Luận văn sư phạm Phép đối xứng tâm trong E2, E3

Cho tam giác ABC... Ch ng minh 2 hình bình hƠnh trên có cùng tâm.

PH N M T: M U

1 L ý do ch n đ tƠi

Trong nhƠ tr ng ph thông, hình h c lƠ m t môn khó đ i v i h c sinh,

b i vì tính ch t ch , logic vƠ tính tr u t ng c a hình h c cao h n các môn

h c khác c bi t lƠ các phép bi n hình s c p lƠ m t ph n quan tr ng c a hình h c vƠ nó lƠ m t công c h u ích đ i v i các bƠi toán hình h c ph ng vƠ hình h c không gian

Vi c đ a n i dung các phép bi n hình vƠo ch ng trình toán b c trung

h c c s vƠ trung h c ph thông không nh ng ch nh m cung c p cho h c sinh nh ng công c m i đ gi i toán mƠ còn t p cho h c sinh lƠm quen v i các ph ng pháp t duy vƠ suy lu n m i, bi t nhìn nh n s vi c vƠ các hi n

t ng xung quanh trong cu c s ng v i s v n đ ng vƠ bi n đ i c a chúng đ nghiên c u, tìm tòi, khám phá, t o c s cho s ra đ i c a nh ng phát minh

vƠ sáng t o trong t ng lai

Phép đ i x ng tơm lƠ m t trong nh ng phép bi n hình s c p đ c v n

d ng đ gi i quy t các bƠi toán d ng hình, qu tích, ch ng minh, tính toánầ

Tuy nhiên vi c v n d ng phép đ i x ng tơm trong E2

,E3 đ gi i các bƠi toán hình h c không ph i lƠ vi c d dƠng

Th c t nó lƠ m t ph n khó đ i v i c giáo viên vƠ h c sinh

Vì th i gian có h n nên em xin trình bƠy nh ng ki n th c c b n v phép

đ i x ng tơm trong E2

,E3

c đích nghiên c u c a đ tƠi

4 N hi m v nghiên c u

Trình bƠy c s lý thuy t v phép đ i x ng tơm

Các ví d minh h a th hi n ng d ng c a phép đ i x ng tơm trong các

l p bƠi toán hình h c sau:

Tháng 4/2013 đ n tháng 5/2013 hoƠn thƠnh đ tƠi

Ch ng 2 PHÉP I X NG QUA TỂM

1 nh ngh a

Trong không gian En(n=2,3) cho m t đi m O phép bi n hình c a Enbi n

M thƠnh M’ sao cho: OM '= -OM đ c g i lƠ phép đ i x ng qua O

trong E3: Phép đ i x ng tơm lƠ ph n chi u b o t n ph ng

f: E3 E3 bi n đi m M thƠnh M’, bi n đi m N thƠnh N’ th thì ta có:

3 ng d ng c a phép đ i x ng qua tơm

§ 1 CH NG MINH TệNH CH T HỊNH H C

Ví d 1 Ch ng minh r ng n u m t tam giác có đ ng trung tuy n vƠ

đ ng phơn giác cùng xu t phát t m t đ nh mƠ trùng nhau thì tam giác đó lƠ

tam giác cân

Gi i:

Th t v y , gi s tam giác ABC có đ ng trung tuy n AD đ ng th i lƠ

đ ng phơn giác

D th y B,C đ i x ng v i nhau qua D

G i A’= D(A) t giác ABA’C lƠ hình bình hành tâm D

B i v y, AC=BA’, Â’2 = Â2 = Â1 suy ra:

Tam giác BAA’ cơn B vƠ do đó BA’=BA suy ra:

AB=AC vƠ tam giác ABC cơn A

Ví d 2 Cho tam giác ABC Trên các c nh BC,CA,AB ta l y l n l t

các đi m A1 và A2, B1 và B2, C1 và C2sao cho 6 đi m đó n m trên m t đ ng

tròn Ch ng minh r ng n u các đ ng th ng đi qua A1vƠ vuông góc v i BC,

đi qua B1 vƠ vuông góc v i AC, đi qua C1 vƠ vuông góc v i AB đ ng quy thì các đ ng th ng đi qua A2 vƠ vuông góc v i BC, đi qua B2vƠ vuông góc v i

AC, đi qua C2vƠ vuông góc v i AB c ng đ ng quy

Gi i:

G i x lƠ d ng th ng đi qua A1vƠ vuông góc v i BC, (O) lƠ đ ng tròn

đi qua 6 đi m đư nêu trong bƠi toán

G i A’1 lƠ giao di m th 2 c a x v i (O) rõ rƠng A’1A2 lƠ đ ng kính

c a (O)

Vì v y phép đ i x ng Obi n A’1 thành A2 Do đó nó bi n đ ng th ng

x thƠnh đ ng th ng x’ đi qua A2 vƠ x//x’ hay x’ BC

T ng t O bi n đ ng th ng y thƠnh đ ng th ng y’ đi qua B2 và

vuông góc v i AC, bi n đ ng th ng z thƠnh đ ng th ng z’ đi qua C và

vuông góc v i AB(trong đó y, z l n l t lƠ các đ ng th ng đi qua B1 và

vuông góc v i AC, đi qua C1vƠ vuông góc v i AB)

V y n u S lƠ đi m chung c a x, y, z thì nh S’ c a S qua phép đ i x ng tơm Oc ng lƠ đi m chung c a x’, y’, z’ Suy ra đi u ph i ch ng minh

Ví d 3 Cho hình bình hành ABCD và đ ng tròn bƠng ti p (O) c a

tam giác ABD ti p xúc v i ph n kéo dƠi c a AB vƠ AD t ng ng t i các

đi n M vƠ N o n th ng MN c t BC vƠ DC t ng ng t i các đi m P,Q

Ch ng minh r ng đ ng tròn n i ti p tam giác BCD ti p xúc v i các c nh

 BH=DK mà IB=ID nên IH=IK

Rõ ràng phép đ i x ng tơm I bi n B thƠnh D, H thƠnh K

Tam giác AMN cơn t i A vƠ vì DQ // AM nên tam giác DQN cơn t i D

suy ra DQ = DN = DK = BH = BM’ Th thì Q lƠ nh c a M’ qua I T ng

t P lƠ nh c a N’ qua I

Ta có I bi n A,B,D thƠnh C,D,B nên I bi n tam giác ABD thành tam giác CDB V y I bi n đ ng tròn (O’) n i ti p tam giác ABD thƠnh đ ng tròn (O’’) n i ti p tam giác CDB

MƠ I bi n M’,N’,H thƠnh Q,P,K h n n a (O’) đi qua M’,N’,H nên (O’’) đi qua Q,P,K Suy ra đi u ph i ch ng minh

Ví d 4 Cho ABCD lƠ m t t giác n i ti p trong m t đ ng tròn cho

tr c T M,N P,Q l n l t lƠ trung đi m các c nh AB,BC,CD,DA ta v các

Ta có OM,ON,OP,OQ l n l t vuông góc v i AB,BC,CD,DA

Do tính ch t c a phép đ i x ng tơm nên đ ng th ng OM đi qua M bi n thƠnh đ ng th ng đi qua P vƠ song song v i OM ó chính lƠ đ ng th ng

đi qua P vƠ vuông góc v i AB

Nh v y qua phép đ i x ng tơm I các đ ng th ng OM,ON,OP,OQ l n l t

bi n thƠnh các đ ng th ng đi qua P,Q,M,N vƠ vuông góc v i các c nh đ i

di n t ng ng

Ví d 5 Cho ba đi m A,B,C v i đi m M b t kì khác ba đi m đư cho ta

kí hi u M1 lƠ nh c a M qua phép đ i x ng tơm A M2 lƠ nh c a M1 qua

phép đ i x ng tơm B vƠ M3 lƠ nh c a M2qua phép đ i x ng tơm C Ta d ng

đi m D th a mưn BD=BA+BC

Ch ng minh r ng M3đ i x ng v i M qua D

Gi i:

Ta xét ba đi m A,B,C không th ng hƠng Theo gi thi t các đi m A,B,C

là trung đi m ba c nh t giác MM1M2M3 G i D’ lƠ trung đi m c a c nh

MM3 khi đó t giác ABCD’ lƠ hình bình hƠnh có BD’ lƠ m t trong hai đ ng chéo c a nó Vì v y D’ trùng v i D

Tr ng h p A,B,C th ng hƠng vƠ M không n m trên đ ng th ng AB Khi đó BC lƠ đ ng trung bình c a tam giác M1M2M3 và ta có M 1M 3= 2BC

G i D’ lƠ giao đi m c a MM3 v i đ ng th ng AB vƠ D’ lƠ trung đi m

Nh ng bài t p luy n t p t ng ng

1 Cho đ ng tròn tơm O vƠ dơy cung AB.g i x,y lƠ 2 đ ng th ng vuông góc v i AB t i các đ u mút c a dơy cung đó Ch ng minh x,y đ i x ng

nhau qua tâm O

HD: G i A’ lƠ giao đi m th 2 c a x v i (O) khi đó A’B lƠ đ ng kính

c a đ ng tròn O bi n A’ thƠnh B nên Obi n đ ng th ng x thƠnh đ ng

th ng x’ đi qua B vƠ vuông góc v i AB.đ ng th ng x’ trùng v i y

2 Cho 2 hình bình hƠnh ABCD vƠ A’B’C’D’ trong đó A’AB,B’BC, C’CD,D’DA Ch ng minh 2 hình bình hƠnh trên có cùng tâm

HD: G i O lƠ tơm hình bình hƠnh ABCD Obi n A’ thƠnh C1(C1CD)

bi n B’ thƠnh D1(D1DA) vƠ A’B’ song song vƠ b ng C1D1 vì C’D’ song song vƠ b ng A’B’ nên: C’D’ song song vƠ b ng C1D1suy ra C’D’ C1D1

3 Cho 4 đi m A,B,C,D theo th t n m trên m t đ ng th ng vƠ th a mưn đi u ki n AB=CD Ch ng minh r ng v i đi m M b t kì ta có

MA+MD  MB+MC

HD: G i O lƠ trung đi m c a AD

Obi n M,A,B l n l t thƠnh M’,D,C nên MA=M’D, MB=M’C

Ta có MA+MD=MD+M’D  MC+M’C= MC+MB

§ 2 D NG HỊNH

Ví d 1 Qua giao đi m P c a hai đ ng tròn c t nhau (O1) và (O2) đư cho hưy k m t cát tuy n Ấ sao cho nó đ nh ra trên các đ ng tròn đó hai dơy cung b ng nhau

Gi i:

 Phân tích:

Gi s d ng đ c cát tuy n Ấ đi qua P c t (O1) A vƠ (O2) B sao cho

AP=BP

Khi đó A,B đ i x ng v i nhau qua P hay P(B) =A mà B  (O2) nên

A(O’2) đ i x ng v i (O2) qua P mà A(O1) nên A=(O1) (O’2)

V y cát tuy n Ấ c n d ng đi qua P vƠ giao đi m th hai A c a hai đ ng

 Ch ng minh:

Vì A(O’2) B(O2) vƠ AB đi qua P h n n a (O’2)= P(O2) nên A= P(B)

hay AP=BP.đpcm

 Bi n lu n:

BƠi toán luôn có m t nghi m hình

Chúng ta c ng có th m r ng bài toán trên nh sau:

Qua giao đi m P c a hai đ ng tròn c t nhau (O1) và (O2) cho tr c hưy

k m t cát tuy n Ấ sao cho nó đ nh ra trên các đ ng tròn đó hai dơy cung mƠ

hi u đ dƠi b ng a (a>0 cho tr c)

Gi i:

Phân tích:

G i M,M’ lƠ các giao đi m c a Ấ v i (O1) và (O2) M,M’≠P vƠ coi PM

 PM’

Phép đ i x ng tơm Pbi n M’ thƠnh M’’ s bi n (O2) thƠnh (O’2)

G i H,K l n l t lƠ trung đi m các c nh PM’’,PM

Khi đó O’2HPM và O1KPM G i E lƠ hình chi u c a O1 trên O’2H ta

M t khác: KH=KP-PH=

2

PM-2

'' PM

=2

O (O1,

2

a)

D ng Ấ đi qua P vƠ song song v i O1E c t (O1) t i M, (O2) t i M’

 Ch ng minh:

N i O’2E c t Ấ t i H khi đó O’2H  PM

Vì P[(O2)]= (O’2) nên P(M’)= M’’, M’’ (O’2),M’’  Ấ

'' PM

=

2

' PM

Ví d 2 Cho đ ng tròn tâm O vƠ hai đ nh A,B D ng đ ng kính COD

c a đ ng tròn sao cho CA = DB

Gi i:

 Phân tích:

Gi s d ng đ c đ ng kính COD th a mưn yêu c u bƠi toán

O(A)=A’, O(C)=D nên AC=A’D=BD D thu c đ ng trung tr c c a A’B

S nghi m c a bƠi toán ph thu c vƠo s giao đi m c a d v i (O)

Nh n xét:

Khi thay đ ng tròn tơm O b i m t hình H có tơm đ i x ng lƠ O(hình vuông, hình bình hƠnh,hình ch nh t)có các đ ng chéo c t nhau t i O thì ta

có bài toán sau:

Cho H(ABCD) có AC BD=O vƠ P.Q c đ nh Hưy d ng đ ng th ng đi

qua O c t 2 c nh đ i nhau c a H, gi s AB,CD l n l t t i E,F sao cho EP=FQ.(2 c nh AC,BD t ng t )

LƠm t ng t nh hình tròn

Ví d 3 Cho đ ng tròn (O) đ ng th ng d không có đi m chung v i

đ ng tròn (O) vƠ đi m H Hưy d ng hình bình hƠnh ABCD sao cho hai đ nh liên ti p A,B n m trên d vƠ hai đ nh còn l i n m trên (O) vƠ nh n H lƠ giao

đi m các đ ng chéo Hưy xác đ nh v trí c a H đ hai đ nh c a hình bình hƠnh trên d cách nhau xa nh t

Gi i:

 Phân tích:

Gi s d ng đ c hình bình hƠnh ABCD th a mưn A,B thu c d

H lƠ giao đi m c a hai đ ng chéo c a hình bình hƠnh

BƠi toán có m t nghi m hình khi d’ c t (O) t i 2 đi m phơn bi t

BƠi toán vô nghi m hình khi d’ không c t (O) ho c c t (O) t i 1 đi m duy nh t

AB l n nh t thì CD l n nh t khi vƠ ch khi CD lƠ đ ng kính c a (O) trong tr ng h p nƠy nh c a tơm O qua H ph i thu c d g i O’ lƠ giao đi m

c a OH v i d thì H lƠ trung đi m c a OO’

Khai thác:

N u không cho tr c đi m H thì ph i thêm vƠ b t đi u ki n gì đ d ng

đ c hình bình hƠnh ABCD

Khi đó ta có bai toán sau:

Hưy d ng m t hình bình hƠnh ABCD cho bi t hai đ nh A,C còn hai đ nh

đ i di n B,D còn l i n m trên m t đ ng tròn tơm O bán kính R cho tr c

 Phân tích:

Gi s d ng đ c hình bình hƠnh ABCD th a mưn yêu c u bƠi toán Khi đó phép đ i x ng tơm I bi n B thƠnh D vƠ bi n D thƠnh B Suy ra B,D thu c đ ng tròn (O,R) vƠ đ ng tròn (O’,R) lƠ nh c a (O,R) qua I

 D ng hình:

D ng I lƠ trung đi m c a AC

D ng nh c a đ ng tròn tơm O qua phép đ i x ng tơm I lƠ đ ng tròn O’

G i B,D lƠ giao đi m c a hai đ ng tròn tơm O vƠ tơm O’

ABCD lƠ hình bình hƠnh c n d ng

N u I n m trong đ ng tròn tơm O thì bƠi toán có nghi m hình

N u I n m ngoƠi đ ng tròn tơm O thì bƠi toán vô nghi m hình

`

Ví d 4 Cho 4 đ ng th ng trong đó không có hai đ ng th ng nƠo

song song vƠ m t đi m O không n m trên 4 đ ng th ng đó Hưy d ng m t hình bình hƠnh mƠ 4 đ nh n m trên 4 đ ng th ng vƠ nh n O lƠm giao đi m các đ ng chéo

Gi i:

 Phân tích:

Ta kí hi u x,y,z,t lƠ 4 đ ng th ng có tính ch t đư nêu Gi s d ng đ c

hình bình hành ABCD(Ax,By,Cz,Dt) vƠ nh n O lƠm tơm

Phép đ i x ng O: Bi n A,B l n l t thƠnh C,D khi đó x,y l n l t bi n

thành x’,y’ vƠ x’//x vƠ x’ đi qua C, y’//y vƠ y’ đi qua D v y C=x’ z, D=y’ t

V í d 5 D ng m t tam giác bi t m t đ nh,tr ng tơm vƠ hai đ ng th ng

m i m t đi qua m t đ nh trong hai đ nh còn l i

Gi i:

 Phân tích:

Gi s d ng đ c tam giác ABC th a mưn bƠi toán có A c đ nh, B,C

l n l t thu c hai đ ng th ng b,c cho tr c L y I tùy ý sao cho AG=

b’//c thì bƠi toán vô nghi m hình

b’ c t c thì bƠi toán có m t nghi m hình

b’ trùng c thì bƠi toán có vô s nghi m

m t khác C n m trên cung ch a góc d ng trên AM

2 Cho đ ng tròn tơm O đ ng th ng d vƠ đi m A không n m trên d vƠ

(O) Tìm đi m B trên (O) sao cho BA c t d t i C th a mưn AB=AC

HD: Phép đ i x ng qua A bi n C thƠnh B nên bi n d thƠnh d’ c t đ ng tròn (O) t i B

3 Cho góc xOy vƠ 2 đi m A,C n m trong góc đó Hưy d ng các đi m B,D trên 2 c nh Ox,Oy sao cho t giác ABCD lƠ hình bình hƠnh

HD: G i I lƠ trung đi m c a AC Phép đ i x ng qua I bi n B thƠnh D nên bi n Ox thƠnh tia O’x’ đi qua D D lƠ giao đi m c a tia O’x’ v i tia Oy

§ 3 TỊM T P H P I M

Ví d 1 Cho m t ph ng (P) vƠ 4 đi m A,B,C,D V i m i đi m M thu c

(P) ta xác đ nh đi m N theo công th c MA+ MB+MC+MD=2MN Tìm t p

h p đi m N khi M bi n thiên trong (P)

Gi i:

G i G lƠ tr ng tơm c a 4 đi m A,B,C,D

V i đi m M b t kì Theo công th c tr ng tơm ta có:

4MG=MA+ MB+MC+MD4MG=2MN 2MG=MN

2MG=MG+GNMG=-NG

H th c đó ch ng t t p h p N lƠ m t ph ng đ i x ng v i (P) qua G

Nh n xét:

Ta có th m r ng bƠi toán trên trong E3ta đ c bƠi toán sau:

Cho m t c u (O) vƠ 4 đi m A,B,C,D V i m i đi m M thu c m t c u ta xác đ nh đi m N theo h th c 7MN=2MA+3 MB+4MC+5MD Tìm t p h p

đi m N khi M bi n thiên trên m t c u

Ví d 2 Cho tam giác ABC vƠ đ ng tròn (O) Trên c nh AB ta l y

đi m E sao cho BE=2AE F lƠ trung đi m c nh AC vƠ I lƠ đ nh th t hình

bình hành AEIF v i m i đi m P trên đ ng tròn (O) ta d ng đi m Q sao cho

Ví d 3 Cho tam giác ABC g i A’,B’,C’ l n l t lƠ trung đi m c a các

c nh BC,CA,AB Tìm t p h p M trong tam giác sao cho nh c a M qua các phép đ i x ng tơm A’, B’, C’ đ u n m trên đ ng tròn ngo i ti p tam giác

Gi i:

M2= B’(M), M1= A’(M) khi đó: CM=-AM 2=-BM 1 suy ra: ABM1M2 là

hình bình hƠnh H n n a ABM1M2 là hình bình hƠnh n i ti p đ ng tròn nên

ABM1M2lƠ hình ch nh t

CMAB

Ch ng minh t ng t ta c ng có BMAC V y M lƠ giao đi m c a ba

đ ng cao c a tam giác

V y n u ABC lƠ tam giác nh n thì t p h p lƠ m t đi m vƠ lƠ tr c tơm

Ví d 4 Cho đ ng tròn (O) vƠ ba đi m A,B,C phơn bi t V i m i đi m

P thu c đ ng tròn ta xác đ nh P1lƠ nh c a P trong phép đ i x ng A, P2 là

nh c a P1qua phép đ i x ng B, P’ lƠ nh c a P2trong phép đ i x ng C

Tìm t p h p P’ khi P bi n thiên trên đ ng tròn (O)

Nên D= C B Abi n P thƠnh P’ vƠ D d dƠng đ c xác đ nh b i h th c

BD=BA+BC vƠ D lƠ đi m c đ nh

Nh ng bài t p luy n t p t ng ng

1 Cho đo n th ng BC c đ nh vƠ s k>0 V i m i đi m A ta xác đ nh

đi m D sao cho AD=AB+AC T p h p đi m D khi A thay đ i tho mưn đi u

ki n AB2

+ AC2 = k

HD: G i I lƠ trung đi m c a BC khi đó 2AI=AB+AC=AD suy ra I là

trung đi m c a AD I bi n A thƠnh D mƠ t p h p A th a mưn đi u ki n đư cho lƠ m t đ ng tròn ho c m t đi m ho c r ng v y t p h p D lƠ đ ng tròn

ho c đi m ho c r ng

2 C ng đ bƠi nh trên nh ng thay tìm t p h p đi m D khi A thay đ i

th a mưn đi u ki n AB2ậ AC2

= k HD: T p h p A lƠ m t đ ng th ng d vuông góc v i BC G i I lƠ trung

đi m c a BC khi đó I c đ nh vƠ A đ i x ng v i D qua I V y t p h p D lƠ

§ 4 BÀI TOÁN C C TR

Ví d : Cho tam giác ABC vƠ đi m O n m trong tam giác G i A’,B’,C’

lƠ nh c a A,B,C qua phép đ i x ng tơm O T lƠ m t đa giác đ c t o b i

ph n chung c a hai tam giác ABC vƠ A’B’C’ Tìm v trí c a O sao cho T có

di n tích l n nh t

Gi i:

Ta có hai tr ng h p

TH1: A’ lƠ nh c a A qua On m trong tam giác

Vì Obi n A thƠnh A’, B thƠnh B’ nên AB//A’B’ (1)

Vì Obi n A thƠnh A’, C thƠnh C’ nên AC//A’C’(2)

T (1)(2) suy ra: T lƠ hình bình hƠnh có hai c nh liên ti p n m trên

A

M A’

Do đó: dt(T)  dt(AKMH)

Ta có

) (

) ( ABC dt

AHK dt

=AB

AK.AC AH

Do MK//AC,MH//AB nên

AB

AK = BC

CM, AC

AH = BC BM

VƠ do đó

AB

AK+AC

AH = 1

AK+AC

AH)2 = 4 1

1 suy ra A’ M, M lƠ trung đi m c a BC  O là trung

đi m c a AM

TH2: A’,B’,C’ n m ngoƠi tam giác ABC Khi đó T lƠ m t l c giác

Phép đ i x ng tơm O bi n A,B,C l n l t thƠnh A’,B’,C’ nên T lƠ m t

l c giác có các c p c nh đ i song song vƠ b ng nhau