Không gian xạ ảnh Pn

Không gian xạ ảnh P n nằm trong Hình học xạ ảnh được học vào họcvào học kỳ 1 năm thứ ba của Sinh viên khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội 2.Trong phần này đã đưa ra những khái niệm cơ bản: Định

Không gian xạ ảnh P n nằm trong Hình học xạ ảnh được học vào họcvào học kỳ 1 năm thứ ba của Sinh viên khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội 2.Trong phần này đã đưa ra những khái niệm cơ bản: Định nghĩa về khônggian xạ ảnh và các mô hình của nó, phẳng, tọa độ xạ ảnh, phương trình của

m – phẳng, tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng, tỉ số kép của chùm bốn siêuphẳng và nguyên tắc đối ngẫu trong các không gian xạ ảnh Đây là một nộidung quan trọng, mở đầu cho việc hình thành những khái niệm về hình học

xạ ảnh và cũng là cơ sở cho việc giải các bài toán hình học xạ ảnh sau này.Với mong muốn tìm hiểu kĩ hơn về không gian xạ ảnh và các khái niệmliên quan, được sự gợi ý của thầy hướng dẫn Đinh Văn Thủy, tôi quyết địnhnghiên cứu đề tài:

2 Mục đích nghiên cứu

- Định nghĩa không gian xạ ảnh và tính chất của không gian xạ ảnh

- Khái niệm về phẳng, tọa độ xạ ảnh, phương trình m – phẳng, tỉ số kép củabốn điểm thẳng hàng và chùm bốn siêu phẳng Nguyên tắc đối ngẫu trongcác không gian xạ ảnh.

- Các dạng bài tập liên quan

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Hệ thống các kiến thức về không gian xạ ảnh và việc xây dựng các kháiniệm liên quan

- Nghiên cứu các bài tập liên quan đến định nghĩa không gian xạ ảnh, tínhchất của không gian xạ ảnh Các dạng bài tập về tọa độ xạ ảnh, phẳng, tỉ sốkép và các phát biểu đối ngẫu

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng: các bài toán liên quan đến không gian xạ ảnh P n, phẳng, hệđiểm độc lập, tọa độ xạ ảnh, xây dựng các mô hình của không gian xạ ảnh

và các tính chất của chúng Các dạng bài toán về tỉ số kép, hàng điểm điềuhòa, chùm siêu phẳng điều hòa

- Phạm vi nghiên cứu: một số lớp các bài toán trong hình học xạ ảnh

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Giúp cho sinh viên có tài liệu tham khảo về việc xây dựng các ví dụ về không gian xạ ảnh và một số tính chất của nó, giúp cho việc học tập môn hình học xạ ảnh tốt hơn

B NỘI DUNG

Chương 1: CÁC VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT 1.1 Không gian xạ ảnh và các phẳng của nó

1.1.1 Định nghĩa

Cho V là không gian vectơ có dim V > 0 trên trường Ta kí hiệu Vˆ

là tập hợp các không gian con một chiều của V Cho P là tập hợp tùy ý.Nếu có một song ánh:

: Vˆ → P

〈x⃗〉 (〈x⃗〉)= M

thì bộ ba (P,V, )được gọi là không gian xạ ảnh

V:Không gian vectơ liên kết với không gian xạ ảnh

Mỗi phần tử của P được gọi là điểm (xạ ảnh)

Vectơ x⃗≠ 0 mà (〈x⃗〉)= M được gọi là vectơ đại diện của M, thường kí hiệu là M¯⃗

Do đó, ∀y⃗= kx⃗(k ≠ 0)cũng là vectơ đại diện của M

Nếu dim V = n + 1 thì bộ ba (P,V, ) được gọi là không gian xạ ảnh

Cho (P,V, )là không gian xạ ảnh Gọi W là không gian vectơ con của V

có dim W > 0

Khi đó α = (Wˆ ) được gọi là phẳng xạ ảnh α = {M\M¯⃗∈

W} Nếu dim W = m + 1 thì α được gọi là m − phẳng

Như vậy, mỗi điểm của Pn là một 0 − phẳng

Nó được gọi là phẳng giao của α1 và α2

α = (W1ˆ+ W2) là phẳng có số chiều bé nhất chứa cả α1,α2 được gọi là

phẳng tổng của α1 và α2 Kí hiệu là α = α1 + α2

Tương tự có thể xây dựng các khái niệm:

+ Phẳng giao của một họ phẳng là phẳng lớn nhất nằm trong các phẳngcủa họ

+ Phẳng tổng của một họ phẳng là phẳng bé nhất chứa tất cả các phẳng của họ

1.1.2.3 Định lý số chiều

Định lý:

a)α ∩ þ ≠ ∅  dim(α + þ)= dimα + dimþ − dim(α ∩ þ)

b)α ∩ þ = ∅  dim(α + þ)= dimα + dimþ + 1

dim(W + Z )= dim W + dim Z − dim(W ∩ Z )

 dim (α + þ)+ 1 = (dimα + 1)+(dimþ + 1)− [dim(α ∩ þ)+ 1]

 dim (α + þ)= dimα + dimþ − dim(α ∩ þ)

b) α ∩ þ = ∅

 dim(W + Z )= dim W + dim Z

 dim ( +α þ)+ 1 = dimα + 1 + dimþ + 1

 dim (α + þ)= dimα + 1 + dimþ + 1

Phản chứng để có điều ngược lại của a), b)

Từ (1) và (2) suy ra W = Z Định lý được chứng minh.

Định lý 2: Hệ r điểm (r ≥ 2) là độc lập khi và chỉ khi chúng không cùngthuộc một (r – 2) – phẳng

Chứng minh:

Giả sử M1,M2,… Mr là r điểm của không gian xạ ảnh Pn, có đại diện lầnlượt là r vectơ ¯1⃗, ¯2⃗,…

,m

1.1.4 Định lý Đờ-dác 1

Định lý :

Trong không gian xạ ảnh cho 6 điểm A,B,C,A’,B’,C’trong đó không

có ba điểm nào thẳng hàng Khi đó, hai mệnh đề sau đây tương đương:

a Ba đường thẳng AA’,BB’,CC’đồng quy.

b Giao điểm của các cặp đường thẳng AB và A’B,’BC và B’C,’CA và

⇒ B¯⃗− C¯⃗= C ¯′⃗− B¯⃗′= N¯⃗

N = BC ∩ B′C′

⇒ C¯⃗+ C¯⃗′= A¯⃗+ A¯⃗′ ⇒ C¯⃗− A¯⃗= ¯′⃗− C¯⃗′= P¯⃗

⇒ P¯⃗ là vectơ đại diện của P = CA ∩ C′A.′Ta có: M¯⃗+ N¯⃗ + P¯⃗= 0¯⃗

⇒ M ,N ,P thẳng hàng

(b ⇒ a) Xét hệ 6 điểm {B,Br,M

,C,Cr,P} Với M = AB ∩ AB r,P = AC ∩ A′C′

Do BC,B’C,’MP đồng quy tại N nên theo chứng minh phần trên ta suy ra:

BC ∩ B′C,′BrM ∩ CrP,MB ∩ PC thẳng hàng

 AA’,BB’,CC’đồng quy Định lý được chứng minh

1.2 Mô hình của không gian xạ ảnh

Giả sử An+ 1 là không gian afin n + 1 chiều có nền là Vn+ 1 Lấy

0 ∈ An+ 1 Tập hợp các đường thẳng đi qua 0 được gọi là bó đường thẳngtâm 0 , kí hiệu BO

Xét ánh xạ :Vˆn+ 1 → BO

〈x⃗〉  Đường thẳng qua 0 có phương 〈x⃗〉

d = (0 ,〈x⃗〉)thì là song ánh nên (BO,V n+ 1 , )là không gian xạ ảnh n chiều

⇒ (A˜n ,V n+ 1, r) là không gian xạ ảnh n

chiều Chú ý: Trong A˜n có hai loại điểm:

Điểm afin thông thường trong An

Điểm “vô tận” thuộc Vˆn .

1.2.4 nh số học

Cho K là một trường nào đó, K n+ 1 là tích Đề-các của với chính nó n + 1lần, tức là:

K n+ 1 = {(xO,x2,… ,xn)\xi ∈ K }Xét không gian vectơ K n+ 1 Cho vectơ x⃗= (xO,x2,… ,xn)∈ K n+ 1

Dễ thấy rằng mục tiêu xạ ảnh là tồn tại

Các điểm Si gọi là các đỉnh của mục tiêu xạ ảnh, điểm U gọi là điểm đơn

vị Các m − phẳng (m < n) đi qua m + 1 đỉnh gọi là các m − phẳngtoạ độ, đặc biệt là các đường thẳng Si Sj với i ≠ j, gọi là các trục tọa độ

s được gọi là cơ sở đại diện của R.

Với M ∈ Pn tọa độ của M¯⃗trong cơ sở đại diện s được gọi là tọa độ xạ ảnhcủa M trong R

Gọi s, sr là các cơ sở đại diện của R, Rr và ma trận A là ma trận chuyển tọa độ từ s → sr.

Từ định nghĩa tọa độ suy ra:

Giả sử rằng trong mục tiêu xạ ảnh của R với cơ sở đại diện

a¯⃗s = (aOi,a1i,… ,ani) (i = 0¯¯¯,¯m¯¯ )

aOi

x = ( 

xn) ,( ai = a ni)

tO,t1,… ,tm làm + 1 tham số không đồng thời bằng 0, được gọi là các tham số.

(1) được gọi là phương trình tham số của m − phẳng α trong mục tiêu R.

Ngược lại, cho một phương trình có dạng (1) với dạng trên

rank a ij   m  1 thì có m − phẳng α nhận nó làm phương trình tham số

Do rank a ij   m  1  W  a i là không gian con m  1 chiều Gọi

αi = (Wˆ ) thì theo trên phương trình tham số của α là (1)

Đặc biệt, phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A, B códạng:  X     A    B trong đó ß và µ không đồng thời bằng 0.

AB có phương trình tham số:  x1 x  .1  .5 .(2)  .0   x  x    51  2 

¯m¯¯ )

(2)

vớirank(bij) = n − m

(2) được gọi là phương trình tổng quát của α.

Ngược lại, cho hệ (2) trong R đã cho luôn có m − phẳng α nhận nó làmphương trình tổng quát

2 4

Thế vào phương trình còn lại ta được:

trong đó các ai không đồng thời bằng 0 Thì bộ (aO,a1,… ,an)được gọi

là tọa độ của α trong R.

Tính chất: Giống như tính chất của tọa độ điểm

+ Có ít nhất một số sai khác nhau

+ Có thể sai khác nhân tử khác không

Ví dụ siêu phẳng đi qua mọi đỉnh của mục tiêu xạ ảnh trừ đỉnh Si cóphương trình: xi = 0, và tọa độ của nó là: (0,… ,0,1,0,… ,0)(số 1 nằm

ở vị trí thứ i + 1, ngoài ra là số 0)

Đối với mỗi siêu phẳng α = (aO,a1,… ,an)ta cũng kí hiệu ma trậncột tọa độ của nó là (α) Như thế phương trình của siêu phẳng α cóthể viết dưới dạng ma trận:

Nếu rank(aij) = m thì {αi }m được gọi là hệ siêu phẳng độc lập.

Nếu m siêu phẳng đó độc lập thì phương trình tổng quát của chúng làmthành một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có hạng bẳng m

Từ đó suy ra: Giao của n − m siêu phẳng độc lập là m − phẳng.

1.5 Tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng

1.5.1 Định nghĩa

Trong K − không gian xạ ảnh Pn liên kết với Vn+ 1 cho bốn điểm thẳng hàng A,B ,C,D trong đó có ba điểm A,B ,C đôi một không trùng nhau

Ta gọi a⃗,b¯⃗,¯c⃗,¯d¯⃗ là các vectơ lần lượt đại diện cho các điểm A,B ,C,D thìcác vectơ đó thuộc một không gian vectơ hai chiều, trong đó a⃗và b¯⃗độclập tuyến tính Ta suy ra có các số k1,l1 và k2,l2 sao cho:

l2 không có nghĩa Khi đó ta xem tỉ số kép của

bốn điểm A,B ,C,D bằng  (vô cùng)

k2

∶ k1 nếu l ≠ 0i=

1

Như vậy: (ABCD )= { l2 l1 2

∞ nếu l2 = 0

Nhận xét: Tỉ số kép nói trên không phụ thuộc vào cách chọn các vectơ đại

Có nghĩa là: Khi hoán vị đồng thời hai điểm đầu với nhau và hai điểm

cuối với nhau thì tỉ số kép không thay đổi

c.(ABCD )= (CDAB )

Có nghĩa là: Khi hoán vị cặp điểm đầu với cặp điểm cuối, tỉ số kép

không thay đổi

d.(ACBD )= (DBCA )= 1 − (ABCD )

Có nghĩa là: Khi hoán vị hai điểm ở giữa với nhau hoặc hoán vị điểm

đầu và điểm cuối với nhau thì được tỉ số kép mới bằng 1 trừ đi tỉ số kép cũ

e.Nếu A,B ,C,D ,E là năm điểm thẳng hàng và phân biệt thì:

(ABCD ).(ABDE )= (ABCE )

1.5.3 iểu thức tọa độ

Giả sử trong Pn đã chon một mục tiêu xạ ảnh {Si ,U }cho bốn điểmthẳng hàng A,B ,C,D với các ma trận cột tọa độ lần lượt là: (A),(B),(C),(D )

Như đã biết, khi đó ta có: (C)= k1(A)+ l1(B )và (D )= k2(A)+ l2(B)



Đối với cơ sở e i  đại diện cho mục tiêu xạ ảnh, các ma trận (A),(B

),(C)

cho các điểm A,B ,C,D Bởi vậy ta có: c⃗= k1a⃗+ l1b¯⃗ và c⃗= k2a⃗+ l2b¯⃗

Từ đó suy ra: (ABCD )=

1.5.4 ng điểm điều hòa

Nếu tỉ số kép (ABCD )= − 1 thì ta nói rằng cặp điểm C,D chia

điểm A,B và cặp điểm C,D liên hiệp điều hòa Còn nói: A,B ,C,D là một

hàng điểm điều hòa.

1.5.5 bốn đỉnh toàn phần (Tứ đỉnh toàn phần).

1.5.5.1 Định nghĩa

Trong P2 cho bốn điểm A,B ,C,D trong đó không có ba điểm nào

thẳng hàng Hình tạo bởi bốn điểm đó gọi là một hình bốn đỉnh toàn phần.

Kí hiệu là ABCD

Mỗi điểm A,B ,C,D gọi là một đỉnh

Đường thẳng nối hai đỉnh gọi là một cạnh,

Chứng minh:

A

R

D(1, 1, 1) M

Tương tự ta tính được: R (1,0,1)

Nhận xét: Một chùm siêu phẳng được xác định khi cho giá của nó hoặc cho

hai siêu phẳng nào đó của chùm

Giả sử trong Pn đã chọn một mục tiêu xạ ảnh cho một chùm siêu phẳng

mà hai siêu phẳng α và þ của nó lần lượt có phương trình:

Tọa độ của các siêu phẳng đó là: α = (aO,… ,an), þ = (bO,… ,bn)cũng như đối với tọa độ các điểm, ta kí hiệu (α) và (þ) lần lượt là các

ma trận cột tọa độ của các siêu phẳng α và þ

trong đó ß và µ không đồng thời bẳng 0

(Hoặc nói cách khác là ma trận cột của y có dạng: (y)= ß.(α)+ µ.(þ))

Điều kiện cần và đủ để y thuộc chùm xác định bởi α,þ là y điqua (n − 2)− phẳng có phương trình là hệ gồm hai phương trình (1)

và (2) Điều đó xảy ra khi và chỉ khi hệ gồm ba phương trình (1),(2),(3r) là phụ thuộc, trong lúc hệ (1)và (2)là độc lập, hay khi vàchỉ khi (3r)là phương trình hệ quả của (1)và (2), tức (3r)códạng (3)

Kí hiệu là: (α yð)hay [α,þ,y,ð].þ

Nhận xét: Đối với các trường hợp có hai siêu phẳng nào đó trùng nhau thì

ta định nghĩa tỉ số kép như sau:

của chùm tại A,B ,C,D theo thứ

tự Khi đó: (α yð)= (ABCD ).þ

Tương tự: A(0,… ,0,1,0), B = (0,… ,0,0,1), D (0,… ,0,ß2,− µ2)C⃗= ß1A⃗− µ1B¯⃗ D¯⃗=

1.6.5 hùm bốn siêu phẳng điều hòa

Bốn siêu phẳng α,þ,y,ð của một chùm được gọi là chùm bốn

Kí hiệu: αþ đh yð

Tính chất: αþ đh yð  þα đh ðy  yð đh αþ

1.6.6 bốn cạnh toàn phần (Tứ cạnh toàn phần).

1.6.6.1 Định nghĩa

Trong P2 cho bốn đường thẳng a,b,c,d trong đó không có ba

đường nào đồng quy Hình tạo bởi bốn đường thẳng đó gọi là một hình

CMỗi đường thẳng a,b,c,d gọi

là một cạnh

Giao điểm của hai cạnh gọi là

Amột đỉnh, có 6 đỉnh:

Trong hình bốn cạnh toàn phần, hai đường chéo đi qua một điểm chéo nào

đó chia điều hòa hai đường thẳng nối hai điểm chéo đó với hai đỉnh nằmtrên đường chéo thứ ba

Chứng minh:

Ta phải chứng minh rằng cặp đường thẳng PQ ,PR chia điều hòa cặpđường thẳng PB r,PC′ Muốn vậy ta chỉ cần chứng minh: (QR B

rCr)= − 1 Xét hình bốn đỉnh toàn phần ABCA′thì điều đó là hiểnnhiên Định lý được chứng minh

1.7 Nguyên tắc đối nhẫu

1.7.1. hép đối xạ trong Pn

1.7.1.1 Định nghĩa

Ta kí hiệu un , là tập hợp tất cả các phẳng trong Pn có số chiều nhỏ hơn n Trong Pn chọn mục tiêu xạ ảnh nào đó và ánh xạ n: un → un xác định

như sau được gọi là một phép đối xạ.

+ Nếu A là một điểm (0 − phẳng) thì n(A) là siêu phẳng có tọa độ giống như tọa độ của A, cụ thể là nếu:

b Ảnh của hệ m điểm độc lập là m siêu phẳng độc lập

c Ảnh của hệ m điểm phụ thuộc là m siêu phẳng phụ thuộc

d Ảnh của một m − phẳng là (n − m − 1)− phẳng

e Nếu cho hai phẳng U ,V và U ∩ V thì: n(V)⊂ n(U )

1.7.2 yên tắc đối ngẫu

Quan hệ liên thuộc: Hai cái phẳng U và V trong không gian xạ ảnh Pn gọi

là có quan hệ liên thuộc nếu một trong hai phẳng đó chứa phẳng kia, tức là

U ⊂ V hoặc V ⊂ U Khi đó ta nói U thuộc V hoặc V thuộc U

Chẳng hạn: Nếu điểm A nằm trên đường thẳng a thì ta nói: Điểm Athuộc đường thẳng a, hoặc nói đường thẳng a thuộc điểm A Như vậy, từ

“thuộc” đồng nghĩa với một trong các từ: “nằm trên”, “chứa”, “đi qua”,

“chứa trong”

Nhận xét: Phép đối xạ bảo toàn quan hệ liên thuộc giữa các phẳng, có

nghĩa là nếu U thuộc V thì n(U )thuộc n(V)



Mệnh đề đối ngẫu: Giả sử M là một mệnh đề nào đó trong không gian

xạ ảnh Pn nói về các phẳng và các quan hệ liên thuộc giữa chúng Nếutrong mệnh đề đó các từ “m − phẳng” được thay bằng các từ “n − m

− 1)− phẳng”, các từ khác giữ nguyên thì ta được mệnh đề mới M∗, gọi

là mệnh đề đối ngẫu của mệnh đề M.

Hiển nhiên, mệnh đề M là đối ngẫu của mệnh đề M∗, bởi vậy ta nói M và

M∗ là cặp mệnh đề đối ngẫu của nhau

Ví

dụ:

Trong Pn, điểm (0 − phẳng) thay bởi đường thẳng (2 − 0 − 1)− phẳng

M:“ Qua hai điểm có một đường thẳng”

M∗:“Qua hai đường thẳng có một điểm”

Trong Pn:

M:“Qua m + 1 điểm độc lập có và duy nhất m − phẳng”

M∗:“Qua (m + 1)siêu phẳng độc lập có và duy nhất (n − m − 1)−phẳng”

ngẫu của một định lý là một định lý

1.7.3 ái niệm đối ngẫu

Cho khái niệm K , ta xây dựng được khái niệm mới đối ngẫu của

nó bằng cách thay “m − phẳng” bởi “(n − m − 1)− phẳng”, giữnguyên các quan hệ liên thuộc nêu trong định nghĩa

Ví

dụ:

a Khái niệm r điểm độc lập trong Pn, được định nghĩa là: “r − điểm không cùng thuộc một (r − 2)− phẳng” có khái niệm đối ngẫu là: “r siêu phẳng

không cùng thuộc một (n − r + 1)− phẳng” Đó chính là khái niệm r

siêu phẳng độc lập.

b Trong Pn hình bốn đỉnh toàn phần và hình bốn cạnh toàn phần là cặp

khái niệm đối ngẫu

c Trong Pn, khái niệm chùm siêu phẳng: “Tập hợp các siêu phẳng cùng

thuộc (n − 2)− phẳng” có khái niệm đối ngẫu là: “Tập hợp các điểmcùng thuộc 1 − phẳng (n − (n − 2)− 1)", ta gọi chúng là một hàng

điểm.

d Tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng và tỉ số kép của chùm bốn siêu phẳng

là khái niệm đối ngẫu

e Khái niệm hàng điểm điều hòa và chùm siêu phẳng điều hòa là cặp khái

niệm đối ngẫu

Ví

dụ: Phát biểu định lý đối ngẫu của định lý Đờ–dác 1 trong P2

Định lý: Cho 6 điểm {A,B ,C,Ar,B r,C′}trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng Hai mệnh đề sau tương đương:

a.AAr,B B r,CC′đồng quy

b.AB ∩ ArB r,BC ∩ B rCr,CA ∩ C′A′thẳng hàng

 Đối ngẫu: Cho 6 đường thẳng {a,b,c,ar,br,c′} trong đó không có

ba đường thẳng nào đồng quy Hai mệnh đề sau tương đương:

a.a ∩ ar,b ∩ br,c ∩ c′thẳng hàng

b.a ∩ b + ar ∩ br,b ∩ c + br ∩ cr,c ∩ a + c′∩ a′ đồng quy