Các dạng khác nhau của định lý Haln - Banach và ứng dụng

CácdạngkhácnhaucủađịnhlýHaln –BanachvàứngdụngMỤCLỤC MỤCLỤC...1 LỜINÓIĐẦU...2 1.. Hàmcỡ...20 CHƯƠNG2:MỘTSỐDẠNGKHÁCNHAUCỦAĐỊNHLÝHALN– BANACHVÀỨNGDỤNG...22 2.1... Lýdochọnđềtài Giảitíchhàm–

CácdạngkhácnhaucủađịnhlýHaln –Banachvàứngdụng

MỤCLỤC

MỤCLỤC 1

LỜINÓIĐẦU 2

1 Lýdo chọn đềtài 2

2 Mụcđích nghiêncứu 2

3 Nhiệmvụnghiên cứu 3

4 Phươngpháp nghiêncứu 3

5 Cấu trúckhóa luận 3

CHƯƠNG1:MỘTSỐKIẾN THỨCCHUẨNBỊ 4

1.1 Khônggianvectơ,khônggianđịnhchuẩn,khônggianBanach 4

1.2 QuanhệthứtựvàbổđềZorn 12

1.3 Tậplồi 14

1.4 Hàmcỡ 20

CHƯƠNG2:MỘTSỐDẠNGKHÁCNHAUCỦAĐỊNHLÝHALN– BANACHVÀỨNGDỤNG 22

2.1 Dạng giảitích 22

2.2 Dạng hình học 27

2.3 Lýthuyếthàmlồiliênhợp 32

KẾTLUẬN 40

1 Lýdochọnđềtài

Giảitíchhàm–

mộtbộphậnquantrọngcủatoánhọchiệnđại,giảitíchhàmhìnhthànhnhưmộtngànhkhoahọcđộclậpvàgiaothờicủathếkỉXIXvàXX,khingườita pháthiệnsựtươngtựsâuxagiữamộtsốkháiniệmvềđ ại số,giảitíchvàhìnhhọc.Giảitíchhàmkếthợpvàkháiquáttưtưởngcủanhiềuphầnkhácnhaucủagiảitíchcổđiển(nhưtíchbiếnphân,phéptịnhviphânvàtíchphân,phươngtrìnhviphânvàtíchphân),lýthuyếttậphợp,đạisốtuyếntínhvàhìnhhọcnhiềuchiều

Kháiniệmquantrọngnhấtcủagiảitíchhàmlàkháiniệmtổngquátvềkhônggian.Néttiêubiểucủagiảitíchhàml à x é t cáckhônggianvôhạnchiều,gồmcáchàm,cácdãyhaycácđốitượngchungkhác,vàcảcác phépt í n h đốivớiphầntửcủacáckhônggianđó.Cùngvớisựpháttriểnkháiniệmkhônggianthìkháin i ệ m hà m số cũngđượctổngquáthóa.Đạilượngbiếnthiênkhôngphụthuộcđốibằngsố,màp h ụ t h u ộ c mộthàmsốn à o đ ó đượcgọil à phiếnhàm.Phiếmhà m làmộth à m sốxácđịnhtrênkhôngg

i a n hàmnàođó.MộttrongnhữngnguyênlýcơbảncủagiảitíchhàmlànguyênlýtháctriểnHaln–Banach

Vớimongmuốnđượcnghiêncứuvàtìmhiểusâuhơnvềbộmôngiảitíchhàm,emđãmạnhdạnlựachọnđềtài:“CácdạngkhácnhaucủađịnhlýHaln–

Banachv à ứ n g dụng”l à m k h ó a luậntốtnghiệpđạihọcc ủ a mình.Nghiêncứuđềtàinày,chúngtacóthêmnhữnghiểubiếtvềđịnhlý

Haln–Banach,cácdạngkhácnhauvàmộtsốứngdụngcủanó

2 Mụcđíchnghiêncứu

Bướcđầulàmquenvớicôngviệcnghiêncứukhoahọcvàtìmhiểusâuvềcácnguyênlýcơbảncủagiảitíchhàm

Khiđ ó Vcùngvớihaiphéptoánđ ã chođượcg ọ i l à mộtkhôngg i a n vectơtrêntr

ườngK hayK -khônggianvectơ(gọitắtlàkhônggianvectơ)

n ,p x

Tathườnggọiánhxạtuyếntínhlàtoántửtuyếntính.KhitoántửAc h ỉ t h ỏ a mãn điềukiệni)thìAg ọ i là toántửcộngtính,cònkh itoántửAc h ỉ t h ỏ a mãnđiềukiệnii)

umaxu(x)maxu(x)

Khiấytagọiquanhệ làmộtthứtự(haythứtự

bộphận)trêntậpX , vàX đượcsắpthứtựbộphậntheothứtựđó.

Mộtsốvídụ

Vídụ1.10.Trong□,□,□,□quanhệ thôngthườnglàquanhệthứtự.

Bổđề1.2.NếuSlàmộttậpsắpthứtựbộphậnvàmọitậpsắpthứtựtuyếnt í n h củatậ

pSđềcócậntrên,thìtậpScómộtphầntửtốiđại.

e) NếuK lồithì-K cũnglồi;

f) Giaocủahọtùy ýcáctậphợplồilà lồi;

c1(1)c2(a1b1)(1)(a2b2)

[a1(1)a2][b1(1)b2]

(*)

DoA,Blồi,mà

A1A2 A k A k 1lồi.

1.3.4 Địnhnghĩa1 13. SiêuphẳngHl à tậpcá c điểmxthỏamãnphương

BaolồicủaA đượcđịnhnghĩalàgiaocủatấtcảcáctâplồichứaA Kíhiệu:coA.

x1 y a ix i

1 b j y j

i 1 j 1

U ,Elà

tậpconcựcbiêncủaK.Khiđó,nghịchảnhcủaEsẽlàhoặclàmộttậ pconcựcbiêncủanghịchảnhcủaK.

nếu

3) TacóCl à mở,nêntồntại r0saochoCB0,r.

Từđó,x0tro

Cx2 X

 A

làtậpconsắpthứtựtoànphầncủaP

x t

tồntạiphiếmhàmtuyếntínhL xácđịnhtrênX saocho

x0 0vàxét g với f

0x á cđịnhnhưđịnhlý2.4.sup

f X *1

f,x  x

0X ,

Tráilại,nếu t

0

2.3 Lýthuyếthàm lồiliênhợp

ChoXlàkhônggiantôpô,xéthàm:X(;].Tậpxácđịnhcủađượcđịnhnghĩa:

D  xX: x.Trênđồthịcủađượcđịnhnghĩa:

X *(;]bởi

*

f sup

x 0

x k  k

vì liêntụctại x0

ChúngtasẽápdụngdạnghìnhhọcthứnhấtcủađịnhlýHaln–Banach,với

0 với fk

f,x f,x

0.Nếuk0thìtacó

,xD()

,xD()Dođó,với 

0 đủnhỏ, B(x 0,0)D(),tacó

f,x0 z ,zB0,1.Suyra f,x

Tacó

*

f 

 k k

Em xinchânthànhcảmơn!