Tập các điểm nguyên của phần bù các siêu phẳng trong không gian xạ ảnh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘIHOÀNG THỊ KIM THÚY TẬP CÁC ĐIỂM NGUYÊN CỦA PHẦN BÙ CÁC SIÊU PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN XẠ ẢNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 07 - 2017..

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

HOÀNG THỊ KIM THÚY

TẬP CÁC ĐIỂM NGUYÊN CỦA PHẦN BÙ CÁC SIÊU

PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN XẠ ẢNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 07 - 2017

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

HOÀNG THỊ KIM THÚY

TẬP CÁC ĐIỂM NGUYÊN CỦA PHẦN

BÙ CÁC SIÊU PHẲNG TRONG KHÔNG

GIAN XẠ ẢNH

Chuyên ngành: Hình học và tô pô

Mã số: 60.46.01.05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH Trần Văn Tấn

HÀ NỘI, 07 - 2017

Mục lục

1.1 Một số định nghĩa 2

1.2 Một số định lí và tính chất 4

2 Tâp các điểm nguyên của phần bù các siêu phẳng trong không gian xạ ảnh 6 2.1 Định lí không gian con của Schmidt 6

2.2 Trọng số Nochka 11

2.3 Định lí cơ bản thứ hai với trọng số 19

2.4 Định lí chính mở rộng 27

Phần mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Năm 1991, Miu Ru và Pit-Mann Wong[Ivent.Math.(106)1991] đã chứngminh được rằng: Cho K là một trường số và H1, , Hq là một họ các siêuphẳng ở vị trí tổng quát trong không gian xạ ảnh Pn(K) Đặt D là hợpcủa các siêu phẳng nói trên Giả sử k là số nguyên dương bất kì thỏa mãn

q > 2n − k + 1 Khi đó tập các điểm D- nguyên trong Pn(K)D được chứatrong hợp của hữu hạn các không gian con với số chiều không quá k − 1.Đặc biệt với k = 1 và q > 2n thì tập các điểm D - nguyên của Pn(K)D làhữu hạn Luận văn nghiên cứu kết quả nói trên của Miu Ru và Pit-MannWong về " Tập các điểm nguyên của phần bù các siêu phẳng trong khônggian xạ ảnh"

2 Mục tiêu nghiên cứu

Tìm hiểu kết quả nghiên cứu của Ru và Wong về " Tập các điểm nguyêncủa phần bù các siêu phẳng trong không gian xạ ảnh"

3 Phương pháp nghiên cứu

Đọc và dịch các tài liệu liên quan, phân tích, so sánh, tổng hợp và nghiêncứu lý thuyết để giải quyết các vấn đề đặt ra trong luận văn, chúng tôi

sử dụng phương pháp nghiên cứu của lí thuyết phân bố giá trị, hình họcphức

4 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm cácchương sau:

Chương 1 Lời giới thiệu, đây là các kiến thức nền tảng phục vụ chochương 2

Chương 2 Tập các điểm nguyên của phần bù các siêu phẳngtrong không gian xạ ảnh , trình bày định nghĩa và định lí để xây dựngtập các điểm nguyên của phần bù các siêu phẳng trong không gian xạ ảnh

và giúp đỡ để tác giả có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình.

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song do thời gian và trình độ còn hạnchế nên bản luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót nhất định Tác giảrất mong nhận được ý kiến đóng góp của quý độc giả để bản luận văn nàyđược hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 7 năm 2017

Học viên

Hoàng Thị Kim Thúy

(1) kxk = 0 nếu và chỉ nếu x = 0 (Không suy biến)

(2) kxyk = kxkkyk (Tính nhân)

(3) kx + yk ≤ kxk + kyk (Bất đẳng thức tam giác)

Định giá được gọi là định giá không archimedean nếu nó thỏa mãn

kx + yk ≤ max(kxk, kyk)

Hai định giá k.k1, k.k2 được gọi là tương đương nếu tồn tại hằng số dương

λ thỏa mãn k.k1 = λk.k2 Tập các định giá chính tắc trên Q được kí hiệu

là MQ bao gồm một định giá archimedean k.k∞ và các định giá p - adick.kp với p là số nguyên tố

1.1.2 Cho K là một trường số, với mỗi định giá υ trên K ta kí hiệu Kυ làbao đóng đầy của K với υ và nυ = [Kυ : Qυ] được gọi là bậc địa phương.Định nghĩa chuẩn với định giá archimedean

kxkυ = |x| nếu Kυ = Rkxkυ = |x|2 nếu Kυ = CNếu υ không là archimedean thì υ là mở rộng của định giá p - Cadic trong

Q với p là số nguyên tố, chuẩn được định nghĩa

với mọi x ∈ K∗ Khai triển kkυ trên bao đóng đại số Kυ của Kυ

1.1.3 Kí hiệu OK là vành các phần tử nguyên của K, tức là OK là tậphợp các phần tử α ∈ K thỏa mãn đa thức cực tiểu P (X) của nó trên Z códạng

P (X) = Xh+ a1Xh−1 + + ah, h = degQα, ai ∈ Z

Ta có tập chính tắc MK các định giá của K bao gồm một định giá tươngứng với một ideal nguyên tố p của OK, một định giá tương ứng với mộtphép nhúng thực σ : K → R, và một định giá tương ứng với một cặp phépnhúng σ, σ : K → C Ta kí hiệu MK∞ là tập các định giá archimedean của

K, MK0 là tập các định giá không archimedean của K Một cách tự nhiên,

ta có

MK = MK∞ ∪ MK0

Với mỗi υ ∈ MK, kí hiệu Kυ là bao đầy của textbf K tương ứng với υ Tachuẩn tắc các định giá sao cho kpkυ = p−[Kυ :Q p ]/[K:Q] nếu υ tương ứng vớiideal p và p ∩ Z = (p), và kxkυ = kσ(x)k[Kυ :R]/[K:Q] nếu υ tương ứng vớiphép nhúng σ Nếu υ là một định giá của K và ω là một định giá của mởrộng trường L của K, khi đó ta nói rằng ω nằm trên υ (hoặc υ nằm dướiω), kí hiệu bởi ω|υ, nếu ω và υ xác định cùng một tô pô trên K.

1.1.4 Cho S là tập con hữu hạn của MK, chứa tất cả các định giá archimedeancủa K Kí hiệu OS gọi là giá trị S - nguyên của K, nghĩa là các giá trị

x ∈ K sao cho

với mọi υ /∈ S Điểm x = (x1, , xn) ∈ Kn được gọi là điểm S-nguyênnếu xi ∈ OS với mọi 1 5 i 5 n Cho D là tập các divisor ample hiệu quảtrên đa tạp xạ ảnh V và đặt 1 = x0, x1, , xN là một cơ sở của khônggian véc tơ: L(D) = {f |f là hàm hữu trên đa tạp V sao cho f = 0 hoặc(f ) + D ≥ 0} Khi đó P → (x1(P ), , xN(P )) xác định phép nhúng củaV(K) − D vào trong không gian afin KN Điểm P của V(K) − D gọi làđiểm D - nguyên nếu xi ∈ OS với mọi 1 5 i 5 N

1.2 Một số định lí và tính chất

Định lý 1.1 (Định lí chính) Cho K là môt trường số và H1, H2, , Hq

là môt họ hữu hạn các siêu phẳng trong Pn(K), ở vị trí tổng quát.Cho

15j5q

Hj, thì với số nguyên bất kì 1 5 k 5 n thỏa mãn q > 2n − k + 1,tập các điểm D - nguyên của Pn(K) − D là chứa trong hợp hữu hạn cáckhông gian con xạ ảnh của Pn(K) số chiều là k − 1 Đăc biệt, tập các

điểm D - nguyên của Pn(K) − {2n + 1 siêu phẳng ở vị trí tổng quát } làhữu hạn.

Nhắc lại rằng siêu phẳng H trong Pn(K) là được đại diện bởi véc tơ αtrong Kn+1− {0} Một họ các siêu phẳng H1, H2, , Hq được gọi là ở vị trítổng quát nếu tập các véc tơ đại diện {α1, , αq} thỏa mãn điều kiện mọitập con bất kì của nó không vượt quá n + 1 phần tử là độc lập tuyến tínhtrên K Tổng quát hơn, cho V là một đa tạp xạ ảnh, D là divisor ampletrên V và tập {φ0, , φN} là một cơ sở của L(D) sao cho

Φ = [φ0, , φN] : V → PN

là phép nhúng V vào trong PN với V − D bị nhúng trong KN Chúng tađồng nhất hóa V với ảnh của nó Φ(V ) Chúng ta cũng có hệ quả trưc tiếpcủa định lí cơ bản

Hệ quả 1.2 Cho V là một đa tạp xa ảnh, D là divisor ample trên V Cho

D1, , Dq là các divisor trong hệ tuyến tính |D| sao cho E = D1+ +Dq làđơn giản nhất Nếu q > 2N − k + 1 ở đây N = dim L(D) − 1 và 1 5 k 5 n,thì tập các điểm E - nguyên của V − E là chứa trong phần giao một sốhữu hạn các không gian con xạ ảnh, số chiều k − 1 của PN với V Đặcbiệt, nếu q = 2N + 1 thì tập các điểm E - nguyên của V − E là hữu hạn

Chương 2

Tâp các điểm nguyên của phần bù

các siêu phẳng trong không gian xạ ảnh

Cho K, S và MK là được định nghĩa như trong lời giới thiệu

Định lý 2.1 (Định lí không gian con) Cho {Lυ,i|υ ∈ S, 1 5 i 5 n + 1} làcác dạng tuyến tính của n - biến số với hệ số đại số Giả sử rằng cố địnhmỗi υ ∈ S (tâp hữu hạn các định giá trong K chứa tất cả các định giáarchimedean), n + 1 dạng tuyến tính Lυ,1, , Lυ,n+1 là độc lập tuyến tính.Khi đó với bất kì ε > 0 tồn tại tập hữu hạn J các siêu phẳng của Kn+1sao cho bất đẳng thức

Định lí của Schmidt có thể được xác định lại công thức trong điều kiện

về chiều cao và hàm Weil Với điểm x = [x0, , xn] ∈ Pn(K), chiều caotương đối H(x) xác định bởi

05i5n

kxikυ 5 1 (2.4)sao cho λυ;L(x) = 0 Giả sử L là siêu phẳng của Pn và điểm x ∈ Pn(K)nhưng x /∈ L, hàm xấp xỉ và hàm đếm được xác định bởi

của chiều cao ta có

Định lý 2.2 (Định lí cơ bản thứ nhất) Nếu L là một dạng tuyến tính vàL(x) 6= 0, thì

đó với ε > 0 bất kì tồn tại một tập hữu hạn J các siêu phẳng của Pn(K)sao cho bất đẳng thức

xj ∈ OS, xem trong lời giới thiệu với các định nghĩa) Bởi (1.2) kxjkυ 5 1

với mọi υ /∈ S và với mọi 0 5 j 5 n, như vậy

size(x) = max

υ∈S,05j5n

kxjkυ 5 c0H(x) (2.7)với mọi x ở đây c0 là một hằng số chỉ phụ thuộc vào S nhưng độc lập với

x Cho x = (x0, , xn) và a = ideal sinh bởi {x0, , xn} Khi đó

H(x) = N a−1 Q

υ∈S

max

05j5nkxjkυBởi định lí 6.3(Lang[7, trang 33]), tồn tại hằng số c > 0 và ideal nguyên

tố b tương đương tuyến tính với a sao cho N b 5 c Nói cách khác, có thểchọn xj nguyên sao cho

H(x) = c−1Y

υ∈S

max

05j5nkxjkυ (2.8)Bất đẳng thức trong định lí của Schmidt (định lí 1.1) đưa đến sự tồn tạicủa hằng số c1 và tập hữu hạn J các siêu phẳng của Pn(K) sao cho vớitập con bất kì {i1, , in+1} của {1, , q} bất đẳng thức

1[K : Q]

1[K : Q]

X

υ∈S

log max

05j5nkxjkυ 5 h(x) + c2 (2.10)trong đó c2 là hằng số chỉ phụ thuộc vào K Bây giờ (2.9) và (2.10) kéotheo rằng

đúng với mọi điểm x ∈ Pn(K) − S

Bởi định nghĩa của hàm xấp xỉ (2.5), ta có hệ quả sau

Hệ quả 2.4 Cho {Li|1 5 i 5 q} là các dang tuyến tính (các siêu phẳngtrong Pn) của (n + 1) - biến số, ở vị trí tổng quát Khi đó với ε > 0 bất kìtồn tại tập hữu hạn J các siêu phẳng của Pn(K) sao cho bất đẳng thức

05j5nkxjkυbởi

kLi(x)kυ(n + 1)kLikυ max

05j5n

kxjkυtrong chứng minh trên ta sẽ được điều cần chứng minh

Định nghĩa 2.5 Cho V là một không gian véc tơ trên F (trường có đăc

số 0) với số chiều (trên F) là k + 1, ta kí hiệu V∗ là đối ngẫu của V Với

1 5 k 5 n < q, tâp hợp các véc tơ khác không A = {υ1, , υq} trong V∗

được gọi là ở vị trí n - dưới tổng quát nếu không gian xạ ảnh sinh bởi n + 1phần tử bất kì (phân biệt) của A là V∗ Nếu n = k thì khái niệm này trùngvới khái niệm ở vị trí tổng quát

Nhận xét 2.6

(i) Rõ ràng rằng {υ1, , υq} là ở vị trí n - dưới tổng quát nếu {α1υ1, , αqυq}

là ở vị trí n - dưới tổng quát trong đó mỗi αj là một đơn vị của F (nghĩa

là αj ∈ F − {0}) Kí hiệu P(V∗) là không gian xạ ảnh của V∗ Khi đócác phần tử của P(V∗) được đồng nhất với các siêu phẳng của khônggian xa ảnh P(V ) Tập hơp các siêu phẳng {aj ∈ P(V)|1 5 j 5 q}được gọi là ở vị trí n - dưới tổng quát nếu {υ1, , υq} là ở vị trí n -dưới tổng quát ở đây υj ∈ V∗ thỏa mãn P(υj) = aj Với n = k kháiniệm này trùng với khái niệm của siêu phẳng ở vị trí tổng quát

(ii) Nếu m < q, A = {υ1, , υq} là ở vị trí n - dưới tổng quát thì nó cũng

là ở vị trí m - dưới tổng quát với mọi m = n

(iii) Cho {bj ∈ P(W∗

)|1 5 j 5 q} là các siêu phẳng ở vị trí tổng quát,trong đó W là một không gian véc tơ trên F với số chiều k + 1, thì

A = {aj = bj ∩ P(V∗)|1 5 j 5 q} là tập các siêu phẳng trong P(V ),không nhất thiết ở vị trí tổng quát nhưng phải ở vị trí n - dưới tổngquát Giả sử tập hợp các véc tơ khác không A = {υ1, , υq} trong V∗

ở vị trí n - dưới tổng quát và tập con khác rỗng B của A, kí hiệu:

d(B) = chiều của không gian tuyến tính sinh bởi B (2.11)

và chỉ số độc lập của B được xác định như sau

nằm trong mặt phẳng Chú ý rằng sơ đồ B −→ P (B) không phải

là duy nhất Tập hợp các điểm {P (B)|A ⊇ B} được gọi là biểu đồNochka của A

đồ Nochka với #B 5 n + 1 nằm ở phía trên đường thẳng qua U và V

Mệnh đề 2.7 Cho A = {υ1, , υq} là tập các véc tơ trong V∗ ở vị trín-dưới tổng quát Khi đó tồn tại duy nhất dãy sắp thứ tự các tập con củaA:

Hình 2.1: Biểu đồ Nochka

A ⊃ Bs ⊃ Bs−1 ⊃ ⊃ B1 ⊃ B0 = ∅thỏa mãn các tính chất sau đây Với Pi = P (Bi)(i = 1, , s) và P0 = O.Khi đó

(i) σ(Pi−1, Pi) < σ(Pi−1, X)(1 5 i 5 s) trong đó σ kí hiệu độ nghiêng củađường thẳng được chỉ ra,

(ii) σ(O, Pi) < σ(O, X) với 1 5 i 5 s,

(iii) σ(Pi−1, Pi) < σ(Pi, Pi+1)(1 5 i 5 s) trong đó tập Ps+1 = X,

(iv) Cho A là tập hơp các tập con B với #B 5 n + 1 và với 0 5 i 5 s ,giả sử Ai là tập các B ∈ A với Bi B Khi đó

σ(Pi, Pi+1) 5 σ(Pi, P (B))

với bất kì B ∈ Ai, bất đẳng thức luôn đúng nếu i < s và B ∈ Ai+1.Chứng minh Xây dựng các tập Bj bằng quy nạp Giả sử B0, , Bj đã đượcxây dựng thì theo giả thiết quy nạp,(i) và (ii) là thỏa mãn với mọi 15 i 5 j(điều kiện này là ∅ nếu j = 0), (iii) và (iv) là thỏa mãn với 15 i < j (điềukiên này là ∅ nếu j 5 1).

Nếu σ(Pj, P (B)) = σ(Pj, X) với mọi B trong Ai, nghĩa là (iv) là thỏamãn với i = j Xét j = s Bởi (i) của của giả thiết quy nạp, ta cóσ(Ps−1, Ps) < σ(Ps−1, X) Điều này dẫn đến σ(Ps−1, Ps) < σ(Ps, X) (xéttam giác Ps−1PsX), nó là (iii) với trường hợp i = j = s Bây giờ ta có thểgiả sử rằng tồn tại B trong Aj sao cho

ở vị trí dưới tổng quát dẫn đến rằng #(B ∪ C) < n + 1 Như vậy B ∪ C lànằm trong Aj Ta có

d(B ∪ C) − d(Bj = d(B) + d(C) − d(B ∩ C) − d(Bj)

= d(B) − d(Bj) + d(C) − d(Bj) − d(B ∩ C) + d(Bj)

5 σj{#(B) − #(Bj) + #(C) − #(Bj) − #(B ∩ C) + #(Bj)}

= σj{#(B ∪ C) − #(Bj)},

nghĩa là σ(Pj, P (B ∪ C)) 5 σj Như vậy B ∪ C ∈ Mj đáp ứng yêu cầu.Bây giờ xác định Bj+1 là hợp của các tập trong Mj Từ đó dẫn đến

Bj+1 ∈ Mj Bằng xây dựng, σj = σ(Pj, Pj+1) 5 σ(Pj, P (B)) với mọi

B trong Mj Chú ý rằng bất đẳng thức luôn đúng nếu B ∈ Mj+1 Nhưvậy (iv) được kiểm nghiệm với i = j Bởi giả thiết (3.4), σ(Pj, Pj+1) =σ(Pj, P (Bj+1)) < σ(Pj, X) sao cho (i) được kiểm nghiệm với i = j + 1.Liên kết điều này với σ(O, Pj) < σ(O, X) (bằng phương pháp quy nạp,(ii) đúng với i 5 j) dẫn đến rằng điểm Pj+1 nằm dưới đường thẳng OX

Do đó σ(O, Pj+1) < σ(O, X) là (ii) với i = j + 1 Từ (iv) với i = j − 1

và B = Bj+1 ta có σ(Pj−1, Pj) < σ(Pj−1, Pj+1) Điều này dẫn đến rằngσ(Pj−1, Pj) < σ(Pj, Pj+1) (bởi xét trong tam giác Pj−1PjPj+1) Như vậy(iii) được kiểm nghiệm với i = j Đến đây hoàn thành các bước quy nạp

Từ đó cấc tập B0, B1, là dãy tăng thực sự và A là tập hữu hạn, xây dựngtrên kết thúc sau một số hữu hạn bước, kết thúc chứng minh của mệnh đề.Dãy {Bi} các tập con của A, xây dựng trong mệnh đề trước, giả sửtăng lên đa giác trong mặt phẳng được gọi là đa giác Nochka của A,{O = P0, P1 = P (B1), , Ps = P (Bs), Ps+1 = X} với OP1, P1P2, , Ps−1Ps,

PsPs+1 là các đoạn thẳng Nếu tập Bs+1 = A thì

(B1 − B0) ∪ (B2 − B1) ∪ ∪ (Bs− Bs−1) ∪ (A − Bs) = A

là sự phân chia của A Nếu phần tử a ∈ A nằm trong Bi+1− Bi(0 5 i 5 s),

ta gán nó với trọng số Nochka

ω(a) = σi = σ(Pi, Pi+1) = độ nghiêng của đoạnPiPi+1 (2.15)

Ý nghĩa của trọng số Nochka là giả thiết của đinh lí sau đây

Định lý 2.8 (Nochka-Chen) Với các giả thiết và kí hiệu ở trên, ta có

(i) k + 1

2n − k + 1 5 σs 5 k + 1

n + 1,(ii) 0 5 ω(a) 5 σs với a ∈ A,

Nếu #(B ∪ Bs) = n + 1, thì ở vị trí dưới tổng quát dẫn đến

Bởi tính chất (ii), trọng số Nochka thỏa mãn σs−1ω(a) 5 1 Như vậy

và bởi phần (iv) của mệnh đề trước,

σi = σ(Pi, Pi+1) 5 σ(Pi, P (Bi+10 )) = d(Bi ∪ (B ∩ Bi+1)) − d(Bi)

Khi đó tổng của các trọng số Nochka có thể được đánh giá dễ dàng nhưsau:

2.3 Định lí cơ bản thứ hai với trọng số

Cho K, S và MK là được định nghĩa trong lời giới thiệu Sử dụng trong sốNochka, kết quả của bài 1 có thể được mở rộng từ trường hợp ở vị trí tổngquát sang trường hợp ở vị trí dưới tổng quát Trước tiên ta cần bổ đề kĩthuật là hệ quả của các tính chất của trọng số Nochka (định lí 2.8)

Bổ đề 2.10 Cho V là một không gian véc tơ trên F (trường có đặc số 0)

có số chiều k + 1, ta kí hiêu V∗ là đối ngẫu của V và cho A = {υ1, , υq}

là môt hệ các siêu phẳng của Pk ở vị trí n - dưới tổng quát với điều kiện

là 1 5 k 5 n < q Cho E1, , Eq là dãy các số thực với Ej = 1 với mọi

j Khi đó bất kì tập con B của A với 0 < #B 5 n + 1, tồn tại tập con Ccủa B sao cho {υj|υj ∈ C} là một cơ sở của không gian xạ ảnh sinh bởi{υi|υi ∈ B} và

trong đó {ωj = ω(υj)|1 5 j 5 q} là các trọng số Nochka liên kết với A.Chứng minh Để không làm mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng

1 5 Eq 5 Eq−1 5 5 E1 Xác định một dãy tăng các tập con của Bnhư sau Đặt i1 = min {i|υi ∈ B} và I1 = {υi ∈ B|υi là bội của υi1} Nếu

B − I1 6= ∅, chọn υi2 ∈ B − I1 sao cho i2 = min {i|υi ∈ B − I1} và xácđịnh I2 = {υi ∈ không gian xạ ảnh sinh bởi υi1 và υi2} Theo quy nạp,nếu Ij−1 là xác định và nếu B − Ij−1 6= ∅, chọn υij ∈ B − Ij−1 sao cho

ij = min {i|υi ∈ B − Ij−1} và xác định Ij = {υi ∈ B|υi ∈ không gian xạảnh sinh bởi υi1, , υij−1} Quá trình này dừng tai Ip ở đây p = số chiềukhông giạn xạ ảnh sinh bởi B Rõ ràng rằng Ip ⊇ Ip−1 ⊇ ⊇ I1 và

ip 5 ip−1 5 5 i1 Tập C = υi1, , υip có bởi xây dựng một cơ sở của