Phép biến đổi laplace và ứng dụng

Các điểm kì dị cô lập + ≠ ∞ gọi là điểm kì dị cô lập của hàm số , nếu giải tích + ∞ gọi là điểm kì dị cô lập của hàm số , nếu giải tích trong lân cận của điểm + Điểm kì dị cô lập của ch

Trang 1

Sinh viên Nguyễn Thị Liên – K32E khoa Toán 1

1.2 Một số khái niệm cơ bản của phương trình và hệ phương trình vi phân 12

3.1 Ứng dụng giải phương trình vi phân và hệ phương trình vi phân 57

3.2 Ứng dụng để tính tích phân suy rộng và tính tổng của chuỗi 97

Trang 2

LỜI MỞ ĐẦU

1.Lý do chọn đề tài:

Phép biến đổi Laplace là một trong các phép biến đổi tích phân Lý thuyết biến đổi tích phân ban đầu được áp dụng để giải phương trình vi phân thường, phương trình vi phân đạo hàm riêng Phương trình vi phân là một lĩnh vực của toán học cơ bản, vừa mang tính lý thuyết, vừa mang tính ứng dụng rộng rãi Thông thường các bài toán phương trình vi phân được rút ra từ các vấn đề trong thực tế và sau đó người ta tìm ra nó có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác như trong Vật lý, Kỹ thuật, Xử lý tín hiệu, Xác suất…

Các sách tham khảo dành cho sinh viên nghiên cứu sử dụng phép biến đổi Laplace vào phương trình và hệ phương trình vi phân chưa có nhiều Bởi vậy việc nghiên cứu phép biến đổi này là rất cần thiết đối với mỗi sinh viên

Do vậy mà em đã chọn đề tài: ”Phép biến đổi Laplace và ứng dụng” để thực hiện khóa luận tốt nghiệp đại học

2.Mục đích nghiên cứu:

Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu hơn về phương trình và hệ phương trình vi phân, giải tích hàm đặc biệt là phép biến đổi Laplace

3.Nhiệm vụ nghiên cứu:

Nghiên cứu phép biến đổi Laplace thuận và nghịch, các ứng dụng của phép biến đổi này vào giải toán

4.Phương pháp nghiên cứu:

Nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp và đánh giá

5.Cấu trúc khóa luận:

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận gồm ba chương :

Trang 3

Chương I : Một số khái niệm và kết quả chuẩn bị

Chương II : Phép biến đổi Laplace

Chương III : Ứng dụng của phép biến đổi Laplace

Trang 4

NỘI DUNG

CHƯƠNG I: MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CHUẨN BỊ

1.1 SƠ LƯỢC VỀ GIẢI TÍCH PHỨC 1.1.1 Hàm biến phức

1.1.1.1 Khái niệm hàm biến phức

Cho là một tập con của Một hàm biến phức xác định trên

là một quy luật đặt tương ứng mỗi với một phần tử

+ Nếu với mọi thì hàm gọi là hữu hạn

trong đó ) và là các hàm của hai biến thực gọi tương ứng là phần

thực và phần ảo của hàm Ký hiệu : ;

Trang 5

1.1.2 Hàm giải tích:

dương nào đấy) nếu

1.1.2.1 Đạo hàm của hàm phức:

Cho hàm xác định trên miền , Cho có số gia

, khi đó số gia của hàm là:

Nếu tồn tại và hữu hạn: thì hàm gọi là có đạo hàm tại và

giới hạn đó gọi là đạo hàm của hàm tại , ký hiệu là

Như vậy:

Hàm có đạo hàm tại thì:

) là vô cùng bé bậc cao hơn khi , do đó cũng khả vi

Chú ý: Đạo hàm của hàm phức có các công thức và quy tắc tính tương tự

hàm thực

1.1.2.2 Hàm giải tích:

1.1.2.2.1 Định lý Cauchy-Riemann:

(như là hàm số của biến số phức ) khi và chỉ khi các hàm số

khả vi tại (như là hàm số giá trị thực của hai biến thực , ) và các đạo hàm riêng của chúng tại điểm thoả mãn điều kiện:

Trang 6

1.1.2.2.2 Định nghĩa hàm giải tích:

+) Hàm xác định trên gọi là giải tích (hay chỉnh hình) tại nếu hàm có đạo hàm tại mỗi điểm trong một lân cận nào đó của điểm tại

+) Hàm số gọi là hàm giải tích trên miền nếu giải tích tại mỗi điểm thuộc miền

+) Nhận xét:

Ta có thể mở rộng định nghĩa nêu trên tới trường hợp là miền tuỳ ý trong còn là ánh xạ từ vào bởi phép nghịch đảo Như vậy khi hữu hạn còn ta nói giải tích tại nếu: giải tích tại , còn khi

ta nói giải tích tại nếu giải tích tại 0

Nếu không có gì đặc biệt ta luôn coi là hữu hạn

- Tích phân của hàm số xác định, liên tục trên đường cong khả

trường L với các mút a,b và hướng từ a đến b, ký hiệu là giới hạn

của tổng tích phân:

là các điểm chia

Trang 7

Với giả thiết đã cho về hàm số và về đường cong , ta luôn có:

trong đó phần thực và phần ảo của vế phải (1.1.1) là các tích phân đường loại

2 lấy trên theo hướng từ a đến b

- Khi là đường cong khả trường và đóng thì (1.1.1) có nghĩa là tích

phân được lấy theo hướng dương (hướng mà khi chuyển động trên L, miền

hữu hạn giới hạn bởi L luôn nằm bên trái)

Như vậy, khi tính tích phân phức ta có thể áp dụng công thức (1.1.1) và khi

tính các tích phân đường loại 2 tương ứng ta sử dụng các phương pháp đã

biết

- Nếu L là đường cong trơn, có phương trình dạng tham số:

Thì ta có công thức:

là tích phân xác định trên của hàm số biến số thực nhận giá trị phức

1.1.3.2 Tích phân Cauchy (một số định lý quan trọng)

1.1.3.2.1 Định lý tích phân Cauchy đối với miền đơn liên

Nếu hàm số giải tích trên miền D đơn liên và L là đường cong

Jordan đóng, trơn từng khúc nằm trong D thì

1.1.3.2.2 Định lý tích phân Cauchy đối với miền đa liên

Trang 8

Nếu D là miền hữu hạn - liên với biên gồm một số hữu hạn

các đường cong Jordan đóng, trơn từng khúc sao cho các miền đóng hữu hạn

giới hạn bởi nằm hoàn toàn trong miền hữu hạn giới hạn bởi

và đôi một không giao nhau, hàm số giải tích trên miền đóng

, thế thì:

1.1.3.2.3 Công thức tích phân Cauchy

Nếu D là miền hữu hạn với biên của nó gồm một số hữu hạn đường

cong Jordan đóng, trơn từng khúc, hàm số giải tích trên ,

là điểm nào đó của mặt phẳng phức không thuộc Khi đó

Định nghĩa tích phân loại Cauchy:

Tích phân loại Cauchy là hàm số đơn trị của biến z, dạng:

trong đó là đường cong Jordan (đóng hoặc không đóng) trơn từng khúc; f(t)

liên tục trên ; là điểm thuộc mặt phẳng phức nhưng không thuộc

Đặc biệt, khi đường cong đóng, f(t) giải tích trên miền D hữu hạn giới hạn

bởi và liên tục trên thì tích phân loại Cauchy trở thành công

thức tích phân Cauchy:

1.1.3.2.4 Định lí tính chất của tích phân loại Cauchy

Trang 9

Với mọi thuộc mặt phẳng phức và không thuộc , tích phân loại Cauchy là

hàm giải tích, có đạo hàm mọi cấp và được tính theo công thức:

(n = 1,2,3,…)

Chú ý: Trong các điều kiện của công thức (1.1.2) công thức (1.1.3) trở thành:

1.1.4 Lý thuyết chuỗi và thặng dƣ

1.1.4.1 Chuỗi Laurent

1.1.4.1.1.Định nghĩa chuỗi Laurent

gọi tương ứng là phần chính và phần đều của khai triển Laurent

Nếu phần chính có miền hội tụ là , phần đều có miền hội tụ

là thì miền hội tụ của chuỗi Laurent là:

gọi là hình vành khăn hội tụ của chuỗi

Nếu hàm giải tích trong hình vành khăn:

thì trong hình vành khăn này khai triển được thành chuỗi Laurent:

Trang 10

trong đó các hệ số là duy nhất được tính theo công thức:

1.1.4.1.2 Các điểm kì dị cô lập

+) ≠ ∞ gọi là điểm kì dị cô lập của hàm số , nếu giải tích

+) ∞ gọi là điểm kì dị cô lập của hàm số , nếu giải tích

trong lân cận của điểm

+) Điểm kì dị cô lập của chia thành 3 loại:

 được gọi là điểm kì dị bỏ được nếu

 được gọi là cực điểm nếu

 được gọi là điểm kì dị cốt yếu nếu không tồn tại cả

trong mặt phẳng phức lẫn trong mặt phẳng phức mở rộng

1.1.4.2 Thặng dư

1.1.4.2.1 Định nghĩa thặng dư

Giả sử ≠ ∞ là điểm kì dị cô lập của hàm giải tích , là đường

cong Jordan đóng, trơn từng khúc nằm hoàn toàn trong miền giải tích của

sao cho trong miền hữu hạn D với biên không chứa điểm kì dị cô lập nào

khác ngoài

Tích phân lấy dọc L theo hướng dương được gọi là thặng

dư của tại điểm kì dị cô lập , kí hiệu là:

Trang 11

Thặng dư của tại điểm kì dị cô lập xác định bởi tích phân

lấy dọc đường tròn theo hướng dương:

(R>0 đủ lớn)

1.1.4.2.2 Các định lý về thặng dư

 Định lý cơ bản về thặng dư

trong đó giải tích trên miền (trừ một số hữu hạn điểm kì dị cô lập

thuộc ), liên tục trên

(hệ số của trong khai triển Laurent của

tại lân cận điểm )

(hệ số của trong khai triển Laurent của tại lân cận điểm = ∞)

b) là điểm cực điểm cấp m thì:

Trang 12

Ví dụ: Tính thặng dư của các hàm tại các điểm bất thường khác ∞

( là cực điểm đơn)

1.2 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 1.2.1 Phương trình vi phân cấp một

1.2.1.1 Định nghĩa

Phương trình vi phân cấp một có dạng tổng quát là:

Nghiệm của phương trình (1.2.1) là hàm có tính chất khi thế vào phương trình (1.2.1) thì ta được một đồng nhất thức.Phương trình (1.2.1)

Trang 13

có vô số nghiệm Quá trình tìm các nghiệm của phương trình (1.2.1) được gọi

là sự tích phân phương trình đó

Nếu từ (1.2.1) ta giải được nghĩa là (1.2.1) có dạng:

thì (1.2.2) được gọi là phương trình vi phân cấp 1 đã giải ra đối với đạo hàm

1.2.1.2 Bài toán Cauchy

Trong thực tế người ta thường không quan tâm đến tất cả các nghiệm của

phương trình mà chỉ chú ý đến những nghiệm thoả mãn điều kiện nào đó

Chẳng hạn đòi hỏi tìm nghiệm của phương trình (1.2.1) hoặc phương

trình (1.2.2) thoả mãn điều kiện: ; trong đó là các giá

trị cho trước

Bài toán đặt ra như vậy gọi là bài toán Cauchy Điều kiện (1.2.3) được

gọi là điều kiện ban đầu; là các giá trị ban đầu

Chú ý: Bài toán Cauchy không phải bao giờ cũng có nghiệm

Ví dụ: Tìm nghiệm của phương trình

thoả mãn điều kiện ban đầu:

Ta dễ thấy nghiệm của bài toán là hàm

1.2.1.3 Nghiệm tổng quát

Giả sử trong miền G của mặt phẳng (x, y) nghiệm của bài toán Cauchy

đối với phương trình (1.2.2) tồn tại và duy nhất Hàm số:

được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình (1.2.2) trong G nếu trong

miền biến thiên của x và C nó có đạo hàm riêng liên tục theo x và thoả mãn

các điều kiện sau:

a) Từ hệ thức (1.2.4) ta có thể giải được C:

b) Hàm thoả mãn phương trình (1.2.2) với mọi giá trị của xác

định từ (1.2.5) khi (x, y) biến thiên trong Nếu nghiệm tổng quát của

Trang 14

phương trình (1.2.2) được cho dưới dạng ẩn:

thì nó được gọi là tích phân tổng quát

1.2.1.4 Nghiệm riêng

Nghiệm của phương trình (1.2.2) mà tại mỗi điểm của nó tính duy nhất

nghiệm của bài toán Cauchy được bảo đảm được gọi là nghiệm riêng

Nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát với giá trị cụ thể của hằng số là

nghiệm riêng

1.2.1.5 Nghiệm kỳ dị

nghiệm của bài toán Cauchy bị phá vỡ được gọi là nghiệm kỳ dị

Như vậy nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát với giá trị cụ thể của hằng số

không thể cho ta nghiệm kỳ dị Nghiệm kỳ dị có thể nhận được từ nghiệm

tổng quát chỉ khi Ngoài ra chúng ta còn có nghiệm hỗn hợp tức là

nghiệm bao gồm một phần nghiệm riêng và một phần nghiệm kỳ dị

1.2.1.6 Phương trình vi phân

+) Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 1:

Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 1 có dạng

có nghiệm tổng quát dạng:

hoặc dưới dạng Cauchy:

+) Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất cấp 1:

Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất cấp 1 có dạng:

có nghiệm tổng quát dạng:

Trang 15

hoặc dưới dạng Cauchy:

1.2.2 Phương trình vi phân cấp cao

1.2.2.1 Định nghĩa

Phương trình vi phân cấp n có dạng tổng quát:

Hàm xác định trong một miền

Nếu từ (1.2.6) ta có thể giải ra được nghĩa là nó có dạng:

thì (1.2.7) được gọi là phương trình vi phân cấp n đã giải ra đối với đạo hàm

cấp cao nhất

Nghiệm của phương trình (1.2.6) là hàm khả vi n lần trên khoảng

(a, b) sao cho:

a)

b) Nó nghiệm đúng phương trình (1.2.6) trên (a, b)

Tìm nghiệm của phương trình (1.2.6) hoặc (1.2.7) thoả mãn điều kiện

là các số cho trước và được gọi là các giá trị ban đầu

Ta giả thiết rằng là miền tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình

(1.2.7), tức là nghiệm bài toán Cauchy tồn tại và duy nhất đối với mỗi điểm

Trang 16

có tất cả các đạo hàm riêng theo x liên tục đến cấp n được gọi

là nghiệm tổng quát của phương trình (1.2.7) trong miền nếu trong từ hệ

phương trình:

ta có thể xác định được:

trong

1.2.2.4 Tích phân tổng quát

Khi giải phương trình (1.2.7) nhiều khi ta được nghiệm tổng quát dưới

dạng ẩn:

và được gọi là tích phân tổng quát của phương trình (1.2.7)

Hệ thức (1.2.9) được gọi là tích phân tổng quát của phương trình (1.2.7) trong

miền nếu nó xác định nghiệm tổng quát:

của phương trình đó trong miền

nghiệm của bài toán Cauchy được bảo đảm được gọi là nghiệm riêng của

Trang 17

phương trình (1.2.7) Nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát với các giá trị

xác định của các hằng số là nghiệm riêng

nghiệm của bài toán Cauchy bị phá vỡ được gọi là nghiệm kỳ dị

Nghiệm kỳ dị của phương trình vi phân cấp n có thể là cả một họ phụ

thuộc một số hằng số tuỳ ý, nhưng số hằng số tuỳ ý này không được quá

Ví dụ: Xét phương trình

Đặt và coi là hàm số mới phải tìm ta được:

Phương trình này có nghiệm tổng quát là:

Vì nên ta có do đó nghiệm tổng quát của phương trình

đang xét là:

Phương trình (1.2.10) là phương trình vi phân cấp 1 có nghiệm kỳ dị là

Cho nên phương trình đang xét có họ nghiệm kỳ dị phụ thuộc một hằng số tuỳ

Trang 18

ở đây là các hàm của mà chúng ta cần tìm; là các

hàm cho trước xác định và liên tục trong một miền nào đó của các biến

, số n được gọi là bậc của hệ (1.2.11)

khoảng (a, b) được gọi là nghiệm của hệ (1.2.11) trên khoảng đó nếu khi thay

chúng vào hệ (1.2.11) ta được n đồng nhất thức với mọi

ban đầu

Nói chung bài toán Cauchy không phải bao giờ cũng có nghiệm, hoặc có

nghiệm nhưng nghiệm có thể không duy nhất Tuy nhiên người ta đã chứng

bài toán Cauchy luôn luôn có nghiệm (định lý Pêanô)

Hệ n hàm khả vi liên tục theo x, phụ thuộc n hằng số tuỳ ý

được gọi là nghiệm tổng quát của hệ (1.2.11) ở trong miền nếu:

Trang 19

được gọi là tích phân tổng quát của hệ(1.2.11) trong miền nếu nó xác định

nghiệm tổng quát của hệ (1.2.11) trong

Nghiệm của hệ (1.2.11) mà tại mỗi điểm của nó tính duy nhất nghiệm

của bài toán Cauchy được bảo đảm được gọi là nghiệm riêng Nghiệm nhận

được từ nghiệm tổng quát với các hằng số xác định từ (1.2.13) là

nghiệm riêng

Nghiệm của hệ (1.2.11) mà tại mỗi điểm của nó tính duy nhất nghiệm

của bài toán Cauchy bị phá vỡ được gọi là nghiệm kỳ dị

1.2.3.7 Hệ phương trình vi phân tuyến tính

Hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất có dạng:

Trang 20

Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất có dạng:

CHƯƠNG II: PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 2.1 BIẾN ĐỔI LAPLACE THUẬN 2.1.1 Định nghĩa và ví dụ hàm gốc

Hàm biến số thực được gọi là hàm gốc nếu thỏa mãn 3 điều kiện sau

đây:

(1) liên tục từng khúc trên mọi khoảng hữu hạn của trục thực

(3) tăng không nhanh hơn hàm số mũ, nghĩa là tìm được các số

sao cho với mọi ta đều có:

Số inf , với tất cả thỏa mãn (3) được gọi là chỉ số tăng của

Ví dụ 1: Chứng minh rằng hàm đơn vị sau đây là hàm gốc

Giải:

Điều kiện (1) và (2) rõ ràng được thỏa mãn Đối với điều kiện (3) ta có

Trang 21

Vậy là hàm gốc

Ví dụ 2: Chứng minh rằng hàm số sau đây là hàm gốc:

Giải:

Điều kiện (1) và (2) rõ ràng được thỏa mãn

Đối với điêu kiện (3), ta thấy rằng:

Từ đó suy ra với mọi t ta đều có:

có nghĩa là điều kiện (3) được thỏa mãn, ở đây coi

Ví dụ 3: Hàm số sau đây có phải là hàm gốc hay không?

Giải:

Điều kiện (1) và (2) rõ ràng được thỏa mãn Đối với điều kiện (3), ta chú

đây là một điều mâu thuẫn vì:

Ví dụ 4: Hàm:

là hàm gốc Thật vậy:

+ Điều kiện (1), (2) rõ ràng được thỏa mãn

Trang 22

+ Với điều kiện (3) ta có thể lấy

2.1.2 Định nghĩa và ví dụ phép biến đổi Laplace

Cho hàm số gốc , ta gọi hàm số phức của biến số phức

được xác định bằng công thức sau đây:

là hàm ảnh của hàm hay là phép biến đổi Laplace của hàm

Chú ý:

+ Hàm ảnh chỉ xác định trong miền và là hàm giải

tích trong miền đó

nên những hàm nào không thỏa mãn điều kiện này sẽ không phải

là hàm ảnh của một hàm gốc nào cả

Chẳng hạn không phải là hàm ảnh của hàm gốc nào cả vì

Tương tự cũng dễ thấy các hàm: , , ,…không phải là ảnh của hàm

gốc nào cả

Ví dụ 1: Xét hàm số đơn vị:

Biến đổi Laplace của là:

Trang 23

Trang 24

2.1.3 Các định lý và tính chất của phép biến đổi Laplace

2.1.3.1 Định lý

Cho là hàm gốc có chỉ số tăng Khi đó biến đổi Laplace của hàm

là hàm giải tích trong miền

do bất đẳng thức trên không phụ thuộc vào trong miền nên

suy ra hội tụ đều về trên miền đó

+ Ngoài ra, với mỗi giải tích trên miền Sử dụng

định lý hội tụ vị chặn Lebesgue ta có:

Trang 25

Vậy suy ra giải tích trên miền

2.1.3.2 Tính chất tuyến tính

Cho hàm gốc có các chỉ số tăng , biến đổi Laplace

là Khi đó biến đổi Laplace của hàm tổ hợp tuyến tính của

Trang 26

Ý nghĩa:

Muốn tìm ảnh (hoặc tìm gốc) của một tổng gồm nhiều số hạng ta chỉ cần tìm

ảnh (hoặc tìm gốc) của từng số hạng mà thôi

Ví dụ:

Biến đổi Laplace của một số hàm thông dụng Trong ví dụ 2 của 2.1.2 ta có:

Từ tính chất tuyến tính và kết quả trên ta sẽ tìm biến đổi Laplace của các hàm thông dụng sau:

Trang 27

+ Tương tự:

Bây giờ nếu là số phức thì ta đặt , khi đó:

Ta có:

Mặt khác:

Đồng nhất hai vế của (2.1.1) và (2.1.2) ta được:

+ Ngoài ra bằng định nghĩa ta cũng tính được

Có:

Trang 28

Trang 29

Trang 30

Trang 31

+ Muốn tìm gốc của , trước hết ta tìm gốc của là rồi

theo tính chậm trễ của gốc sẽ tìm được gốc của hàm là Cho nên sự có mặt của thừa số không gây khó khăn cho việc tìm gốc

2.1.3.6 Tính chất ảnh của hàm tuần hoàn

Nếu khi , hàm gốc là một hàm tuần hoàn chu kỳ thì hàm ảnh

của nó sẽ tính được theo công thức sau:

Trang 32

Bằng cách sử dụng tính chất 2.1.3.6 ta cũng tìm ra được các kết quả như vậy

Trang 33

 Tương tự cách tính trên ta cũng tính được:

Trang 34

của đơn giản hơn, khi đó ta hãy tìm ảnh của trước rồi theo (2.1.5) ta sẽ tìm được ảnh của là

Khi làm bài tập cần vận dụng tính chất này theo cả hai chiều

thỏa mãn điều kiện đầu:

Giải:

Đặt Theo tính chất đạo hàm của gốc trình bày ở trên ta có:

Trang 35

Bằng cách lấy biến đổi Laplace hai vế của phương trình trên và thay (2.1.7)

Muốn tìm ảnh của hoặc trước hết ta hãy tìm ảnh của là ,

sau đó theo tính chất 2.1.3.10 sẽ suy ra ngay ảnh của là hoặc ảnh

Trang 36

Như vậy có thể nói: sự có mặt của thừa số ở hàm gốc không gây khó

khăn cho việc tìm ảnh

Ví dụ:

2.1.3.11 Tính chất tích phân gốc

Cho liên tục Khi đó, ánh xạ:

cũng là hàm gốc (nếu như liên tục thì ánh xạ này là nguyên hàm của hàm ) và

Chứng minh:

Gọi là chỉ số tăng của thì

Ta có:

Trang 37

Vậy thỏa mãn ba điều kiện của hàm gốc là hàm gốc

Ý nghĩa:

+ Muốn tìm ảnh của ta chỉ cần tìm ảnh của hàm dưới dấu tích

phân, tức tìm rồi theo tính chất 2.1.3.11 suy ngay ra ảnh của là

+ Tính chất này còn cho phép ta tìm gốc trong trường hợp hàm ảnh có

dạng Khi đó trước hết ta tìm gốc của hàm ảnh là rồi sẽ tìm

Ví dụ: Tìm ảnh của hàm

2.1.3.12 Tính chất tích phân ảnh

trong đó:

Trang 38

Chứng minh:

Theo tính chất đạo hàm của ảnh thì:

Vậy là một nguyên hàm của

Ngoài ra là hàm gốc (giả sử chỉ số tăng là ) nên:

Ý nghĩa:

Muốn tìm ảnh của hàm gốc có dạng trước hết ta tìm ảnh của hàm là

sau đó theo tính chất 2.1.3.12 suy ra được ảnh của Như vậy sự có

mặt của thừa số về nguyên tắc không gây khó khăn cho việc tìm ảnh

Ví dụ: Tìm ảnh của hàm:

Trang 39

Trang 40

Nếu , và đạo hàm đều là hàm gốc thì có hệ thức:

hay Chú ý: Đổi vai trò của và ta nhận được hai công thức khác

Định dạng
Số trang	111
Dung lượng	3,23 MB