 1 −u 2 , u 1 −u 2 ) ≤ hu 1 −u 2 , z 1 −z 2 i.
Do giả thiết (B), ta cób(u 1 −u 2 , u 1 −u 2 ) ≥η B ku 1 −u 2 k 2 U Kết hợp với bất đẳng thức hu 1 −u 2 , z 1 −z 2 i ≤ ku 1 −u 2 kkz 1 −z 2 k, ta có ku 1 −u 2 k U ≤ 1 η B kz 1 −z 2 k U ∗
Bổ đề được chứng minh.
Bây giờ với mỗi y ∈X cho trước, ta xét bất đẳng thức biến phân sau:
Bổ để dưới đây chỉ ra sự tồn tại nghiệm và tính chất của ánh xạ nghiệm cho bao hàm thức (3.11).
Bổ đề 3.2.3 Giả sử (B) và (G) được thỏa mãn Hơn nữa giả sử rằng η 2 < η B Khi đó, với mỗi y ∈ X, tồn tại nghiệm duy nhất u ∈ U của (3.11) Ngoài ra, ánh xạ nghiệm
V: X → U y 7→ u, là liên tục Lipschitz, cụ thể ta có ước lượng sau kV(y 1 )−V(y 2 )k U ≤ η 1 η B −η 2 ky 1 −y 2 k X ,∀y 1 , y 2 ∈ X (3.12)
Chứng minh rằng S◦g(y,ã) có một điểm bất động duy nhất Chọn một điểm cố định trong X, xét ánh xạ hợp thành S◦g(y,ã) : U → U Theo (3.8), ta có kS(g(y, u 1 ))−S(g(y, u 2 ))k U ≤ 1 η B kg(y, u 1 )−g(y, u 2 )k U ∗.
Vỡ η 2 < η B nờn ỏnh xạ S◦ g(y,ã) là ỏnh xạ co Theo nguyờn lý ỏnh xạ co,
S◦g(y,ã) cú điểm bất động duy nhất Từ đõy ta suy ra tớnh duy nhất nghiệm của (3.11).
Ta còn phải chỉ ra rằng tương ứngy 7→ ulà Lipschitz ĐặtV(y 1 ) =u 1 ,V(y 2 ) u 2 Khi đó ta có ku 1 −u 2 k U =kS(g(y 1 , u 1 ))−S(g(y 2 , u 2 ))k U
Từ đó suy ra ku 1 −u2k U ≤ η 1 η B −η 2 ky 1 −y2k X
Bổ đề được chứng minh.
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ xem xét bất đẳng thức biến phân (3.7) trong không gian Hilbert U = V Đối với không gian V, V 0 được xác định là đối ngẫu của nó, trong khi H là không gian Hilbert đồng nhất với đối ngẫu H 0 Điều này dẫn đến việc hình thành một bộ ba tiến hóa quan trọng trong phân tích toán học.
Khi đó theo [9, Bổ đề 2.9], với mỗi z ∈ V 0 , tồn tại y ∈ V thỏa mãn (3.7) và
By ∈V 0 Một trong những câu hỏi tự nhiên được đặt ra là khi nào thì By∈ H. Bằng cách định nghĩa toán tử B H : H → H bởi
B H y = By với mỗi y ∈ D(B H) = {u ∈ U; Bu ∈ H} Dựa vào [9, Định lý 2.14], nếu tồn tại phần tử h ∈ H và số C ∈ R sao cho φ(I + λB H) −1(y + λh) ≤ φ(y) + Cλ, ∀λ > 0, y ∈ U, thì với mỗi z ∈ H, bất đẳng thức biến phân elliptic (3.7) có nghiệm u ∈ D(B H) Để giải bài toán (3.1)-(3.3), ta cần đưa nó về dạng bao hàm thức vi phân và xem xét ánh xạ đa trị.
Ta có G :X → P(X) là một hàm lồi và compact Nhờ giả thiết (F) và tính liên tục của V, ánh xạ hợp thành G là nửa liên tục trên Thêm vào đó, dựa vào ước lượng (3.12) và tính chất của độ đo không compact Hausdorff, ta có những kết quả quan trọng liên quan đến tính chất của G.
Trong trường hợp nửa nhúm S(ã) khụng compact, ta cú χ(G(B)) =χ(F(B,V(B)))
Về đánh giá tăng trưởng của G, sử dụng giả thiết (F)(2) ta có kG(y)k:= sup{kzk X , z ∈G(y)}
Từ quá trình thiết lập bài toán như trên, ta đưa bài toán đang xét về bao hàm thức vi phân sau đây x 0 (t)−Ax(t) ∈G(x(t)), t∈ [0, T], (3.17) x(0) =ξ (3.18)
Xét ánh xạ đa trị R G xác định bởi
Mệnh đề 3.2.5 Dưới các điều kiện (B), (F) và (G), ánh xạ R G là nửa liên tục trên yếu với giá trị khác rỗng, lồi và compact yếu.
Chứng minh Chứng minh tương tự như [11, Định lý 1].
Mệnh đề sau cho ta một tính chất của toán tử Cauchy W khi toán tử tuyến tính A sinh ra một C 0 -nửa nhóm.
Nếu điều kiện (A) được thỏa mãn và D ⊂ L 1 (0, T;X) là tập nửa compact, thì W(D) sẽ là tập compact tương đối trong C([0, T];X) Đặc biệt, nếu dãy {f n } là nửa compact và f n hội tụ đến f ∗ trong L 1 (0, T;X), thì W(f n ) sẽ hội tụ đến W(f ∗ ) trong C([0, T];X).
Chứng minh rằng tập D ∈ L 1 (J;X) là nửa compact dẫn đến việc D bị chặn tích phân và tồn tại hàm không âm ν ∈L 1 (0, T;X) sao cho kf(t)k X ≤ν(t) với mọi f ∈ D Tập {f(t) :f ∈D} là tập compact trong X với hầu hết t ∈[0, T] Chúng ta sẽ chỉ ra rằng W(D) là tập compact tương đối trong C([0, T];X) Cụ thể, với dãy {f n } trong D, dãy này là nửa compact trong L 1 (J;X), và theo [33, Hệ quả 5.1.1], {W(f n )} là compact tương đối trong C([0, T];X) Do đó, {W(f n )} có một dãy con hội tụ, từ đó suy ra W(D) là compact tương đối trong C([0, T];X).
Bây giờ giả sử dãy {f n } là nửa compact và f n * f ∗ trong L 1 (0, T;X). Khi đó {W(f n )} là tập compact tương đối trong C([0, T];X) Từ đó suy ra
Với mỗi ξ ∈ X, kớ hiệu C ξ là tập cỏc hàm x(ã) liờn tục trờn [0, T] vào X sao cho x(0) =ξ xét toán tử nghiệm
Trong bối cảnh này, x ∈ C ξ được coi là một điểm bất động của F nếu và chỉ nếu nó là một nghiệm của các phương trình (3.1)-(3.3) Định lý 3.2.7 khẳng định rằng, dưới các giả định (A), (B), (F) và (G), bài toán (3.1)-(3.3) sẽ có ít nhất một nghiệm yếu cho mỗi dữ kiện ban đầu ξ ∈ X.
Chứng minh Từ công thức của F, ta có
Với mỗi x ∈ C([0, T];X), R G (x) là compact yếu trong L 1 (0, T;X) Do đó,
W ◦ R G (x) là compact trong C([0, T];X) theo Mệnh đề 3.2.6 Mặt khác, R G (x) là lồi, nên tập W ◦ R G (x) cũng lồi Từ đó suy ra ánh xạ đa trị F có giá trị lồi, compact.
Trước tiên ta sẽ chỉ ra tồn tại một tập lồi, khác rỗng M 0 ⊂ C ξ sao cho ánh xạ nghiệm F thỏa mãn F(M 0 ) ⊂ M 0
Lấy y ∈ F(x) Từ định nghĩa toán tử nghiệm và ước lượng (3.16), ta có: ky(t)k X ≤ kS(t)ξk X +k
Z t 0 kx(s)k X ds, (3.19) ở đây M = sup t∈[0,T ] kS(t)k L(X) , M 1 =Mkξk X +dT, M 2 =M(a+ η bη 1
M 0 ={x∈ C ξ : kx(t)k X ≤κ(t),∀t∈ [0, T]}, ở đó κ là nghiệm duy nhất của phương trình tích phân κ(t) =M 1 +M 2
Ta thấy rằng M 0 là tập con lồi, đóng của C ξ và từ ước lượng (3.19) suy ra rằng F(M 0 ) ⊂ M 0 Đặt
M k+1 = coF(M k ), k = 0,1,2, ở đây kí hiệu co chỉ bao lồi đóng của một tập trong C ξ Ta thấy M k là tập lồi, đóng và M k+1 ⊂ M k với mọi k ∈ N.
M k , khi đó M là tập con lồi, đóng của C ξ và F(M) ⊂ M.
Mặt khác, với mỗi k ≥ 0,R G (M k ) là bị chặn tích phân do (3.16) Vì vậy, M cũng bị chặn tích phân.
Tiếp theo, ta chỉ ra M(t) là compact với mỗi t≥0 Do tính chất chính quy của độ đo khụng compact, ta cần chỉ ra à k (t) =χ(M k (t)) →0 khi k → ∞.
Nếu {S(t)} t≥0 là compact, dễ thấy à k (t) = 0,∀t≥ 0 Khi đú ta cú à k+1 (t) =χ(M k+1 (t))≤ χ(
= 0. do Mệnh đề 1.2.7 Trường hợp ngược lại nếu {S(t)} t≥0 không compact, ta có à k+1 (t) ≤ χ(
Z t 0 χ(M k (s))ds, Đặt à ∞ (t) = lim k→∞à k (t), ta thu được à ∞ (t)≤ 4M p+ qη 1 η B −η 2
Z t 0 à ∞ (s)ds. Áp dụng bất đẳng thức Gronwall, ta cú à ∞ (t) = 0 với mọi t∈ [0, T] Từ đú dẫn đến tính compact của M(t).
Vì vậy theo Mệnh đề3.2.6,W(M)là tập compact tương đối trongC([0, T];X).
Ta suy ra F(M) = S(ã)ξ + W(M) cũng là tập compact tương đối trong C([0, T];X). Đặt
Dễ thấy D là tập con lồi, compact khác rỗng của C([0, T];X) và F(D) ⊂D do
Xét ánh xạ F : D → P(D) Để áp dụng nguyên lý điểm bất động trong Định lý 1.3.11, ta cần chỉ ra F có đồ thị đóng Lấy {u n } ⊂ D với u n → u ∗ và v n ∈ F(u n ) với v n → v ∗ Khi đó v n (t) ∈S(t)ξ+W ◦ R G (u n )(t).
Theo Mệnh đề 3.2.5, R G là nửa liên tục trên yếu, dẫn đến f n * f ∗ thuộc L 1 (0, T;X) và f ∗ ∈ R G (u ∗ ) Đặt K(t) = F({u n (t)}), ta có {f n (t)} ∈ K(t) với hầu hết t ∈ [0, T], trong đó K(t) là compact trong X do tính nửa liên tục của F Từ ước lượng (3.16), suy ra {f n } là dãy hàm bị chặn tích phân và do đó là nửa compact Áp dụng Mệnh đề 3.2.6 cho D = {f n }, ta xác định tính compact của {W(f n )} trong C([0, T];X) Khi chuyển qua giới hạn trong (3.20), ta thu được v ∗ (t) = S(t)ξ + W(f ∗ )(t), với f ∗ ∈ R G (u ∗ ) Điều này chứng tỏ v ∗ ∈ F(u ∗ ), từ đó suy ra F có đồ thị đóng và tồn tại điểm bất động là nghiệm của (3.17)-(3.18).
Theo Bổ đề 3.2.3, ta suy ra tồn tại hàm u : [0, T] → U là một hàm liên tục và thỏa mãn bất đẳng thức biến phân
Vậy bài toán (3.1)-(3.3) có nghiệm yếu.
Tiếp theo, ta xem xét tính chất tập nghiệm của bài toán (3.17)-(3.18) Nhận xét rằng nếu x là nghiệm của (3.17)-(3.18) thì (x,Vx), với V : C([0, T];X) → C([0, T], U);V(x)(t) =V(x(t)) là nghiệm yếu của bài toán (3.1)-(3.3).
Với mỗi T >0, ký hiệuπT là hàm cắt xác định trênC([0,+∞);X), nghĩa là với mỗi z ∈C([0,+∞);X), π T (z) là hạn chế của z trên [0, T] Kí hiệu Σ(ξ) ={x∈C([0,+∞);X) :x(0) =ξ, x là nghiệm yếu của (3.17)-(3.18) trên [0, T] với mỗi T >0}.
Ta có π T ◦Σ(ξ) ⊂ S(ã)ξ+W ◦ R G (π T ◦Σ(ξ)), (3.21) với mọiT >0và π T ◦Σ(ξ) =Fix(F), tập các điểm bất động của toán tử nghiệm
Bổ đề 3.2.8 khẳng định rằng, nếu các giả thiết của Định lý 3.2.7 được thỏa mãn, thì π T ◦Σ({ξ n }) là tập compact tương đối trong C([0, T];X) khi {ξ n } ⊂ X là dãy hội tụ Đặc biệt, với mỗi ξ ∈ X, π T ◦Σ(ξ) cũng là một tập compact.
Chứng minh Lấy dãy x n ∈ π T ◦Σ(ξ n ), n∈N Khi đó ta có: x n (t) ∈S(t)ξ n +W ◦ R G (x n )(t), t ∈[0, T].
Ta sẽ chỉ ra rằng{x n }là compact tương đối trongC([0, T];X) Vì toán tửAsinh ra một C 0 −nửa nhóm {S(t)} t≥0 nên tồn tại số dương M sao cho kS(t)k L(X) ≤
M,∀t∈[0, T] Hơn nữa, bằng đánh giá tương tự như (3.19), ta thu được kx n (t)k X ≤ M1+M2
Z t 0 kx n (s)k X ds,∀t≥ 0, (3.22) trong đó M 1 = dT +Msup n∈N kξ n k X Áp dụng bất đẳng thức Gronwall, ta suy ra tính bị chặn của dãy {x n } trong C([0, T];X) Lấy f n ∈ R G (x n ) sao cho xn(t) =S(t)ξ +W(fn)(t).
Dựa vào đánh giá (3.16), ta kết luận rằng {f n} là một tích phân bị chặn Nếu nửa nhóm {S(t)} với t≥0 là compact, thì chuỗi {x n} cũng sẽ là compact Ngược lại, nếu nửa nhóm {S(t)} không phải là compact, ta có χ({x n (t)}) ≤ χ(W(f n)(t)).
Từ đây, áp dụng bất đẳng thức Gronwall một lần nữa, ta được χ({x n (t)}) 0,∀t∈[0, T] Từ đó suy ra χ({f n (t)})≤ p+ qη 1 η B −η 2 ]χ({x n (t)}) = 0,∀t∈[0, T].
Vậy{f n } ∞ n=1 là dãy nửa compact trongL 1 (0, T;X) Theo Mệnh đề3.2.6,{W(f n )} là tập compact tương đối trong C([0, T];X) Từ đó, {x n } là compact tương đối trong C([0, T];X).
Chúng ta sẽ chứng minh rằng tập hợp π T ◦Σ(ξ) là tập compact với mỗi ξ ∈X Để thực hiện điều này, cần chỉ ra rằng π T ◦Σ(ξ) là tập đóng Giả sử dãy x n ∈ π T ◦Σ(ξ) hội tụ về x ∗ trong C([0, T];X) Qua lập luận tương tự như trong chứng minh của Định lý 3.2.7, chúng ta có thể kết luận rằng x ∗ thuộc về π T ◦Σ(ξ) Do đó, π T ◦Σ(ξ) là tập đóng, và bổ đề đã được chứng minh.
SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT TOÀN CỤC
Trong nghiên cứu này, chúng tôi xem xét dáng điệu nghiệm của bất đẳng thức vi biến phân parabolic-elliptic thông qua việc phân tích sự tồn tại của tập hút toàn cục từ nửa dũng đa trị liên quan đến hệ động lực gắn liền với các phương trình (3.1) và (3.2) Biến u(ã) được coi là một ràng buộc đại số trong bài toán này.
Từ định lý về sự tồn tại nghiệm yếu của (3.1)-(3.3), ta đặt
Khi đó, G là một nửa dòng đa trị ngặt, tức là
Bổ đề dưới đõy chỉ ra tớnh nửa liờn tục trờn của G(t,ã).
Bổ đề 3.3.1 Giả sử cỏc giả thiết của Định lý 3.2.7 được thỏa món, khi đú G(t,ã) là nửa liên tục trên và có giá trị compact với mỗi t >0.
Chứng minh Ta có π t ◦Σ(ξ) là tập compact trong C([0, t];X) với mỗi t > 0.
G(t, ξ) là tập compact cho mỗi ξ ∈ X, với G(t, ξ) là ánh xạ đa trị có giá trị compact Theo Bổ đề 1.3.2, cần chứng minh rằng G(t, ξ) là tựa compact và có đồ thị đóng.
G(t, K) là một tập hợp compact Giả sử K ⊂ X là tập compact, ta có thể lấy một dãy {z_n} ⊂ G(t, K) Từ đó, tồn tại một dãy {ξ_n} ⊂ K sao cho z_n ∈ G(t, ξ_n) Nếu dãy {ξ_n} hội tụ đến ξ*, thì ta có x_n ∈ Σ(ξ_n) thỏa mãn x_n(0) = ξ_n và x_n(t) = z_n.
Từ Mệnh đề3.2.8, ta thu đượcπ t ◦Σ({ξ n })compact tương đối trongC([0, t];X).
Do đó tồn tại dãy con của {x n } (ta vẫn kí hiệu là {x n }) sao cho π t (x n )→ x ∗ trong C([0, t], X).
Kết hợp với (3.23), ta suy ra {z n } hội tụ đến x ∗ (t) trong X và x ∗ (0) =ξ ∗
Ta sẽ chỉ ra rằng G(t, ξ) có đồ thị đúng Giả sử {ξ_n} trong X hội tụ đến ξ* và η_n ∈ G(t, ξ_n) sao cho η_n → η* Khi đó, η* thuộc G(t, ξ*) Cụ thể, chọn x_n ∈ Σ(ξ_n) sao cho η_n = x_n(t) Theo Bổ đề 3.2.8, dãy {x_n} có dãy con hội tụ, vẫn được ký hiệu bởi
{x n }) Giả sửx ∗ = lim n→∞x n , khi đóx n (t) → x ∗ (t)trong C([0, t];X) vàη ∗ =x ∗ (t).
Ta sẽ chứng minh x ∗ ∈π t ◦Σ(ξ ∗ ) Lấy f n ∈ R G (u n ) sao cho x n (r) =S(t)ξ n +W(f n )(r), r ∈[0, t] (3.24)
Do (3.16) và {x n } bị chặn, ta có {f n } ⊂ L 1 (0, t;X) bị chặn tích phân Hơn nữa, K(r) = F({x n (r)}) là compact và {f n (r)} ⊂ K(r) với mỗi r ∈ [0, t] Vậy {f n } là dãy nửa compact Áp dụng Bổ đề 3.2.6, ta có f n * f ∗ và W(f n ) →
W(f ∗ ) Chuyển qua giới hạn đẳng thức (3.24), ta nhận được x ∗ (r) =S(t)ξ ∗ +W(f ∗ )(r), r ∈[0, t].
VìR G là nửa liên tục trên yếu nên f ∗ ∈ R G (u ∗ ) Từ đây suy ra x ∗ ∈ π t ◦Σ(ξ ∗ ).
Để chứng minh sự tồn tại của tập hút toàn cục cho nửa dòng đa trị do hệ động lực liên kết với (3.1)-(3.2) tạo ra, cần áp dụng các điều kiện chặt chẽ hơn đối với toán tử A.
Nhóm {S(t)} với t ≥ 0 ổn định tiệm cận theo tốc độ mũ α và giảm theo tốc độ mũ β, cụ thể là kS(t)k L(X) ≤ N e −αt và kS(t)k χ ≤ P e −βt cho mọi t > 0, với α, β > 0 và N, P ≥ 1 Trong đó, k · k χ là chuẩn toỏn tử theo độ đo χ được xác định trong (1.3).
Nếu {S(t)} t≥0 là nửa nhóm compact thì kS(t)k χ = 0,∀t > 0 Khi đó ta có β = +∞.
Với T > 0, chúng ta định nghĩa toán tử tịnh tiến G T = G(T,ã) Bài viết sẽ phân tích tính chất của toán tử G T, từ đó suy ra sự tồn tại của tập hút toàn cục compact của nửa dòng đa trị G trên không gian X.
Bổ đề 3.3.2 Giả sử (A ∗ ),(B),(F) và (G) được thỏa mãn Nếu β − 4P(p + qη 1 η B −η 2) >0 thì tồn tại T 0 >0 và một số ζ ∈[0,1) sao cho với mọi T ≥T 0 ta có χ(G T (B))≤ ζ ãχ(B), với mọi tập bị chặn B ⊂ X.
Chứng minh Lấy B là tập bị chặn trong X Đặt D = Σ(B), ta có
Ta có π t (D) bị chặn trong C([0, t];X) với mỗi t > 0 Vì vậy nếu {S(t)} t≥0 là nửa nhóm compact thì χ(D(t)) = 0 Xét trường hợp {S(t)} t≥0 là nửa nhóm không compact Từ (3.25) ta có χ(D(t)) ≤P e −βt χ(B) +χ(
Z t 0 e βs χ(D(s))ds. Áp dụng bất đẳng thức Gronwall ta có e βt χ(D(t))≤P e 4P (p+ qη 1 ηB −η 2 )t χ(B).
Từ đây suy ra ước lượng sau χ(D(t)) ≤P e −(β−4P(p+ qη 1 ηB −η 2 ))t χ(B). Điều này dẫn đến χ(G t (B))≤ ζ t χ(B), ở đây ζ t =P e −(β−4P (p+ qη 1 ηB −η 2 ))t
Cuối cùng, chọn T0 > β−4P (p+ ln P qη 1 ηB −η 2 ) và ζ = ζT 0 , ta nhận được kết luận của bổ đề.
Bổ đề 3.3.3 Giả sử các giả thiết trong Bổ đề 3.3.2 được thỏa mãn Khi đó G có một tập hấp thụ nếu α > N(a+ η bη 1
Chứng minh Lấy t >0 và B là tập bị chặn trong X Lấy ξ ∈B, khi đó tồn tại số dương C sao cho kξk ≤C, giả sử x là nghiệm của bài toán được cho bởi x(t) =S(t)ξ+
S(t−s)f(s)ds, với f ∈ P G (x) Sử dụng ước lượng (3.16) và giả thiết (A ∗ ), ta có kx(t)k X ≤N e −αt kξk X +N
Z t 0 e −α(t−s) a+ bη 1 η B −η 2 kx(s)k X +d ds. Bởi đánh giá tương tự như Bổ đề 3.3.2, ta thu được e αt kx(t)k X ≤ N(kξk X + d α(e αt −1)) +N(a+ bη 1 η B −η 2 )
Z t 0 e αs kx(s)k X ds. Áp dụng bất đẳng thức Gronwall ta được: e αt kx(t)k X ≤ Nkξk X +dN(a+ bη 1 η B −η 2 )
Từ đó suy ra kx(t)k X ≤ Nkξk X e −αt +dN(a+ bη 1 η B −η 2 )e [N (a+ bη 1 ηB −η 2 )−α]tZ t
Từ công thức (α−N a)(η B −η 2 )−N bη 1 với mọi t ≥ τ(B) := ln(N d(B)) α, trong đó d(B) = sup{kξk X : ξ ∈ B}, ta có thể xác định hình cầu tâm O với bán kính R là tập hấp thụ của nửa dòng đa trị G Bán kính R được chọn sao cho R >1 + dN(a(η B −η 2 ) + bη 1).
Bổ đề 3.3.4 Giả sử (A ∗ ),(B),(F) và (G) được thỏa mãn Nếu β − 4P(p + qη 1 η B −η 2) >0 thì G là nửa compact tiệm cận trên.
Chứng minh Lấy B là tập bị chặn trong X và Ξ B là hợp của tất cả các dãy {ξ k :ξ k ∈ G(t k , B), t k → ∞} Kí hiệu à = sup{χ(Ω) : Ω ∈Ξ B }.
Chúng ta sẽ chứng minh rằng à = 0 Giả sử ngược lại, tồn tại cú θ ∈ (0,(1−ζ)à) và Ω θ {ξ k } ∈ Ξ B với χ(Ω θ ) > à−θ Theo Bổ đề 3.3.2, ta cố định T > 0 và với mỗi t k ∈ (T,∞), có số m k ∈ N sao cho t k = m k T + r k với r k ∈ [0, T) Đặt τ k = (m k −1)T + r k, từ đó ξ k ∈ G(t k , B) = G(T + τ k , B) = G T (G(τ k , B)) Điều này dẫn đến việc tồn tại η k ∈ G(τ k , B) sao cho ξ k ∈ G T (η k), từ đó ta có χ(Ω θ ) = χ({ξ k }).
Từ đó dẫn đến mâu thuẫn.
Kết hợp các Bổ đề 3.3.1, 3.3.3 và 3.3.4, ta có Định lý 3.3.5 khẳng định rằng nếu (A ∗ ), (B), (F) và (G) được thỏa mãn, thì sẽ tồn tại một tập hút toàn cục compact của nửa dòng đa trị G sinh bởi hệ động lực liên kết với bất đẳng thức vi biến phân (3.1)-(3.2), với điều kiện min{α−N(a+ bη 1 η B −η 2 ), β−4P(p+ qη 1 η B −η 2 )}>0.
ÁP DỤNG
Cho Ωlà miền bị chặn trong R n với biên ∂Ωtrơn thuộc lớp C 2 Xét bài toán sau:
Z(0, x) =ϕ(x), x ∈Ω, (3.30) trong đó f 1 , f 2 , g : Ω × R× R → R là các hàm liên tục, ψ ∈ H 2 (Ω), ψ(x) ≤
0,∀x∈Ω và β : R→ 2 R là ánh xạ đa trị đơn điệu cực đại β(r)
V lần lượt được cho bởi
Ta định nghĩa hàm đa trị sau:
F( ¯Z,u)(x) =¯ {λf 1 (x,Z¯(x),u(x)) + (1¯ −λ)f 2 (x,Z¯(x),u(x)) :¯ λ∈ [0,1]}. Khi đó bài toán (3.26) và (3.27) được viết lại thành
Z 0 (t)−AZ(t) ∈F(Z(t), u(t)), với t ≥0, trong đó A = ∆, D(A) = H 2 (Ω)∩H 0 1 (Ω), Z(t) ∈ X, và u(t) ∈ V sao cho Z(t)(x) = Z(t, x) và u(t)(x) = u(t, x) Theo Định lý 7.2.5 và Định lý 7.2.8 trong [54], nửa nhóm S(t) = e tA do toán tử A sinh ra là compact và ổn định mũ, cụ thể kS(t)k L(X) ≤ e −λ 1 t, với λ 1 := inf{k∇uk 2 X : u ∈ H 0 1 (Ω), kuk X = 1} Điều kiện (A ∗ ) được thỏa mãn với α = λ 1.
Giả sử tồn tại các hàm không âm a 1 , a 2 , b 1 , b 2 ∈ L ∞ (Ω), c 1 , c 2 ∈ L 2 (Ω) sao cho
Ta thấy rằng ánh xạ đa trị F có giá trị lồi, compact Hơn nữa ta còn có kF( ¯Z,u)k ≤¯ max{ka 1 k ∞ ,ka 2 k ∞ }kZ¯k
≤ max{ka 1 k ∞ ,ka 2 k ∞ }kZk¯ + max{kb 1 k ∞ ,kb 2 k ∞ }
Ta có đồ thị đóng của F nhờ vào tính liên tục của 1 và 2 Nếu {Z¯ n } ⊂ X và {¯u n } ⊂ V, ta có thể áp dụng định lý hội tụ trội Lebesgue để tìm dãy f n ∈ F( ¯Z n ,u¯ n ) hội tụ trong X Theo Bổ đề 1.3.2, F là ánh xạ đa trị nửa liên tục Do đó, điều kiện (F) được thỏa mãn.
Ta xét bất đẳng thức biến phân elliptic (3.28) Đặt B := −∆ : V → V 0 , ở đây −∆ là toán tử Laplace được xác định như sau hu,−∆vi:Z
Dễ thấy hu, Bui=kuk 2 H 1
0 (Ω) Từ đó, giả thiết (B) được thỏa mãn vớiη B = 1. Đối với g, giả sử tồn tại các hàm không âm η 1 , η 2 ∈L ∞ (Ω) sao cho:
Ta viết lại g dưới dạng sau: g :X ×V → H, g( ¯Z,u)(x) =¯ g(x,Z(x),¯ u(x)),¯
Từ đó ta nhận được kg( ¯Z 1 ,u¯ 1 )−g( ¯Z 2 ,u¯ 2 )k 2 ≤ kη 1 k ∞ kZ¯ 1 −Z¯ 2 k X +kη 2 k ∞ k¯u 1 −u¯ 2 k X ,
√λ 1 k¯u 1 −u¯ 2 k V , với mọi Z¯ 1 ,Z¯ 2 ∈X,u¯ 1 ,u¯ 2 ∈ V Từ đó suy ra giả thiết (G) được thỏa mãn Biến đổi tương tự như Mệnh đề 2.11 trong [9], bất đẳng thức biến phân (3.28) được viết lại thành
Chúng ta đi đến kết quả dưới đây nhờ áp dụng Định lý 3.3.5. Định lý 3.4.1 Nếu kη 2 k 2 ∞ < λ1 và λ 1 >max{ka 1 k ∞ ,ka 2 k ∞ }+ max{kb 1 k ∞ ,kb 2 k ∞ k} kη 1 k ∞
√λ1− kη 2 k ∞ thì tồn tại một tập hút toàn cục compact trong L 2 (Ω) của nửa dòng đa trị sinh bởi bài toán (3.26)-(3.30).
Trong Chương 3, chúng tôi nghiên cứu dáng điệu nghiệm của một lớp bất đẳng thức vi biến phân dạng parabolic-elliptic Các kết quả thu được bao gồm:
1) Chứng minh được sự tồn tại nghiệm toàn cục (Định lý 3.2.7).
2) Xây dựng nửa dòng đa trị của hệ động lực sinh bởi bài toán và các tính chất của nửa dòng đa trị đó (Bổ đề 3.3.1, Bổ đề 3.3.2).
3) Chỉ ra sự tồn tại một tập hút toàn cục compact của nửa dòng đa trị cho hệ động lực liên kết với bài toán (Định lý 3.3.5).
Trong Chương 3, chúng tôi đã chuyển bất đẳng thức vi biến phân dạng parabolic-elliptic về bao hàm thức vi phân dưới các giả thiết phù hợp Bằng cách áp dụng các kĩ thuật của giải tích đa trị và đánh giá thông qua độ đo không compact, chúng tôi đã chứng minh sự tồn tại của nghiệm và một tập hút toàn cục cho nửa dòng đa trị sinh ra từ bài toán Yếu tố ràng buộc u được xác định duy nhất qua hàm trạng thái, tạo nền tảng cho việc nghiên cứu hệ động lực liên quan đến thành phần động lực x(ã) của nghiệm bất đẳng thức vi biến phân Các khảo sát được thực hiện khi bài toán được chuyển đổi về bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính với toán tử tuyến tính tạo ra một C 0 -nửa nhóm.
BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN
DẠNG PARABOLIC-PARABOLIC TRONG KHÔNG GIAN VÔ HẠN CHIỀU
Cho X là khụng gian Banach với chuẩn k ã k X , U và H là cỏc khụng gian Hilbert thực, U trù mật trong H và phép nhúng U ⊂ H là liên tục Chuẩn của
U và H lần lượt là không gian Hilbert và không gian đối ngẫu của nó Không gian Hilbert H đồng nhất với không gian đối ngẫu của nó, và U0 được xác định là không gian đối ngẫu của U Chúng ta có thể xây dựng một bộ ba tiến hóa từ các không gian này.
Kết quả của tớch vụ hướng trong H và tớch vụ hướng của cặp đối ngẫu (U, U 0 ) là rất quan trọng Bài toán được nghiên cứu trong chương này là một Định lý Vi phân (DVI) với ràng buộc u(ã) là nghiệm của bất đẳng thức biến phân tiến hóa dạng parabolic Vì vậy, chúng ta gọi đây là bất đẳng thức vi biến phân kiểu parabolic-parabolic.
Hệ parabolic-parabolic là mô hình có nhiều ứng dụng trong hóa sinh, bao gồm các hệ Keller-Segel, bài toán tương tác quần thể và các quá trình hóa học với số hạng bình lưu Mô hình parabolic-parabolic của chúng tôi đã tổng quát hóa một lớp bài toán trước đó thông qua hệ hai bao hàm thức vi phân DVI-PP bao gồm bao hàm thức parabolic theo nghĩa Fillipov, kết hợp với bao hàm thức parabolic phi tuyến chứa toán tử tăng trưởng ở dạng dưới vi phân Đây là lần đầu tiên mô hình này được nghiên cứu.
Chương này nhằm xác định tính giải được và sự tồn tại của một tập hút toàn cục cho nửa dòng đa trị liên kết với bài toán Các kết quả được trình bày dựa trên nghiên cứu trong công trình tiền ấn phẩm [3] thuộc Danh mục các công trình khoa học liên quan đến luận án.