Đa tạp hai chiều trong e3 và ứng dụng

Chương 1Một số kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày một số định nghĩa và định lý: không gianEuclide, hàm vectơ, trường vectơ trên không gian Euclide En, cungtham số, cung và cung định

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Hình học, cácthầy cô và các bạn sinh viên trong khoa Toán Trường Đại Học SưPhạm Hà Nội 2, ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho emhoàn thành tốt khóa luận này

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn Năng Tâm,thầy đã trực tiếp tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em hoàn thànhkhoá luận này

Hà Nội, tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Bùi Thị Nhung

LỜI CAM ĐOAN

Khoá luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình họctập và nghiên cứu Bên cạnh đó, em được sự quan tâm của các thầy

cô giáo trong khoa Toán, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của thầyNguyễn Năng Tâm

Trong khi nghiên cứu hoàn thành khoá luận này em đã thamkhảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Em xin khẳng định kết quả của đề tài “Đa tạp hai chiều trong

E3 và ứng dụng” không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tàikhác

Hà Nội, tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Bùi Thị Nhung

Mục lục

Mở đầu 4

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 6

1.1 Không gian Euclide 6

1.2 Hàm vectơ 8

1.2.1 Hàm vectơ 8

1.2.2 Một số phép toán đại số về hàm vectơ 8

1.2.3 Giới hạn của hàm vectơ 9

1.2.4 Đạo hàm của hàm vectơ một biến 9

1.3 Trường vectơ trên không gian Euclide En 11

1.3.1 Vectơ tiếp xúc 11

1.3.2 Trường vectơ tiếp xúc 11

1.3.3 Trường mục tiêu 12

1.4 Cung tham số 12

1.5 Cung và cung định hướng 15

1.5.1 Cung 15

1.5.2 Cung định hướng 15

1.6 Cung chính quy 16

1.6.1 Điểm chính quy, điểm kì dị 16

1.6.2 Cung chính quy, một dìm 16

1.7 Cung song chính quy 17

1.8 Cung hình học 17

1.8.1 Cung hình học 17

1.8.2 Cung tham số kiểu đồ thị 18

1.9 Đường hình học 20

1.9.1 Đường hình học 20

1.9.2 Dấu hiệu nhận biết một tập điểm là đường hình học 21

1.10 Đường xác định bởi phương trình ẩn 22

1.10.1 Đường xác định bởi phương trình ẩn trong E 2 22

1.10.2 Đường xác định bởi phương trình ẩn trong E3 22

1.11 Mảnh tham số 23

1.11.1 Mảnh tham số 23

1.11.2 Điểm chính quy, điểm kì dị, mảnh chính quy 23

1.12 Mảnh hình học 24

1.12.1 Mảnh hình học 24

1.12.2 Mảnh tham số kiểu đồ thị 24

Chương 2 Đa tạp hai chiều trong E3 31

2.1 Đa tạp 31

2.2 Đa tạp hai chiều trong E3 32

2.3 Dấu hiệu nhận biết một tập điểm là đa tạp hai chiều trong E3 32

Chương 3 Ứng dụng của đa tạp hai chiều trong E3 36 3.1 Bài tập áp dụng dấu hiệu nhận biết 36

3.1.1 Áp dụng dấu hiệu 1 36

3.1.2 Áp dụng dấu hiệu 2 45

3.1.3 Áp dụng dấu hiệu 3 57

3.2 Bài tập áp dụng mảnh hình học là đa tạp hai chiều 643.3 Một số bài tập khác 76Kết luận 80Tài liệu tham khảo 81

có cơ hội học tập tốt hơn.

2 Mục đích nghiên cứu của đề tài

Mục đích chính của đề tài là hệ thống lại những lý thuyết cơ bản

và phân dạng các bài tập một cách chi tiết nhất về đa tạp hai chiềutrong E3

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là đa tạp hai chiều trong E3

Phạm vi nghiên cứu là lý thuyết và bài tập về đa tạp hai chiềutrong E3

6 Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài

Hệ thống lại những lý thuyết cơ bản về đa tạp hai chiều trong

E3

Hệ thống các dạng bài tập về đa tạp hai chiều trong E3

7 Phương pháp nghiên cứu

Tổng hợp, phân tích, hệ thống lại các khái niệm, tính chất

8 Cấu trúc khóa luận

Khóa luận gồm 3 chương:

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

Chương 2 Đa tạp hai chiều trong E3

Chương 3 Ứng dụng của đa tạp hai chiều trong E3

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày một số định nghĩa và định lý: không gianEuclide, hàm vectơ, trường vectơ trên không gian Euclide En, cungtham số, cung và cung định hướng, cung chính quy, cung song chínhquy, cung hình học, đường hình học, đường xác định bởi phươngtrình ẩn, mảnh tham số, mảnh hình học

1.1 Không gian Euclide

Định nghĩa 1.1 Không gian vectơ n−chiều trên trường số thựcgọi là không gian vectơ Euclide n−chiều, kí hiệu là −→

En nếu với mỗicặp có thứ tự

−→a ,−→b 

thuộc −→

En×−→En xác định một số thực gọi làtích vô hướng của hai vectơ −→a , −→b Kí hiệu là −→a −→b hoặc D−→a ,−→b Ethỏa mãn tiên đề sau:

(iii) (λ−→a ).−→b = λ(−→b −→a ),

(iv) −→a −→a ≥ 0, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi −→a là vectơ không.Định nghĩa 1.2 Không gian Euclide n−chiều En là không gianafin liên kết với không gian vectơ Euclide n−chiều −→

En.Nhận xét 1.1 Với mọi điểm M thuộc −→

En, mọi vectơ −→x thuộc

Ta gọi ϕi : U → R, p 7→ ϕi(p) là hàm tọa độ i của ϕ Vì p

có m tọa độ trong Rm nên ϕi là một hàm số m biến ϕi(t1, , tm),

p = (t1, , tm)

1.2.2 Một số phép toán đại số về hàm vectơ

Định nghĩa 1.7 Cho −→ϕ , −→ψ : U → −→En

, f : U → R thì có các hàmvectơ và hàm số sau đây:

Với n = 3 ta lấy một hướng của −→

E3 và có phép tích có hướngtrong −→

E3

Khi đó có thể xác định thêm tích có hướng của hai hàm vectơ

→ϕ liên tục tại mọi p ∈ U thì nói −→ϕ liên tục trên U

Nếu đã cho một hệ tọa độ trong −→

En thì với −→v = (v

1, , vn) tathấy: Tồn tại lim

i liên tục tạip

1.2.4 Đạo hàm của hàm vectơ một biến

Định nghĩa 1.9 Kí hiệu J là khoảng, đoạn, nửa khoảng của R(kể cả trường hợp J có mút ∞ hay −∞) và gọi là khoảng tổng quátcủa R Xét hàm vectơ −→ϕ : J →−→

En Cho to ∈ J Nếu tồn tại

→ϕ

dt (to).

Thường viết ∆t = t − to và giới hạn trên được viết thành

sử ϕ(k) xác định tại lân cận to thì ϕ(k) là một hàm vectơ tại lân cận

đó và giả sử hàm này có đạo hàm tại to, kí hiệu là ϕ(k+1)(to) thì

(−→ϕ +−→ψ )0

= −→ϕ0

+−→

ψ0,(f.−→ϕ )0 = f.−→ϕ0

p Kí hiệu TpEn = {p} ×−→

En và được gọi là không giantiếp xúc với En tại p TpEn có cấu trúc không gian vectơ Euclidemột cách tự nhiên chuyển từ −→

En

1.3.2 Trường vectơ tiếp xúc

Định nghĩa 1.12 Nếu U là tập mở trong En, đặt T U = U ×−→

X : U → T U = U ×−→

En,

p 7→ X(p) = (p,−−−→

X(p))

Nếu hàm −−−→

X(p) là hàm vectơ hằng thì trường vectơ X được gọi

là trường vectơ song song

Định nghĩa 1.14 Cho J là một khoảng tổng quát của R Mỗi ánh

xạ ρ : J → En gọi là một cung tham số trong En Tập điểm ρ(J )gọi là ảnh của cung đó, còn J gọi là miền tham số của ρ

Định nghĩa 1.15 Lấy điểm O cố định của En ta lập được hàmvectơ −→ρ : J → −→En, t 7→ −→ρ (t) = −−−→Oρ(t) Khi đó −→ρ được gọi là hàmbán kính vectơ của ρ ứng với gốc O

Nhận xét 1.3 Giả sử −→γ : J → −→En cũng là một hàm bán kínhvectơ của ρ ứng với gốc Q nào đó

Vì −→ρ (t) = −−−→Oρ(t) = −→OQ +−−−→Oρ(t) = −→OQ + −→γ (t) nên −→ρ khả vi khi vàchỉ khi −→γ khả vi và −→ρ0(t) = (−→

OQ)0+ −→

γ0(t) = −→

γ0(t)

Vậy tính khả vi và đạo hàm của hàm bán kính vectơ không phụthuộc vào cách chọn gốc Vì thế người ta nói ρ khả vi khi −→ρ khả vi

và gọi đạo hàm −→ρ0 là đạo hàm của ρ Ánh xạ ρ được gọi là khả vilớp Ck nếu hàm vectơ −→ρ (t) =−−−→Oρ(t) khả vi lớp Ck

Định nghĩa 1.16 Giả sử ρ : J → En là một cung tham số.Khi đó ánh xạ X : J → T En sao cho với mỗi t ∈ J ,X(t) =

Nhận xét 1.4 Trong không gian afin nếu có −→v = −−→OM người tacòn dùng cách viết khác là M = O + −→v Do đó biểu thức xác định

ρ còn có thể viết là ρ(t) = O + −→ρ (t) (trong đó −→ρ là một hàm vectơcho trước)

Nếu trong En cho một hệ tọa độ afin (thường dùng tọa độtrực chuẩn) (x1, x2, , xn) thì biểu thức ρ(t) được viết dưới dạngρ(t) = (x1(t), , xn(t)) Ta gọi biểu thức này là biểu thức tọa độcủa ρ (hay phương trình của ρ) đối với hệ tọa độ đã cho

1, −→e

2) là một mục tiêu trực chuẩn của E2)

4) Cung elip: ρ(t) = O + acost−→e

1 + bsint−→e

2, (a, b > 0, (O, −→e

1, −→e

2)

là một mục tiêu trực chuẩn của E2)

5) Cung hypebol: r(t) = O + acht−→e

1 + bsht−→e

2, (a 6= 0,

b 6= 0, (O, −→e

1, −→e

2) là một mục tiêu trực chuẩn của E2 Tùy theo

a > 0 hay a < 0 mà ảnh của nó là nhánh phải hay nhánh trái củahypebol x

7) Cung đinh ốc tròn (đinh ốc trụ): ρ(t) = (acost, asint, bt),(a > 0, b 6= 0) (tọa độ ở đây là tọa độ Descartes vuông góc trong

E3) Ảnh của cung nằm trên mặt trụ tròn xoay x2 + y2 = a2

8) Cung đinh ốc nón: ρ(t) = a(tcost, tsint, t), (a 6= 0) (tọa độ ởđây là tọa độ Descartes vuông góc trong E3) Ảnh của cung nằmtrên mặt nón tròn xoay x2 + y2 − z2 = 0

Miền xác định của ρ là J = R

Với t = ±1 suy ra x = 0, y = 0, do đó ρ(J ) đi qua gốc tọa độ;Với t = 0 suy ra x = −a, y = 0 do đó ρ(J ) cắt trục hoành tạiA(−a, 0), ρ(J ) nhận trục hoành làm trục đối xứng vì ρ(t) và ρ(−t)đối xứng với nhau qua trục hoành

Với x = a không có t tương ứng với x Do đó dễ thấy ρ(J ) cótiệm cận đứng x = a và nằm trong giải −a 6 x 6 a.

1.5 Cung và cung định hướng

1.5.1 Cung

Định nghĩa 1.17 Cho hai cung tham số ρ : J → En, γ : I → En.Nếu có một vi phôi λ : J → I (tức λ là song ánh khả vi mà λ−1cũng khả vi) sao cho ρ = γ ◦ λ thì ta nói ρ tương đương với γ vàviết ρ ∼ γ Rõ ràng quan hệ tương đương này là tương đương theo

lí thuyết tập hợp Mỗi lớp tương đương theo quan hệ đó được gọi

là một cung

Vi phôi λ gọi là phép đổi tham số từ ρ sang γ

Mỗi cung tham số đại diện cho cung gọi là một tham số hóa củacung đó

1.5.2 Cung định hướng

Định nghĩa 1.18 Cho hai cung tham số tương đương ρ : J → En,

γ : I → En Giả sử λ : J → I là phép đổi tham số từ ρ sang γ thì

λ đơn điệu tăng hoặc đơn điệu giảm (vì λ là vi phôi) Suy ra hoặc

λ0(t) > 0 với ∀t ∈ J hoặc λ0(t) < 0 với ∀t ∈ J Nếu λ0(t) > 0 tanói λ là phép đổi tham số bảo tồn hướng và nói ρ và γ cùng hướng.Nếu λ0(t) < 0 ta nói λ là phép đổi tham số đảo hướng và nói ρ và

γ ngược hướng Rõ ràng quan hệ cùng hướng là một quan hệ tương

đương theo lí thuyết tập hợp Mỗi lớp tương đương theo quan hệnày gọi là một cung định hướng.

Vậy cung định hướng là tập hợp tất cả các cung tham số tươngđương cùng hướng với một cung tham số ρ : J → En Ta gọi

ρ : J → En là một đại diện hay một tham số hóa của cung địnhhướng đó

Nhận xét 1.5 Hai cung định hướng được gọi là ngược hướng nếu

có hai tham số hóa ngược hướng

Từ đây trở đi ta nói cho cung (hay cho cung định hướng) ρ(Γ)cũng có nghĩa là cho một tham số hóa ρ : J → En của nó

1.6 Cung chính quy

1.6.1 Điểm chính quy, điểm kì dị

Định nghĩa 1.19 Cho cung Γ có tham số hóa ρ : J → En Điểmρ(to) (nói tắt là điểm to) được gọi là điểm chính quy của ρ nếu

1.7 Cung song chính quy

Định nghĩa 1.22 Cho cung Γ có tham số hóa ρ : J → En,

t 7→ ρ(t) Điểm ρ(to) (nói tắt là điểm to) được gọi là điểm songchính quy của cung nếu ρ0(to) và ρ00(to) độc lập tuyến tính Nếu mọiđiểm của cung đều song chính quy thì cung gọi là cung song chínhquy

1.8 Cung hình học

1.8.1 Cung hình học

Định nghĩa 1.23 Cho cung tham số chính quy ρ : J → En Nếu

ρ : J → ρ(J ) ⊂ En là một dìm và là một đồng phôi lên ρ(J ) (đồngphôi là một song ánh liên tục và ánh xạ ngược cũng liên tục) thìtập điểm ρ(J ) gọi là một cung hình học còn ρ gọi là một tham sốhóa của cung hình học đó

Nếu ρ : J → ρ(J ) là một đồng phôi thì người ta còn nói

1.8.2 Cung tham số kiểu đồ thị

Định nghĩa 1.24 Trong En cho một hệ tọa độ afin (x1, , xn).Cung tham số ρ : J → En mà tham số là một tọa độ nào đó, chẳnghạn ρ(x1) = (x1, x2(x1), , xn(x1)), gọi là cung tham số kiểu đồ thị.Ảnh ρ(J ) còn gọi là đồ thị của ánh xạ ρ

Định lý 1.3 Ảnh của một cung tham số kiểu đồ thị là một cunghình học

Chứng minh Cho cung ρ(t) = (t, x2(t), , xn(t)) đối với hệ tọa độafin của En Vì ρ0(t) = (1, x02(t), , x0n(t)) 6= −→

0 nên ρ là cung chínhquy

Ta thấy ρ là đơn ánh Thật vậy, nếu ρ(t1) = ρ(t2), tức là(t1, x2(t1), , xn(t1)) = (t2, x2(t2), , xn(t2)) thì t1 = t2 Do ρ khả

vi nên nó liên tục

Xét ρ−1 : ρ(J ) → J, (t, x1(t), , xn(t)) 7→ t

Lấy điểm Mo = (to, x2(to), , xn(to)) ta chứng minh ρ−1 liên tục tại

Mo Cho ε > 0 lấy σ = ε thì với mọi điểm M = (t, x2(t), , xn(t))sao cho d(M, Mo) < σ = ε đều có

d ρ−1(M ), ρ−1(Mo)
= |t − to| ≤p(t − to)2 + + (xn(t) − xn(to))2

= d(M, Mo) < εVậy ρ−1 liên tục tại Mo

Vì ρ là đơn ánh liên tục và ρ−1 : ρ(J ) → J liên tục nên ρ là đồngphôi lên ảnh

Vậy ρ(J ) là một cung hình học

Định lý 1.4 Cho cung hình học có tham số hóa ρ : J → En Vớimỗi to ∈ J có lân cận I của to, I ⊂ J và một cung tham số kiểu đồthị ˜ρ : I → En tương đương với ρ hạn chế trên I (Nói tắt: tại mộtđiểm bất kì của cung hình học đều có một lân cận được xác địnhbởi một tham số hóa kiểu đồ thị).

Chứng minh Lấy một hệ tọa độ afin của En và giả sửρ(t) = (x1(t), , xn(t)) Vì ρ0(to) 6= −→

0 nên có thể giả sử x01(to) 6= 0.Theo định lý hàm ngược, có lân cận A của x1(to) để với mọi X1 ∈ Ađều có thể tìm được t sao cho x1(t) = X1, ta viết t = g(X1), trong

đó g là một hàm khả vi và g : A → g(A) là một vi phôi

Do đó ρ(t) = ρ (g(X1)) = (X1, X2.g(X1), , Xn.g(X1)) là mộtcung tham số kiểu đồ thị, có miền tham số A Đặt I = g(A) thì hệthức ˜ρ = ρ ◦ g chứng tỏ rằng ˜ρ và ρ hạn chế trên I là tương đươngbởi phép đổi tham số g : A → I = g(A)

Định lý 1.5 Hai tham số hóa bất kì của một cung hình học luônluôn tương đương

Chứng minh Cho hai tham số hóa ρ : J → En, t 7→ ρ(t) và

r : I → En, u 7→ r(u) của cùng một cung hình học Γ ⊂ En thìρ(J ) = r(I) = Γ Vì ρ và r là những đồng phôi nên có thể lập ánh

xạ λ = ρ−1 ◦ r : I → J, λ(u) = t và λ là một đồng phôi Chỉ cầnchứng minh rằng λ và λ−1 khả vi thì λ là một vi phôi và do đó ρtương đương với r

Muốn vậy lấy một hệ tọa độ afin của En Giả sử cung r có phươngtrình tham số r(u) = (x1(u), , xn(u)) Với uo ∈ I, to = λ(uo) có lâncận V (to) để có thể xem ρ là cung tham số kiểu đồ thị tại lân cận đó(xem định lý 1.5); nghĩa là tại lân cận V , cung ρ có phương trìnhtham số dạng ρ(t) = (t, y2(t), , yn(t)) Vì r = ρ ◦ λ nên tại λ−1(V )

ta có

r(u) = ρ ◦ λ(u) = (λ(u), y2(λ(u)), , yn(λ(u)))

= (x1(u), x2(u), , xn(u)) Suy ra λ(u) = x1(u) Vì x1, , xn là những hàm khả vi nên λ = x1

Ví dụ 1.3

1) Mỗi cung hình học là một đường hình học

2) Đường tròn, đường elip, đường hypebol là những đường hìnhhọc.

3) Đường gấp khúc, hai đường tròn tiếp xúc nhau không phải làđường hình học

1.9.2 Dấu hiệu nhận biết một tập điểm là đường hình học

a Dấu hiệu trong E2

Cho hệ tọa độ afin (x, y) của E2 Tập điểm γ của E2 là mộtđường hình học khi và chỉ khi tại mỗi điểm Mo của γ có một tập

mở U của E2 chứa Mo và một hàm khả vi F : U → R sao cho tạimỗi điểm M (x, y) ∈ U ta có:

b Dấu hiệu trong E3

Cho hệ tọa độ afin (x, y, z) của E3 Tập điểm γ của E3 là mộtđường hình học khi và chỉ khi tại mỗi điểm Mo của γ có một tập

mở U của E3 chứa Mo và hai hàm khả vi F : U → R, G : U → Rsao cho tại mỗi điểm M (x, y, z) ∈ U ta có:

U ∩ γ = {M (x, y, z) ∈ U : F (x, y, z) = 0, G(x, y, z) = 0}

1.10 Đường xác định bởi phương trình ẩn

1.10.1 Đường xác định bởi phương trình ẩn trong E2

Định nghĩa 1.26 Trong E2 cho mục tiêu tọa độ afin Oxy, tập

mở U và hàm khả vi F : U → R, M (x, y) 7→ F (x, y) Tập hợp γcác điểm M (x, y) có tọa độ thỏa mãn phương trình F (x, y) = 0được gọi là đường phẳng xác định bởi phương trình ẩn F (x, y) = 0.Điểm Mo(xo, yo) ∈ γ gọi là điểm chính quy hay điểm kì dị tùy theo

1.10.2 Đường xác định bởi phương trình ẩn trong E3

Định nghĩa 1.27 Trong E3 cho hệ tọa độ afin Oxyz, tập mở

1.11 Mảnh tham số

1.11.1 Mảnh tham số

Định nghĩa 1.28 Giả sử U là một tập mở khác ∅ của R2 và

r : U → En, (n ≥ 2) là một ánh xạ: (u, v) ∈ U 7→ r(u, v) ∈ En.Với mỗi điểm (uo, vo) ∈ U thì các tập hợp A = {u : (u, vo) ∈ U },

B = {v : (uo, v) ∈ U } là những tập mở của R Do đó các ánh xạ:

r1 : A → En, u 7→ r1(u) = r(u, vo),

r2 : B → En, v 7→ r2(v) = r(uo, v)

là hợp những cung tham số của En

Ta đã biết khái niệm đạo hàm cấp k của cung tham số Ta gọiánh xạ r : U → En là một mảnh tham số của En Tập U gọi làmiền tham số hay miền xác định của mảnh Cung r1 và r2 gọi làhai cung tọa độ của mảnh r tại điểm (uo, vo) và còn gọi là cung

v = vo (thay cho r1 ), cung u = uo (thay cho r2)

Thường kí hiệu r10(uo) là ru0 (uo, vo) hay ∂r

∂u(uo, vo) và tổng quát

kí hiệu r1(k)(uo) là r(k)u (uo, vo) hay∂

kr

∂uk(uo, vo) Một cách tương tự,thường kí hiệu r2(k)(vo) là rv(k)(uo, vo) hay ∂

kr

∂vk(uo, vo)

1.11.2 Điểm chính quy, điểm kì dị, mảnh chính quy

Định nghĩa 1.29 Cho mảnh tham số r : U → En, (u, v) 7→ r(u, v).Điểm (uo, vo) ∈ U (hay điểm r(uo, vo) ∈ En) gọi là điểm chính quycủa r nếu hai vectơ −→r 0

u(uo, vo) và −→r 0

v(uo, vo) độc lập tuyến tính

Điểm không chính quy của r được gọi là điểm kì dị của r Nếu mọiđiểm của U đều là điểm chính quy thì r được gọi là mảnh chínhquy.

Ví dụ 1.4

Cho hai vectơ −→α ,−→β trong En và điểm O ∈ En thì

r : R2 → En, (u, v) 7→ r(u, v) = O + u−→α + v−→β

là một mảnh tham số (khả vi lớp C∞)

Khi

n−→α ,−→βo

độc lập tuyến tính thì r là một mảnh tham số chínhquy và ảnh của r là một 2−phẳng trong En

Định nghĩa 1.30 Nếu r : U → En là một mảnh tham số chính quy

và r : U → r(U ) là một ánh xạ đồng phôi thì tập điểm r(U ) = (S)gọi là một mảnh hình học và r gọi là một tham số hóa của S.Khi r : U → r(U ) là một đồng phôi người ta cũng nói r : U → En

là một đồng phôi lên ảnh

1.12.2 Mảnh tham số kiểu đồ thị

Định nghĩa 1.31 Giả sử trong Encho một hệ tọa độ afin (x1, , xn)

và U là một tập mở trong mặt phẳng R2 = {(xi, xj), i 6= j} thì một

mảnh tham số r : U → En có biểu thức tọa độ dạng

r(xi, xj) = (f1(xi, xj), , xi, , xj, , fn(xi, xj))

nghĩa là r(xi, xj) = (f1(xi, xj), , fn(xi, xj)) trong đó fi(xi, xj) = xi,

fj(xi, xj) = xj được gọi là mảnh tham số kiểu đồ thị (hai tọa độ

xi, xj được lấy làm hai tham số)

Ví dụ 1.5

1) Mảnh tham số r : R2 → E3, r(x, y) = (x, y, c) là một mảnhtham số kiểu đồ thị Ảnh r(R2) là một mặt phẳng

2) Mảnh tham số r : R2 → E3, r(x, y) = (x, y, ax2 + by2 + c) làmột mảnh tham số kiểu đồ thị Ảnh r(R2) là mặt parabôlôit eliptichay parabôlôit hypebôlic (tùy theo ab > 0 hay ab < 0)

Định lý 1.6 Nếu r : U → En là một mảnh tham số kiểu đồ thịthì ảnh r(U ) là một mảnh hình học

Suy ra x1 = ˜x1, x2 = ˜x2, tức là (x1, x2) = (˜x1, ˜x2) Vậy r là đơn ánh.

Nó là toàn ánh từ U đến r(U ) vì r(U ) là ảnh của r Vậy r là songánh từ U đến r(U )

Vì r là khả vi nên nó liên tục

Bây giờ chỉ còn phải chứng minh r−1 : r(U ) → U liên tục

Cho điểm Mo = x01, x02, f3(x01, x02), , fn(x01, x02)
∈ r(U ) thì với điểmbất kì M = (x1, x2, f3(x1, x2), , fn(x1, x2)) trong r(U ) ta có

r : ˜U ⊂ U → ˜S sao cho r| ˜U tương đương với ˜r

Chứng minh Giả sử với một hệ tọa độ afin (x1, , xn) của En ta có

r(u, v) = (x1(u, v), , xn(u, v)), p = r(uo, vo)

Vì ru0 , rv0 độc lập tuyến tính nên có thể giả sử

∆ =

Xét ánh xạ λ : U → R2 cho bởi quy tắc

λ(u, v) = (x1(u, v), x2(u, v))

Vì ∆ 6= 0 tại (uo, vo) nên theo định lý hàm ẩn có lân cận ˜U của(uo, vo), ˜U ∈ U sao cho λ : ˜U → λ( ˜U ) là một vi phôi và như thế có

vi phôi λ−1 : λ( ˜U ) → ˜U

Đặt ˜r = r.λ−1 thì ˜r : λ( ˜U ) → En tương đương với r| ˜U : ˜U → En

Ta chỉ cần chứng minh ˜r là một tham số hóa kiểu đồ thị rồi lấy

Định lý 1.8 Hai tham số hóa của cùng một mảnh hình học luônluôn tương đương.

Chứng minh Cho hai tham số hóa r : U → S ⊂ En và

r∗ : U∗ → S ⊂ En của cùng một mảnh hình học S Khi đó

r : U → S và r∗ : U∗ → S là hai ánh xạ đồng phôi Do đó tích

λ = r∗−1◦ r : U → U∗ là một ánh xạ đồng phôi Ta sẽ chứng minh λkhả vi, λ−1 khả vi, do đó λ là một vi phôi thỏa mãn r = r∗◦ λ, suy

ra r tương đương với r∗

Vì tính khả vi của λ chỉ cần xem xét tại lân cận một điểm (u, v)nên không mất tổng quát ta có thể xem như r∗ là tham số hóa kiểu

đồ thị (bởi vì tại một lân cận của điểm λ(u, v) có thể thay r∗ bằngmột tham số hóa địa phương kiểu đồ thị tương đương với thu hẹpcủa r∗ trên lân cận đó)

Lấy một hệ tọa độ afin (x1, , xn) trong En và đặt

r(u, v) = (x1(u, v), , xn(u, v))

r∗(u∗, v∗) = (u∗, v∗, X3(u∗, v∗), , Xn(u∗, v∗))λ(u, v) = (λ1(u, v), λ2(u, v))

Ta có

r(u, v) = r∗ ◦ λ(u, v) = r∗(λ1(u, v), λ2(u, v))

= (λ1(u, v), λ2(u, v), X3(λ(u, v)), , Xn(λ(u, v))) Mặt khác ta đặt r(u, v) = (x1(u, v), x2(u, v), , xn(u, v))

Suy ra λ1(u, v) = x1(u, v), λ2(u, v) = x2(u, v)

Với mọi (u, v) ∈ U Nghĩa là λ1 = x1, λ2 = x2

Vì x1, x2 khả vi nên λ1, λ2 khả vi.

Suy ra λ là hàm khả vi

Một cách tương tự ta kết luận được λ−1 = r−1◦ r là hàm khả vi.Vậy λ là một vi phôi Định lý được chứng minh

Định lý 1.9 Cho mảnh hình học (S) trong En với tham số hóa

r : U → S và cung tham số ρ : J → S thì tồn tại duy nhất mộtcung tham số ˜ρ : J → U sao cho ρ = r ˜ρ

Chứng minh Vì tồn tại r−1 : r(U ) = S → U nên có thể đặt

˜

ρ = r−1 ◦ ρ : J → U Nó thỏa mãn ρ = r ◦ ˜ρ Do đó chỉ cần chứngminh ˜ρ khả vi thì ˜ρ là cung cần tìm

Muốn vậy lấy một hệ tọa độ afin (x1, , xn) trong En Đặtρ(t) = (x1(t), , xn(t)) thì xi(t) là những hàm khả vi Cho to ∈ J,

ρ = r−1.ρ(t) thì tồn tại một lân cận ˜U ⊂ U của ρ và vi phôi

λ : ˜U → U1 cùng với một mảnh tham số kiểu đồ thị ˜r : U1 → Stương đương với r| ˜U , nghĩa là sao cho r = ˜r ◦ λ Do đó với t thuộcvào một khoảng I ⊂ J sao cho ˜ρ(t) ∈ ˜U ta có

˜ρ(t) = r−1.ρ(t) = (˜r.λ)−1.ρ(t)

Giả sử còn cung tham số ˜ρ : J → U sao cho ρ = r ˜˜ ρ thì˜

˜

ρ = r−1.ρ = ˜ρ

Kết luận: Chương này đã trình bày một số định nghĩa và địnhlý: không gian Euclide, hàm vectơ, trường vectơ trên không gianEuclide En, cung tham số, cung và cung định hướng, cung chínhquy, cung song chính quy, cung hình học, đường hình học, đườngxác định bởi phương trình ẩn, mảnh tham số, mảnh hình học Đây

là một số kiến thức chuẩn bị làm cơ sở để xây dựng khái niệm đatạp hai chiều trong E3 ở chương sau

Chương 2

Chương này trình bày định nghĩa và dấu hiệu nhận biết của đatạp hai chiều trong E3

tục của (y1, y2, , yn) và các yi là hàm số liên tục của (x1, x2, , xn).Nếu các hàm số đó khả vi k lần thì ta nói đa tạp khả vi k lần.

Ví dụ 2.1

1) Đường thẳng, đường tròn, đường elip là đa tạp một chiều.2) Mặt phẳng, mặt cầu, mặt xuyến là đa tạp hai chiều

Định nghĩa 2.1 Cho tập S 6= ∅ của E3 Nếu với mỗi điểm p ∈ S

có lân cận mở V trong E3 của p sao cho S ∩ V là một mảnh hìnhhọc thì S được gọi là một đa tạp hai chiều (còn gọi tắt là mặt hìnhhọc hay mặt) trong E3 Mỗi tham số hóa của mảnh hình học S ∩ Vđược gọi là một tham số hóa địa phương của S tại p

Ví dụ 2.2

1) Mỗi mảnh hình học là một đa tạp hai chiều

2) Một hợp của những mảnh hình học rời nhau (tức là đôi mộtkhông giao nhau) là một đa tạp hai chiều

2.3 Dấu hiệu nhận biết một tập điểm là đa tạp

Định lý 2.1 (Dấu hiệu 1) Cho tọa độ afin (x1, x2, x3) trong E3 thìtập con không rỗng S của E3 là một đa tạp hai chiều trong E3 khi

và chỉ khi mỗi điểm p ∈ S có lân cận mở (trong S) là một mảnh hìnhhọc với tham số hóa kiểu đồ thị (nếu cần, đổi chỉ số các tọa độ afin

để tham số hóa đó có dạng: (x1, x2) 7→ r(x1, x2) = (x1, x2, ϕ(x1, x2)).Định lý 2.2 (Dấu hiệu 2) Tập con S 6= ∅ của E3 là một đatạp hai chiều khi và chỉ khi với mỗi điểm p ∈ S có một lân cận Vtrong E3 của điểm p và một hàm số khả vi ϕ : V → R,(x1, x2, x3) 7→ ϕ(x1, x2, x3) đối với một hệ tọa độ afin trong E3sao cho ∀p ∈ V , rank ∂ϕ

Chứng minh Giả sử S là đa tạp hai chiều và p ∈ S thì có lân cận

mở V trong E3 của p sao cho S ∩ V nhận một tham số hóa kiểu đồthị, chẳng hạn (x1, x2) 7→ (x1, x2, f (x1, x2))

Ngược lại, giả sử với p ∈ S có lân cận V trong E3 của p, hàmkhả vi ϕ : V → R sao cho ∀p ∈ V ,

Vậy S là một đa tạp hai chiều trong E3

Định lý 2.3 (Dấu hiệu 3) Cho W là lân cận mở trong E3,

ϕ : W → R là hàm số khả vi Tập hợp S = ϕ−1(0) gọi là mặttrong E3 xác định bởi phương trình ẩn ϕ(p) = 0 Giả sử Oxyz là hệtọa độ afin trong E3

Cho p(x, y, z), khi đó S = {(x, y, z) : ϕ(x, y, z) = 0} Điểmp(x, y, z) ∈ S được gọi là điểm kì dị của mặt S nếu như hàm ϕkhông ngập tại p tức là

∂ϕ

∂x

... điểm kì dị} = đa tạp hai chiều E3

Kết luận: Chương trình bày định nghĩa dấu hiệu nhậnbiết đa tạp hai chiều E3 Từ có sở để phân dạngbài tập đa tạp hai chiều E3... data-page="39">

Chương 3

Ứng dụng đa tạp hai chiều< /h2>

3.1 Bài tập áp dụng dấu hiệu nhận biết

Chương trình bày số tập đa tạp hai chiều

E3 theo... hàm số khả vi k lần ta nói đa tạp khả vi k lần.

Ví dụ 2.1

1) Đường thẳng, đường trịn, đường elip đa tạp chiều. 2) Mặt phẳng, mặt cầu, mặt xuyến đa tạp hai chiều

Định nghĩa 2.1