Tính gần đúng phiếm hàm tuyến tính tích phân

Lý do chọn đề tài Vấn đề tính gần đúng tích phân xác định là một vấn đề cổ điển của toánhọc và đã được các nhà toán học nổi tiếng trên thế giới quan tâm từ lâu,những nhà toán học tên tuổ

Lời cảm ơnLuận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2.

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, các nhà khoa học giảng dạychuyên ngành Toán Giải tích, các thầy cô phòng Sau Đại học, Ban giám hiệutrường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã động viên, khích lệ tôi trong suốt quátrình học tập và thực hiện đề tài

Đặc biệt tôi xin cảm ơn TS Nguyễn Văn Khải đã trực tiếp hướng dẫntôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn chỉnh đề tài Tôi xin cảm ơn cácbạn học viên lớp K12 Toán Giải tích, bạn bè, đồng nghiệp đã có những đónggóp quý báu trong suốt quá trình viết luận văn

Hà Nội, tháng 9 năm 2010.Tác giả

Lời cam đoanTôi xin cam đoan kết quả nghiên cứu khoa học của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của TS Nguyễn Văn Khải.

Trong suốt quá trình nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 9 năm 2010.Tác giả

Mục lục

Mở

đầu 1

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Không gian Banach 3

1.1.1 Không gian Metric 3

1.1.2 Không gian Banach 4

1.1.3 Toán tử tuyến tính trong không gian Banach 12

1.1.4 Một số hình thức hội tụ 17

1.1.5 Một số định lý cơ bản 23

1.2 Không gian Hilbert 29

1.2.1 Một số khái niệm cơ bản 29

1.2.2 Toán tử tuyến tính 34

1.3 Hội tụ yếu và hệ đa thức trực giao 37

1.3.1 Một số khái niệm về hội tụ yếu 37

1.3.2 Một số vấn đề về đa thức trực giao 41

Chương 2 Tính gần đúng phiếm hàm tích phân xác định 44 2.1 Một số công thức tính gần đúng tích phân I 44

2.1.1 Công thức hình thang 44

2.1.2 Công thức Parabol 47

2.1.3 Công thức Newton – Cotes 50

2.1.4 Công thức Chebyshe 54

2.1.5 Công thức Gauss – Jacobi 56

2.2 Sự hội tụ của quá trình tính gần đúng tích phân 58

32.2.1 Bài toán 582.2.2 Định lý Polya về sự hội tụ của quá trình 59tính gần đúng tích phân xác định

2.2.3.Sự không tồn tại của công thức tính gần đúng tích phân 61Kết

luận 74Tài

liệu tham khảo 75

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Vấn đề tính gần đúng tích phân xác định là một vấn đề cổ điển của toánhọc và đã được các nhà toán học nổi tiếng trên thế giới quan tâm từ lâu,những nhà toán học tên tuổi Lagrange, Newton, Cotes, Chebyshev, Gauss,Beirstein,… gắn liền với quá trình phát triển của các công thức tính gần đúngtích phân

Lý thuyết tính gần đúng tích phân đã được đưa vào giảng dạy ở các bậcđại học không chỉ trong chương trình đào tạo cử nhân Toán học mà cònđược giảng dạy cho cả các ngành Vật lý và đào tạo kỹ sư; điều đó nói lên vaitrò đặc biệt của nó

Tuy nhiên, hầu hết các tài liệu tiếng Việt hiện này trình bày về lý thuyếttính gần đúng tích phân đều mang màu sắc cổ điển, thiếu đi một cách nhìnhiện đại Chính vì vậy tôi mạnh dạn nghiên cứu đề tài:

“Tính gần đúng phiếm hàm tuyến tính tích phân”

2 Mục đích nghiên cứu

Luận văn này làm sáng tỏ các vấn đề về tính gần đúng phiếm hàm tuyếntính tích phân xác định và đặt phép tính tích phân dưới góc nhìn của kháiniệm phiếm hàm trong các không gian của giải tích hàm

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Một là, nghiên cứu các công thức tính gần đúng tích phân dưới góc nhìncủa phiếm hàm tuyến tính

Hai là, nghiên cứu sự hội tụ quá trình tính tích phân

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu về các phiếm hàm tuyến tính trong các không gian

Banach, không gian Hilbert

5 Phương pháp nghiên cứu

Áp dụng các phương pháp nghiên cứu của giải tích toán học Cụ thể là ápdụng các nguyên lý cơ bản trong giải tích hàm như: Nguyên lý ánh xạ co,Nguyên lý bị chặn đều, các khái niệm hội tụ trong giải tích hàm

6 Những đóng góp mới

Luận văn trình bày tương đối hệ thống vấn đề tính gần đúng phiếm hàmtuyến tính tích phân xác định trên tập số thực

Chương 1.

Một số kiến thức chuẩn bị

1.1 Không gian Banach

1.1.1 Không gian Metric

Định nghĩa 1.1.1 Ta gọi không gian metric một tập hợp X ¹ Æ cùng với một ánh xạ d từ tích Descartes X ´ X

Ánh xạ d gọi là metric trên X

Không gian metric được kí hiệu là (X ,d )

Định nghĩa 1.1.2 Cho không gian metric (X ,d ) và dãy điểm (x )

Ì

X , điểm

Dãy điểm (x ) được gọi là hội tụ tới

điểm

x trong không gian X

khi n ® ¥ , nếu với mọi e > 0 ,

Định nghĩa 1.1.3 Cho không gian metric (X ,d ) Dãy điểm (x )

Ì

X được

gọi là dãy cơ bản (dãy Cauchy) trong X , nếu với mọi e > 0 , tồn tại

n

n Î ¥ *

, " m,n ³

d (x )< e

Nhận xét 1.1.1 Mọi dãy điểm (x )Ì X hội tụ trong X đều là dãy cơ bản.

Định nghĩa 1.1.4 Không gian metric (X ,d ) gọi là không gian đầy, nếu mọi

dãy cơ bản trong không gian này đều hội tụ tới một phần tử x 0 Î X

1.1.2 Không gian Banach

Định nghĩa 1.1.5 Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính

định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường số thực ¡ cùng với một ánh xạ từ X vào ¡ , ký hiệu là ×, thỏa mãn các điều kiện sau:

không gian metric Do đó mọi khái niệm và mệnh đề đã đúng cho không gian metric cũng đúng cho không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.1.6 Cho không gian tuyến tính X và Y là một tập con khác rỗng của X Tập hợp của các tổ hợp tuyến tính xây dựng từ các vectơ trong

Y được gọi là bao tuyến tính của Y (hay không gian con sinh bởi Y ) và ký hiệu là span(Y )

Định nghĩa 1.1.7 Cho

Y = {x k } là hệ các phần tử trong không gian tuyến

tính định chuẩn X Nếu bao đóng của không gian span(Y ) trùng với X

Định nghĩa 1.1.9 Dãy điểm

(dãy Cauchy) nếu lim x -

n ,m ® ¥ n m

Định nghĩa 1.1.10 Không gian định chuẩn X là không gian Banach nếu mọi

dãy cơ bản trong nó đều hội tụ

Nói cách khác: Nếu không gian định chuẩn X là không gian metric đầy với khoảng cách sinh bởi chuẩn d (x, y )

X thì X được gọi là

không gian Banach

Ví dụ 1.1.3 (Không gian các hàm liên tục)

Ký hiệu C é ù là không gian các hàm thực liên tục trên đoạn éa,bù.

êëa,búû

ëê úûBởi vì mỗi hàm thực liên tục trên một đoạn là bị chặn trên đoạn đó nên ta có thể xác định

ëê úû

Nhận thấy f a f xác định như trên cho ta một chuẩn trên không gian

chuẩn này là sự hội tụ đều

Dưới đây ta chứng minh rằng C là không gian Banach

f (x )- f

(x ) < e Tức là f là hàm liên tục trên éa,bù

(do x tùy ý thuộc éa,bù) Cũng từ

thỏa mãn ba tiên đề trong định nghĩa

chuẩn, vậy L là không gian định chuẩn Ta sẽ chứng tỏ rằng

kh i

khi

1 + 1 £ t £ 1.

dãy {x n (t ) }là dãy cơ bản Tuy nhiên dãy này không hội tụ.

Thật vậy, giả sử dãy hàm {x n (t ) }hội tụ tới hàm x (t ) nào đó trong Lé0,1ù, tức

(t )

-x (t )dt ® 0

1 2

Vậy L không phải là không gian Banach.

êë0,1úû

ëê úû

Định nghĩa 1.1.11 (Chuẩn tương đương) Cho không gian tuyến tính X và

trên đó xác định hai chuẩn và

1 Hai chuẩn này gọi là tương đương nếu

dãy phần tử trong X Nếu dãy các tổng riêng {S }Î

trong không gian Banach X

là hội tụ khi và chỉ khi với " e > 0, $n Î ¥ * sao cho " n

Mệnh đề 1.1.2 Không gian định chuẩn X là không gian Banach khi và chỉ

khi mọi chuỗi trong nó hội tụ tuyệt đối đều hội tụ

hội tụ Vậy trong không gian Banach

mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ

Điều kiện đủ

Giả sử rằng trong không gian định chuẩn X mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối

đều hội tụ Lấy {x} là một dãy cơ bản trong X Theo định nghĩa với

-n k + 1 x n )+ hội tụ trong không gian

X và ký hiệu tổng của chuỗi này là s Hiển nhiên

1.1.3 Toán tử tuyến tính trong không gian Banach.

Định nghĩa 1.1.15 Cho hai không gian định chuẩn X và Y Ánh xạ

Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính Trong trường hợp

e ,e , ,e và e , e , , e là các cơ sở của ¡ k và ¡m sao cho với mọi

chuẩn X và Y Khi đó các mệnh đề sau là tương đương.

(i) A liên tục

(ii) A liên tục tại 0 Î X

(iii) A bị chặn trên hình cầu đơn vị, nghĩa là

A (x )- A (0) £

1, " x £ d

Từ đó suy ra

xx

Định lý 1.1.3 Cho toán tử tuyến tính liên tục

, " x Î

A (x ) £ A , " x :

Mặt khác từ định nghĩa chuẩn của toán tử ta suy ra với mỗi số dương e bất

kỳ tồn tại một phần tử u Î X sao cho

Định nghĩa 1.1.17 Cho hai không gian định chuẩn X và Y Ký hiệu L (X ,Y )

là tập tất cả các toán tử tuyến tính liên tục từ không gian định chuẩn X đến không gian định chuẩn Y

è

Tổng của hai toán tử A,

B Î L (X ,Y ) là toán tử, ký hiệu A +

B

xác

định bởi hệ thức

Định lý 1.1.4 L (X ,Y ) là một không gian định chuẩn với chuẩn xác định bởi

công thức (5) Ngoài ra Y là Banach thì L (X ,Y ) cũng là không gian Banach.Chứng minh

Từ bất đẳng thức thứ hai ở trên suy ra với mọi x Î X

dãy cơ bản trong Y Do Y đầy nên tồn tại

dãy {A n (x

) }là

A (x )= lim A

n ® ¥ n

(x ), " x Î X

Vì A là tuyến tính nên với mọi n nên A : X ® Y là tuyến tính Vậy

ta còn phải kiểm ta rằng A Î L (X ,Y ) và A trong L (X ,Y ) Bằng

định trên X và lấy giá trị là số thực gọi là một phiếm hàm trên X Phiếm

hàm đó gọi là tuyến tính nếu

nhỏ nhất thỏa mãn (12) gọi là chuẩn của phiếm

Định lý 1.1.5 Một phiếm hàm tuyến tính bị chặn khi và chỉ khi nó liên tục,

Thật vậy L (f )= å

n n

æ n öç

Mặt khác, với hàm f Î C éa,bù sao cho f (x )

tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên

không gian tuyến tính định chuẩn X là một không gian tuyến tính với hai

Định nghĩa 1.1.21 Không gian tuyến tính định chuẩn X *

gian liên hợp của không gian tuyến tính định chuẩn X

ở trên gọi là không

Định nghĩa 1.1.22 Giả sử X là một không gian tuyến tính định chuẩn Một

dãy các phần tử {x n }được gọi là hội tụ mạnh tới x nếu

Ký hiệu x n ¾ ¾S

® x

lim x

-n ® ¥ n

= 0

a

x

Định nghĩa 1.1.23 Cho X là một không gian tuyến tính định chuẩn X *

là

không gian liên hợp của X Khi đó một dãy các phần tử {x n }được gọi là hội

tụ yếu tới x nếu

của không gian tuyến tính định chuẩn X Khi đó một dãy các phần tử {L n }

của không gian tuyến tính định chuẩn X Khi đó một dãy các phần tử {L n }

được gọi là hội tụ yếu trong X *

Định nghĩa 1.1.26 Cho X là một không gian tuyến tính định chuẩn,

không gian liên hợp của nó Khi đó một dãy các phần tử {L n }của

X * là

X * có giới hạn yếu * là L nếu

f (x ) Cho dãy hàm K n (x ) thỏa

mãn K n (x ) khả tích với mọi n đồng thời thỏa mãn điều kiện Fejér:

n

x x

max K (x ) thì d£ x £ 1

với mọi 0 < d < 1.

lim M (d)= 0

n ® ¥ n

n

ta có thể nói hạch của Fejér

K n (x ) hội tụ tới d(x ) theo hướng trên

Một dãy của các phiếm hàm có thể chỉ có một giới hạn yếu *.

Với giả sử L và M cùng là giới hạn yếu * của {L n } Khi đó

Mặt khác, hội tụ yếu * không nhất thiết kéo theo hội tụ mạnh Dễ thấy

nhất là trong không gian Hilbert H , nếu {x * } là hệ trực chuẩn, tập

Tuy nhiên, trong không gian Hilbert, nếu L là giới hạn yếu * của {L n }

và nếu n thì L - ® 0 Với giả

1.1.5 Một số định lý cơ bản

Định lý 1.1.8 Cho X là không gian metric đầy đủ Giả sử rằng

Cho e , ta có thể tìm N sao cho e n

hàm tuyến tính bị chặn sao cho với

Khi đó ta có thể tìm M sao cho

ey

n

£ K , trái với giả thiết

Có U (x 0, e), khi thiết lập ta tìm được một chỉ số 1 và một phần tử