Một số phương pháp giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính

Phân tích sai số...15 Chương 2: Một số phương pháp giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính... Nói đến toán học ứng dụng phải kể đến Giải tích số-môn học nghiêncứu các phương pháp giải g

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo Nguyễn Văn Hùng đã tận tình

hướng dẫn giúp đỡ tôi trong suốt thời gian thực hiện khóa luận

Xin chân thành cảm ơn các thầy, các cô trong tổ Giải tích-Khoa Toán,Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ tôi hoànthành khóa luận này

Xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã tạo mọi điều kiện thuậnlợi cho tôi trong quá trình thực hiện khóa luận

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2010

Sinh viên Nguyễn Thị Ngọc

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan khoá luận là công trình nghiên cứu của riêng tôi.Trong khi nghiên cứu, tôi đã kế thừa những thành quả nghiên cứu củacác nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự chân trọng và biết ơn

Những kết quả nêu trong khoá luận chưa được công bố trên bất kỳ côngtrình nào khác

Hà Nội, tháng 05 năm 2010

Sinh viên Nguyễn Thị Ngọc

Nội dung

MỤC LỤC

Lời cảm ơn 1

Lời cam đoan 2

Lời nói đầu 4

Chương 1: Một số kiến thức cơ bản 6

1.1 Số gần đúng và sai số 6

1.2 Hệ phương trình tuyến tính 13

1.3 Phân tích sai số 15

Chương 2: Một số phương pháp giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính 17 2.1 Phương pháp Gauss 17

2.2 Phương pháp Cholesky 25

2.3 Phương pháp trực giao hóa 29

2.4 Phương pháp lặp đơn 32

2.5 Phương pháp Jacobi 37

2.6 Phương pháp Seidel 41

2.7 Phương pháp Gauss-Seidel 46

Chương 3: Bài tập áp dụng 49 Kết luận

Tài liệu tham khảo

LỜI NÓI ĐẦU

Toán học là một môn khoa học bắt nguồn từ nhu cầu giải quyết bài toán

có nguồn gốc thực tiễn và quay trở lại phục vụ thực tiễn Cùng với thời gian

và sự tiến bộ của loài người toán học ngày càng phát triển và được chia thànhhai lĩnh vực đó là toán học lý thuyết và toán học ứng dụng

Nói đến toán học ứng dụng phải kể đến Giải tích số-môn học nghiêncứu các phương pháp giải gần đúng các bài toán thực tế được mô hình hoábằng ngôn ngữ toán học

Để có lời giải đúng cho bất kì bài toán nào cũng cần phải có dữ kiệncủa bài toán, xây dựng mô hình bài toán, tìm thuật toán hiệu quả nhất Vàcuối cùng là xây dựng chương trình trên máy tính sao cho tiết kiệm thời gian

và bộ nhớ Tuy nhiên trong thời gian sử lý số liệu không tránh khỏi sai số dù

là rất nhỏ nhưng ảnh hưởng trực tiếp đến quá trình tính toán

Chính vì vậy phải sử dụng các thuật toán hữu hiệu để giảm thiểu sự sai

số đồng thời thuận lợi cho công việc lập trình tiết kiệm số lượng các phép tính

và thời gian tính toán

Phương pháp số có ý nghĩa rất lớn trong đại số tuyến tính, đặc biệt làđối với việc giải hệ phương trình tuyến tính Khi số các phương trình lớn cácphương pháp truyền thống nhiều khi gặp khó khăn, chúng ta không thể giảiquyết một cách chính xác mà chỉ có thể đưa ra lời giải gần đúng cho một bàitoán Các nhà toán học đã tìm ra nhiều phương pháp để giải gần đúng hệphương trình tuyến tính

Hệ phương trình tuyến tính có dạng tổng quát là hệ gồm m phươngtrình n ẩn Trong khuôn khổ khoá luận này em xin trình bày mảng nhỏ đó là

hệ n phương trình, n ẩn

Với lòng yêu thích toán học, đam mê nghiên cứu khoa học em đã quyết

định chọn đề tài cho mình là: “Một số phương pháp giải gần đúng hệ phương

trình tuyến tính”.

Có khá nhiều phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính nhưng domới bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học và thời gian nghiên cứucòn ít nên trong khuôn khổ khoá luận này em xin trình bày một số vấn đề sau:

Chương 1: Một số kiến thức cơ bản về sai số, làm tròn số, số gần đúng,

hệ phương trình tuyến tính, tập nghiệm của hệ phương trình, số điều kiện của

ma trận, phân tích sai số

Chương 2: Một số phương pháp giải gần đúng hệ phường trình tuyếntính Chương này gồm 7 phương pháp giải gần đúng hệ phương trình tuyếntính gồm phương pháp trực tiếp và các phương pháp lặp được trình bày theothứ tự: cơ sở lý thuyết, thuật toán, ứng dụng và đánh giá sai số (nếu có)

Chương 3: Bài tập áp dụng

CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN

1.1 Số gần đúng và sai số

1.1.1 Định nghĩa

Trong thực tế tính toán ta thường không biết số đúng a* mà chỉ biết

số đủ gần nó là a Ta nói a là số gần đúng của a* , nếu a không sai khác

Số ∆ a thoả mãn (1.1) được gọi là sai số tuyệt đối của a

Trong phép đo nói chung sai số tuyệt đối càng nhỏ càng tốt

Ví dụ 1.1.1 2 Đo độ dài hai đoạn đường ta được:

a 

Nhận xét:

Từ ví dụ trên ta thấy rằng phép đo b chính xác hơn phép do a mặc dù

a b Như vậy độ chính xác của phép đo phản ánh qua sai số

 Thu gọn a là vứt bỏ một số các chữ số bên phải của a để được

số ngắn gọn hơn nhưng vẫn đảm bảo độ chính xác cần thiết

tính toán với số chẵn tiện hơn.

 a a a a .

Từ đánh giá trên ta có nhận xét: Khi thu gọn số a thì sai số tuyệt đối

(i+1) thì Muốn vậy phải có:

Trong thực tế người ta chọn 1 hoặc 1

 là các giá trị đúng Giả sử ta không

biết các giá trị đúng này, mà ta chỉ biết các giá trị x x1, x2

(với i=1,2, ,n) là các sai số tuyệt đối và tương đối của

các đối số Khi đó sai số của hàm

yy

y y

2.00

0.012.01  2.00

1.1.4.2 Sai số của phép toán nhân, chia:

 Sai số của phép nhân

(phép khai căn) thì độ chính xác tăng lên.

1.1.4.4 Sai số của phép tính logarit.

f '

n xi

f x1, x2 , , x n  Cần

1.2 Hệ phương trình đại số tuyến tính

1.2.1 Dạng tổng quát của hệ phương trình tuyến tính

Một hệ phương trình tuyến tính tổng quát là hệ có m phương trình n ẩn

Hay viết dưới dạng tường minh:

a11x1 a12 x2  a 1n x n b1



a21x1 22 2 2n n 2





a n1 x1 a n2 x2  a nn x n b n

1.2.2 Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm

Nếu det A =0 ta nói ma trận A suy biến và hệ (2.1) suy biến Khi đó

hệ phương trình vô nghiệm hoặc vô số nghiệm

1.2.3 Biện luận về số nghiệm

Cho hệ phương trình (2.1) với ma trận hệ số A và ma trận bổ sung

 Nếu rank A

 Nếu rank A =rank A bs = r thì có 2 trường hợp: r = n và r < n

Axx

Cho các ẩn

x r1 , x r2 , , x n

(là các ẩn tự do) những giá trị tuỳ ý ta tính

được gọi là số điều kiện của ma trận A và đại

lượng đó kí hiệu là cond ( A).

Ma trận A được gọi là ma trận điều kiện xấu nếu cond( A ) là khá lớn

m

1M

phải cho gần đúng là một bài toán khó của toán học tính toán.

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG HỆ

ta xét một số phương pháp thực tế giải hệ phương trình (2.1) với đặc điểm

là khối lượng tính toán được giảm nhẹ

Trong số các phương pháp đó có thể chia ra làm 2 nhóm lớn là:

- Nhóm phương pháp trực tiếp: phương pháp Gauss, trực giao hoáHilbert-Schmidt, Cholesky

- Nhóm phương pháp gián tiếp: lặp đơn, Jacobi, phương pháp Seidel vàGauss-Seidel

Đặc điểm:

- Nhóm phương pháp trực tiếp là sau một số hữu hạn phép tính sẽ cho

ta kết quả, vì vậy nhóm phương pháp này thường được áp dụng với các bàitoán có kích cỡ nhỏ, và các số liệu ban đầu là đúng Tuy nhiên, do phải thựchiện một số phép tính tương đối là lớn nên có nguy cơ tích lũy sai số, nhất làđối với trường hợp số liệu ban đầu không thật chính xác

- Nhóm phương pháp gián tiếp (phương pháp lặp) thường được áp dụngcho lớp các bài toán có kích cỡ lớn, số liệu ban đầu có sai số

Quá trình xuôi: đưa hệ (2.1) về dạng tam giác nhờ phép biến đổi tươngđương

Quá trình ngược: Tìm từ hệ tam giác

Hệ phương trình tuyến tính 4 phương trình, 4 ẩn có dạng:

a11x1 a12 x2 a13 x3 a14 x4 a15





a31x1 a32 x2 a33 x3

a34 x4 a35 a41x1

a42

a a

11(j>1)

Như vậy công thức (2.1.4) với k=1 đã được chứng minh

a a

44 4 45

Hay viết dưới dạng tường minh:

a11x1 a12 x2  a1n xn b1

- Phương pháp Gauss là phương pháp trực tiếp thường sử dụng để giải

hệ tuyến tính có kích cỡ nhỏ, các số liệu cho đúng

- Khối lượng tính toán của phương pháp Gauss:

Trong đó:

n

n23

ak 1

0

thì phương pháp Gauss có thể cho ta kết quả không chính xác

- Để giảm sai số tính toán, khi sử dụng phương pháp Gauss người tathường chọn trụ tối đa Quá trình này được thực hiện như sau:

Bước 2: Thêm bớt các tổ hợp tuyến tính các dòng chứa phần tử dẫn.

A1 

x

n

i, j1

ta phải giải hệ n phương trình

Ví dụ Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A cho dưới đây:

Vậy hệ (2.1) phân rã thành hai hệ sau đây: Cx y

Để giải hệ phương trình trên, trước tiên ta giải hệ By b Với y

c b c 0 suy ra b c 0

a21 a22 11 11 22 22 22 22Tiếp tục lập luận như trên, ta xác định được tất cả các ẩn còn lại trong

hệ (2.2.2)

Tuy nhiên ta chỉ xét trường hợp ma trận A đối xứng A A T

Khi đó

A B.B T với B là ma trận tam giác dưới, BT là ma trận chuyển vị của B

với ma trận B có dạng tam giác

trên Dùng phép thế ngược ta sẽ có được nghiệm của hệ phương trình (2.1)

2.2.2 Sơ đồ tính toán

1 Cho hệ phương trình tuyến tính: Ax b

2 Kiểm tra tính đối xứng của ma trận A

3 Tìm ma trận B theo công thức:

b11 

 



1

 bằng phương pháp Cholesky Với số

Kết luận: Nghiệm của hệ phương trình là:

2.2.3 Nhận xét

x 6; 2; 1

- Thuật toán áp dụng cho cả trường hợp b ij là những số thuần ảo.

i

n

i i

u

- Phương pháp Cholesky thường áp dụng cho hệ chuẩn tắc nhận đượckhi sử lý bằng phương pháp bình phương tối thiểu Khi đó ma trận A của hệ

là đối xứng, xác định dương và hệ (2.1) được giải duy nhất

- Khối lượng tính toán:

Số phép nhân là:

Số phép cộng là:

1 n3 9n2 2n6

1 n3 6n2 7n6

Số phép chia là n và số phép khai căn là n

0,0, ,1 thì hệ có (n+1) vectơ i1 a i trong đó

k i i k

k

n1 t1 ,t2 , ,t n1 

 1

- Phương pháp trực giao hóa tương đối đơn giản, dễ lập trình trên máy.

- Khối lượng tính toán ít ( cỡ n3 phép tính )

Nhược điểm:

- Tuy nhiên không ổn định và kém chính xác so với phương pháp Gauss Nguyên nhân là do quá trình trực giao hóa Hilber- Schmidt theo côngthức (2.3.2) không ổn định Sai số nhỏ có thể làm hệ vectơ

trực giao nữa

2.4 Phương pháp lặp đơn.

2.4.1 Cơ sở lí thuyết

Nguyên lí ánh xạ co: Trong không gian metric đầy đủ, mọi ánh xạ co

đều có điểm bất động duy nhất

Để vận dụng nguyên lí ánh xạ co, trước hết ta nhắc lại các chuẩn quenthuộc trong không gian  n

Trong đó B là một trong các chuẩn

theo chuẩn của vectơ x

x* là nghiệm duy nhất của phương trình (2.4.1)

x* là nghiệm duy nhất của phương trình (2.1)

sau:

2.5 Phương pháp Jacobi (phương pháp đường chéo trội)

Để giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính theo phương pháp lặp taphải đưa hệ (2.1) về dạng (2.4.1) với ma trận B 1 Vấn đề này là

khôngtầm thường Với mỗi ma trận A cụ thể phải có một kỹ thuật tương ứng kèmtheo Phương pháp Jacobi (hay còn được gọi là phương pháp đường chéo trội)dưới đây là một trường hợp điển hình





g

B  1.

(2

1)(2.4

1)

có nghiệm duy nhất x x* .

2 Kiểm tra tính chéo trội của ma trận A

3 Đưa hệ Ax

4 Chọn x0 tuỳ ý.

5 Tính xk 1Bxk g , k=1,2,…,n

Giả sử sau k bước lặp ta tìm được nghiệm gần đúng

nghiệm đúng của hệ phương trình tuyến tính (2.1)

.1)

k n10.55

Vậy muốn tìm nghiệm x* của hệ phương trình (2.1.1) với sai số

phải thực hiện k bước lặp, với k nguyên được xác định ở trên

Ví dụ 2.5.5.Cho hệ phương trình sau, tìm số các bước lặp để sai số =10-4

càng được sử dụng sớm bao nhiêu càng tốt bấy nhiêu”.

hội tụ đến nghiệm duy nhất của hệ phương trình (2.1).

Theo định lí (2.4) thì hệ phương trình (2.4) có nghiệm duy nhấtnghĩa là:

x* ,

n ,

Lấy xấp xỉ ban đầu: x 0 0, 0, 0

Kết quả được ghi trong bảng sau:

- Phương pháp Seidel hội tụ tốt hơn phương pháp lặp đơn

- Phương pháp Seidel tiết kiệm bộ nhớ, vì các thành phần vừa được tínhhuy động ngay để tính các thành phần tiếp theo

- Có thể nêu ví dụ phương pháp Seidel hội tụ còn phương pháp lặp đơnphân kì và ngược lại

- Do trong  , 1

,

Seidel cũng hội tụ nếu B 1

 

 1

b) Tương tự ta thấy A là ma trận đối xứng, tìm ma trận B

Chon x 0 0;0;0ta thu được kết quả trong bảng sau:

Kiểm tra tính chéo trội của ma trận A.

Ta đưa hệ đã cho về dạng x=Bx+g: Trong đó:

x4 0.1x1 0.5x2 0.3x3 1.8

Từ đó ta có:

Kết luận: Nghiệm của hệ là: x

Bài 6

Hệ đã cho tương đương với hệ phương trình sau:

KẾT LUẬN

Trên đây là toàn bộ đề tài: “Một số phương pháp giải gần đúng hệ

phương trình tuyến tính” Đối chiếu với mục đích nghiên cứu, đề tài cơ bản

đã hoàn thành những nhiệm vụ đặt ra

- Đề tài đã nghiên cứu về phương pháp giải gần đúng hệ phương trìnhtuyến tính Đưa ra hai nhóm phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính đó

là các phương pháp trực tiếp và phương pháp lặp Chỉ ra tính ưu việt củaphương pháp lặp Từ cơ sở lý thuyết đến cách tiếp cận với phương pháp giải,sắp xếp theo trình tự hợp lý

- Mặc dù đã có nhiều cố gắng tìm tòi nghiên cứu nhưng khả năng vàthời gian có hạn nên đề tài không tránh khỏi thiếu xót Vì vậy em rất mongđược sự chỉ bảo, đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên để

đề tài được hoàn chỉnh hơn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Phạm Kỳ Anh(2005), Giải tích số- NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội

2 Nguyễn Minh Chương (Chủ biên), Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh,

Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường, Giải tích số-NXB Giáo Dục.

3 Tạ Văn Đĩnh, Phương pháp tính-NXB Giáo Dục.

4 Đoàn Quỳnh (Chủ biên), Nguyễn Anh Kiệt, Tạ Mân, Nguyễn Doãn Tuấn,

Đại số tuyến tính và hình học giải tích-NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội.

5 Nguyễn Đình (Chủ biên), Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh-Toán học cao

cấp-NXB Giáo Dục.

6 Nguyễn Đình (Chủ biên), Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh-Bài tập toán

học cao cấp-NXB Giáo Dục.