Định lý Cayley - Hamilton và ứng dụng

Đong thòi em xin chân thành cám ơn các thay côtrong to Hình Hoc và các thay cô trong khoa Toán - Trưòng Đai hoc Sưpham Hà N®i 2, đã tao đieu ki¾n cho em hoàn thành tot khoá lu¾n này.Tron

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2

KHOA TOÁN

TRAN TH± MINH

бNH LÍ HAMILTON VÀ ÚNG DUNG

CAYLEY-KHÓA LU¾N TOT NGHI›P ĐAI HOC

Chuyên ngành: HÌNH HOC

Ngưài hưáng dan khoa hoc Th PHAM THANH TÂM

LèI CÁM ƠN

Em xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói thay Pham Thanh Tâm

-Ngưòi thay đã trnc tiep t¾n tình hưóng dan và giúp đõ em hoàn thànhkhoá lu¾n cna mình Đong thòi em xin chân thành cám ơn các thay côtrong to Hình Hoc và các thay cô trong khoa Toán - Trưòng Đai hoc Sưpham Hà N®i 2, đã tao đieu ki¾n cho em hoàn thành tot khoá lu¾n

này.Trong khuôn kho có han cna m®t bài khoá lu¾n, do đieu ki¾n thòigian, do trình đ® có han và cũng là lan đau tiên nghiên cúu khoa hoccho nên không tránh khói nhung han che, thieu sót nhat đ%nh Vì v¾y,

em kính mong nh¾n đưoc nhung góp ý cna các thay cô và các ban

Em xin chân thành cám ơn !

Hà N®i, ngày 15 tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Tran Th% Minh

LèI CAM ĐOAN

Khoá lu¾n này là ket quá cna bán thân em trong quá trình hoc t¾p

và nghiên cúu Bên canh đó em đưoc sn quan tâm cna các thay cô

giáo trong khoa Toán, đ¾c bi¾t là sn hưóng dan t¾n tình cna Thay Pham Thanh Tâm.

Trong khi nghiên cúu hoàn thành bài khoá lu¾n này em đã thamkháo m®t so tài li¾u đã ghi trong phan tài li¾u tham kháo

Em xin khang đ%nh ket quá cna đe tài “Đ%nh lí Cayley-Hamilton

và Úng ding ” không có sn trùng l¾p vói ket quá cna các đe tài khác.

Hà N®i, ngày 15 tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Tran Th% Minh

Mnc lnc

Má đau 2

Chương 1 Ánh xa tuyen tính 4

1.1 Đ%nh nghĩa, tính chat 4

1.2 Ma tr¾n cna ánh xa tuyen tính 7

1.3 Ánh, hat nhân cna ánh xa tuyen tính 8

1.4 Bài t¾p 15

Chương 2 Cau trúc tN đong cau tuyen tính 17

2.1 Tr% riêng, vectơ riêng và đa thúc đ¾c trưng 17

2.2 Không gian con bat bien 21

2.3 Dang chuan Jordan 26

2.4 Bài t¾p 30

Chương 3 Đ%nh lí Cayley- Hamilton và Nng dnng 35

3.1 Đ%nh lí Cayley- Hamilton 35

3.2 Úng dung cna đ%nh lí Cayley- Hamilton 37

3.2.1 Tính lũy thùa cna ma tr¾n vuông cap 2 37

3.2.2 Tìm ma tr¾n ngh%ch đáo 41

3.2.3 Úng dung đ%nh lí Cayley- Hamilton đe tính giói han 42

3.2.4 Úng dung vào lũy thùa cna ma tr¾n 44

3.2.5 Úng dung cho vet cna ma tr¾n và đ%nh thúc 45

3.3 Bài t¾p 46

Ket lu¾n

50

Mé ĐAU

1 Lý do chon đe tài

Đ%nh lí Cayley-Hamilton là m®t đ%nh lí hoàn toàn mói trong chươngtrình đai so tuyen tính ó b¾c đai hoc khoi ngành sư pham Nó là m®ttrong nhung đ%nh lí đóng vai trò quan trong b¾c nhat trong đai sotuyen tính

Sau khi hoc xong chương trình toán dành cho cú nhân sư pham,đ¾c bi¾t là sau khi hoc xong môn đai so tuyen tính Em mong muonhoc hói và tìm hieu sâu thêm ve đ%nh lí Cayley-Hamilton, và m®t soúng dung cna nó nham giái quyet m®t so van đe cna đai so tuyen tính.Đong thòi, có the dùng làm tài li¾u cho các ban sinh viên khóa sautham kháo mó r®ng kien thúc cna mình

Đong thòi rèn luy¾n tư duy logic, tính chính xác và can th¾n chongưòi hoc

Dưói góc đ® m®t sinh viên sư pham chuyên ngành Toán và trongkhuôn kho cna bài khoá lu¾n tot nghi¾p, đong thòi đưoc sn hưóng

dan nhi¾t tình cna thay Pham Thanh Tâm tôi đã chon đe tài “Đ

%nh lí Cayley-Hamilton và m®t so Úng ding”.

2 Mnc đích nghiên cNu cúa đe tài

Nghiên cúu ve đ%nh lí Cayley-Hamilton và m®t so úng dung

3 Đoi tưang và pham vi nghiên cNu

Đ%nh lí Cayley- Hamilton và m®t so dang bài có the giái nhò úng dungđ%nh lí

4 Giái han và pham vi nghiên cNu cúa đe tài

Nghiên cúu đ%nh lí Cayley- Hamilton và m®t so dang bài t¾p úng dung cna nó trong pham vi cna môn đai so tuyen tính

5 Giá thuyet khoa hoc

Xây dnng h¾ thong bài t¾p úng dung đ%nh lí Cayley- Hamilton làmthành tài li¾u giúp các ban sinh viên khóa sau có the thay đưoc vai tròcna nó trong môn đai so tuyen tính

6.Nhi¾m vn nghiên cNu cúa đe tài

Nghiên cúu m®t so kien thúc chuan b% liên quan đen đ%nh lí Hamilton

Cayley-7 Phương pháp nghiên cNu

Nghiên cúu tài li¾u tham kháo

Tong hop, phân tích, h¾ thong lai các khái ni¾m, tính chat

8 Cau trúc khóa lu¾n

Khoá lu¾n gom 3 chương:

Chương 1 Ánh xa tuyen tính

Chương 2 Cau trúc cna tn đong cau tuyen tính

Chương 3 Đ%nh lí Cayley- Hamilton và úng dung

Hà N®i, ngày 15 tháng 5 năm 2013

Tác giáTran Th% Minh

Chương 1 Ánh xa tuyen tính

∈ V, k ∈ K M®t ánh xa tuyen tính còn đưoc goi là đong

cau tuyen tính, hay m®t cách van tat là đong cau

Tính chat 1.1.2 Giá sú f : V → W là m®t ánh xa tuyen tính Khi



→

 

không phái là m®t ánh xa tuyen tính

Đ%nh lí 1.1.4 Giá sú V là không gian vectơ n- chieu.Khi đó moi ánh xa

tuyen tính tù V vào W đưoc hoàn toàn xác đ%nh bói ánh cna nó qua

g(s˙ i ) = β˙ i , i = 1, 2, , n thì vói

moi α˙

= x i s˙ i ∈ V ta đeu có:

i=1

a) M®t đơn cau neu f là đơn ánh.

b) M®t toàn cau neu f là toàn ánh.

c) M®t đang cau neu f là m®t song ánh.

Neu f : V → W là m®t đang cau thì f −1 : V → W cũng là m®t

Đ%nh lí 1.1.6 Cho V, W là hai không gian vectơ huu han chieu

trên trưòng so K Khi đó V đang cau vói W khi và chí khi dimV =

dimW Chúng minh Giá sú V ∼= W, túc là có m®t đang cau tuyen

β˙ = f (α˙ ) = f (a1α˙ 1 + + a n α˙ n ) = a1f (α˙ 1) + + a n f (α˙ n ).

Neu

β˙ còn bieu th% tuyen tính β˙ = b1f (α˙ 1) + + b n f (α˙ n) thì

α˙ = f −1 (β˙) = b1α˙ 1 + + b n α˙ n

nên h¾ này là m®t cơ só cna W Nói cách khác dimV = dimW.

Ngưoc lai, giá sú dimV = dimW = n Chon các cơ só (α˙ 1, , α˙

n) cna

V và (β˙1, , β˙ n ) cna W Ánh xa tuyen tính duy nhat ϕ : V → W

đưoc

xác đ%nh bói ϕ(α˙ 1)

= β˙ n) =1, , ϕ(α˙ β˙ n là m®t đang cau tuyen tính.

Th¾t v¾y, ngh%ch đáo cna ϕ là ánh xa tuyen tính ψ : W → V đưoc xác đ%nh bói đieu ki¾n ψ(β˙1) = α˙ 1, , ψ(β˙ n ) = α˙ n

1.2 Ma tr¾n cúa ánh xa tuyen tính.

Đ%nh nghĩa 1.2.1 Giá sú V, W là nhung K- không gian vectơ huu

han chieu Goi (e) = {˙e1, , ˙e n } là m®t cơ só cna V, (s) = {s˙1, , s˙ n } là m®t cơ só cna W Theo đ%nh lí 1.1.4, moi ánh xa tuyen tính f

: V → W se đưoc bieu dien duy nhat bói h¾ vectơ {f (˙s1), , f (˙s n )} Các vectơ f (e˙ j ) lai bieu th% tuyen tính m®t cách duy nhat qua cơ só

xa tuyen tính có ma tr¾n A = (a ij )m×n đoi vói c¾p cơ só (e) và (s).

1.3 Ánh, hat nhân cúa ánh xa tuyen tính.

M¾nh đe 1.3.1 Giá sú f : V → W là m®t đong cau Khi đó ánh bói

f cna moi không gian vectơ con cna V là m®t không gian vectơ con cna

W Ngh%ch ánh bói f cna moi không gian vectơ con cna W là m®t

không gian vectơ con cna V

Chúng minh Giá sú T là m®t không gian vectơ con cna V Khi đó

f (T ) ƒ= ∅, bói vì nó chúa m®t vectơ 0 Hơn nua, neu α˙ r , β˙ r là nhung vectơ

V¾y f (T ) là m®t không gian vectơ con cna W.

Bây giò, giá sú U là m®t không gian vectơ con cna W Khi đó,

f −1 (U ) ƒ= ∅ bói vì nó cũng chúa vectơ 0

Neu

α˙

, β˙

Đ%nh nghĩa 1.3.2 Giá sú f : V → W là m®t đong cau.

(i) Ker(f ) = f −1(0) = ,x ∈ V : f (˙x) = 0, ⊂ V đưoc goi là hat

nhân

(hay hach) cna f So chieu cna Ker(f ) đưoc goi là so khuyet cna f

(ii) Im(f ) = f (V) = ,f (˙x) : ˙x ∈ V, ⊂ W đưoc goi là ánh

cna f So

chieu cna Im(f ) đưoc goi là hang cna f và đưoc kí hi¾u là rank(f ).

Tính chat 1.3.3 a) Đ%nh lí 1 Đong cau f : V → W là m®t toàn

cau neu và chí neu rank(f ) = dimW.

Chúng minh Theo đ%nh nghĩa, f là m®t toàn cau neu và chí neu Im(f ) =

W Vì Im(f ) là m®t không gian vectơ con cna W, nên đang thúc trên

tương đương vói:

rank(f ) := dimf (V) = dimW.

Th¾t v¾y, neu f (V) = W thì hien nhiên dimf (V) = dimW Ngưoc lai, giá sú dimf (V) = dimW Do f (V) là m®t không gian vectơ con cna W, nên moi cơ só cna f (V) cũng là m®t h¾ đ®c l¾p tuyen tính trong W vói so phan tú bang dimf (V) = dimW Nói cách khác, moi

cơ só cna f (V) cũng là m®t cơ só cna W V¾y f (V) = W.

b) Đ%nh lí 2 Cho đong cau f : V → W khi đó các m¾nh đe sau là

(vi) Rank(f ) = dimV.

Chúng minh (i) → (ii): Giá sú

Như

v¾y, (f (α˙ 1), , f (α˙ k)) cũng đ®c l¾p tuyen tính.

(iii) → (iv) và (iv) → (v) là hien nhiên.

(v) → (vi): Giá sú (α˙ 1, , α˙ n ) là m®t cơ só cna V sao cho (f (α˙ 1),

, f (α˙ n))

là m®t h¾ đ®c l¾p tuyen tính Rõ ràng, h¾ này sinh ra f (V) Ta có:

Rank(f ) = dimf (V) = rank(f (α˙ 1), , f (α˙ n )) = n

= dimV.

(vi) → (i) :Giá sú (α˙ 1, , α˙ n) là m®t cơ só cna V Ta có:

Rank(f ) = dimf (V) = rank(f (α˙ 1), , f (α˙ n)) =

Đieu này có nghĩa là

c) Đ%nh lí 3 (Đ%nh lí đong cau các không gian vectơ) Giá sú f : V →

W

là m®t ánh xa tuyen tính Khi đó ánh xa f¯ : V/Ker(f ) → W cho bói

f¯([α˙ ]) = f (α˙ ) là m®t đơn cau, lúc này nó gây nên m®t đang

cau tù

V/Ker(f ) lên Im(f ).

Chúng minh Trưóc het, ta can chí ra f¯ hoàn toàn xác đ%nh, nghĩa là

nó không phu thu®c vào phan tú đai di¾n

α˙ − α˙ r ∈ Ker(f ) nên

f (α˙

− α˙ r) = 0 suy

ra f (α˙ ) = f (α˙ r ) Vì f là m®t ánh xa tuyen tính nên de dành kiem tra f¯ cũng là m®t ánh xa tuyen tính.

Tù đ%nh nghĩa cna f¯ ta có Im(f¯) = Im(f ) Cho nên, neu xét f¯ như m®t đong cau tù V/Ker(f ) tói Im(f ) thì nó là m®t đang cau.

d) H¾ quá 1 Cho f : V → W là m®t ánh xa tuyen tính cna không gian

vectơ huu han chieu V Khi đó:

dimV = dimKer(f ) + dimIm(f ).

Chúng minh Theo đ%nh lí 3, ta có:

dimIm(f ) = dimIm(f¯) = dimV/Ker(f ) = dimV − dimKer(f ).

⇒ V = dimKer(f ) + dimIm(f ).

e) H¾ quá 2 Cho f : V → W là m®t ánh xa tuyen tính Khi đó, vói

moi không gian vectơ con U cna V ta có:

f) Đ%nh lí 4 Giá sú f : V → W là m®t tn đong cau cna không

gian vectơ huu han chieu V Khi đó các m¾nh đe sau là tương

đương:

(i) f là m®t đang cau.

(ii) f là m®t đơn cau.

(iii) f là m®t toàn cau.

Chúng minh Theo đ%nh lí 2, thì f là đơn cau khi và chí khi Ker(f ) = {0} Theo đ%nh lí 1, ta có f là đơn cau khi và chí khi dimIm(f ) = dimV Mà dimV = dimIm(f ) + dimKer(f ) ⇒ f là đơn ánh khi và

chí khi

dimKer(f ) = 0 hay dimV = dimIm(f ) túc là f là toàn cau.

⇒ (ii) tương đương vói (iii), do đó chúng cùng tương đương vói (i).

M¾nh đe 1.3.4 Giá sú (e) = {˙e1, , ˙e n } và (s) = {s˙1, , s˙ n } là

V¾y A.C = C.B Do đó, C khá ngh%ch nên ta có B = C −1 AC.

H¾ quá 1.3.5 a) Hai ma tr¾n đong dang vói nhau khi và chí khi

chúng là ma tr¾n cna cùng m®t tn đong cau, cna m®t không gian vectơ trong

cơ só tương úng nào đó cna không gian này.

b) Đ%nh thúc cna ma tr¾n cna m®t tn đong cau tuyen tính trong nhung cơ só khác nhau cna không gian là như nhau

Đ%nh nghĩa 1.3.6 Cho f ∈ End(V) Goi A = (a ij )m×n là ma tr¾n cna

f trong m®t cơ só nào đó cna V Ta goi:

a) detA là đ%nh thúc cna tn đong cau f và kí hi¾u là detf

b) Tong các phan tú nam trên đưòng chéo chính cna ma tr¾n A là vet cna f , kí hi¾u là tr(f ): n

tr(f ) = a ii

i=1

Ta cũng goi so này là vet cna ma tr¾n A, kí hi¾u là tr(A).

Tính chat 1.3.7 (Tính chat cna vet ma tr¾n) a) Tuyen tính Cho

A, B là hai ma tr¾n vuông cùng cap và c là hang so, khi đó:

c) Vet cúa ma tr¾n liên hap Cho A là ma tr¾n vuông cap n bat kì,

cho P là ma tr¾n vuông cap n và khá ngh%ch Liên hop cna A theo P

là P AP −1, khi đó:

tr(A) = tr(P AP −1 ).

như v¾y khi lay liên hop thì vet cna nó không thay đoi

d) Vet cúa ma tr¾n chuyen v% Cho A là ma tr¾n vuông cáp n bat

kì, A t là ma tr¾n chuyen v% cna nó Ta có:

tr(A) = tr(A t ).

là m®t tn đong cau cna Hãy tìm Im( d ) và Ker( ). d

b) Viet ma tr¾n cna d trong cơ só {1, x, , x n } cna R n [x].

Bài t¾p 1.2 Tn đong cau f có ma tr¾n là :

trong cơ só {e˙1, e˙2, e˙3, e˙4 } cna V.

Tìm ma tr¾n cna f trong cơ só {e˙1, e˙1 + e˙2, e˙1 + e˙2 + e˙3, e˙1 +

e˙2 + e˙3 + e˙4 }

Bài t¾p 1.4 Cho f : V → V là ánh xa tuyen tính thóa mãn f 2 = f Chúng minh rang V = Ker(f ) + Im(f ).

Bài t¾p 1.5 Cho A, B là hai ma tr¾n vuông cùng cap Chúng minh

rang vet cna AB bang vet cna BA

Bài t¾p 1.6 Chúng minh rang các ma tr¾n cna m®t tn đong cau trong

hai cơ só cna không gian la trùng nhau khi và chí khi ma tr¾n chuyengiua hai cơ só đó giao hoán vói ma tr¾n cna đong cau đã cho trong hai

cơ só nói trên

Bài t¾p 1.7 Giá sú ϕ và ψ là các tn đong cau cna không gian vectơ

huu han chieu V Chúng minh rang ϕψ là m®t đang cau neu và chí neu

ϕ và ψ là các đang cau Khi đó: (ϕψ) −1 = ψ −1 ϕ −1

Chương 2 Cau trúc tN đong cau tuyen tính

2.1 Tr% riêng, vectơ riêng và đa thNc đ¾c trưng.

Co đ%nh m®t không gian vectơ thnc V có chieu ít nhat bang 1 và m®t

tn đong cau tuyen tính f : V → V.

Đ%nh nghĩa 2.1.1 So thnc λ đưoc goi là tr% riêng cna f neu ton tai

vectơ ˙v ƒ= 0 sao cho

f (˙v) = λ˙v.

Khi đó, ˙v đưoc goi là vectơ riêng cna f úng vói tr% riêng λ.

Đ%nh nghĩa 2.1.2 So thnc λ đưoc goi là giá tr% riêng cna ma tr¾n

b) Neu f là phép quay trên m¾t phang quanh goc toa đ® m®t góc

0 ≤ α ≤ 2π, thì phép quay này không có giá tr% riêng neu α ƒ= π.

Neu

α = π thì nó có giá tr% riêng là -1 và moi vectơ khác vectơ 0 đeu là

vectơ riêng

Đ%nh nghĩa 2.1.3 Đa thúc đ¾c trưng cna f , kí hi¾u là P f (t), đưoc đ

%nh nghĩa là đ%nh thúc cna ánh xa f − t· id, trong đó id là ánh xa tuyen tính đong nhat Đe đơn gián, ta quy ưóc phép v% tn · id se đưoc kí hi¾u là λ.

Đ%nh lí 2.1.4 Cho A ∈ Mat(n × n, K) là ma tr¾n trên trưòng K Khi

đó đa thúc đ¾c trưng cna A là P A (t) có dang:

P A (t) = |A − tI| = (−t) n + c1(−t) n−1 + c2(−t) n−2 + + c0.

trong đó các c k tương úng là các đ%nh thúc con cap k cna ma tr¾n A.

Đ%nh lí 2.1.5 So thnc λ là tr% riêng cna f khi và chí khi nó là nghi¾m

cna đa thúc đ¾c trưng P f (t).

Chúng minh Xét đa thúc đ¾c trưng P f (t) = 0 Co đ%nh m®t cơ só (e)

=

{e˙1, , e˙ n } cna V và kí hi¾u A là ma tr¾n cna f , [x] là toa đ® cna ˙x

theo cơ só này Khi đó det(A − λ) = 0 Tù đó h¾ phương trình

tuyen tính

thuan nhat

(A − λI n )[x] = 0.

có nghi¾m không tam thưòng Nghi¾m cna h¾ này cũng chính là

vectơ riêng cna f úng vói tr% riêng λ.

Ngưoc lai, giá sú ˙v ƒ= 0 là nghi¾m cna h¾ (A − λI n )[x] = 0 ta có:

(A − λI n )[v] = 0 ⇔ A[x] − λ[v] = 0 ⇔ A[v] = λ[v].

Suy ra λ chính là giá tr% riêng cna f

Đe đơn gián bài toán, ta chí xét các tn đong cau f mà đa thúc đ¾c trưng cna f có đn các nghi¾m thnc Khó khăn duy nhat mà chúng ta

phái đoi m¾t là đa thúc này có the có nghi¾m b®i

Đ%nh lí 2.1.6 Giá thiet P f (t) có đn n nghi¾m thnc khác nhau λ i Khi

đó, ton tai m®t cơ só mà ma tr¾n cna f là ma tr¾n đưòng chéo vói các phan tú trên đưòng chéo là các so λ i

Chúng minh Giá sú ton tai duy nhat các vectơ riêng v˙ i úng vói các

Vói n = 1, vectơ riêng v˙1 ƒ= 0 nên {v˙1} đ®c l¾p tuyen tính.

Giá sú đ%nh lí đúng vói đoi vói h¾ gom n − 1 vectơ Ta phái chúng

V¾y các vectơ ˙v i đ®c l¾p tuyen tính

Đ%nh nghĩa 2.1.7 Ánh xa f đưoc goi là chéo hóa đưoc, neu ton tai

m®t cơ só mà úng vói nó ma tr¾n bieu dien cna ánh xa là ma tr¾n

đưòng chéo Nói cách khác, f chéo hóa đưoc neu có m®t cơ só cna V

gom toàn

nhung vectơ riêng cna f

Đ%nh nghĩa 2.1.8 Ma tr¾n A ∈ Mat(n × n, K) đong dang vói m®t

ma tr¾n chéo đưoc goi là ma tr¾n chéo hóa đưoc trên K

Như v¾y A chéo hóa đưoc thì moi ma tr¾n đong dang vói nó cũng chéo hóa đưoc Vi¾c tìm m®t ma tr¾n khá ngh%ch C (neu có) sao

cho C −1 AC đưoc goi là vi¾c chéo hóa ma tr¾n A.

Đ%nh lí 2.1.9 Tn đong cau f cna K- không gian vectơ n chieu V chéo

hóa đưoc khi và chí khi hai đieu ki¾n sau đây đưoc thóa mãn:

(i) Đa thúc P f (t) có đn các nghi¾m thnc trên trưòng K Túc là, đa thúc P f (t) phân tích đưoc thành

P f (t) = (−1) n (t − λ1)s1 (t − λ m)sm

trong đó λ1, , λ m là các so đôi m®t khác nhau

(ii) Moi λ i là nghi¾m b®i s i thì h¾ phương trình (f − λ i )(˙x) = 0

có

s i nghi¾m đ®c l¾p tuyen tính Túc là không gian vectơ (f − λ i )(˙x) =

0

có so chieu là s i

Chúng minh Đieu ki¾n can: Giá sú f chéo hóa đưoc Túc là, ma tr¾n

A cna f trong m®t cơ só nào đó cna V là m®t ma tr¾n chéo vói s i

phan tú trên đưòng chéo bang λ i , i = 1, , m trong đó λ i đôi m®t

khác nhau và n = s1 + + s m Khi đó:

P f (t) = P A (t) = (λ1 − t) s1 (λ m − t) s m

= (−1) n (t − λ1)s1 (t − λ m)sm

Do (A − λ i I n ) là m®t ma tr¾n chéo, vói s i phan tú trên đưòng chéo bang

λ i − λ i = 0, các phan tú còn lai bang λ j − λ i ƒ= 0 vói j ƒ= i Vì the:

rank(f − λ i idV) = rank(A − λ i I n ) = n − s i ,

vói i = 1, , m.

Túc là, không gian vectơ (f − λ i )(˙x) = 0 có so chieu là s i

Đieu ki¾n đn: Chon m®t h¾ đay đn các vectơ đ®c l¾p tuyen tính đoi

gian riêng cna f úng vói tr% riêng λ i Kí hi¾u là Vλi Như v¾y, neu

ánh xa f

sao cho khi han che lên moi không gian V λi là m®t phép v% tn.

Th¾t v¾y, theo đ%nh lí 2.1.6 ta có các vectơ riêng úng vói các giá tr% riêng đôi m®t khác nhau thì l¾p thành m®t h¾ vectơ đ®c l¾p tuyen tính

Vói moi i = 1, , m, ta lay {˙e i1 , , ˙e isi } là m®t cơ só cna V λi là m®t

cơ só gom toàn nhung vectơ riêng

H¾ quá 2.1.10 Cho f là m®t tn đong cau cna không gian vectơ V

chieu

n Khi đó:

(i) f chéo hóa đưoc khi và chí khi V có cơ só gom các vectơ riêng (ii) Neu f có n giá tr% riêng khác nhau thì f chéo hóa đưoc.

2.2 Không gian con bat bien.

Đ%nh nghĩa 2.2.1 Không gian con U ⊂ V đưoc goi là bat bien đoi vói

f (ho¾c on đ%nh vói f ) neu f (U ) ⊂ U

Ý nghĩa cúa không gian con bat bien nam ó cho, khi tìm đưoc m®t không gian con bat bien ta se thu đưoc m®t mô tá đơn gián hơn ve f.

M¾nh đe 2.2.2 Giá sú U là không gian con bat bien đoi vói ánh xa f

Khi đó ta có các m¾nh đe sau:

(i) Ton tai m®t cơ só cna V đe ma tr¾n cna ánh xa f có dang

A có kích thưóc bang so chieu cna U

(ii) Kí hi¾u W là không gian thương cna V theo U Khi đó f

cám sinh m®t ánh xa:

fW : W → W.

v¯ ›→ fW(v¯) = f (v).

ó đây v¯ kí hi¾u lóp ghép ˙v + U trong W.

(iii) Kí hi¾u f U là han che cna f trên U Khi đó đa thúc đ¾c

trưng cna f là tích cna f U và fW

bieu dien theo cơ só đó bói m®t ma tr¾n dang

D V¾y theo cơ só

(u, w), ánh xa f có ma tr¾n vói dang đã khang đ%nh.

(ii) Trưóc het ta chúng minh rang ánh xa fW đưoc đ%nh nghĩa đúng

Th¾t v¾y, neu ˙v1 và ˙v2 có hi¾u thu®c U , nghĩa là cùng xác đ%nh

m®t phan

tú trong W, thì theo giá thiet f (˙v1) − f (˙v2) = f (˙v1 − ˙v2) cũng

thu®c U ,

do đó f (˙v1) và f (˙v2) cũng xác đ%nh m®t phan tú trong W.

(iii) Xét cơ só cna V như trong (i) Khi đó ma tr¾n cna f U theo cơ só

U là A và

P fU (t) = det(A − t).

M¾t khác, (w¯) = (w¯1, , w¯ n ) là cơ só cna W Tù (i) de thay ma tr¾n

Đ%nh nghĩa 2.2.3 Giá thiet λ là m®t tr% riêng cna f Vectơ ˙v ∈ V

đưoc goi là vectơ nghi¾m (vectơ riêng suy r®ng) cna f neu ton tai r >

Nh¾n xét các vectơ riêng cna f là các vectơ nghi¾m.Tuy nhiên đieu

ngưoc lai nói chung không đúng Ngoài ra đoi vói các vectơ nghi¾m

ta không đòi hói chúng khác vectơ 0

Đ%nh lí 2.2.4 Cho tn đong cau tuyen tính f cna K- không gian vectơ

n chieu V vói đa thúc đ¾c trưng có đn các nghi¾m thnc λ i (có the có

nghi¾m b®i) Vói moi λ i , kí hi¾u V(λ i ) là không gian nghi¾m cna f úng vói λ i Khi đó V là tong trnc tiep cna các không gian con V(λ i),

túc là: V = M V(λ i ), i = 1, , m.