Phép quay quanh một điểm trong E2

Phép quay là một trong những phép biến hình sơ cấp được vận dụng đểgiải các bài toán dựng hình, bài toán chứng minh tính chất hình học, bài toántập hợp điểm, bài toán tính toán, … Tuy nh

1 Lý do chọn đề tài

A MỞ ĐẦU

Trong nhà trường phổ thông, hình học là một môn học khó đối với họcsinh, bởi vì tính chặt chẽ, logic và tính trừu tượng của hình học cao hơn cácmôn học khác

Các phép biến hình sơ cấp là một phần quan trọng của hình học và nó làmột công cụ hữu ích đối với các bài toán hình học phẳng và hình học khônggian

Phép quay là một trong những phép biến hình sơ cấp được vận dụng đểgiải các bài toán dựng hình, bài toán chứng minh tính chất hình học, bài toántập hợp điểm, bài toán tính toán, … Tuy nhiên, việc vận dụng phép quayquanh một điểm trong để giải các bài toán hình học không phải là việc dễdàng, thực tế nó là một phần khó đối với cả giáo viên và học sinh

Trong khuôn khổ của một khóa luận tốt nghiệp, em xin được trình bàynhững kiến thức cơ bản về phép quay quanh một điểm trong và ứng dụng của

nó đối với việc giải các bài toán trong hình học phẳng và hình học khônggian

2 Nhiệm vụ nghiên cứu

1) Trình bày cơ sở lý thuyết về phép quay

2) Các ví dụ minh họa thể hiện ứng dụng của phép quay trong việc giải bốnlớp bài tập hình học: bài toán chứng minh, bài toán dựng hình, bài toán tìmtập hợp điểm, bài toán tính toán

3 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu SGK, sách tham khảo, tạp chí Toán học , các bài giảngchuyên đề, các giáo trình hình học, các tài liệu liên quan tới nội dung nghiêncứu và các kiến thức thực hành

1

B NỘI DUNG

Chương I CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1 ĐẠI CƯƠNG VỀ PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG

1.1 Khái niệm về phép biến hình

a) Cho hai tập hợp điểm T và T ta gọi là một song ánh từ T vàoT ,mọi phép tương ứng  mà với mỗi điểm  của T đều được gắn với một điểm   duy nhất của T , ký hiệu là  = 

Ánh xạ  gọi là song ánh nếu mọi  của T đều tồn tại duy nhất của T sao cho    Như vậy, cho một song ánh  : T  T vào T làcho một quy tắc để, với bất kỳ một điểm  T bao giờ ta cũng có một điểm

 hoàn toàn xác định của T sao cho :

(i) Nếu  và  là hai điểm phân biệt của T thì  và  là hai

điểm phân biệt của T     thì    (Khi đó ta nói  là đơn ánh).(ii)Với  T thì bao giờ cũng có một điểm  T sao cho

   (Khi đó ta nói  là toàn ánh)

Điểm    được gọi là ảnh, hay điểm tương ứng hoặc hình biến đổicủa của điểm  qua ánh xạ  Ngược lại, điểm  được gọi là tạo ảnh củađiểm    qua ánh xạ 

Nếu    thì ta còn nói rằng ánh xạ  (ở đây là một song ánh) biếnđiểm  của T thành điểm  của T

b) Khi hai tập hợp điểm T và T là đồng nhất, cũng có nghĩa là trùngnhau, ký hiệu T  T , ta nói rằng  là một phép biến hình trong T (hay từ Tvào chính nó)

Như vậy, ta có thể định nghĩa một phép biến hình trên đường thẳng, trong mặt phẳng hay trong không gian tùy theo T là tập các điểm của một

đường thẳng  nào đó trong mặt phẳng, hay T là tập hợp tất cả các điểm của một mặt phẳng  hay T là tập hợp tất cả các điểm của không gian 

Thậm chí, T có thể là tập hợp tất cả các điểm của một hình H nào đó làmột bộ phận ( tập con ) của một đường thẳng  , hay một bộ phận của mộtmặt phẳng (  ), hay một bộ phận của không gian

Kí hiệu H  , H  

Ta có định nghĩa sau:

hay H  

Định nghĩa 1.1( Định nghĩa phép biến hình )

Một song ánh      hoặc    từ tập các điểm của đường thẳng

 hay của mặt phẳng  lên chính nó được gọi là một phép biến hình trênđường thẳng  hay của mặt phẳng 

Như vậy, chẳng hạn cho một phép biến hình của mặt phẳng

     là cho một quy tắc để với mọi điểm của (P) ta tìm được một điểm M    hoàn toàn xác định, thỏa mãn hai điều kiện sau đây:

(i) Nếu  và  đều thuộc (P), M  N thì  và  đều thuộc (P),    (ii) thì tồn tại duy nhất điểm   sao cho   

Nếu H là một hình nào đó của (P) thì ta có thể xác định được tập hợpđiểm H   H    H H  là một hình phẳng được gọi là ảnhhay hình biến đổi, hoặc hình tương ứng của hình H qua phép biến hình  ;ngược lại, hình H được gọi là tạo ảnh (hay hình nguyên của hình H 

phép biến hình 

Chú thích

1.1

qua

Phép biến hình định nghĩa như trên còn được gọi một cách chính xác hơn

là phép biến hình điểm ( vì nó biến đổi điểm thành điểm)

Hai phép biến hình điểm  và  là tương đương nếu với mọi điểm Mcủa T đều có cùng một ảnh trong

viết   

T   T suy ra      , ta

1.2 Phép biến đổi 1 – 1 và phéo biến đổi ngược

Giả sử  là phép biến đổi biến điểm M thành M Đương nhiên có thể

có nhiều điểm  có cùng một ảnh  qua phép biến đổi đó

Chẳng hạn, phép chiếu vuông góc lên một đường thẳng; nếu  là hìnhchiếu của  trên một đường thẳng d thì ngoài  còn có vô số các điểmkhác  có cùng hình chiếu   Nếu  chỉ ứng với điểm  duy nhất thì tanói  là phép biến đổi 1 – 1

Định nghĩa 1.2.1

 là phép biến đổi 1 – 1 nếu mọi ảnh  của  qua phép biến đổi đó ứng với duy nhất điểm 

Định nghĩa 1.2.2

Nếu  là phép biến đổi 1 – 1 biến M thành 

     thì tồn tại một phép biến đổi biến  thành điểm M

Phép biến đổi như vậy gọi là phép biến đổi ngược của 

Cho tập hợp điểm H và phép biến đổi  Nếu ảnh của mọi điểm thuộc

H qua phép biến đổi đã cho cũng thuộc H thì được gọi là tập hợp bất biếnqua phép biến đổi đó

Ta nói điểm  bất động qua phép biến đổi  nếu    Tập hợpđiểm H được gọi là bất động qua  nếu H gồm toàn thể các điểm bất độngqua 

Chẳng hạn trục đối xứng là đường thẳng bất động qua phép đối xứngvới trục đó

1.4 Hai phép biến đổi trùng nhau

Cho hai phép biến đổi  và g xác định trên toàn mặt phẳng Ta nói 

và g trùng nhau hoặc g và  chỉ là một nếu ảnh của mọi điểm  qua haiphép biến đổi đó trùng nhau

Tức là   g

Rõ ràng  là một phép biến đổi đồng nhất nếu mọi điểm thuộc mặtphẳng là điểm bất động của  , nghĩa là    , 

1.5.Tích của hai phép biến hình

Cho hai phép biến hình  và g Với mỗi điểm M, giả sử      và g

    Như vậy tồn tại một quy tắc để từ điểm  ta tìm được điểm duynhất 

Quy tắc đó gọi là tích của hai phép biến hình  , g và được kí hiệu là :

g   Trong cách kí hiệu này,  được thực hiện trước và g được thực hiện sau

Nói chung g   khác   g, nghĩa là ảnh của điểm  qua phép biếnđổi g   khác với ảnh của  qua phép biến đổi   g

Nếu thứ tự của hai cạnh góc x□Oy được xét đến, tức là hai

góc

x□Oy và

yOkcnhuttn

x□O

y

đã đượ

c địnhhướ

ng

và đượ

c kíhiệubởi( Ox;O

y ) Tron

g đó, Ox

là cạ

nh đầu và Oy là cạnh cuối của

góc

Định nghĩa 2.1.1:

Góc định hướng giữa hai

tia là góc tạo bởi hai tia đó có

- Giá trị của góc định hướng

không phải là duy nhất,ta quy

ước giá trị đó âm hay dương là

tùy theo chiều quay là chiều âm

hay chiều dương của mặt

phẳng

Định nghĩa 2.1.2.

Hai góc định hướng được

gọi là bằng nhau nếu số đo

của chúng bằng

nhau

Định nghĩa 2.1.3.

Hai góc định hướng được gọi là đối nhau nếu số đo của chúng đối nhau

Nếu  và  là hai điểm phân biệt và    không thẳng hàng thì hai góc định hướng (  )

và ( O  ) cùng hướng khi và chỉ khi các điểm

 và  nằm cùng phía đối với đường thẳng  Hai góc đó được gọi là ngược hướng khi và chỉ khi

 và  nằm khác phía đối với đường thẳng 

Bổ đề 2.1.4

Cho hai điểm  cố định phân biệt và một góc  với 0     (hoặc

     ) Tập hợp các điểm  khác 

sao cho    là một cung chứa góc được dựng trên dây  (trừ  )

Hệ thức Chasles:

Nếu (OxOy) = yOz) = OxOz) =  thì      , tức là:

x ; Oy) + (Oy ; Oz) = (Ox ; Oz)

Góc định hướng giữa hai tia khác gốc:

Cho hai tia Ax và

By có các gốc A, B khác nhau Lấy một điểm O tùy

ý và gọi Ox,Oy là hai tia theo thứ tự cùng hướng với Ax, By Khi đó ta nóigóc định hướng tạo bởi Ox và Oy bằng góc định hướng tạo bởi hai tia

Ax và

(Ax ; By) = (Ox ; Oy)

Rõ ràng, nếu Ax / / By thì (Ax ; By) = 0 (mod 

hoặc : (Ax ; By) = ± ( mod 2

2.2 Phép quay quanh một điểm

a) Định nghĩa 2.2.1

Trong mặt phẳng đã được định hướng, cho một điểm  và góc địnhhướng  Phép quay Q(O; tâm  , góc quay  là phép biến hình biến thành  và biến mỗi điểm  khác  thành

điểm  sao cho:

Theo định nghĩa ta có : ON ON

(OM ;OM )(ON;ON )

Chứng minh:

Theo tính chất (iii) phép quay

,C lần lượt là ba ảnh của ba điểm thẳng hàng A,B,C thì

A,C thẳng hàng theo thứ tự đó

* Hệ quả:

Phép quay Q biến:

- Một đường thẳng d thành đường thẳng d và góc định hướng (d;d =

 , d  d  khi   

- Biến tia Sx thành tia Sx

và góc tạo bởi hai tia đó bằng 

- Biến đoạn PQ thành đoạn PQ và

PQ = PQ

Biếngóc

-x□Sythànhgóc

x□Sy

 và hai góc

x□Sy = x□Sy

- Biến đườn

g tròn



R)

thành đường tròn (I R)

(v) Tích của hai phép quay là một phép tịnh tiến hoặc là một phép quay Chứng minh:

Xét hai phép quay Q(O; và





O M



Q0:



O M





O M

Chương 2 ỨNG DỤNG CỦA PHÉP QUAY QUANH MỘT ĐIỂM TRONG E 2 VÀO

VIỆC GIẢI LỚP CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN

Cũng như các phép biến hình khác, phép quay là một công cụ hữu hiệunhất để giải các bài toán hình học

Để giải một bài toán bằng phép quay ta cần chú ý một số điểm sau:

- Chọn cách vẽ hình của bài toán sao cho khi thực hiện tổng hợp cácphép quay riêng biệt dễ quan sát

- Những bài toán hình học mà trong các giả thiết xuất hiện các yếu tốgóc đặc biệt như góc: 90o,30o,60o,…và các yếu tố dài bằng nhau như: tam giáccân, tam giác đều, hình thoi, hình vuông,…thường gợi ý cho ta ý tưởng dùngphép quay để giải

Cụ thể:

1 Ứng dụng của phép quay vào giải bài toán chứng minh

1.1 Bài toán chứng minh

Bài toán chứng minh có dạng A  B , trong đó:

A là giả thiết, bao gồm:

+) Những yếu tố đã cho như : điểm, đường thẳng, đường tròn,…

+) Những quan hệ đã biết: liên thuộc, song song, vuông góc,…

+) Những yếu tố về lượng : độ dài, góc,…

B là kết luận cần được khẳng định là đúng.

“  ’’ là những suy luận hợp logic dựa trên các giả thiết có mặt

trong A , các định nghĩa, định lí, …để khẳng định B đúng.

1.2 Giải bài toán chứng minh sử dụng phép biến hình.

Nếu ta thiết lập được mối quan hệ giữa các điểm hay đường đã chotrong giả thiết A với các điểm hay đường trong kết luận B thông qua một

phép biến hình nào đó thì nhờ những tính chất được bảo toàn qua các phépbiến hình đó ta có thể nhận được các kết quả về:

- Tính đồng qui hay tính thẳng hàng

- Các quan hệ song song, vuông góc hay liên thuộc

- Các đoạn thẳng bằng nhau hay các góc bằng nhau

- Các tam giác, các đường tròn bằng nhau,…

Giúp ta suy ra điều cần chứng minh

Phép quay là một công cụ ưu việt trong việc sử dụng để đưa đến các kết quả trên

Ta có thể đổi bài toán nhờ phép biến hình, chuyển mệnh đề “ A  B ” thành mệnh đề “ A  B” bằng cách chuyển A thành A và B thành B qua

một phép biến hình Khi mệnh đề thay thế được chứng minh thì nhờ tính chất 1– 1 và tính chất bất biến của phép biến hình đã sử dụng ( cụ thể là phép quay )

để suy ra tính đúng đắn của mệnh đề ban đầu

Trong nhiều trường hợp, việc vẽ thêm các điểm, các đường mà ta quengọi là dựng các hình phụ có thể giúp mang những dữ kiện đã cho đến vớinhững hình có liên quan hợp thành một hình mới để từ đó có thể nhận đượcđiều cần chứng minh

Thực chất công việc này là dựng ảnh của điểm hay của đường qua phép biến hình nào đó

và CD tương ứng tại các điểm M , N

Một đường thẳng d vuông góc với d

cắt các đường thẳng AD và BC tương

ứng tại các điểm P và Q Chứng minh rằng MN  PQ

đi qua D vuông góc với MA

Q (O;90) : B  A, M  M do đó BM biến thành AM và AM   BM ,

suy ra AM  chính là x hay x đi qua

M  Tương tự thẳng cùng đi qua M 

khi ảnh của bốn đỉnh

A, B.C, D phải là một hoán vị của bốn đỉnh đó.

Khi đó, tâm O của hình vuông ABCD phải biến

thành điểm cách đều cảbốn

đỉnh A, B,C, D , tức là biến thành O Vậy O phải là điểm bất động của phép quay cần tìm.

Khi góc quay   0 , do cạnh góc vuông phải biến thành cạnh góc vuông

nên  chỉ có thể là  ,

 , hoặc

 

(modulo 2 )

Phépquay Q (O;

 2 theo thứ tự

thành

 

B,C, D, A

Phépquay

Q O; 

 2 

cả biến đổi đồng nhất ) biến hìnhvuông

ABCD thành

chính nó

(đpcm)

* Ví dụ 4:

Trên các cạnh AB,CD của tứ giác lồi ABCD và về phía ngoài tứ giác ta dựng các tam giác đều ABM và

CDN Trên các cạnh BC, DA và vềphíatrong tứ giác ta dựng các tam giác đều BCP và ADQ Chứng minh rằng

MP  NQ Giải Phép quay tâm B với góc quay 60 biến điểm

M thành điểm A , điểm

P thành điểm C , khi đó MP  AC Phép

biến điểm Q thành điểm A , điểm N thành điểm C , khi đó QN  AC Từ các kết quả trên ta suy ra MP

 NQ

* Ví dụ 5:

Cho hình vuông ABCD và điểm M nằm

trong hình vuông sao cho

□AMB  135

Chứngminh

MD2  MM '2  M ' D2 Trong tam giác

MM '2  2 AM

2

* Ví dụ 6:

.Từ các kết quả trên ta suy ra điều cần chứng minh

Cho tam giác đều ABC , trên các cạnh

AB, BC,CA ta lấy lần lượt các

điểm

K , L, M thỏa mãn

AK  BL  CM Gọi D, E theo thứ tự giao điểm

của AL với CK và BM ; F là giao điểm của BM và CK Chứng minh tam

giác DEF là tam giác đều.

Giải

Dễ thấy AK  BL  CM

Gọi O là tâm của tam giác đều.

Thực hiện phép quay tâm O , góc quay 120 , theo chiều ngược với chiều

1.4 Khai thác bài toán chứng minh nhờ phép biến hình

Nếu mệnh đề A  B đã được khẳng định nhờ sử dụng phép biến hình

thì cũng có thể dùng phép biến hình đó để xét mệnh đề đảo B  A

đề đảo bộ phận của mệnh đề này ta sẽ được bài toán mới

hay mệnh

Từ một mệnh đề đã chứng minh được, có thể dùng những phép biến hình để

chuyển mệnh đề đó thành mệnh đề mới : A  B khi đó ta được một bài toán

mới Cũng có thể sử dụng phép biến hình để phát biểu lại một vài điều kiện

của giả thiết A hoặc kết luận B để nhận được bài toán mới.

Giải bài toán chứng minh nhờ sử dụng phép quay là chọn phép quay chophù hợp để tìm ra lời giải của bài toán

2 Ứng dụng của phép quay vào giải bài toán quỹ tích

2.1 Bài toán quỹ tích

Bài toán quỹ tích là bài toán tìm một tập hợp điểm ( còn gọi là một hình )

có tính chất  cho trước

Quỹ tích các điểm M có tính chất  cho trước có thể là một tập rỗng,tập hữu hạn hoặc tập vô hạn điểm

Để khẳng định quỹ tích những điểm có tính chất  là hình H nào đó ta

phải thực hiện các bước sau:

- Bước 1 (phần thuận) : Chứng minh mỗi điểm có tính chất  đều phải

thuộc hình H ( nói lên tính không thiếu của quỹ tích)

- Bước 2 (phần đảo) : Chứng minh mỗi phần tử (điểm) thuộc hình H

đều có tính chất  ( Nói lên tính không thừa của quỹ tích)

2.2 Giải bài toán quỹ tích nhờ sử dụng phép biến hình

Giả sử : :E 2 E2 là một phép biến hình cuả mặt phẳng thì:

M M Nếu quỹ tích điểm M là hình H thì ta có quỹ tích điểm M  là

f 1(H )

Để giải bài toán quỹ tích, thông thường ta phải chứng minh cả phầnthuận và đảo Phần thuận thường dễ chỉ ra nhưng phần đảo thường khó hơn.Khi ta giải toán bằng chách sử dụng phép biến hình nói chung, phép quay nóiriêng, nhờ vào tính chất 1 – 1 mà cả phần thuận và phần đảo được giải quyếtcùng lúc Đây cũng là ưu điểm lớn nhất của việc sử dụng phép biến hình vàogiải toán quỹ tích

Do đó, muốn sử dụng phép biến hình dựa vào giải toán tìm tập hợp các

điểm M thỏa mãn tính chất nào đó, ta có thể chọn một phép biến hình thích hợp biến điểm M thành điểm M ' sao cho quỹ tích điểm M ' tìm được dễ dàng hơn, từ đó suy ra quỹ tích điểm M

2.3 Một số ví dụ

* Ví dụ 1:

Cho tam giác đều ABC Tìm tập hợp các điểm M nằm trong

tam giác sao cho :

Đảo lại, nếu M là điểm thuộc cung đó, thì phép quay Q (B;60) biến

M thành M ' và cung □AMB thành cung C□M ' B có số đo 150

Vì tam giác BMM ' đều.

Do đó:

M□M 'C  150  60  90

Tamgiác

Do đó:

Cho đường thẳng d , điểm A cố định không nằm trên

d Với mỗi điểm

B



d

ta dựng tam giác đều ABC Tìm tập hợp điểm C , khi

B thay đổi trên đường thẳng d Giải

Từ điều kiện bài toán ta suy ra C là ảnh của B qua phép quay tâm A

động trên nửa đườngtròn ấy Tìm quỹ tích

các điểm N

sao cho tam giác

BMN

là tamgiácđều

Giải

Tam giác BMN , cho ta : N□BM

60



BN BM

N là ảnh của M trong phép

quay tâm B , góc quay là

60  Vậy quỹ tích của N

là nửa đường tròn ảnh củanửa đường tròn đường

kính AB trong phép quay tâm B , góc quay 60 Chú ý : ta có hai đường

tròn như thế, do việc chọn hai chiều quay

* Ví dụ 4:

Cho nửa đường tròn

đường kính AB Một điểm C di chuyển trên

nửa đường tròn ấy Trên

tia AC ta lấy điểm M sao cho BC Tìm quỹ tích điểm M

Giải

Lấyđiểm

O

Khi

C

di

chuyển

trên

nửa

đườngtròn

đã cho

thì C '

đườngtròn

ậy

M

là ản

h củ

a

C

'trong phép quay

tâm

A ,

gócqua

y 90

 Qu

ỹ tíc

h c

1 (phâ

n tích): Gi

ả sửđãcóhìnhcầ

n dựng, từđóthi

ết lập mối lien hệ giữa yếu tố phải tìm và yếu tố

đã cho để đưa ra cách dựng

- Bước 2 (Cách dựng): Chỉ

ra hữu hạn có thứ tự các phép dựng cơ bản và bài toán dựng hình cơ bản cần phải thực hiện để có hình cần dựng

- Bước 3 (Chứng minh): Là việc chỉ ra hình càn dựng ở bước 2 đã thỏa mãn yêucầu bài toán.

- Bước 4 (Biện luận): Xét xem khi nào bài toán giải được và khi đó bài toán cóbao nhiêu nghiệm

3.2 Giải bài toán dựng hình nhờ phép biến hình

Giải bài toán dựng hình nhờ sử dụng phép biến hình thể hiện ở bước 1(phân tích), ta quy việc xác định từng bộ phận của hình cần dựng về ảnh củahình đã cho qua một phép biến hình

3.3 Một số ví dụ

*Ví

dụ 1

Cho ba đường thẳng x, y, z đôi một cắt nhau Hãy dựng tam giác đều có

các đỉnh nằm trên ba đường thẳng đã cho

Giải

Bước 1(Phân tích):

Giả sử ABC là tam giác đều đã dựng có A x , B  y , C  z Xét

phép quay tâm A góc quay 60  biến B thành C , do đó y biến thành

y ' đi qua C , C là điểm chung của

Bước 2 (Cách dựng): y ' và z

Lấy một điểm A x Dựng ảnh

y ' của y qua phép quay

Q A,60 y ' và z cắt nhau tại C

Dựng ảnh B của C qua phép quay

hoàn toàn xác định (nếu

  180 tam giác đó suy biến thành đoạn

Bước 2 (Cách dựng):

B C C

'(c.g.c)

-Dựng

đường tròn

tâm

B

,

bán

x là A

-Dựng

đường tròn

tâm

A

,

c

Điểmchung của hai đường tròn đó là

D (Chọn D để có tứ giác ABCD ) Bước 3(Chứng minh):

Bước 4(Biện luận):

Bài toán chỉ có nghiệm khi x và đường tròn tâm B có điểm chung và các đường tròn tâm C , bán kính c và tâm A , bán kính  có điểm chung Số

nghiệm có được phụ thuộc vào số các điểm chung đó (đpcm)

*Ví

dụ 3:

Cho hai đường thẳng d và

d ' không vuông góc với nhau và điểm A không nằm trên hai đường thẳng đó Hãy dựng tam giác vuông cân ABC ( AB  AC ) sao cho hai đỉnh

Giải

Bước 1(Phân tích):

B,C nằm trên hai đường thẳng đã cho.

Giả sử ABC là tam giác đã dựng thỏa mãn điều kiện bài toán, trong đó

B  d Phép quay tâm A , góc quay 90  biến B  d  C  d ', d  d1 đi qua

C , khi đó C là giao điểm của hai đường thẳng d ' và d1

Bước 2(Cách dựng):

Ta có cách dựng sau:

- Dựng d1 là ảnh của d qua phép quay tâm A với góc quay 90 

- Gọi C là giao điểm của d ' và d1

- Dựng B là ảnh của C qua phép quay tâm A với góc quay 90

Bước 3(Chứng minh):

Bước 4(Biện luận):

Bài toán luôn có nghiệm và có hai nghiệm

* Ví dụ 4:

Cho ba đường thẳng

d1, d2 , d3 song song với nhau và một điểm A thuộc

d1 Hãy dựng tam giác đều ABC sao cho hai

đỉnh thẳng song song còn lại

B,C nằm trên hai đường

Điều này có nghĩa là B là ảnh

của C trong phép quay tâm A , góc quay 60 , hay B là giao điểm của

ảnh của đường thẳng d3 trong phép quay tâm A , góc quay 60

'3 , ảnh của đường thẳng d3 trong phép quay

Ta thực hiện bước này như sau: Kẻ AH  d3

Dựng một tia Ax hợp với tia AH một góc 60 Trên tia Ax lấy một

điểm H ' sao cho AH '  AH