Luận văn thạc sĩ toán sử dụng bổ đề trội chứng minh các bất đẳng thức trong tam giác

M tăs ăb tăđ ngăth căliênăh ăv iăcácăc nhătrongătamăgiác th c sau:... Volenec 1989: Recent Advances in Geometric Inequalities, Kluwer Academic Publishers.

B ăGIÁOăD CăVĨă ĨOăT O

-

LU NăV NăTH CăS ăTOÁNăH C

Hà N i – N m 2016

B ăGIÁOăD CăVĨă ĨOăT O

-

V ăV NăTH NGăậ C00458

LU NăV NăTH CăS ăTOÁNăH C

MĩăS :ă60ă46ă01ă13

Hà N i – N m 2016

2

M C L C

Trang

Trang ph bìa 01

M c l c 02

L i cam đoan 04

Tóm t t lu n v n 05

M ă U 06

Ch ng 1 KHÁIă NI Mă TR Iă VĨă NGă D NGă TRONGă CH NGă MINHăM TăS ăB Tă NGăTH C 1.1 KHÁI NI M TR I 08

1.1.1 nh ngh a 1.1.1 08

1.2 HÀM L I SHUR 08

1.2.1 nh ngh a 1.2.1 08

1.2.2 nh ngh a 1.2.2 08

1.2.3 M t s tính ch t c b n c a hàm l i, hàm lõm 09

1.2.3.1 Tính ch t 1 09

1.2.3.2 Tính ch t 2 09

1.2.4 nh ngh a 1.2.3 10

1.2.4.1 B t đ ng th c tr i (B đ tr i, Shur, 1923) 10

1.2.4.2 M t s h qu c a b t đ ng th c tr i 12

1.3 NG D NG C A KHÁI NI M TR I TRONG CH NG MINH B T NG TH C 14

K t lu n Ch ng 1 24

C h ng 2 NGă D NGă C Aă B ă ă TR Iă TRONGă CH NGă MINHăă

2.1 THệ D MINH H A 25

Nh n xét 2.1.1 26

2.2 CÁC B T NG TH C LIÊN QUAN N CÁC GịC TRONG C A TAM GIÁC 26

Nh n xét 2.2.1 26

2.2.1 Hàm sin 28

Nh n xét 2.2.2 28

2.2.2 Hàm cosin 53

Nh n xét 2.2.3 53

2.2.3 Hàm tan 65

Nh n xét 2.2.4 65

2.3 M T S B T NG TH C LIÊN QUAN N CÁC C NH C A TAM GIÁC 71

Nh n xét 2.3.1 71

2.4 M T S H TH C KHÁC TRONG TAM GIÁC 77

K t lu n Ch ng 2 86

K TăLU NăVĨăKHUY NăNGH 1 K t lu n 87

2 Khuy n ngh 87

TĨIăLI UăTRệCHăD N 88

TịMăT TăLU NăV N

Lu n v n g m ba ph n:

Ph n này g m hai ch ng

C h ng 1 KHÁIă NI Mă TR Iă VĨă NGă D NGă TRONGă CH NGă

1.1 KHÁI NI M TR I

1.2 HÀM L I SHUR

NG TH C

Ch ng 2 NGă D NGă C Aă B ă ă TR Iă TRONGă CH NGă MINHăă

6

Khái ni m tr i đ c đ a ra nh m m c đích so sánh hai ph n t (hai

áp d ng r ng rãi trong nhi u l nh v c, xem, thí d [8]

Khái ni m tr i đ c áp d ng khá thành công trong ch ng minh các b t

đ ng th c, đ c bi t là b t đ ng th c trong tam giác, xem, thí d , [7], [8] Có

th nói, b t đ ng th c Karamata (xem, thí d , [3]) c ng chính là b t đ ng

th c tr i Khái ni m tr i c ng khá g n v i m t s Ủ t ng v s p th t tam

giác, xem, thí d , [2]

cao h c nào trình bày ng d ng khái ni m tr i, đ c bi t là trong ch ng minh

b t đ ng th c trong tam giác

Lu n v n S d ng B đ tr i ch ng minh các b t đ ng th c trong tam

giác có m c đích minh h a kh n ng s d ng khái ni m tr i và b t đ ng th c

tr i (B đ tr i) trong ch ng minh, c i ti n và làm m i các b t đ ng th c trong tam giác ây là m t v n đ còn m i m nh ng có Ủ ngh a khoa h c và

ng d ng th c ti n cao trong gi ng d y toán s c p, vì v y tôi ch n đ tài này làm đ tài lu n v n cao h c c a mình

Ch ng 1: Trình bày các khái ni m c b n nh khái ni m tr i, hàm l i Shur, đ c bi t là b t đ ng th c tr i (B đ tr i, Shur, 1923) và h qu c a nó,

đ ng th i trình bày ng d ng c a b t đ ng th c tr i trong vi c ch ng minh

m t s b t đ ng th c

Ch ng 2: Trình bày ng d ng c a b đ tr i và h qu c a nó trong

vi c ch ng minh các b t đ ng th c trong tam giác Qua đây ta th y đ c th

m nh c a b t đ ng th c tr i và h qu c a nó ng d ng vào vi c ch ng minh

nhi u bài toán liên quan đ n các b t đ ng th c trong tam giác nh : B t đ ng

th c liên quan đ n các góc trong c a tam giác, b t đ ng th c liên quan đ n các c nh c a tam giác và m t s h th c khác trong tam giác Ngoài ra, trong

s ph ng pháp ch ng minh b t đ ng th c thông th ng khác cho m t s b t

đ ng th c trong tam giác

Lu n v n đ c hoàn thành t i tr ng i h c Th ng Long d i s

h ng d n khoa h c và ch b o t n tình c a PGS TS T Duy Ph ng, Vi n Toán h c Là ng i h c trò đã ti p thu đ c nhi u đi u b ích, quỦ báu t

đ tôi trong quá trình h c t p và th c hi n lu n v n này

Tôi xin c m n t i Ban Giám hi u, t chuyên môn Toán – tin, các đ ng nghi p Tr ng THPT Yên D ng s 3, B c Giang đã t o đi u ki n giúp đ , góp Ủ cho tác gi trong th i gian h c t p và th c hi n lu n v n này

8

Ch ng 1

KHÁIăNI MăTR IăVĨă NGăD NGăTRONGăCH NGăMINHă

1.1 KHÁIăNI MăTR I

1.1.1 nhăngh aă1.1.1 Cho aa1, ,an và bb1, ,bn là hai vect trong

Tínhăch tă1.2.3.2ă Cho hàm s y f x  xác đ nh trên t p X và có đ o hàm

N u f x ³ v i m i 0 xÎ X thì f x   là hàm l i trên X

N u f x  v i m i 0 xÎ X thì f x   là hàm lõm trên X

10

1.2.4 nhă ngh aă 1.2.3 Hàm :  n 

(Shur-convex function) n u x y trên X suy ra F x  F y .

M t b t đ ng th c cho hàm l i đ c s d ng hi u qu trong ch ng minh các

Ch ngă minhă Tr c tiên ta ch ng minh B đ tr i cho tr ng h p n2

Không h n ch t ng quát, coi xx x1, 2v i x1  x2 và yy y1, 2 v i

12

Nh năxét Nhi u sách (thí d , [1], [3]) g i b t đ ng th c (1.2.2) và (1.2.3) là

b t đ ng th c Karamata (Karamata inequality) B đ tr i đ c Shur ch ng

minh n m 1923 và Karamata ch ng minh n m 1932 H n n a, B đ tr i có

r t nhi u ng d ng khác, không ch trong ch ng minh b t đ ng th c (xem [8]) Do đó, chúng tôi g i (theo [8]), các đ ng th c (1.2.2) và (1.2.3) là b t

n n

16

x y zy z x z  x yxyz (1.3.2.1) Không h n ch t ng quát, coi x y z Khi y x  y z 0; z  x y 0

20

1 n

S

n

V y b t đ ng th c (1.3.5) đ c ch ng minh

Thíă d ă 1.3.6 ([7]) Cho a ii, 1, 2, ,n là nh ng s nguyên d ng Kí hi u

 

1

n i i

-ìïï

ï - + ³ïïï

ïïïíï

ïï - + + + + ³ + + +ïïï

ïîKhi đó

Thíăd ă1.3.7 ( thi k t thúc h c ph n cao h c, chuyên đ b t đ ng th c, i

A a b c

ni m hàm l i Shur cho ta b t đ ng th c tr i Ngoài ra, trong Ch ng 1 c ng

gi i thi u m t s ng d ng c a b t đ ng th c tr i vào vi c ch ng minh m t s

b t đ ng th c Qua đó cho th y th m nh c a b t đ ng tr i trong ch ng minh các b t đ ng th c là r t đa d ng và hi u qu , áp d ng b t đ ng th c tr i m t

cách h p lỦ cho ta ngay k t qu c n đ t đ c

Ch ng 2

NGă D NGă C Aă B ă ă TR Iă TRONGă CH NGă MINHăă

2.1 THệăD ăMINHăH A

Thíăd ă2.1.1ă([7], Asian Pacific Mathematical Competition; Olympic châu Á

– Thái Bình D ng l n th 8, 1996) Cho a,b,c là ba c nh c a m t tam giác Khi y

phép t o các đ ng th c và b t đ ng th c m i trong tam giác t các các đ ng

BƠiă 2.2.1.1 Cho tam giác ABC có ba góc trong l n l t là    Khi y 1, 2, 3.

1) 0 sin 1 sin 2 sin 3 3 3

2

2)

1 4

Cáchă2 G i O là tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC, bán kính R, ta có:

ABC là tam giác đ u V y b t đ ng th c (2.2.1.1.1) đ c ch ng minh

Cáchă4 Theo b t đ ng th c Bunhiacopxki ta có:

1 2 3

3sin sin sin

D u b ng x y ra b t đ ng th c v trái khi và ch khi  1 ,  2 0,  3 0

(vô lỦ) Suy ra

1 4

ABC là tam giác đ u V y b t đ ng th c (2.2.1.1.2) đ c ch ng minh

3) 0 sin 1.sin 2.sin 3 3 3

8

    £ (2.2.1.1.3)

sin sin sin 0 (3.2)

ABC là tam giác đ u V y b t đ ng th c (2.2.1.1.3) đ c ch ng minh

Cáchă 2 Do    là ba góc trong tam giác ABC nên ta có 1, 2, 3

 

1, 2, 3 0;

    Suy ra: sin1 0, sin2 0, sin3 0 Do đó

sin sin sin 0. (3.3)

Theo b t đ ng th c Cauchycho ba s d ng sin1, sin2, sin3, ta có:

 

3

3 3

sin sin sin sin sin sin

3 32

ABC là tam giác đ u V y b t đ ng th c (2.2.1.1.5) đ c ch ng minh

BƠiă2.2.1.2 Cho tam giác ABC nh n, có ba góc trong l n l t là   1, 2, 3 Khi y

1) 2 sin 1 sin 2 sin 3 3 3

2

2)

1 4

ABC là tam giác đ u

D u b ng x y ra b t đ ng th c v trái khi và ch khi

Theo b t đ ng th c Bunhiacopxki ta có:

ABC là tam giác đ u

D u b ng x y ra b t đ ng th c v trái khi và ch khi

sin sin sin 3.2

ABC là tam giác đ u V y b t đ ng th c (2.2.1.2.3) đ c ch ng minh

Cáchă2ăăDo   1, 2, 3 là ba góc trong tam giác ABC nên ta có sin 1 0,

0 sin  sin  sin <1 2

3) 0 sin 1.sin 2.sin 3 1

Ch ngăminh Kí hi u 1  BAC; 2  ABC; 3  ACB l n l t là các góc

1) 0sin1 sin2 sin3<1 2 (2.2.1.3.1)

sin sin 0 sin 0 sin sin sin

(vô lỦ) Suy ra:

54

cos2

BƠiă2.2.2.1 Cho tam giác ABC có ba góc trong l n l t là    Khi y 1, 2, 3

1) 2 cos 1 cos 2 cos 3 3 3

Ch ngăminh Kí hi u 1 BAC; 2  ABC; 3 ACB l n l t là các góc

1) 2 cos 1 cos 2 cos 3 3 3

tam giác ABC là tam giác đ u

(vô lỦ) Suy ra:

56

cos2

tam giác ABC là tam giác đ u

(vô lỦ) Suy ra:

2 cos cos cos cos cos cos

3

Cáchă 2 Do tam giác ABC nh n nên ta có: 0 1, 2, 3 ,

12.sin 2.sin cos 0 (2)

Cáchă3 (Vô đ ch C ng hòa dân ch c, 1965)

23cos cos cos (5)

tam giác ABC là tam giác đ u

D u b ng x y ra b t đ ng th c v trái khi và ch khi

1 , 2 , 3 0

sintan

tan tan tan

tan tan tan tan tan tan

tan 1 tan 2 tan 3 3 tan

3

m m

tan 1 tan 2 tan 3 3. 3

m m

1) tan1tan2 tan3 3 3 2) tan21tan22 tan23  

3) tan 1 tan 2 tan 3 3

L iăbình ch ng minh các b t đ ng th c trong tam giác, ta có th dùng

các ph ng pháp bi n đ i đ i s và l ng giác, l ng giác hóa, ph ng pháp hàm s , Tuy nhiên, nhi u khi ph i bi n đ i t ng đ i ph c t p và s d ng

nhi u phép bi n đ i c ng k nh S d ng ph ng trình b c ba (xem [4]) ho c

B đ tr i, ta th ng có ngay k t qu c n ch ng minh B đ tr i, theo m t

ngh a nào đó, hay h n ph ng trình b c ba, ch , nó có th áp d ng cho c các tam giác đ c bi t (cân, tù, vuông cân, )

2.3 M TăS ăB Tă NGăTH CăLIÊNăQUANă NăCÁCăC NHăC Aă TAMăGIÁCă

Nh năxét 2.3.1 Cho tam giác ABC, g i , ,a b c (a b c) là ba c nh c a tam

M tăs ăb tăđ ngăth căliênăh ăv iăcácăc nhătrongătamăgiác

th c sau:

ABC là tam giác đ u

D u b ng x y ra b t đ ng th c v ph i khi và ch khi a b c hay tam giác ABC là tam giác đ u

2 3

giác ABC là tam giác đ u

D u b ng x y ra b t đ ng th c v ph i khi và ch khi

02

78

cos + cos + cos  2 (2.4.1.1)

Ch ngăminh Xét hàm s y= f x( )= - cosx trên ;

íïïïï

2cos 3

i i

i i

y x

x

2cos 3

i i

i i

2cos 3

i i

i i

86

K tălu năCh ngă2

Ch ng 2 trình bày ng d ng c a b t đ ng th c tr i (B đ tr i Shur, 1923) và h qu c a nó trong vi c ch ng minh các b t đ ng th c trong tam giác, c th là các b t đ ng th c liên quan đ n các góc trong tam giác, m t s

b t đ ng th c liên quan đ n các c nh và m t s h th c khác trong tam giác Qua đó cho th y th m nh c a b đ tr i trong vi c ch ng minh các b t đ ng

th c trong tam giác là r t phong phú, đa d ng và hi u qu Ch c n s d ng

h p lỦ b t đ ng th c tr i và h qu c a nó ta có th ch ng minh đ c r t nhi u b t đ ng th c liên quan đ n tam giác m t cách đ n gi n, hi u qu và

c ng t đây cho ta sáng t o ra nhi u b t đ ng th c khác liên quan đ n tam giác Ngoài ra, trong Ch ng 2 c ng trình bày m t s cách ch ng minh khác nhau c a m t s b t đ ng th c quen thu c đ qua đó ta th y, s d ng các

ph ng pháp bi n đ i đ i s , l ng giác hóa, hàm s , th ng là ph c t p và

c ng k nh so v i áp d ng b đ tr i m t cách h p lỦ

K TăLU NăVĨăKHUY NăNGH1.ăK tălu n

Ch c n M T b t đ ng th c tr i (hay b t đ ng th c Karamata) và h

qu c a nó, ta đã có th ch ng minh đ c R T NHI U b t đ ng th c trong tam giác S d ng B đ tr i m t cách linh ho t cho ta ngay k t qu mà không c n bi n đ i c ng k nh, ph c t p nh m t s ph ng pháp thông

th ng khác Hy v ng r ng, nhi u b t đ ng th c m i khác nói chung, trong tam giác nói riêng, có th suy ra đ c t b t đ ng th c tr i ho c các m r ng

c a nó

2.ăKhuy năngh

Hy v ng lu n v n có th dùng làm tài li u tham kh o cho các giáo viên

và sinh viên toán các tr ng s ph m, trong b i d ng h c sinh gi i toán

tr ng trung h c ph thông, trong rèn luy n đ i tuy n thi gi i c p t nh, qu c

gia và qu c t

Hy v ng đ tài này s đ c ti p t c nghiên c u, m r ng và phát tri n,

đ c ng d ng r ng rãi trong nghiên c u, h c t p c a h c sinh trung h c ph thông và sinh viên trong các tr ng i h c, H c vi n Hy v ng r ng vi c

ch ng minh các b t đ ng th c trong tam giác b ng ph ng pháp s d ng B t

đ ng th c tr i, s tr thành m t trong nh ng ph ng pháp quen thu c c a h c

sinh, sinh viên trong ch ng minh các b t đ ng th c nói chung, các b t đ ng

th c trong tam giác nói riêng

88

TĨIăLI UăTRệCHăD N

[1] Ph m Kim Hùng (2006), Sáng t o b t đ ng th c, NXB Tri th c

[2] Nguy n V n M u (Ch biên) (2004), M t s chuyên đ ch n l c b i

d ng h c sinh gi i, Tr ng i h c Khoa h c T nhiên

[3] Tr n Ph ng (2009), Nh ng viên kim c ng trong b t đ ng th c toán

h c, Nhà xu t b n Tri th c

[4] T Duy Ph ng (2004, 2006), Ph ng trình b c ba và các h th c trong

tam giác, Nhà xu t b n Giáo d c

[5] Lê H QuỦ (18, 19/4/2011), B t đ ng th c Karamata và m t vài ng

d ng, H i th o Các chuyên đ Toán h c b i d ng h c sinh gi i c p THPT

in Statistics, N Y., 909 pages

[9] D.S Mitrinovic, J.E Pecaric, V Volenec (1989): Recent Advances in Geometric Inequalities, Kluwer Academic Publishers