Phép đối xứng tâm trong E2, E3

Phép đối xứng tâm là một trong những phép biến hình sơ cấp được vậndụng để giải quyết các bài toán dựng hình, quỹ tích, chứng minh, tính toán…Tuy nhiên việc vận dụng phép đối xứng tâm tr

Việc đưa nội dung các phép biến hình vào chương trình toán ở bậc trunghọc cơ sở và trung học phổ thông không những chỉ nhằm cung cấp cho họcsinh những công cụ mới để giải toán mà còn tập cho học sinh làm quen vớicác phương pháp tư duy và suy luận mới, biết nhìn nhận sự việc và các hiệntượng xung quanh trong cuộc sống với sự vận động và biến đổi của chúng đểnghiên cứu, tìm tòi, khám phá, tạo cơ sở cho sự ra đời của những phát minh

và sáng tạo trong tương lai

Phép đối xứng tâm là một trong những phép biến hình sơ cấp được vậndụng để giải quyết các bài toán dựng hình, quỹ tích, chứng minh, tính toán…Tuy nhiên việc vận dụng phép đối xứng tâm trong E2,E3 để giải các bài toánhình học không phải là việc dễ dàng

Thực tế nó là một phần khó đối với cả giáo viên và học sinh

Vì thời gian có hạn nên em xin trình bày những kiến thức cơ bản về phépđối xứng tâm trong E2,E3

2 Mục đích nghiên cứu của đề tài

Nghiên cứu phép đối xứng tâm và ứng dụng của nó trong các lớp bài tậphình học

3 Đối tượng nghiên cứu

Phép đối xứng tâm trong E2, E3

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Trình bày cơ sở lý thuyết về phép đối xứng tâm

Các ví dụ minh họa thể hiện ứng dụng của phép đối xứng tâm trong cáclớp bài toán hình học sau:

 Chứng minh tính chất hình học

 Dựng hình

 Tập hợp điểm

 Bài toán cực trị

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến phép đối xứng tâm

6 Nội dung của đề tài

Phần 1 Mở đầu

Phần 2 Nội dung

1 Đại cương về phép biến hình

2 Định nghĩa các tính chất của phép đối xứng tâm

3 Ứng dụng của phép đối xứng tâm trong việc giải một số lớp bài toánhình học

Phần 3 Một số kết luận và kiến nghị

7 Kế hoạch nghiên cứu

Tháng 9/2012 đến tháng 1/2012 nhận đề tài và hoàn thành đề cương Tháng 2/2013 đến tháng 3/2013 tìm hiểu cơ sở lý thuyết, tìm tài liệutham khảo

Tháng 4/2013 đến tháng 5/2013 hoàn thành đề tài

PHẦN HAI: NỘI DUNG Chương 1 ĐẠI CƯƠNG VỀ PHÉP BIẾN HÌNH

1 Định nghĩa

Mỗi song ánh f: En→ En được gọi là một phép biến hình của không gian

En(n=2,3)

2 Định nghĩa

Cho phép biến hình f: En→ En ta có các khái niệm sau:

 Điểm M thuộc En được gọi là điểm bất động đối với phép biến hình fnếu f(M) = M

 Hình H nằm trong En được gọi là hình kép nếu f(H) = H

 Hình H được gọi là hình bất động đối với phép biến hình f nếu:

Chương 2 PHÉP ĐỐI XỨNG QUA TÂM

1 Định nghĩa

Trong không gian En(n=2,3) cho một điểm O phép biến hình của En biến

M thành M’ sao cho: OM ' = - OM được gọi là phép đối xứng qua O

O: gọi là tâm đối xứng

Kí hiệu: ĐO

2 Tính chất

 Trong E2: Phép đối xứng tâm là một phép bảo tồn phương

trong E3: Phép đối xứng tâm là phản chiếu bảo tồn phương

f: E3 → E3 biến điểm M thành M’, biến điểm N thành N’ thế thì ta có:

M ' N'= - MN

 Phép đối xứng tâm ĐO có một điểm bất động duy nhất

 Phép đối xứng tâm ĐO là phép biến hình 1-1

 Tích của ba phép đối xứng tâm với ba tâm đối xứng phân biệt là mộtphép đối xứng tâm

Ví dụ 1 Chứng minh rằng nếu một tam giác có đường trung tuyến và

đường phân giác cùng xuất phát từ một đỉnh mà trùng nhau thì tam giác đó làtam giác cân

Dễ thấy B,C đối xứng với nhau qua D

Gọi A’=ĐD(A) tứ giác ABA’C là hình bình

hành tâm D Bởi vậy, AC=BA’, Â’2 = Â2 = Â1 suy

ra:

Tam giác BAA’ cân ở B và do đó BA’=BA suy ra:

AB=AC và tam giác ABC cân ở A

Chú thích:

Về cơ bản bài toán này chỉ đòi hỏi vận dụng kiến thức SGK hình học 7,tuy nhiên cần phải vẽ thêm hình phụ Ở đây chúng ta sử dụng ngôn ngữ biếnhình trong việc trình bày lời giải của bài toán (cụ thể là phép đối xứng tâm)

B2

A2

A1C

Ví dụ 2 Cho tam giác ABC Trên các cạnh BC,CA,AB ta lấy lần lượt

các điểm A1 và A2, B1 và B2, C1 và C2 sao cho 6 điểm đó nằm trên một đườngtròn Chứng minh rằng nếu các đường thẳng đi qua A1 và vuông góc với BC,

đi qua B1 và vuông góc với AC, đi qua C1 và vuông góc với AB đồng quy thìcác đường thẳng đi qua A2 và vuông góc với BC, đi qua B2 và vuông góc với

AC, đi qua C2 và vuông góc với AB cũng đồng quy

Gi ải :

Gọi x là dường thẳng đi qua A1 và vuông góc với BC, (O) là đường tròn

đi qua 6 điểm đã nêu trong bài toán

Gọi A’1 là giao diểm thứ 2 của x với (O) rõ ràng A’1A2 là đường kính của (O)

Vì vậy phép đối xứng ĐO biến A’1 thành A2 Do đó nó biến đường thẳng

x thành đường thẳng x’ đi qua A2 và x//x’ hay x’ BC

Tương tự ĐO biến đường thẳng y thành đường thẳng y’ đi qua B2 vàvuông góc với AC, biến đường thẳng z thành đường thẳng z’ đi qua C2 và

vuông góc với AB(trong đó y, z lần lượt là các đường thẳng đi qua B1 vàvuông góc với AC, đi qua C1 và vuông góc với AB).

Vậy nếu S là điểm chung của x, y, z thì ảnh S’ của S qua phép đối xứng tâm ĐO cũng là điểm chung của x’, y’, z’ Suy ra điều phải chứng minh

D K

M

O

C

Ví dụ 3 Cho hình bình hành ABCD và đường tròn bàng tiếp (O) của

tam giác ABD tiếp xúc với phần kéo dài của AB và AD tương ứng tại cácđiển M và N Đoạn thẳng MN cắt BC và DC tương ứng tại các điểm P,Q.Chứng minh rằng đường tròn nội tiếp tam giác BCD tiếp xúc với các cạnh

BH=DK mà IB=ID nên IH=IK

Rõ ràng phép đối xứng tâm ĐI biến B thành D, H thành K

Tam giác AMN cân tại A và vì DQ // AM nên tam giác DQN cân tại Dsuy ra DQ = DN = DK = BH = BM’ Thế thì Q là ảnh của M’ qua ĐI Tương

tự P là ảnh của N’ qua ĐI

Ta có ĐI biến A,B,D thành C,D,B nên ĐI biến tam giác ABD thành tamgiác CDB Vậy ĐI biến đường tròn (O’) nội tiếp tam giác ABD thành đườngtròn (O’’) nội tiếp tam giác CDB

Mà ĐI biến M’,N’,H thành Q,P,K hơn nữa (O’) đi qua M’,N’,H nên(O’’) đi qua Q,P,K Suy ra điều phải chứng minh

Ví dụ 4 Cho ABCD là một tứ giác nội tiếp trong một đường tròn cho

trước Từ M,N P,Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB,BC,CD,DA ta vẽ cácđường thẳng vuông góc với các cạnh đối diện tương ứng

Chứng minh các đường thẳng này đồng quy

Gi ải :

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD

Dễ thấy MNPQ là hình bình hành

Gọi I là tâm của tứ giác MNPQ

Ta có phép đối xứng tâm ĐI biến M,N,P,Q lần lượt thành P,Q.M,N

Ta có OM,ON,OP,OQ lần lượt vuông góc với AB,BC,CD,DA

Do tính chất của phép đối xứng tâm nên đường thẳng OM đi qua M biếnthành đường thẳng đi qua P và song song với OM Đó chính là đường thẳng

đi qua P và vuông góc với AB

Như vậy qua phép đối xứng tâm ĐI các đường thẳng OM,ON,OP,OQ lần lượtbiến thành các đường thẳng đi qua P,Q,M,N và vuông góc với các cạnh đốidiện tương ứng.

Ví dụ 5 Cho ba điểm A,B,C với điểm M bất kì khác ba điểm đã cho ta

kí hiệu M1 là ảnh của M qua phép đối xứng tâm A M2 là ảnh của M1 quaphép đối xứng tâm B và M3 là ảnh của M2 qua phép đối xứng tâm C Ta dựngđiểm D thỏa mãn BD = BA + BC

Chứng minh rằng M3 đối xứng với M qua D

Ta xét ba điểm A,B,C không thẳng hàng Theo giả thiết các điểm A,B,C

là trung điểm ba cạnh tứ giác MM1M2M3 Gọi D’ là trung điểm của cạnhMM3 khi đó tứ giác ABCD’ là hình bình hành có BD’ là một trong hai đườngchéo của nó Vì vậy D’ trùng với D

Trường hợp A,B,C thẳng hàng và M không nằm trên đường thẳng AB.

Khi đó BC là đường trung bình của tam giác M1M2M3 và ta có M1M 3 = 2 BC

Gọi D’ là giao điểm của MM3 với đường thẳng AB và D’ là trung điểmcủa đoạn MM3

Những bài tập luyện tập tương ứng

1 Cho đường tròn tâm O và dây cung AB.gọi x,y là 2 đường thẳngvuông góc với AB tại các đầu mút của dây cung đó Chứng minh x,y đối xứngnhau qua tâm O

HD: Gọi A’ là giao điểm thứ 2 của x với (O) khi đó A’B là đường kính

của đường tròn ĐO biến A’ thành B nên ĐO biến đường thẳng x thành đườngthẳng x’ đi qua B và vuông góc với AB.đường thẳng x’ trùng với y

2 Cho 2 hình bình hành ABCD và A’B’C’D’ trong đóA’AB,B’BC, C’CD,D’DA Chứng minh 2 hình bình hànhtrên có cùng tâm

HD: Gọi O là tâm hình bình hành ABCD ĐO biến A’ thành

C1(C1CD) biến B’ thành D1(D1DA) và A’B’ song song và bằngC1D1 vì C’D’ song song và bằng A’B’ nên: C’D’ song song và bằngC1D1 suy ra C’D’ ≡ C1D1

3 Cho 4 điểm A,B,C,D theo thứ tự nằm trên một đường thẳng và thỏamãn điều kiện AB=CD Chứng minh rằng với điểm M bất kì ta cóMA+MD MB+MC

HD: Gọi O là trung điểm của AD.

ĐO biến M,A,B lần lượt thành M’,D,C nên MA=M’D,

MB=M’C Ta có MA+MD=MD+M’D MC+M’C=

MC+MB

O 1

O 2

B

P O’ 2

A

§ 2 DỰNG HÌNH

Ví dụ 1 Qua giao điểm P của hai đường tròn cắt nhau (O1) và (O2) đã

cho hãy kẻ một cát tuyến ∆ sao cho nó định ra trên các đường tròn đó hai dâycung bằng nhau

Gi ải :

 Phân tích:

Giả sử dựng được cát tuyến ∆ đi qua P cắt (O1) ở A và (O2) ở B sao choAP=BP

Khi đó A,B đối xứng với nhau qua P hay ĐP(B) =A mà B

(O2) nên A(O’2) đối xứng với (O2) qua P mà A(O1) nên A=(O1)∩(O’2)

Vậy cát tuyến ∆ cần dựng đi qua P và giao điểm thứ hai A của hai đườngtròn (O1) và (O’2)

Bài toán luôn có một nghiệm hình.

Chúng ta cũng có thể mở rộng bài toán trên như sau:

Qua giao điểm P của hai đường tròn cắt nhau (O1) và (O2) cho trước hãy

kẻ một cát tuyến ∆ sao cho nó định ra trên các đường tròn đó hai dây cung màhiệu độ dài bằng a (a>0 cho trước)

Gi ải :

Phân tích:

Gọi M,M’ là các giao điểm của ∆ với (O1) và (O2) M,M’≠P và coi PM

PM’

Phép đối xứng tâm ĐP biến M’ thành M’’ sẽ biến (O2) thành (O’2)

Gọi H,K lần lượt là trung điểm các cạnh PM’’,PM

Khi đó O’2HPM và O1KPM Gọi E là hình chiếu của O1 trên O’2H ta có: O1E song song và bằng KH

Mặt khác: KH=KP-PH=

PM 2 - PM '' 2 = 2a = 01ENhư vậy điểm E vừa thuộc đường tròn đường kính O1O’2 vừa thuộcđường tròn tâm O1 bán kính r= a Sau khi xác định được E ta xác định được

Nối O’2E cắt ∆ tại H khi đó O’2H PM

Vì ĐP[(O2)]= (O’2) nên ĐP(M’)= M’’, M’’ (O’2),M’’

B A

D O

A’

Ví dụ 2 Cho đường tròn tâm O và hai đỉnh A,B Dựng đường kính COD

của đường tròn sao cho CA = DB

Gi ải :

C

A’B

 Phân tích:

Giả sử dựng được đường kính COD thỏa mãn yêu cầu bài toán

ĐO(A)=A’, ĐO(C)=D nên AC=A’D=BD D thuộc đường trung trực của

Dựng A’=ĐO(A)

Nối A’B kẻ d là đường trung trực của A’B

Gọi D=d∩(O), C=ĐO(D)

Số nghiệm của bài toán phụ thuộc vào số giao điểm của d với (O)

Nhận xét:

Khi thay đường tròn tâm O bởi một hình H có tâm đối xứng là O(hìnhvuông, hình bình hành,hình chữ nhật)có các đường chéo cắt nhau tại O thì ta

có bài toán sau:

Cho H(ABCD) có AC∩BD=O và P.Q cố định Hãy dựng đường thẳng điqua O cắt 2 cạnh đối nhau của H, giả sử AB,CD lần lượt tại E,F sao choEP=FQ.(2 cạnh AC,BD tương tự)

Làm tương tự như hình tròn

C d

H

d’

B A

Ví dụ 3 Cho đường tròn (O) đường thẳng d không có điểm chung với

đường tròn (O) và điểm H Hãy dựng hình bình hành ABCD sao cho hai đỉnhliên tiếp A,B nằm trên d và hai đỉnh còn lại nằm trên (O) và nhận H là giaođiểm các đường chéo Hãy xác định vị trí của H để hai đỉnh của hình bìnhhành trên d cách nhau xa nhất

Gi ải :

D

 Phân tích:

Giả sử dựng được hình bình hành ABCD thỏa mãn A,B thuộc d

H là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành

O C B

I

D A

O’

biến C,D thành A,B A,B thuộc d và ABCD là hình bình hành

 Biện luận:

Bài toán có một nghiệm hình khi d’ cắt (O) tại 2 điểm phân biệt

Bài toán vô nghiệm hình khi d’ không cắt (O) hoặc cắt (O) tại 1 điểmduy nhất

AB lớn nhất thì CD lớn nhất khi và chỉ khi CD là đường kính của (O).trong trường hợp này ảnh của tâm O qua ĐH phải thuộc d gọi O’ là giao điểmcủa OH với d thì H là trung điểm của OO’

Khai thác:

Nếu không cho trước điểm H thì phải thêm và bớt điều kiện gì để dựngđược hình bình hành ABCD

Khi đó ta có bai toán sau:

Hãy dựng một hình bình hành ABCD cho biết hai đỉnh A,C còn hai đỉnhđối diện B,D còn lại nằm trên một đường tròn tâm O bán kính R cho trước

Gi ải :

H

 Phân tích:

Giả sử dựng được hình bình hành ABCD thỏa mãn yêu cầu bài toánKhi đó phép đối xứng tâm I biến B thành D và biến D thành B Suy raB,D thuộc đường tròn (O,R) và đường tròn (O’,R) là ảnh của (O,R) qua ĐI

Dựng I là trung điểm của AC

Dựng ảnh của đường tròn tâm O qua phép đối xứng tâm I là đường trònO’

Gọi B,D là giao điểm của hai đường tròn tâm O và tâm O’

Nếu I nằm trong đường tròn tâm O thì bài toán có nghiệm hình

Nếu I nằm ngoài đường tròn tâm O thì bài toán vô nghiệm hình

`

x y

B A

t

z

Ví dụ 4 Cho 4 đường thẳng trong đó không có hai đường thẳng nào

song song và một điểm O không nằm trên 4 đường thẳng đó Hãy dựng mộthình bình hành mà 4 đỉnh nằm trên 4 đường thẳng và nhận O làm giao điểmcác đường chéo

Gi ải :

 Phân tích:

Ta kí hiệu x,y,z,t là 4 đường thẳng có tính chất đã nêu Giả sử dựng đượchình bình hành ABCD(Ax,By,Cz,Dt) và nhận O làm tâmPhép đối xứng ĐO: Biến A,B lần lượt thành C,D khi đó x,y lần lượt biếnthành x’,y’ và x’//x và x’ đi qua C, y’//y và y’ đi qua D vậy C=x’∩z, D=y’∩t

biến C,D lần lượt thành

A,B nên ABCD là hình

Bài toán luôn luôn có một nghiệm hình

Ví dụ 5 Dựng một tam giác biết một đỉnh,trọng tâm và hai đường thẳng

mỗi một đi qua một đỉnh trong hai đỉnh còn lại

b’//c thì bài toán vô nghiệm hình

b’ cắt c thì bài toán có một nghiệm hình

b’ trùng c thì bài toán có vô số nghiệm

Những bài tập luyện tập tương ứng

1 Dựng tam giác ABC biết độ dài các trung tuyến kẻ từ các đỉnh A,B vàgóc C

HD: Kí hiệu AM,BN là các trung tuyến G là trọng tâm tam giác ABC.

Phép đối xứng tâm ĐM biến B thành C biến G thành G’ Khi đó G’C=GB=

2mb

điều đó chứng tỏ C nằm trên đường tròn tâm G’ với bán kính R’= 2mb

mặt khác C nằm trên cung chứa góc dựng trên AM

2 Cho đường tròn tâm O đường thẳng d và điểm A không nằm trên d và(O) Tìm điểm B trên (O) sao cho BA cắt d tại C thỏa mãn AB=AC

HD: Phép đối xứng qua A biến C thành B nên biến d thành d’ cắt đường

tròn (O) tại B

3 Cho góc xOy và 2 điểm A,C nằm trong góc đó Hãy dựng các điểmB,D trên 2 cạnh Ox,Oy sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành

HD: Gọi I là trung điểm của AC Phép đối xứng qua I biến B thành D

nên biến Ox thành tia O’x’ đi qua D D là giao điểm của tia O’x’ với tia Oy

§ 3 TÌM TẬP HỢP ĐIỂM

Ví dụ 1 Cho mặt phẳng (P) và 4 điểm A,B,C,D Với mỗi điểm M thuộc

(P) ta xác định điểm N theo công thức MA + MB + MC + MD =2 MN Tìm tập hợp điểm N khi M biến thiên trong (P)

Gi ải :

Gọi G là trọng tâm của 4 điểm A,B,C,D

Với điểm M bất kì Theo công thức trọng tâm ta có:

4 MG = MA + MB + MC + MD 4 MG =2 MN 2 MG = MN

Hệ thức đó chứng tỏ tập hợp N là mặt phẳng đối xứng với (P) qua G

Nhậ n xét:

Ta có thể mở rộng bài toán trên trong E3 ta được bài toán sau:

Cho mặt cầu (O) và 4 điểm A,B,C,D Với mỗi điểm M thuộc mặt cầu taxác định điểm N theo hệ thức 7 MN =2 MA +3 MB +4 MC +5 MD Tìm tập

hợp điểm N khi M biến thiên trên mặt cầu

Gi ải :

Gọi G là điểm sao cho 2 GA +3 GB +4 GC +5 GD = O khi đó

ta có 7 MN =14 MG hay 7 MG +7 GN =14 MG tương đương với

GN =- GM suy ra tập hợp N là mặt cầu đối xứng với (O) qua G.

F E

I

C B

P

Ví dụ 2 Cho tam giác ABC và đường tròn (O) Trên cạnh AB ta lấy

điểm E sao cho BE=2AE F là trung điểm cạnh AC và I là đỉnh thứ tư hìnhbình hành AEIF với mỗi điểm P trên đường tròn (O) ta dựng điểm Q sao cho

Vậy tập hợp Q là đường tròn (O’) là ảnh của (O) qua ĐI