Ánh xạ không giãn xác suất và điểm bất động

Ngoài lòi mó đau, ket lu¾n và tài li¾u tham kháo, lu¾n văn có bachương n®i dung: Chương 1: trình bày ve không gian vectơ tôpô, không gian loi đ%aphương, không gian đ%nh chuan xác suat, m

LèI CÁM ƠN

Lu¾n văn này đưoc thnc hi¾n và hoàn thành dưói sn hưóng dan t¾ntình cna Tien sĩ Hà Đúc Vưong, ngưòi thay đã hưóng dan và truyen chotác giá nhung kinh nghi¾m quí báu trong hoc t¾p và nghiên cúu khoahoc Thay luôn đ®ng viên và khích l¾ đe tác giá vươn lên trong hoc t¾p

và vưot qua nhung khó khăn trong quá trình hoàn thành lu¾n văn Tácgiá xin bày tó lòng kính trong, lòng biet ơn chân thành và sâu sac nhatđoi vói thay

Tác giá xin chân thành cám ơn Ban Giám hi¾u Trưòng Đai hoc Sưpham Hà N®i 2, Phòng Sau đai hoc, Khoa Toán và To Giái tích cùngvói các quý thay cô đã tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá ket thúctot đep chương trình cao hoc và hoàn thành lu¾n văn tot nghi¾p

Tác giá chân thành cám ơn Só GD và ĐT Bac Giang, Trưòng THPTLang Giang so 3 đã tao moi đieu ki¾n giúp đõ đe tác giá an tâm hoct¾p và hoàn thành tot lu¾n văn

Hà N®i, tháng 9 năm 2010

Tác giá

LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan lu¾n văn là công trình nghiên cúu cna riêng tôi dưói

sn hưóng dan cna TS Hà Đúc Vưong Lu¾n văn không he trùng l¾p vói

Mnc lnc

Má

đau 1

1 Kien thNc chuan b% 6 1.1 Không gian loi đ%a phương 7

1.1.1 T ¾p loi, t¾p cân, t¾p hút trong không gian vectơ 7

1.1.2 Không gian tôpô 12

1.1.3 Không gian vectơ tôpô 14

1.1.4 Không gian loi đ%a phương 17

1.2 Không gian đ%n h c huan xác suat 31

1.2.1 Chuan tam giác 31

1.2.2 M®t so c huan tam giác cơ bán 32

1.2.3 Không gian đ%nh c huan xác suat 33

2 Điem bat đ®ng cúa ánh xa không giãn trong không gian loi

iii

2.1 Ánh xa không giãn trong không gian loi đ%a phương 41

2.2 Điem bat đ®ng cna ánh xa không giãn trong không gian loi đ%a phương 44

3 M®t so ket quá ve điem bat đ®ng cúa ánh xa không giãn xác suat 48 3.1 Ánh xa không giãn xác suat 49

3.1.1 Ánh xa không giãn xác suat 49

3.1.2 Cau trúc chuan tac xác suat 50

3.1.3 Không gian loi ch¾t xác suat 52

3.2 Điem bat đ®ng cna ánh xa không giãn xác suat 53

4

Mé ĐAU

1 Lý do chon đe tài

Nhieu bài toán khác nhau cna khoa hoc và ky thu¾t đã dan đen vi¾cnghiên cúu van đe sau:

Cho X là m®t không gian, ánh xa T : M → M là ánh xa đi tù t¾p con

M cúa không gian X vào chính nó Xét phương trình phi tuyen Tx = x (x ∈ M ), dưói các đieu ki¾n cn the hãy khang đ%nh sn ton tai nghi¾m cúa phương trình đó? Điem x ∈ M thóa mãn phương trình Tx

= x đưoc

goi là điem bat đ®ng cúa ánh xa T trên t¾p M.

Vi¾c nghiên cúu van đe trên đã góp phan đac lnc cho vi¾c giái quyethàng loat bài toán quan trong trong Toán hoc nói riêng, trong Khoa hoc

ky thu¾t nói chung Đieu này dan đen m®t hưóng nghiên cúu mói trong

Toán hoc và đã hình thành nên “Lý thuyet điem bat đ®ng”.

Lý thuyet điem bat đ®ng là m®t trong nhung lĩnh vnc quan trong cnaGiái tích hàm phi tuyen Ngay tù đau the kí 20 các nhà toán hoc trênthe giói đã quan tâm đen lĩnh vnc này và cho tói nay có the khang đ%nh

lý thuyet điem bat đ®ng đã phát trien het súc sâu r®ng, tró thành công

cu không the thieu đe giái quyet nhieu bài toán khác nhau Sn phát triencna lĩnh vnc này gan lien vói tên tuoi các nhà toán hoc lón trên the gióinhư Banach, Brouwer, Schauder, Tykhonov, Kakutani, Ky Fan, Nhung ket quá kinh đien cna lý thuyet điem bat đ®ng, đong thòi cũng

là nhung công trình khói đau cho lĩnh vnc nghiên cúu này như

Nguyên lý ánh xa co Banach, Nguyên lý điem bat đ®ng Brouwer đưoc áp dung ó nhieu lĩnh vnc cna Toán hoc hi¾n đai như:

Phương trình vi phân, Phương trình tích phân, Lý thuyet đieu khien,

Lý thuyet toi ưu hóa, Đai so, Giái tích so,

Trên cơ só các nguyên lý cơ bán trên, Lý thuyet điem bat đ®ng đãphát trien theo 2 hưóng chính:

- Hưóng thú nhat nghiên cúu ve điem bat đ®ng cna các ánh xa dang co,

mó đau là Nguyên lý ánh xa co Banach (1922).

- Hưóng thú hai nghiên cúu ve điem bat đ®ng cna các ánh xa liên tuc,

mó đau là Nguyên lý điem bat đ®ng Brouwer (1912).

Vào nhung năm 60 cna the kí 20, m®t hưóng mói có the xem là trunggian cna hai hưóng trên đã xuat hi¾n trong Lý thuyet điem bat đ®ng Đó

là vi¾c nghiên cúu điem bat đ®ng cna ánh xa không giãn trong không

gian Banach M®t câu hói đ¾t ra là: can đieu ki¾n gì trên t¾p M và không gian X đe ton tai điem bat đ®ng cna m®t ánh xa không giãn

T : M → M ?

Vì như chúng ta đã biet, moi ánh xa co đeu là ánh xa không giãn vàmoi ánh xa không giãn đeu liên tuc nên các đieu ki¾n này phái manhhơn đieu ki¾n trong Nguyên lý ánh xa co Banach và yeu hơn đieu ki¾ntrong Nguyên lý điem bat đ®ng Brouwer

Câu trá lòi chính xác phái đoi đen năm 1965 mói đưoc Browder vàGohde đ®c l¾p tìm ra Đe giái quyet bài toán này, hai nhà toán hoc trên

6

đã sú dung kĩ thu¾t đ®c đáo dna vào nhung thành tnu cna m®t hưóng

nghiên cúu mói có tên là: “Hình hoc các không gian Banach” do Clarkson

khói xưóng năm 1936

Năm 1942 Lý thuyet ve không gian metric xác suat đưoc giói thi¾u

bói Menger Đó là sn mó r®ng “xác suat” cna khái ni¾m metric thông thưòng: thay cho vi¾c xét khoáng cách d(x, y), ngưòi ta xét hàm phân bo F x,y (t) bieu dien xác suat đe cho d(x, y) < t, vói t là m®t

so thnc Khái ni¾m này đã thu hút sn quan tâm cna nhieu nhà toánhoc, đ¾c bi¾t là Schweizer và Sklar đã xây dnng thành lý thuyet vekhông gian metric xác suat, viet thành sách chuyên kháo xuat bánnăm 1983 Sau đó nó đưoc phát trien và có úng dung rat quan trongtrong V¾t lý lưong tú, Lý thuyet dòng và Lý thuyet b¾c đưocnghiên cúu bói El Naschie và Abdolrahman Razani MaryamShirdarvazdi

Vói mong muon tìm hieu sâu hơn ve van đe này, nhò sn giúp đõ,hưóng dan t¾n tình cna TS Hà Đúc Vưong, tôi manh dan chon nghiêncúu đe tài:

“Ánh xa không giãn xác suat và điem bat đ®ng”

Ngoài lòi mó đau, ket lu¾n và tài li¾u tham kháo, lu¾n văn có bachương n®i dung:

Chương 1: trình bày ve không gian vectơ tôpô, không gian loi đ%aphương, không gian đ%nh chuan xác suat, moi liên h¾ giua không gianloi đ%a phương và không gian đ%nh chuan xác suat

Chương 2: trình bày ve ánh xa không giãn và đ%nh lý ve điem bat

đ®ng cna ánh xa không giãn trong không gian loi đ%a phương.

Chương 3: trình bày ve ánh xa không giãn xác suat và đ%nh lý ve điembat đ®ng cna ánh xa không giãn xác suat

2 Mnc đích nghiên cNu

Muc đích cna lu¾n văn là xây dnng m®t bài tong quan ve ánh xakhông giãn xác suat và điem bat đ®ng cna lóp ánh xa này Công trìnhnghiên cúu dna trên các ket quá cna TS Hà Đúc Vưong trong bài báo “Afixed point theorem for nonexpansive mappings in locally convex spaces”đăng trên tap chí Vietnam Journal of Mathematics năm 2006

3 Nhi¾m vn nghiên cNu

Vói muc đích nghiên cúu ó trên, nhi¾m vu nghiên cúu cna lu¾n vănlà:

- Nghiên cúu ve không gian loi đ%a phương và điem bat đ®ng cna ánh xa không giãn trong không gian loi đ%a phương

- Nghiên cúu ve không gian đ%nh chuan xác suat, moi liên h¾ giua không gian loi đ%a phương và không gian đ%nh chuan xác suat

- Nghiên cúu ve điem bat đ®ng cna ánh xa không giãn xác suat

4 Đoi tưang và pham vi nghiên cNu

Đoi tưong và pham vi nghiên cúu cna lu¾n văn là: Ánh xa không giãnxác suat và điem bat đ®ng cna lóp ánh xa này

5 Phương pháp nghiên cNu

- Nghiên cúu lý lu¾n, tài li¾u chuyên kháo

- Phân tích, tong hop kien thúc

6 DN kien đóng góp mái

Đây là bài tong quan ve ánh xa không giãn, không giãn xác suat vàđiem bat đ®ng cna chúng Giúp ngưòi đoc hieu đưoc moi liên h¾ giuakhông gian loi đ%a phương và không gian đ%nh chuan xác suat Tù đódna trên ket quá ve điem bat đ®ng cna ánh xa không giãn trong khônggian loi đ%a phương đe tìm ra ket quá ve điem bat đ®ng cna ánh xakhông giãn xác suat trong không gian đ%nh chuan xác suat

tn nhiên trên nó không the cho đưoc bói chuan nào Ta se kháo sát lópkhông gian này, chúng tong quát hơn các không gian đ%nh chuan và goi

là các không gian vectơ tôpô

é chương này, chúng tôi trình bày m®t so ket quá can thiet ve t¾ploi, t¾p cân, t¾p hút - là công cu quan trong trong vi¾c kháo sát tôpôcna không gian vectơ tôpô, không gian loi đ%a phương - không gian tongquát hơn không gian đ%nh chuan nhưng van báo toàn nhieu tính chatcna không gian đ%nh chuan, núa chuan, moi liên h¾ giua ho núa chuan

6

và tính chat loi đ%a phương.

Tiep theo, chúng tôi trình bày ve chuan tam giác, hàm phân bo, khônggian đ%nh chuan xác suat, và chí ra rang úng vói moi không gian đ%nhchuan xác suat ta có the xây dnng m®t không gian loi đ%a phương màtôpô trong chúng trùng nhau

1.1 Không gian loi đ%a phương

1.1.1 T¾p loi, t¾p cân, t¾p hút trong không gian vectơ.

Đ%nh nghĩa 1.1.1 [8] Cho X là không gian vectơ trên trưòng K (thnc

d) T¾p A đưoc goi là tuy¾t đoi loi neu nó là t¾p loi và cân.

c) T¾p A đưoc goi là hút neu vói moi x ∈ X đeu ton tai t > 0 sao cho x ∈ sA vói moi s thóa mãn |s| “ t.

Nh¾n xét 1.1.1 Bao đóng cna m®t t¾p loi là loi Th¾t v¾y

Giá sú A là t¾p loi và x1, x2 ∈ A Vói t ∈ [0, 1], đ¾t

x = tx1 + (1 − t)x2

1 1

Giá sú U là m®t lân c¾n cna điem 0 Do x1, x2 ∈ A nên

2 B = {x ∈ R n : ||x|| ™ 1} là t¾p loi, cân trong R n

M¾nh đe 1.1.1 Neu t¾p A là tuy¾t đoi loi khi và chs khi ∀x, y ∈ A,

Neu λ = 0 ho¾c µ = 0 thì rõ ràng λx + µy ∈ A.

Neu λ ƒ= 0 và µ ƒ= 0 thì λ x ∈ A và µ y ∈ A (do A là t¾p cân).

hơn nua

| λ |

+ | µ | = 1nên

|λ| + | µ|

|λ| + |µ|

λx + µy = (|λ| + |

µ|)

| λ | λx +

|λ| + |µ| |λ|

| µ | µy

|λ| + |µ| |µ|

∈ A.

V¾y λx + µy ∈ A, vói x, y ∈ A và |λ| + |µ| ™ 1.

Ngưoc lai neu λx + µy ∈ A, vói x, y ∈ A và |λ| + |µ| ™ 1 thì de dàng suy ra A là t¾p loi và cân.

Đ%nh lý 1.1.1 Cho A, B ⊂ X, x ∈ X và α ∈ K Kí hi¾u

x + A = {x + y|y ∈ A} , αA = {αy|y ∈ A}

d) Neu A là t¾p cân thì vói moi α ∈ K thóa mãn |α| = 1 thì αA = A e) Neu A là t¾p cân thì vói moi α, β ∈ K sao cho |α| ™ |β| thì αA ⊂ βA.

Bây giò giá sú A là t¾p cân và |α| ™ |β|

Neu β = 0 thì α = 0 nên αA ⊂ βA.

Neu β ƒ= 0 thì

™ 1

β

α

nên theo đ%nh nghĩa t¾p cân ta có

a) Neu A i là t¾p loi vói moi i ∈ I thì A là t¾p loi.

b) Neu A i là t¾p cân vói moi i ∈ I thì A là t¾p cân

Chúng minh.

a) Lay tùy ý x, y ∈ A và t ∈ [0, 1].

Khi đó vói moi i ∈ I, do A i là t¾p loi và x, y ∈ A i nên

tx + (1 − t)y ∈ A i Suy ra tx + (1 − t)y ∈ A hay A là t¾p loi.

b) Lay tùy ý α ∈ K thóa mãn |α| ™ 1 Vì

moi A i là t¾p cân nên αA ⊂ A, ∀i ∈ I.

Đ%nh nghĩa 1.1.2 [3] Cho A là t¾p con cúa không gian X, ta goi bao

loi cúa A là giao cúa tat cá các t¾p loi chúa A Kí hi¾u convA.

1.1.2 Không gian tôpô.

Đ%nh nghĩa 1.1.3 Cho t¾p X ƒ= ∅, m®t ho T các t¾p con cúa X đưoc goi là m®t tôpô trên X neu:

Đ%nh nghĩa 1.1.4 Cho (X, T) là không gian tôpô, A ⊂ X, x0 ∈ X.

A đưoc goi là lân c¾n cúa x0 neu ton tai t¾p mó G ∈ T sao cho x0 ∈

G và G ⊂ A.

Nh¾n xét 1.1.2 Neu Ux là t¾p hop tat cá các lân c¾n cna điem x thu®c không gian tôpô X thì U x có các tính chat sau:

Ngưoc lai, giá sú X là m®t t¾p hop tùy ý và vói moi phan tú x ∈ X

chí ra đưoc m®t t¾p hop (không rong) Ux các t¾p con cna cna X Khi

đó neu các đieu ki¾n trên đưoc thóa mãn thì, ta có the xác đ%nh đưoc

m®t tôpô duy nhat trên X, bang cách xác đ%nh các t¾p hop mó sao cho

vói moi x, U x là t¾p hop tat cá các lân c¾n cna x (T¾p A ⊂ X là mó neu vói moi x ∈ A đeu ton tai U ∈ U x sao cho U ⊂ A.)

Đ%nh nghĩa 1.1.5 Giá sú X và Y là hai không gian tôpô Ánh xa

f : X → Y

Hàm f đưoc goi là liên tnc tai điem x ∈ X neu vói moi lân c¾n V cúa f (x) trong Y đeu ton tai m®t lân c¾n U cúa x trong X sao cho f (U ) ⊂ V Hàm f đưoc goi là liên tnc neu nó liên tnc tai moi x ∈ X Hàm f đưoc goi là m®t phép đong phôi neu f và f −1 liên tnc.

Đ%nh nghĩa 1.1.6 M®t không gian tôpô (X, T) goi là tách (Hausdorff) neu và chs neu vói 2 điem bat kì khác nhau x, y ∈ X ton tai U, V ∈ T

thóa mãn x ∈ U, y ∈ V và U ∩ V = ∅.

Đ%nh nghĩa 1.1.7 M®t t¾p hop con V x cúa t¾p hop U x các lân c¾n cúa

x đưoc goi là m®t cơ só lân c¾n cúa x neu vói moi U ∈ U x đeu ton tai

V ∈ V x sao cho V ⊂ U.

Chang han các t¾p hop mó chúa x l¾p thành m®t cơ só lân c¾n cna x.

1.1.3 Không gian vectơ tôpô.

Đ%nh nghĩa 1.1.8 Giá sú X là m®t không gian vectơ trên trưòng K

(thnc hay phúc) M®t tôpô trên X đưoc goi là tương thích vói cau trúc đai so cúa X neu các phép toán c®ng hai vectơ, nhân m®t vô hưóng vói m®t vectơ trong X là liên tnc Nghĩa là

a) Vói moi c¾p (x, y) ∈ X × X và V là m®t lân c¾n tùy ý cúa x + y thì ton tai các lân c¾n V1 cúa x và V2 cúa y sao cho V1 + V2 ⊂ V

b) Vói moi x ∈ X, α ∈ K và V là lân c¾n tùy ý cúa αx, ton tai ε > 0 và lân c¾n U cúa x sao cho vói moi β ∈ K mà |β − α| < ε thì βU ⊂ V M®t không gian vectơ tôpô trên K là m®t không gian vectơ cùng vói m®t tôpô tương thích.

M¾nh đe 1.1.2 [8] Vói moi a ∈ X, phép t%nh tien f : f (x) = x +

a là m®t phép đong phôi tù X lên chính nó.

Chúng minh.

Neu f (x) = x + a = y thì f −1 (y) = x = y − a Do đó f là song ánh tù X lên chính nó.

Hơn nua, f và ánh xa ngưoc cna nó liên tuc

V¾y f là m®t phép đong phôi.

Tù m¾nh đe trên ta suy ra: neu U là lân c¾n cna điem goc thì U +

a là lân c¾n cna điem a Đ¾c bi¾t neu U là m®t cơ só lân c¾n cna điem

goc thì U + a là m®t cơ só lân c¾n cna a

Như v¾y toàn b® cau trúc cna X đưoc xác đ%nh bói m®t cơ só lân c¾n

cna điem goc Nên ta se làm vi¾c chn yeu vói các lân c¾n cna điem goc

M¾nh đe 1.1.3 [8] Vói moi so khác không α ∈ K, ánh xa f : f (x)

= αx là m®t phép đong phôi tù X lên chính nó Đ¾c bi¾t neu U là m®t lân c¾n cúa điem goc thì vói moi α ƒ= 0, αU cũng là lân c¾n cúa điem goc.

Chúng minh.

Neu f : f (x) = αx = y thì f −1 (y) = x = α −1 y.

V¾y f là song ánh liên tuc hay f là m®t phép đong phôi.

Đ%nh lý 1.1.3 [8] Neu U là m®t cơ só lân c¾n cúa điem goc thì vói

moi U ∈ U ta có:

a) U là t¾p hút.

b) ton tai V ∈ U sao cho V + V ⊂ U.

c) ton tai lân c¾n cân cúa điem goc W ⊂ U.

Chúng minh.

a) Giá sú x ∈ X, đ¾t f (λ) = λx thì f liên tuc tai λ = 0,

Do đó ton tai m®t lân c¾n {λ : |λ| ≤ ε} cna 0 ∈ K đưoc ánh xa vào U

V¾y λx ∈ U khi |λ| ≤ ε.

Do đó x ∈ µU khi |µ| ≥ ε −1 hay U là t¾p hút.

b) Đ¾t g(x, y) = x + y thì g liên tuc tai x = 0, y = 0, do đó ton tai hai lân c¾n V1 và V2 sao cho x + y ∈ U khi x ∈ V1 và y ∈ V2 Ton

tai V ∈ U vói V ⊂ V1 ∩ V2 V¾y V + V ⊂ U

c) Đ¾t h(λ, x) = λx thì h là liên tuc tai λ = 0, x = 0, do đó ton tai m®t lân c¾n V và so ε > 0 sao cho λx ∈ V khi |λ| ≤ ε và x ∈ V V¾y λV ⊂ U khi |λ| ≤ ε, do đó εV ⊂ µU khi |µ| ≥ 1.

khi |λ| ≤ 1 Thành thú λx ∈ W

V¾y W cân và chúa trong U

Tù m¾nh đe này suy ra rang moi không gian vectơ tôpô đeu có m®t

cơ só gom nhung lân c¾n cân Trong các không gian vectơ tôpô quantrong nhat và thưòng đưoc sú dung thì còn có cá m®t cơ só gom nhunglân c¾n loi cna điem goc, đó là không gian loi đ%a phương

λ

1.1.4 Không gian loi đ%a phương

Đ%nh nghĩa 1.1.9 Không gian vectơ tôpô có m®t cơ só gom nhung lân

c¾n loi cúa điem goc đưoc goi là không gian vectơ tôpô loi đ%a phương hay không gian loi đ%a phương.

Đ%nh lý 1.1.4 M®t không gian loi đ%a phương X có m®t cơ só U nhung

lân c¾n cúa điem goc vói các tính chat sau:

a) Neu U ∈ U, V ∈ U thì ton tai W ∈ U sao cho W ⊂ U ∩ V

b) Neu U ∈ U thì αU ∈ U vói ∀α ƒ= 0.

c) Moi U ∈ U là tuy¾t đoi loi và hút.

Ngưoc lai, cho m®t t¾p U (khác rong) nhung t¾p con cúa không gian vectơ X vói các tính chat a) - c) thì ton tai m®t tôpô làm cho X tró thành m®t không gian loi đ%a phương vói U là m®t cơ só lân c¾n cúa điem goc.

Chúng minh.

Neu X là không gian loi đ%a phương thì theo đ%nh nghĩa, ton tai m®t

cơ só lân c¾n loi

Neu U là m®t lân c¾n loi thì

|µ|≥1 µU cũng là loi vì là giao cna các t¾p loi.

Như v¾y ton tai m®t cơ só V gom nhung lân c¾n tuy¾t đoi loi Khi

đó có só lân c¾n phái tìm là t¾p hop U tat cá các t¾p hop αV vói α ƒ=

0 và

Tù cách xây dnng U, suy ra neu U ∈ U thì αU ∈ U vói ∀α ƒ= 0.

Tù đó và tù m¾nh đe 1.1.3, suy ra moi U ∈ U là tuy¾t đoi loi và hút.

Ngưoc lai giá sú U là t¾p hop vói các tính chat a) - c)

Goi V là t¾p hop tat cá các t¾p con cna X chúa m®t t¾p hop cna U và vói moi x ∈ X ta lay V + x là t¾p hop các lân c¾n cna x.

Trưóc het, ba m¾nh đe

V¾y neu U ∈ V + x thì ton tai V ∈ V + x sao cho U ∈ V y vói moi y ∈

V Đe chúng minh tính liên tuc cna phép c®ng tai x = a, y = b ta

giá sú

U ∈ U, the thì neu x ∈ 1 U + a và y ∈ 1 U + b thì x + y ∈ 1 U + a + b

Cuoi cùng đe chúng minh rang λx liên tuc tai λ = α, x = a ta chí vi¾c tìm η và δ sao cho λx − αa ∈ U khi |λ − α| < η và x ∈ δU + a.

2

Nhưng ton tai µ > 0 sao cho a ∈ µU , do đó ta chon η sao cho 0 < 2η

<

µ −1 và chon δ sao cho 0 < 2δ < (|α| + η) −1 thì khi đó

λx − αa = λ (x − a) + (λ − α) a ∈ (|α| + η) δU + ηµU ⊂ U.

Đ%nh lý đưoc chúng minh

H¾ quá 1.1.1 Giá sú V là m®t t¾p hop tùy ý nhung t¾p hop con tuy¾t

đoi loi và hút cúa không gian vectơ X Khi đó ton tai trên X m®t tôpô yeu nhat và tương thích vói cau trúc đai so, sao cho moi t¾p hop thu®c V

là m®t lân c¾n Vói tôpô ay, X là m®t không gian loi đ%a phương và m®t

cơ só lân c¾n cúa điem goc đưoc tao thành bói các t¾p hop ε( T

a) Neu U ∈ U, V ∈ U thì ton tai W ∈ U sao cho W ⊂ U ∩ V

b) Neu U ∈ U thì αU ∈ U vói ∀α ƒ= 0.

c) Moi U ∈ U là tuy¾t đoi loi và hút.

V¾y U tró thành m®t cơ só lân c¾n trong m®t tôpô T trên X làm X

tró thành không gian loi đ%a phương

Hơn nua trong moi tôpô tương thích (trong đó các t¾p hop cna V lànhung lân c¾n) thì các t¾p cna U cũng phái là nhung lân c¾n (theoNh¾n xét 1.1.2 và M¾nh đe 1.1.3) V¾y tôpô T là tôpô yeu nhat trong

moi tôpô tương thích.

Tù đây tró đi, ta se chí nghiên cúu trên các không gian loi đ%a phương.Trong thnc te đó là nhung không gian ta thưòng g¾p

Đ%nh nghĩa 1.1.10 [3] Cho X là không gian loi đ%a phương, D ⊂ X

và hàm f : D → R, trong đó R = R ∪ {−∞, +∞}, các t¾p:

domf = {x ∈ D| f (x) < +∞} , epif = {(x, α) ∈ D × R| f (x) ≤ α} ,

đưoc goi lan lưot là mien huu hi¾u và trên đo th% cúa hàm f.

Hàm f : D → R đưoc goi là loi trên D neu trên đo th% cúa nó là m®t t¾p loi trong X × R.

Nh¾n xét 1.1.3 Neu f là hàm loi thì domf loi

Th¾t v¾y, domf là hình chieu cna epif trên X:

domf = {x ∈ X| f (x) < +∞} = {x|∃r, (x, r) ∈ epif} Lai có f là hàm loi nên epif là hàm loi, như v¾y domf là ánh cna

t¾p loi epif qua m®t ánh xa tuyen tính Do đó domf loi

Đ%nh lý 1.1.5 [3] Giá sú D là t¾p loi trong không gian loi đ%a phương

X, hàm f : D → (−∞, +∞] Khi đó, f là loi trên D khi và chs khi vói

moi t ∈ [0, 1], vói moi x, y ∈ D ta có

f (x) = +∞ ho¾c f (y) = +∞, do đó bat đang thúc là đúng.

Do epif loi, ∀(x, r) ∈ epif, ∀(y, s) ∈ epif, ∀t ∈ (0, 1) ta có

t(x, r) + (1 − t)(y, s) = (tx + (1 − t)y, tr + (1 − t)s) ∈ epif

(1 − t)s chon r = f (x), s = f (y) ta đưoc

Th¾t v¾y, vì (x, r) ∈ epif, (y, s) ∈ epif nên f (x) ™ r, f (y) ≤ ssuy ra

Đ%nh nghĩa 1.1.11 [3] Hàm f xác đ%nh trên X đưoc goi là thuan

nhat dương neu ∀x ∈ X, ∀λ ∈ (0, +∞) ta có

f (λx) = λf (x).

Đ%nh lý 1.1.7 [3] Hàm thuan nhat dương f : X → (−∞, +∞] là loi khi và chs khi vói moi x, y ∈ X ta có

Như v¾y epif đóng vói phép c®ng và phép nhân vô hưóng, suy ra epif

là loi hay f là hàm loi.

Đ%nh nghĩa 1.1.12 Giá sú X là không gian vectơ trên trưòng K (thnc

ho¾c phúc), m®t hàm p xác đ%nh trên X, có giá tr% thnc, huu han đưoc goi là m®t núa chuan neu:

a) p (λx) = |λ| p (x) , ∀x ∈ X, ∀λ ∈ K.

b) p(x + y) ™ p(x) + p(y), ∀x, y ∈ X.

M®t ho P các núa chuan trên X đưoc goi là tách t¾p X neu vói moi

x ∈ X, ton tai p ∈ P sao cho p(x) ƒ= 0.

M®t núa chuan p thóa mãn: p(x) ƒ= 0 neu x ƒ= 0 đưoc goi là m®t

+ p(x)

p(x) − p(y) ™ p(x − y) p(y) − p(x) ™ p(y − x)

Vì p(x − y) = p(y − x) nên ta suy ra

|p (x) − p (y)| ™ p (x − y)

3 p(x) “ 0, ∀x ∈ X.

Đieu này đưoc suy ra tù hai nh¾n xét trên

4 Núa chuan p là m®t hàm loi thuan nhat dương.

Đieu này đưoc suy ra tù đ%nh nghĩa cna núa chuan p và Đ%nh lý

Đ%nh nghĩa 1.1.13 Cho A là t¾p tuy¾t đoi loi và hút trong không gian

vectơ X Vói moi x ∈ X, ton tai so thnc t > 0 sao cho t −1 x ∈ A, túc

{t > 0|t −1 x ∈ A} là t¾p khác rong và b% ch¾n dưói nên ton tai infimum Đ¾t

p A (x) = inf{t > 0|t −1 x ∈ A}, x ∈ X.

Khi đó p A là m®t hàm so giá tr% thnc xác đ%nh trên X, goi là hàm cõ (ho¾c phiem hàm Minkowski) cúa A.

Nh¾n xét 1.1.5 Cho A là t¾p loi, cân, hút trong không gian vectơ X.

1 Giá sú x ∈ X và t > p A (x) Khi đó t −1 x ∈ A.

Th¾t v¾y, vì t > p A (x) nên ton tai s ∈ [p A (x), t) sao cho s −1 x

∈ A Vì 0 ™ t −1 s < 1 và A là t¾p cân nên t −1 x = (t −1 s) (s −1 x) ∈ A.

2 Giá sú x ∈/ A khi đó p A (x) ≥ 1.

Th¾t v¾y, neu p A (x) < 1 thì tù trên ta suy ra x ∈ A, mâu

thuan vói giá thiet

3 Ta luôn có

{x ∈ X|p A (x) < 1} ⊂ A ⊂ {x ∈ X|p A (x) ™ 1}

Th¾t v¾y, bao hàm thúc {x ∈ X|p A (x) < 1} ⊂ A đưoc suy ra

tù nh¾n xét 2 ó trên, còn bao hàm thúc A ⊂ {x ∈ X|p A (x) ™ 1} là de thay.

Đ%nh lý 1.1.8 Cho p là m®t núa chuan trên không gian vectơ X Đ¾t

A = {x ∈ X|p (x) < 1} và B = {x ∈ X|p (x) ™ 1}

Khi đó A, B là các t¾p loi, cân, hút và p A = p B = p trong đó p A , p B lan lưot là hàm cõ cúa A và B.

Chúng minh.

Tù tính chat cna p ta có ngay A là t¾p cân.

Lay tùy ý x ∈ X và t > p(x) Khi đó vói moi s thóa mãn |s| ≥ t ta có:

p(s −1 x) = |s| −1 p(x) ™ t −1 p(x) < 1 nên s −1 x ∈ A hay x ∈ sA

V¾y A là m®t t¾p hút.

Lay tùy ý x, y ∈ A và t ∈ [0, 1] ta có p(x) < 1, p(y) < 1 suy ra

p(tx + (1 − t)y) ™ tp(x) + (1 − t)p(y) < 1

hay tx + (1 − t)y ∈ A V¾y A là t¾p loi

Tóm lai, A là t¾p loi, cân, hút.

L¾p lu¾n tương tn ta cũng có B là t¾p loi, cân, hút.

Vói moi x ∈ X, đe ý rang vói t > 0,

Đ%nh lý 1.1.9 Cho A là t¾p loi, cân, hút trong không gian vectơ tôpô

X Khi đó p A là m®t núa chuan trên X.

V¾y p A (αx) = |α| p A (x) vói moi α ∈ K.

Lay tùy ý x, y ∈ X, ta se chúng minh

p A (x + y) ™ p A (x) + p A (y).

=

s + t

V¾y p A là m®t núa chuan trên X.

Đ%nh lý 1.1.10 Giá sú B là m®t cơ só lân c¾n loi, cân, hút trong không gian vectơ tôpô X Vói moi V ∈ B, goi p V là hàm cõ cúa V Khi đó

P = {pV |V ∈ B} là m®t ho các núa chuan liên tnc trên X

Moi liên h¾ giua núa chuan và t¾p tuy¾t đoi loi và hút cho phép tamiêu tá tôpô cna m®t không gian loi đ%a phương theo ngôn ngu núachuan như sau.

Đ%nh lý 1.1.11 Cho P là t¾p các núa chuan trên không gian vectơ X,

khi đó ton tai m®t tôpô yeu nhat trên X tương thích vói cau trúc đai so, trong đó moi núa chuan cúa P là liên tnc Vói tôpô ay, X là m®t không gian loi đ%a phương và m®t cơ só lân c¾n đóng đưoc hình thành bói các t¾p

Đ%nh lý đưoc suy ra tù Đ%nh lý 1.1.4 và H¾ quá 1.1.1 vì neu p i là

hàm cõ cna lân c¾n tuy¾t đoi loi và hút V i thì ε −1 sup

1≤i≤n p i là hàm cõ cna

ε T V i

1≤i≤n

1.2 Không gian đ%nh chuan xác suat

1.2.1 Chuan tam giác

Đ%nh nghĩa 1.2.1 [11] M®t ánh xa ∆ : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] đưoc goi là m®t chuan tam giác hay t− chuan (t− norm) neu nhung đieu ki¾n sau đưoc thoá mãn:

a) ∆ (a, 1) = a, ∀ ∈ [0, 1]

b) ∆ (a, b) = ∆ (b, a), ∀a, b ∈ [0, 1]

c) ∆ (a, b) ™ ∆ (c, d) neu a ™ c, b ™ d, ∀a, b, c, d ∈ [0, 1]

d) ∆ (a, ∆ (b, c)) = ∆ (∆ (a, b) , c), ∀a, b, c ∈ [0, 1].

Nh¾n xét 1.2.6 Tù đ%nh nghĩa trên ta thay, neu ∆ là m®t t - chuan thì vói moi x ∈ [0, 1] ta có:

∆3 (a, b) = min {a, b}

Cho hai t - chuan T1 và T2 Ta nói T1 ™ T2 neu T1(a, b) ™ T2(a, b),

1.2.3 Không gian đ%nh chuan xác suat

Đ%nh nghĩa 1.2.2 Ánh xa F : R → R đưoc goi là núa liên tnc dưói neu vói moi x0 ∈ R, ∀ε > 0, ton tai δ > 0 sao cho vói moi x ∈ (x0 − δ, x0 +