Một số phương pháp giải gần đúng phương trình vi phân

HàNội,ngày25tháng4năm2013Sin hviên TrầnHồngHạnh... Vídụ4.a 0,0030140.Bachữsố“0”đầukhông cónghĩa.Khiviếtsốgầnđúng,chỉnêngiữlạimột,haichữsốkhôngchắcđểkhitínhtoánsaisốchỉtácđộngđếncácchữsố

Đặcbiệt,emxinbàytỏlòngbiếtơnchânthànhvàsâusắcnhấttớiT i ế n sĩN guyễnVănHùngđãtậntìnhhướngdẫn,chỉbảochoemtrongsuốtquátrìnhnghiê

LỜI CAMĐOAN

Emx i n c a m đ o a n k h ó a luậnnàyl à c ô n g trìnhnghiêncứucủariêngem

Trongkhinghiêncứu,emđãkếthừanhữngthànhquảnghiêncứucủacácnhàkhoahọc,nhànghiêncứuvớisựtrântrọngvàbiếtơn

Nhữngkếtquảnêutrongkhóaluậnchưađượccôngbốtrênbấtkìc ô n g trìnhnàokhác

HàNội,ngày25tháng4năm2013Sin

hviên

TrầnHồngHạnh

LỜINÓIĐẦU 1

Chương1:CÁCKIẾNTHỨCCHUẨNBỊ 3

§1.SỐGẦNĐÚNGVÀSAISỐ 3

1 Kháiniệmvềsốgầnđúng,saisốtuyệtđối,saisốtươngđối 3

2 Saisốtínhtoán 5

3 Bàitoánngượccủabàitoánsaisố 8

§2.SAIPHÂN 9

1 Địnhnghĩavàtínhchất 9

2 Mộtsốcôngthứcnộisuysửdụngsaiphân 10

§3.PHƯƠNGTRÌNHVIPHÂNTHƯỜNG 12

1 Mộtsốkháiniệm 12

2 Mộtsốphươngtrìnhviphânđãbiếtcáchgiải 12

3 ĐịnhlíPica–Lindolov(địnhlítồntạivàduynhấtnghiệm) 14

4 Phươngtrìnhviphâncấp1chưagiảira đốivớiđạohàm 16

5 Cáchgiảimộtsốphươngtrìnhviphâncấpcao 18

Chương2 : MỘTSỐPHƯƠNGP H Á P GIẢIGẦNĐÚNGPHƯƠNGTRÌN HVIPHÂN 24

§1.PHƯƠNGPHÁPEULERVÀEULERCẢITIẾN 24

1 PhươngphápEuler 24

2 PhươngphápEuler cảitiến 26

§2.PHƯƠNGPHÁPRUNGE–KUTTA 29

1 Trườnghợpm=1 31

2 Trườnghợpm=2 31

3 Trườnghợpm=3 33

4 Trườnghợpm=4 35

5 PhươngphápRunge–

Kuttac ó t h ể á p d ụ n g đểgiảimộthệphươngtrìnhviphâncấp1haymộtphươn

gtrìnhviphâncấpcao 39

Chương3:BÀI TẬPÁPDỤNG 41

KẾTLUẬN 53

TÀILIỆUTHAMKHẢO 54

TrÇnHångH¹nh–K35GSPTo¸n 1

LỜI NÓIĐẦU

Thoạtđầu,toánhọcđượcphátsinhdonhucầugiảiquyếtcácbàit o á n cónguồngốcthựctiễn.Cùngvớisựpháttriểncủanộitạitoánhọcvàcácngànhkhoahọckhác,toánhọcchiathànhhailĩnhvực:toánhọclíthuyếtvàtoánhọcứngdụng

Tronglĩnhvựctoánhọcứngdụngthườnggặprấtnhiềubàitoánliênquantớiphươngtrìnhviphânthường.Vìvậy,nghiêncứuphươngtrìnhviphânthườngđóngmộtvaitròquantrọngtronglíthuyếttoánhọc

Chúngtabiếtrằngchỉcómộtsốítcácphươngtrìnhviphânthườnglàcóthểtìmđượcnghiệmchínhxác,trongkhiđóphầnlớncácphươngtrìnhviphânthườngnảysinhtừcácbàitoánthựctiễnđềukhôngtìmđượcnghiệmchínhxác.Dodó,mộtsốvấnđềđặtralàtìmcácphươngphápđểxácđịnhnghiệmgầnđúngcủaphươngtrìnhviphânthường

Xuấtp h á t từnhucầuthựctiễnđ ó , cácnhàt o á n h ọ c đãt ì m r a nhiềuphươngphápđểgiảigầnđúngphươngtrìnhviphânthường.Trongc á c phươngphápđó,ngườitađãphânlàm2nhóm:nhómthứnhấtgọilàc á c phươngphápgiảitíchchophéptìmnghiệm

gầnđúngdướidạngbiểuth ức giảitích,nhómt h ứ h a i gọil à cácphươngpháps

ố c h o phépt ì m n g h i ệ m dướidạngbảng

LàmộtsinhviênkhoaToán,trongkhuônkhổmộtbảnkhóaluận,emxinđượctrìnhbàynhữnghiểubiếtcủamìnhvềmộtsốphươngphápsốgiảigầnđúngphươngtrìnhviphânthường

ĐượcsựhướngdẫntậntìnhcủaTiếnsĩNguyễnVănHùngcùngvớilòng nhiệttìnhsaymênghiêncứukhoahọc,emđãchọnđềtài:“Mộtsốphươngphápg iảigầnđúngphươngtrìnhviphân”.Emđãđisâun g h i ê n cứuhaiphươngph

áps ố : phươngphápEulerv à Eulerc ả i tiến,phươngphápRunge–Kutta

hviên

TrầnHồngHạnh

Chương1 CÁCKIẾNTHỨCCHUẨNBỊ

3,14163,1423,14 3,13.

Saisốthugọna0làmọisốthỏamãnđiềukiện

Vídụ4.a 0,0030140.Bachữsố“0”đầukhông cónghĩa.

Khiviếtsốgầnđúng,chỉnêngiữlạimột,haichữsốkhôngchắcđểkhitínhtoánsaisốchỉtácđộngđếncácchữsốkhôngchắcmàthôi

2 Saisốtínhtoán

Trongtínhtoán,tathườnggặp4loạisaisốsau:

+Saisốgiảthiết–domôhìnhhóa,lýtưởnghóabàitoánthựctế.Saisốnàykhôngloạitrừđược.

i i

+Sais ố phươngpháp–

c á c bàitoánthườnggặprấtphứctạp,khôngthểgiảiđúngđượcmàphảisửdụngcácphươngphápgầnđúng.S a i sốnàysẽđượcnghiêncứuchotừngphươngphápcụthể

+S a i s ố c á c sốliệu–

c á c s ố liệuthườngt h u đượcbằngthựcnghiệm dođócósaisố

+Saisốtínhtoán–

cácsốvốnđã cósaisố,cònthêmsaisốthugọnnênkhitínhtoánsẽxuấthiệnsaisốtínhtoán

Giảsử x i (i1, ,n);x i (i1, ,n) làcác saisốtuyệtđ ố i và sai

sốtươngđối tươngứ n g c ủ a cácđốis ố K h i đó:sais ố củahàms ố

1

x x

Cầntínhx i đểy,(0) chotrước.

Chẳnghạnf3 f 2 f3

n

ii m

11TrÇnHångH¹nh–K35GSPTo¸n

Hàmsố y(x) đượcgọilànghiệmcủaphươngtrình (1.4) nếu

thay y(x),y''(x), ,y (n)

u(x,y)P(x,y x0 0)dxQ(x,y)dy y0 P(x,y)dxQ(x x00,y)dy y0

n1 (t

)

d t

n (n 1)!

nghiệmcủaphươngtrình(1.11)là yp

0x(p0)+Nếu p(p)0 thì

(1.13)dxx. ' ( p )   ' ( p )

dx   '( p ) x dp  '( p ) p(p) p(p)

dx   '( p ) x '( p ) ; (1.14)

tađượcnghiệmt ổ n g quátdạng

y(p).(p,c)(p) Hoặctừ(1.14)t a giảiđượcnghiệm rồirútptheoxthếvào(1.12)

*)PhươngtrìnhClairaut: yxy'(y'); (1.15)

y (n1) ,y (n)

theothamsốtcóphươngtrìnhdạng

y (n1)



20TrÇnHångH¹nh–K35GSPTo¸n

21TrÇnHångH¹nh–K35GSPTo¸n

i1 i

y ibằngnhữngđoạnthẳng,tađượcmộtđườnggấpkhúcgọilàđườnggấpkhúcEuler.ThựcchấtcủaphươngphápEulerlàviệcthaycácđạohàmởcácmốc

x ibằngcáctỷsốsaiphâncấp1của

y (cho yf(x) xác định trên tập X,h0,hconst, số gia

Nhậnx é t : từlíluậntrên,t a t h ấ y n ế u n cànglớnt h ì đườnggấpk h ú c n àycànggầnđườngcongtíchphân,nhưngnếucàngtăngnthìkhốilượngtínhtoáns

.

Đểnângcaođộchínhxáccủanghiệmgầnđúngthôngthườngkhôngtrựctiếpdùngcôngthức(2.3),màdùngphươngphápEulerdướidạngcảitiến

sẽlớnlên.Phươngpháphìnhthanghaycòngọil à phươngphápEuler–

C a u c h y g i ú p t a t r á n h bớtđượcn h ữ n g nhượcđ i ể m trên

3 0,3 1,0105 0,1336 1,0142 0,1331 1,0134

i 0 i i 0 i11 i22 iii

Cáchằngs ố ,,r đượcc h ọ n saoc h o khaitriểnTaylorc ủ a

nghiệm y(x1)y(x0 h) y0 hy ' h

kiệncònlại(l)(0)

0.Từ(2.9),tacó

Muốn"(0)

0,f taphảichọn r1r21

8 13k2 3k3 k) ; (2.25)Trongđó k hfx,y

4 0

h, y

Giải vớibước h0,1;tacóbảngsau

-0,09-0,0905

-0,0719-0,0724

-0,0556-0,056

-0,0408-0,0411

-0,0274-0,0277

z1(l 2l 2l l)

0

2 0

k1,z

2 0

k2,z

1,066671,0665

0,150,15002

0,132990,1330,6 1,15002 1,133 0,15005 0,13272

1 0,6 1,15002 1,13301

Vậy y1

1,15002;z11,13301.

Chương3 BÀITẬP ÁPDỤNG

1 0,2 -0,4 -1,56 -0,312 -0,36

0,10490,1051

0,1240,1242

-1,1-1,1099

-0,2198-0,2217

1

0,150,15

-1,3427-1,3543

-0,2663-0,2686

2

0,250,25

-1,6358-1,6494

-0,3209-0,3236

0,35

-1,8116-1,9883

-0,3533-0,3854

-0,3876

-2,0043-2,2002

-0,3886-0,424

4

0,450,45

-2,4111-2,4302

-0,462-0,4658

11,0034

0,00670,0067

1

0,30,3

1,01341,0169

0,02030,0203

2

0,50,5

1,04071,0444

0,03470,0348

0,7

1,06181,0831

0,04250,0505

0,0507

1,08711,1125

0,05070,0593

4

0,90,9

1,14221,1468

0,06850,0688

00,001

0,0020,002

1

0,30,3

0,00670,0117

0,0180,018

2

0,50,5

0,03750,0466

0,05030,0504

0,8 0,1735 0,134

4

0,90,9

0,23460,2543

0,1730,1749

00,0112

0,02240,0224

1

0,150,15

0,03610,0397

0,03890,0389

2

0,250,25

0,08150,0843

0,05070,0507

3

0,350,35

0,13760,1402

0,06110,0611

TrÇnHångH¹nh–K35GSPTo¸n 50

4

0,450,45

0,20380,2419

0,07120,0729

10,9974

0,10,0997

-0,0053-0,00520,1 1,0997 0,9948 0,0995 -0,0109

1

0,1 1,0998 0,9947 0,0995 -0,0109 0,0987 -0,01710,15 1,1496 0,9893 0,0989 -0,0171

TrÇnHångH¹nh–K35GSPTo¸n 51

0,15 1,1493 0,9862 0,0986 -0,017

0,2 1,1984 0,9777 0,0978 -0,0236

2

0,2 1,1985 0,9776 0,0978 -0,0236 0,0964 -0,03040,25

0,25

1,2474

1,2468

0,96580,9624

0,09660,0962

-0,0304-0,03030,3 1,2947 0,9473 0,0947 -0,0374

3

0,3 1,2949 0,9472 0,0947 -0,0374 0,0926 -0,04470,35

0,35

1,3423

1,3414

0,92850,9249

0,09290,0925

-0,0447-0,04460,4 1,3874 0,9026 0,0903 -0,0521

4

0,4 1,3875 0,9025 0,0903 -0,0521 0,0874 -0,05960,45

0,45

1,4327

1,4314

0,87650,8727

0,08770,0873

-0,0597-0,05950,5 1,4748 0,843 0,0843 -0,0672

Ngàynay,t o á n họcứngdụngđangd ầ n đ ư ợ c phổcậpmộtcáchrộngrãitrongnhiềul ĩ n h vựckhoahọcv à phươngtrìnhviphântheohướngđ ó cũngn g à

y càngđượcứngdụngrộngrãi.Dođ ó , đểđ á p ứngđượcnhucầucủathựctiễnthìcácphươngphápgiảigầnđúngphươngtrìnhviphânthườngphảingàycàngđượctốiưuhóavềmặttínhtoánvàvềmặtchínhxác

Trongkhóaluậnt ố t nghiệpnày,n g o à i phầnk i ế n thứcv ề sốgầnđúngv

à s a i số,s a i phân,phươngtrìnhv i p h â n thường,e m đãn ê u h a i phươngphápthôngdụngtrongcácphươngphápgiảigầnđúngphươngtrìnhv i phâ nđólà:phươngp h á p EulervàE ul er cảitiến;phươngphápR u n g e –

Kutta,vàcuốicùnglàmộtsốbàitậpminhhọaviệcsửdụnghaiphươngphápnày

Cácphươngphápgiảig ầ n đúngphươngtrìnhv i phânr ấ t phongphúnênemchỉđềcậpđếnhaiphươngphápnhưtrên.N gay cảđốivớih a i phươngphápđượcđề cập,d o nănglựccủabảnthâncóhạnvàvớikhuônkhổcủamộtbảnkhóaluậnnênemcũngkhôngthểđisâuvàrộngh ơn Dođó,khóaluậncònnhiềuhạnchế,thiếusót.Emrấtmongnhậnđượcnhữngýkiếnđónggópcủacácthầycôgiáovàbạnđọc

Cuốicùng,emxintrântrọngcảmơnTiếnsĩNguyễnVănHùngđãtậntì

nhhướngdẫngiúpđỡemhoànthànhđềtàinày