Mối quan hệ giữa hệ số và nghiệm của đa thức qua các bất đẳng thức

-Tôi xin gúi lòi cám ơn chân thành tói Ban giám hi¾u trưòng Đai hocSư pham Hà N®i 2, phòng Sau Đai hoc, các thay cô giáo trong nhàtrưòng, các thay cô giáo day cao hoc chuyên ngành Toán g

Mnc lnc

Mnc lnc 1

Lài cám ơn 2

Báng các ký hi¾u 3

Má đau 4

1 Bat đang thNc liên h¾ giÑa h¾ so và nghi¾m cúa đa thNc đai so 7 1.1 Bat đang thúc vói đa thúc b¾c thap 7

1.1.1 Bat đang thúc vói tam thúc b¾c hai 7

1.1.2 Bat đang thúc vói đa thúc b¾c ba 10

1.1.3 Bat đang thúc vói đa thúc b¾c bon 12

1.2 M®t so tam thúc quan trong 17

1.3 Bat đang thúc vói đa thúc có các nghi¾m thnc 21

1.4 Bat đang thúc liên quan đen nghi¾m cna đa thúc 35

1.5 Bat đang thúc vói đa thúc không âm 42

1.6 Bat đang thúc liên quan đen h¾ so cna đa thúc 44

Phn lnc 52

2 Bat đang thNc liên h¾ giÑa h¾ so và nghi¾m cúa đa thNc lưang giác 54 2.1 Bat đang thúc ve tong lưong giác 54

2.2 Bat đang thúc vói chuan L p 63

2.3 Bat đang thúc cho nhân Dirichlet 68

2.4 Bài toán cnc tr% trong các đa thúc lưong giác 70

2.5 Bat đang thúc liên quan đen mômen và h¾ so cna các đa thúc côsin không âm 74

Ket lu¾n 79

T ài li¾u tham kháo 80

-Tôi xin gúi lòi cám ơn chân thành tói Ban giám hi¾u trưòng Đai hoc

Sư pham Hà N®i 2, phòng Sau Đai hoc, các thay cô giáo trong nhàtrưòng, các thay cô giáo day cao hoc chuyên ngành Toán giái tích đã taođieu ki¾n thu¾n loi cho tôi trong quá trình hoc t¾p và nghiên cúu

Tôi bày tó lòng biet ơn tói gia đình, ngưòi thân, ban bè cùng hoc ,

đã đ®ng viên và tao moi đieu ki¾n thu¾n loi đe tôi hoàn thành bán lu¾nvăn này

Hà N®i, tháng 5 năm 2012

Nguyen Đình Quang

Báng các ký hi¾u

|z| ≤ 1 T¾p hop các so phúc z có môđun nhó hơn ho¾c bang 1.

|z| < 1 T¾p hop các so phúc z có môđun nhó hơn 1.

n To hop ch¾p k cna n phan tú hay

là

n !

k !(n−k)!

[x] Phan nguyên cna so thnc x.

P (x) Đa thúc P cho bói công thúc tương úng vói bien so x.

P n (z) Đa thúc P b¾c n, bien so z.

C

k

.

Má đau

1 Lí do chon đe tài

Trưóc tiên ta xét m®t so ví du đơn gián sau đây

−4a3c + a2b2 + 18abc − 4b3 − 27c2 ≥ 0.

Thí dn 3 (Rao, 1966)

Neu cá ba nghi¾m x i , i = 1, 2, 3 cna đa thúc P (x) = x3 + px2 +

qx + r vói các h¾ so p, q, r là thnc thì

Thí dn 5 (Đe thi chon đ®i tuyen Olympic Vi¾t Nam, 1994)

Giá thiet rang đa thúc b¾c bon có bon nghi¾m dương Chúng minhrang phương trình

Nhung ví du trên cho chúng ta thay moi quan h¾ giua các h¾ so cna

đa thúc và các nghi¾m cna nó, mô tá thông qua các bat đang thúc nào

đó Qua đó chúng ta có the hieu sâu sac hơn ve đa thúc và nghi¾m cnanó

Theo chúng tôi, đây là m®t cách tiep c¾n hay trong lý thuyet đathúc Vì v¾y tôi chon đe tài này làm đe tài lu¾n văn cao hoc

2 Mnc đích nghiên cNu

Tìm hieu và trình bày tong quan ve các bat đang thúc liên quan đenh¾ so và nghi¾m cna đa thúc

3 Nhi¾m vn nghiên cNu

Tìm hieu lý thuyet đa thúc và các van đe liên quan

4 Đoi tưang và pham vi nghiên cNu

Đoi tưong nghiên cúu: Đa thúc P n (z).

Pham vi nghiên cúu: Các bài báo và các tài li¾u liên quan đen quanh¾ giua nghi¾m cna đa thúc và h¾ so cna đa thúc

5 Phương pháp nghiên cNu

Sú dung các kien thúc và công cu cna giái tích, hình hoc giái tích vàgiái tích phúc đe tiep c¾n và giái quyet van đe Thu th¾p và nghiên cúucác tài li¾u có liên quan, đ¾c bi¾t là các bài báo mói ve van đe mà lu¾nvăn đe c¾p tói

6 Đóng góp cúa lu¾n văn

Lu¾n văn đưoc viet chn yeu dna trên Chương 2 (trang 85-172) cnacuon sách [12], có tham kháo thêm các tài li¾u khác

Xây dnng lu¾n văn thành m®t tài li¾u tong quan và tham kháo totcho sinh viên và hoc viên cao hoc, giáo viên và hoc sinh ve các batđang thúc liên quan đen quan h¾ giua h¾ so cna đa thúc và nghi¾m cna

nó

Bo sung và hoàn chính hai chương trong bán tháo b® sách Phương

trình đa thúc cna tác giá PGS TS Ta Duy Phưong.

Chương 1

Bat đang thNc liên h¾ giÑa h¾ so và nghi¾m cúa đa thNc đai so

Muc này trình bày các ket quá cơ bán cho đa thúc vói b¾c không quábon, cùng vói các tính chat cna chúng như tính dương, tính đơn di¾p, Hơn nua, ta cũng xét các mó r®ng tương úng cho các đa thúc có b¾ccao hơn

1.1.1 Bat đang thNc vái tam thNc b¾c hai

Đ%nh lý 1.1.1 (Moser và Pounder, 1962) Neu ax2 + bx + c là m®t

tam thúc b¾c hai vói các h¾ so thnc và có các nghi¾m thnc, thì

á đây, các hang so A n và B n xác đ%nh bói các công thúc:

Đ%nh lý 1.1.3 Neu P (z) = az2 + bz + c là m®t tam thúc b¾c hai

vói các h¾ so phúc khác không thì nghi¾m cúa nó phái nam trong đĩa

Bat đang thúc (1.1.1) đưoc chúng minh

Schoenberg đã xét bài toán cnc tr% thú v% sau đây

Đ%nh lý 1.1.4 (Schoenberg, 1960) Kí hi¾u F là t¾p tat cá các đa thúc

thnc P (x) = ax2 + bx + c không âm trên [−1; 1] thóa mãn đieu

đeu nam trong t¾p F.

Th¾t v¾y, hien nhiên, P i (x) ≥ 0 vói ∀x ∈ [−1, 1] và i = 1, 2, 3 Hơn

3 3 3

3

3

1P.

=3

Bài toán Schoenberg có the đưoc giái quyet bang cách bieu dien cna các

đa thúc không âm trên đoan [−1, 1] dưói dang

P (x) = (ax + b)2 + .1 − x2 c2(a, b, c ∈ R)

1.1.2 Bat đang thNc vái đa thNc b¾c ba

Đ%nh lý 1.1.5 (Rao, 1966) Cho a i , i = 0, 1, 2 là nhung so thnc

Neu tat cá ba nghi¾m x i , i = 1, 2, 3 cúa phương trình

Vì p và q là nhung so thnc và y1 ≥ y2 ≥ y3 là các nghi¾m thnc cna

• Hai nghi¾m còn lai y 2,3 cna Q(y) là các nghi¾m thnc cna

Đ%nh lý 1.1.6 (Verblunsky, 1950) Đieu ki¾n can và đú đe đa thúc

b¾c ba x3 +px2 +qx+1 > 0 vói moi x ≥ 0, trong đó p ∈ R, q ∈

1.1.3 Bat đang thNc vái đa thNc b¾c bon

Đoi vói đa thúc thnc b¾c bon, ta có:

thóa mãn đieu ki¾n P (x) > 0 vói moi x ≥ 0.

De thay, khi đó ta phái có a0 > 0 và a4 > 0 Đ¾t x = ct vói c = 4

a4

0

Khi ay đa thúc P (x) có the đưa ve đa thúc b¾c bon Q (t) vói h¾ so

cna lũy thùa b¾c bon bang 1 Vì v¾y Verblunsky đã xét đa thúc dang

p = 2 −

Đa thúc (1.1.2) thóa mãn đieu ki¾n P (x) > 0 vói moi x > 0 neu m®t

và chí m®t đieu ki¾n sau đưoc thóa mãn:

vói các điem w k nam trên đưòng tròn đơn v% C trong m¾t phang phúc.

Cohen đã chúng minh đưoc rang trên m®t so đưòng Γ noi goc toa đ® vói

C, bat đang thúc |P (z)| < 1 luôn đúng trù điem z = 0 M®t thòi

gian

sau C Lowener đã thiet l¾p m®t đa thúc (1.1.3) có tính chat: Trên moibán kính cna đĩa đơn v% luôn ton tai m®t điem mà tai đó |P (z)| > 1.

Trong khi đó, Erd¨os, Herzog, và Piranian cũng đã tháo lu¾n câu hói

sau đây: Ton tai hay không hang so L sao cho vói moi đa thúc (1.1.3)

bat

đang thúc |P (z)| < 1 đúng trên m®t đưòng noi goc toa đ® vói C và có chieu dài lón nhat là L?

Erd¨os, Herzog, và Piranian giái quyet câu hói này vói đa thúc

(1.1.3) trong trưòng hop n ≤ 4 và thu đưoc ket quá sau [6]

. (1.1.4)

ChNng minh

Ta chí can chúng minh (1.1.4) cho trưòng hop n = 3 và n = 4

Trưòng hop n = 1 và n = 2 bat đang thúc (1.1.4) de dàng thóa

mãn

Trưàng hap n = 3 : Goi α, β, γ là ba góc tao bói các bán kính 0z v ,

vói

2π ≥ α ≥ β ≥ γ ≥ 0 và α + β + γ = 2π Suy ra α ≥ 2π

ChNng minh sN ton tai cúa θ r : Đe chúng minh sn ton tai cna θ r, ta

đ¾t z1 = 1, z2 = e iβ , z3 = e −iγ Ta se chúng minh rang |P (r)| ≤ .1

β + γ

và vì v¾y giá tr% θ r = 0 thóa mãn tính chat đòi hói.

ChNng minh sN ton tai cúa θ rr Giá sú α, β, γ là các góc xác đ%nh như

Trưàng hap n = 4 : Goi α, β, γ, δ theo thú tn là bon góc không âm

tao bói các bán kính Oz v vói α + β + γ + δ = 2π.

ChNng minh sN ton tai cúa θ r : Giá sú α, β, γ, δ đã đưoc chon sao cho

γ + δ ≤ π Đ¾t z1 = 1, z2 = e iδ , z3 = e i (δ+α) = e −i(β+γ) , z4 = e −iγ Ta

Hơn nua |(r − z2) (r − z4)| ≤ . .r2 − e.−2iγ ≤ 1 + r2.

Suy ra đieu phái chúng minh

3

2

ChNng minh sN ton tai cúa θ rr : Chon α, β, γ, δ tương tn như

trên Giá sú

α + β ≥ π ≥ γ + δ, α + δ ≥ π ≥ β + γ, β ≥ δ. (1.1.6)

|(ir − z1) (ir − z2)| = .1 + 2r2 cos α + r4.2 ,

Suy ra |P (ir)| ≥ 1 + 2r2 cos α + r4 ≥ 1 + r4 Đ%nh lí đã đưoc

không nhat thiet đúng moi nơi trên đưòng phân giác cna góc lón nhat

Bài toán xác đ%nh giá tr% lón nhat cna n là b¾c cna đa thúc (1.1.3) luôn

luôn thoá mãn bat đang thúc (1.1.4) trên hai bán kính tương úng cnađĩa đơn v% ho¾c trên hai tia tù goc toa đ® dưòng như là m®t van đe thúv%

Chúng ta bat đau vói ket quá đáng chú ý sau:

Vói moi so thnc x và so chan n bat kỳ luôn có:

T (x) = mx n − nx m + n − m, n > m > 0, (1.2.2)

và bat đang thúc tương úng T (x) > 0 khi 0 < x <

1 Chang han, khi ta thay x bói .x .n vói y > x > 0

1

Dilcher, Nulton và Stolarsky đã nghiên cúu sn phân bo nghi¾m cna đa

thúc (1.2.2) Dưói đây là các ket quá cna ho

Cho đưòng tròn C = {z ∈ C | |z| = 1} và kí hi¾u gcd(m, n) là ưóc

chung lón nhat cna hai so nguyên m và n.

Đ%nh lý 1.2.1 (Dilcher, Nulton và Stolarsky) Giá sú a > b > 0 là các

so thnc và n > m > 0 là các so nguyên Khi đó so nghi¾m cúa tam thúc

P (z) = bz n − az m + a − b nam han trong C là m−gcd(m, n) neu a ≥ n

và là m neu

a < n

H¾ quá 1.2.1 Neu n > m > 0 là hai so nguyên nguyên to cùng

nhau thì tam thúc T (z)trong (1.2.2) có m − 1 nghi¾m nam han bên

trong C và n − m − 1 nghi¾m nam han bên ngoài C và m®t

nghi¾m kép z = 1

trên C.

Cho n 3 thì nghi¾m cna T (z)

(z−1) nam trong các hình vành khăn sau:

−1

(c) Vói m = n − 1 : [2 (n − 1)] n−1 ≤ |z| ≤ 1 − (n − 1) −

Đ¾t y = 1, bat đang thúc AG (1.2.3) rút gon thành

1 − λ + λx − x λ ≥ 0, 0 < x < 1, 0 < λ < 1. (1.2.4)

Thay x bói e t ta đưoc đa thúc hàm so mũ P (t) = 1 − λ + λe t − e λt

Tiep tuc thay e t bói .1 + t .n , khi đó P (t) có dang

Cuoi cùng, vói bien mói z = 1 + t , ta có đa thúc

Q n (z) = λz n + 1 − λ − (λz + 1 − λ) n , (1.2.5)

dan đen ve trái cna (1.2.4) khi n → +∞.

Ket quá sau đây cho ta thay khi giá tr% n nhó (phu thu®c λ), sn phân

bo các nghi¾m cna đa thúc Q n (z) không phu thu®c vào λ.

Đ%nh lý 1.2.2 Neu 0 < λ < 1 là m®t so thnc bat kì cho trưóc, thì

đa thúc Q n (z) = λz n + 1 − λ − (λz + 1 − λ) n vô nghi¾m bên trong đưòng

Brannan đã nghiên cúu tính đơn di¾p (univalence) cna ho đa thúc

phu thu®c tham so t dang P3 (z) = z + a2z2 + tz3 trong đĩa đơn v%,

vói t là so thnc dương.

Đ%nh lý 1.2.4 (Brannan) Vói 0 ≤ t ≤ 1 , tam thúc P3 (z) là đơn

di¾p trong |z| < 1 khi và chí khi a2 nam trong ellipse

Trong khi đó, vói

1 ≤ t ≤ 1 , tam thúc P3 (z) đơn di¾p trong |z| < 1

Đ%nh lý 1.2.5 (Dau hi¾u Dieudonné)

Đa thúc P (z) = z + a2z2 + · · · + a n z n là đơn di¾p trong |z| < 1 khi và chí khi vói moi giá tr% θ ∈ .0, π đa thúc liên ket

sin nθ sin θ

a n z n−1

không tri¾t tiêu trong |z| < 1 Khi θ = 0, φ (z, θ) có the hieu là P n r (z)

.

Đ%nh lí 1.2.4 cũng đưoc tìm ra bói Cowling và Royster bang m®t cáchkhác Trong khi đó, Ruscheweyh và Wirths, Rahman và Szynal đã xéttam thúc tong quát hơn là

P (z) = z + α m z m + β m z 2m−1 , vói m ∈ N\ {1} , α m , β m ∈ C.

Đ%nh lý 1.2.6 (Rahman và Szynal) Giá sú P (z) = z + α m z m +

tz 2m−1 , vói t là so thnc dương và α m ∈ C Neu

, ó đây S k (u) là đa thúc Chebyshev loai 2 b¾c k, thì P (z) đơn di¾p

trong mien |z| < 1 khi và chí khi a m nam trong giao D m,t = Tu E m,u,t cúa các

Thay m = 2, ta thu đưoc Đ%nh lí 1.2.4 cna Brannan.

Đe chúng minh Đ%nh lí 1.2.6, Rahman và Szynal sú dung các bo đe sau

Bo đe 1.2.1 Neu P (z) = 1 + az + bz2 (b ∈ R, a ∈ C) không

tri¾t tiêu trong mien |z| < 1 thì a nam trong ellipse

• Neu b = −1 thì a ∈ [−2i; 2i]

Bo đe 1.2.2 Neu P (z) = z + α m z m + β m z 2m−1 đơn di¾p trong mien

trong mien |z| < (2m − 1) 1/2(p−1)

Rahman và Waniurski đã xét tam thúc bat kì dang z + a m z m +

Trong muc này chúng ta chí xét các đa thúc mà tat các các nghi¾mcna chúng đeu là so thnc

H¾ quá 1.3.1 Nghi¾m y k (1 ≤ k ≤ n − 1) cúa P r thóa mãn bat đang

thúc x k +

∆x k ≤ y k ≤ x k+1 − ∆x k

Đieu này có nghĩa là moi nghi¾m y k không the bang x k ho¾c x k+1

và khoáng cách giua x k và x k+1 lón hơn 1 Đánh giá này không phu

thu®c vào chí so k mà nó chí phu thu®c vào b¾c cna đa thúc P.

Áp dung khác cna (1.3.1) là:

1) y1 luôn nam trong núa đau cna khoáng đau tiên hay là y1 ≤ x1+x2 .

2) y n luôn nam trong núa khoáng thú hai cna khoáng cuoi cùng hay

Đ%nh lý 1.3.3 (Olds và Starke) Neu các nghi¾m cúa phương trình

a p a n−p > a0a n (p = 1, , n − 1)

Jolliffe đã xét đang thúc (1.3.3) khi a0 = 1 và chúng minh đưoc a r2

> a r−1 a r+1, vói đieu ki¾n các nghi¾m là nhung so thnc.

Fransén và Lohne đã chúng minh m®t bat đang thúc đơn gián sau:

là các đa thúc vói nghi¾m thnc:

Neu tat cá các nghi¾m cna đa thúc thnc P (x) b¾c n là thnc thì

(n − 1) P r (x)2 − nP (x) P rr (x) ≥ 0.

−

1

Goi x v (v = 1, , n) là tat cá các nghi¾m cna đa thúc P b¾c n Dùng đao hàm logarit cho đa thúc P, ta có:

P r (x)2 − P (x) P rr (x) = P (x)2 1

v=1 (x − x v)

n

2

Neu P là đa thúc vói nghi¾m thnc thì ta đưoc bat đang thúc Laguerre:

P r (x)2 − P (x) P rr (x) ≥ 0(x ∈ R)

Dilcher và Stolarsky đã nghiên cúu chi tiet ve nghi¾m cna đa thúc đ¾cbi¾t

Q (x) ≡ P r (x)2 − P (x) P rr (x) Cho P (x) là đa thúc thnc b¾c n vói các nghi¾m thnc x1, , x n và cho

là các nghi¾m cna đao hàm P r sao cho x1 ≤ · · · ≤ x n và y1 ≤ · · ·

v= 1

túc là, tat cá các nghi¾m cna đa thúc P đeu nam trong đoan

Các bat đang thúc trên đã đưoc chúng minh bói Milovanovi´c như sau:

Vì x k ∈ I (k = 1, , n) nên y k ∈ I (k = 1, , n − 1)

Neu m ≤ f rr (x) ≤ M (x ∈ I) thì φ (x) = f (x) − 1 mx2 là m®t hàm loi

Như v¾y, (1.3.10) quy ve bat đang thúc đau tiên trong (1.3.8), vói dau

bang xáy ra khi f (x) = x2

Đang thúc xáy ra khi f (x) = x2.

Như v¾y, bat đang thúc đau tiên trong (1.3.9) đã đưoc chúng minh

Tương tn , đ¾t φ (x) = −f (x) + 1 M x2, chúng ta chúng minh đưocbat

đang thúc thú hai trong (1.3.8) và (1.3.9)

Sú dung đieu ki¾n x1 ≥ x2 ≥ · · · ≥ x n , Lupa¸s đã cho m®t đánh giá

n n −

11,

pq ≤ σ (P )

≤

ó đây p = .n , q = .(n+1) .

.2∆

n

Bat đang thúc bên trái tró thành đang thúc khi và chí khi

ChNng minh đ%nh lí 1.3.6 De thay hai đa thúc P ∗ , P ∗ thu®c lóp các

đa thúc Pn (a1, a2) Trưóc tiên ta chúng minh rang

ra dau bang Đ¾t tên các thành phan trong Pn (a1, a2) chí gom m®t

dang như trên là P ∗ Công thúc (1.3.12) chúng minh xong.

Đe tìm c¾n dưói, ta xét ∆ là hàm n bien x1, , x n Ta có

∂∆

−

2

M¾t khác, k (n − k) ≤ pq vói dau bang xáy ra khi và chí khi k = p =

nam trong đoan ay

Bài toán là hien nhiên neu n ≥ 2k + 2.

Trong trưòng hop này, ta đ¾t k + 1 nghi¾m cna P tai moi đau

mút

x = ±1, do đó P (k) se có nghi¾m là hai đau mút, và do đó nó có span

là

2

Neu n > 2k + 2 thì m®t vài nghi¾m cna P là tùy ý.

Vói n = 2k + 2 thì span cna σ .P (k) đat cnc đai chí khi P (x)

=

x2 − 1.k+1.

Robinson đã xét trưòng hop không tam thưòng trong bài toán này, túc

là khi k + 2 ≤ n ≤ 2k + 1, và ông đã chúng minh rang σ P (k) có

the đat cnc đai chí khi tat cá các nghi¾m cna P ó tai các đau mút x =

±1,

túc là khi P (x) = (x − 1) p (x + 1) q vói p + q = n.

2 2