Chuỗi Fourier và ứng dụng

Do trình đ® chuyên môn còn han che, thòi gian nghiên cúu eo hep nênn®i dung khóa lu¾n này còn ton tai nhieu thieu sót.. Lài cam đoanTôi xin cam đoan khóa lu¾n tot nghi¾p: "Chuoi Fourier

Do trình đ® chuyên môn còn han che, thòi gian nghiên cúu eo hep nênn®i dung khóa lu¾n này còn ton tai nhieu thieu sót Em kính mong nh¾nđưoc sn phê bình góp ý cna thay cô cùng toàn the các ban đe n®i dungkhóa lu¾n này tró nên hoàn thi¾n hơn.

Em xin trân trong cám ơn!

Hà N®i, tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Lai Th% Thúy

1

Lài cam đoan

Tôi xin cam đoan khóa lu¾n tot nghi¾p: "Chuoi Fourier và Nng dnng" là công trình nghiên cúu cna bán thân Nhung phan sú dung tài

li¾u tham kháo trong khóa lu¾n đã đưoc nêu rõ trong phan tài li¾u thamkháo Các ket quá trình bày trong khóa lu¾n là hoàn toàn trung thnc, neusai tôi xin ch%u hoàn toàn trách nhi¾m và ch%u moi ký lu¾t cna khoa vànhà trưòng đe ra

Hà N®i, tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Lai Th% Thúy

Lài nói đau

1 Lý do chon đe tài.

Trong giáo trình giái tích các hàm so m®t bien chúng ta đã đưoc làmquen vói khái ni¾m chuoi Fourier cna các hàm khá tích và xét sn h®i tucna nó Đây là m®t lĩnh vnc quan trong cna Toán hoc và có nhieu úngdung thiet thnc trong V¾t lý, Cơ hoc, Ky thu¾t công ngh¾, cho nên đãđưoc quan tâm nghiên cúu rat nhieu Các ket quá ve lĩnh vnc này vô cùngphong phú, đa dang và nhung gì chúng ta biet trong giáo trình giái tíchnói trên mói chí là nhung kien thúc ban đau Chính vì v¾y trong khóalu¾n tot nghi¾p em đã lna chon đe tài ve chuoi Fourier và úng dung cna

nó đe tiep tuc tìm hieu và nghiên cúu ve chuoi Fourier

2 Mnc đích nghiên cNu.

Tìm hieu ve khái ni¾m, m®t so tính chat và m®t so úng dung cna chuoiFourier

3 Nhi¾m vn nghiên cNu.

- Nghiên cúu ve chuoi Fourier

- Nghiên cúu m®t so úng dung cna chuoi Fourier

4.Đoi tưang và pham vi nghiên cNu.

- Đoi tưong: Chuoi Fourier và úng dung

- Pham vi: Chuoi so, chuoi hàm

5 Phương pháp nghiên cNu.

- Nghiên cúu lý lu¾n, tài li¾u tham kháo

Khóa lu¾n tot nghi¾p Trưàng ĐHSP Hà N®i 2

- Phân tích, tong hop kien thúc phuc vu cho muc đích nghiên cúu

6 Cau trúc

Ngoài phan mó đau, ket lu¾n, tài li¾u tham kháo, khóa lu¾n tot nghi¾p gom ba chương:

- Chương 1: Kien thúc chuan b%

- Chương 2: Chuoi Fourier

- Chương 3: Úng dung cna chuoi Fourier

Mnc lnc

Lài

Lài

Lài

1.1 CHUOI SO 8

1.1.1 Đ%nh nghĩa 8

1.1.2 Ch uoi so h®i tn 8

1.1.3 Phan dư cúa c h uoi h®i tn 9

1.1.4 Đieu ki¾n đe m®t c h uoi h®i tn 9

1.2 DÃY HÀM 10

1.2.1 Dã y hàm so 10

1.2.2 Su h®i tn đeu cúa dã y hàm 11

1.3 CHUOI HÀM 11

1.3.1 Đ%nh nghĩa 11

1.3.2 Su h®i tn đeu cúa c h uoi hàm 12

1.3.3 Đieu ki¾n h®i tn đeu cúa c h uoi hàm 12

1.3.4 Tính c hat cúa tong c h uoi hàm 13

1.4 KHÔNG GIAN CÁC HÀM KHÁ TONG 14

1.4.1 Không gian L 1 [ − π, π ] 14

5

1.4.2 Không gian L 2 [ − π, π ] 14

1.5 H› TRUC GIAO, H› TRUC CHUAN 15

1.5.1 V ect ơ t ru c giao , h¾ truc giao 15

1.5.2 H¾ truc c huan 16

1.5.3 H¾ lưong giác 16

1.6 HÀM SO LIÊN TUC TUY›T ĐOI 17

2 CHUOI FOURIER 18 2.1 H› HÀM LƯeNG GIÁC TRUC GIAO 18

2.2 CHUOI LƯeNG GIÁ C 19

2.3 CHUOI FOURIER 20

2.3.1 C h uoi F ourier 20

2.3.2 T on g riên g thn n cú a ch uoi F ourie r (tong Diric hlet) 21

2.4 SU H®I TU CÚA CHUOI FOURIER 24

2.4.1 Đieu ki¾n Dini 24

2.4.2 Đieu ki¾n Lipsc hitz 28

2.4.3 Hàm liên tnc tnng kh úc, hàm khá vi tnng kh úc 29 2.4.4 Nguy ên lý đ%a phương 30

2.4.5 Đ%n h l ý v e s u h®i tn cú a c h uoi F ourier 31

2.5 M®T SO ĐIEU KI›N H®I TU ĐEU CÚA CHUOI FOURIER 32

2.5.1 Đ%nh lý 2.6 32

2.5.2 Đ%nh lý 2.7 35

2.5.3 Đ%nh lý 2.8 35

2.5.4 Đ%nh lý 2.9 35

2.6 KHAI TRIEN THÀ NH CHUOI FOURIER 39

2.6.1 Khai trien F ourie r trong khoán g [ π , π ] − 39

2.6.2 Khai đoan trien [ − π, π m®t ] 41 hàm không tuan hoàn trên 2.6.3 Khai tr ien chan v à khai trien lé cúa hàm f

trên [ − π, π ] 42

2.6.4 Khai trien tuan hoàn trong đoan [-l, l] bat kỳ 44 2.6.5 Khai trien m®t hàm tuan hoàn trên [a, b]. 44

2.6.6 M®t so ví dn 45 3 CÁ C ÚNG DUNG CÚA CHUOI FOURIER 52 3.1 Úng dung đe tính tong cna m®t c huoi so 52

3.2 Bài toán dâ y rung 53

3.3 Bài toán dao đ®ng tn do cna dâ y rung 55

3.4 Dao đ®ng tn do cna thanh 57

3.5 Dao đ®ng cna màn g hình c hu n h¾t 58

3.6 M®t so ví du 60

Ket

T

a k và goi

8

– A n đưoc goi là tong riêng thú n cna chuoi so (1.1).

– Dãy {A n} là dãy tong riêng cna chuoi (1.1)

1.1.3 Phan dư cúa chuoi h®i tn

• Xét chuoi so h®i tu:

lim

→+∞ r n = 0

1.1.4 Đieu ki¾n đe m®t chuoi h®i tn

• Đ%nh lý 1.1:(Đ%nh lý ve đieu ki¾n can)

+∞

Khóa lu¾n tot

•

n

⇒

n

Neu chuoi a k h®i tu thì

lim

a k = 0

• Đieu ki¾n can và đn đe chuoi so h®i tu

Khóa lu¾n tot

– Xét chuoi so: +∞

k=1 n

có dãy tong riêng là A n

=

a k

k=1

– Theo nguyên lý Cauchy đe chuoi (1.3) h®i tu đieu ki¾n can và đn

là: ∀ε > 0 cho trưóc ∃n0 = n0(ε), n0 ∈ N ∗ sao cho:

1.2.2 SN h®i tn đeu cúa dãy hàm

• Dãy hàm so {u n (x)}, ∀n = 1, 2, 3, đưoc goi là h®i tu đeu tói hàm

u (x) trên t¾p U neu vói moi ε > 0 đeu ton tai n sao cho

T¾p tat cá các điem h®i tu cna m®t chuoi hàm đưoc goi là mien h®i tu

cna chuoi hàm đó Giá sú A là mien h®i tu cna chuoi hàm (1.4), khi đó vói

1.3.2 SN h®i tn đeu cúa chuoi hàm

1.3.3 Đieu ki¾n h®i tn đeu cúa chuoi hàm

• Đ%nh lý 1.4: (Đieu ki¾n can và đn Cauchy)

• Đ%nh lý 1.6: (Dau hi¾u Dirichlet)

Cho hay dãy hàm {a n }, {b n } cùng xác đ%nh trên t¾p U

U có nghĩa là ton tai m®t so M > n 0 sao cho:

|A n (x)| = | a k (x)| ≤ M , ∀n, ∀x ∈ U

k=1

ii) Dãy hàm {b n } đơn đi¾u có nghĩa là vói moi so x ∈ U dãy b n (x)

là dãy so đơn đi¾u và dãy hàm {b n (x)} h®i tu đeu trên U đen 0.

u n (x)dx.

Lai Th% Thúy - K35B - sp Toán 13

1.4 KHÔNG GIAN CÁC HÀM KHÁ TONG

Trong L1[−π, π] ta đưa vào khoáng cách bang công thúc:

ρ (f, g) = ||f − g|| L1[−π, π] cùng vói khoáng cách này tao thành m®t không gian metric vói quy ưóc f = g khi và chí khi f (x) = g(x)

hau khap nơi trên [−π, π]

Sn h®i tu theo nghĩa này cna m®t dãy các hàm khá tong đưoc goi là snh®i tu trung bình

Đ%nh lý 1.10: Không gian C[−π, π] trù m¾t khap nơi trong không gian

L1[−π, π].

1.4.2 Không gian L2[−π, π]

Đ%nh nghĩa:

T¾p L2[−π, π] gom tat cá các hàm có bình phương khá tong

trên đoan [−π, π] túc là các hàm f đo đưoc Lebesgue trên đoan [−π, π] mà¸

khap nơi trên đoan [−π, π] L2[−π, π] cùng vói chuan trên xác đ%nh m®t

không gian đ%nh chuan

Khoáng cách giua hai phan tú f, g trong L2[−π, π] đươc đ%nh nghĩa:

Chú ý: Các tích phân trong khóa lu¾n này là tích phân Lebesgue Khái

ni¾m hàm khá tong hay còn goi là khá tích xem trong sách Giái tích hi¾n

đai (Hoàng Tuy, NXB Giáo duc).

1.5.1 Vectơ trNc giao, h¾ trNc giao

• Trong khôn gian Hilbert H, hai vectơ x, y đưoc goi là trnc giao vói

nhau neu (x, y) = 0 Ký hi¾u: x⊥y

m®t trnc giao vói nhau

2

2

−

• Neu m®t h¾ {e n } n≥1 các phan tú trong không gian Hilbert H

đưoc goi là m®t h¾ trnc chuan đay đn neu vói moi vectơ trnc giao vói h¾

{e n } n≥1 đeu là vectơ 0 Túc là neu x ⊥e n thì x = 0, (∀n = 1, 2, ).

c) Bat đang thúc Bessel: Neu h¾ (en)n≥1 là m®t h¾ trnc chuan nào đó

trong không gian Hilbert H thì ∀x ∈ H ta có bat đang thúc Bessel:2

|(x, e n )|2 ≤ ||x||

n≥1

so đay đn) neu vói moi x trong H, ta có đang thúc Parseval sau đây:

M®t hàm f (x) xác đ%nh trên đoan [a, b] đưoc goi là liên tuc

tuy¾t đoi trên đoan [a, b] neu: ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho vói moi ho

huu han nhung khoáng đôi m®t ròi rac nhau (a k , b k ) (k = 1, n) mà

h¾ hàm lưong giác trnc giao trên [a, b].

• Xét h¾ hàm lưong giác trên [−π, π]

1, cosx, sinx, cos2x, sin2x, , cosnx, sinnx, (2.1)

Ta có the de dàng kiem tra đưoc rang:

Như v¾y h¾ hàm lưong giác (2.1) là h¾ hàm lưong giác trnc giao trên

2.2 CHUOI LƯeNG GIÁC

• Chuoi lưong giác là chuoi hàm có dang:

• Neu chuoi (2.2) h®i tu và có tong f (x) thì f là m®t hàm liên tuc, tuan

hoàn vói chu kỳ 2π Vì the sau đây ta chí can xét chuoi hàm lưong giác trên m®t đoan có đ® dài 2π, chang han trên [ −π, π].

• Giá sú chuoi hàm (2.2) h®i tu đeu trên [−π, π] và:

Trưóc tiên ta đi lay tích phân tù −π tói π cna chuoi hàm ó ve phái

cna bieu thúc (2.3) Ta tính đưoc:

Khóa lu¾n tot

• Tính a k : Nhân hai ve cna (2.3) vói coskx Sau đó lay tích phân 2

ve cna đang thúc nh¾n đưoc trên [−π, π] và do tính trnc giao cna h¾

hàm lưong giác ta có:

Khóa lu¾n tot

đang thúc nh¾n đưoc trên [π −π, π] π

1

1

1

• Chuoi hàm lưong giác:

+∞

a0

+ .(a

2 n n=1

van có nghĩa đoi vói các hàm trong không gian L1[−π, π].

và chuoi Fourier cna nó như công thúc (2.4), (2.5)

2.3.2 Tong riêng thN n cúa chuoi Fourier (tong

k=1 n

+ cosk (t − x))

k=1

+ 2cos2(t −

x ).sin

t − x

t − x

Vì v¾y ta có the khuech tuan hoàn cho hàm f (x) vói chu kỳ 2π

trên toàn truc so Khi đó dưói dau tích phân cna bieu thúc (2.7) là m®t

hàm tuan hoàn vói chu kỳ 2π nên tích phân trên đoan bat kỳ có đ® dài 2π đeu có giá tr% như nhau.

V¾y ta có the giu nguyên c¾n như cũ là [−π, π]

goi là nhân cna Dirichlet cna hàm f (x).

Ta thay rang vói moi hàm so f ∈ L2[−π, π] (ho¾c f ∈ L1[−π, π])

đeu ton tai m®t chuoi Fourier xác đ%nh như công thúc (2.5)

Câu hói đ¾t ra là khi nào chuoi Fourier này h®i tu tói hàm f (x) (h®i

tu điem ho¾c h®i tu đeu)

Đe tìm hieu van đe này ta se xét hi¾u S n − f (x)

=

2π . [f (x + z) − f (x)]

Các van đe h®i tu cna chuoi này ta se nghiên cúu trong các phan tiepsau đây

2.4 SU H®I TU CÚA CHUOI FOURIER

Ta xét đieu ki¾n đn đe chuoi Fourier h®i tu điem:

2.4.1 Đieu ki¾n Dini

Đ%nh lý Dini:

Giá sú f là m®t hàm so tuan hoàn vói chu kỳ 2π xác đ%nh trên R, liên tuc tùng khúc trên moi đoan b% ch¾n và x0 là m®t so thnc sao cho cácgiói han: lim

h→0+ f (x0 + h) − f (x0

+ 0)

h

;lim

h→0+

f (x0 − h) − f (x0

− 0) h

Đ¾c bi¾t, neu f có đao hàm tai điem x0 thì chuoi Fourier cna hàm so

f h®i tu tai điem x0 và có tong là f (x0)

Neu f (x) thóa mãn thêm đieu ki¾n ∃f r (x), f ”(x) ó [−π, π] và có

f (−π) = f (π), f r (−π) = f

r (π), ¸

π

|f ”(x)| dx ≤ C thì chuoi Fourier h®i tu

đeu đen tong S(x) và là chuoi h®i tu tuy¾t đoi.

Đieu ki¾n Dini

Hàm so f (x) đưoc goi là thóa mãn đieu ki¾n Dini tai điem x neu ton δ tai so δ sao cho tích phân: ¸

b ¸

ϕ (x)sinpxdx = 0

p→+∞ a

Neu ϕ(x) là hàm khá vi liên tuc thì sú dung công thúc tính tích phân

Neu ϕ(x) là hàm khá tong tùy ý trên đoan [a, b] vì t¾p các hàm khá

vi liên tuc, trù m¾t khap nơi trong L1[a, b] nên ∀ε > 0 bat kỳ luôn ton tai hàm khá vi liên tuc ϕ ε sao cho:

ε

(2.10)2

H¾ quá: Dãy h¾ so Fourier {a n } và {b n} cna hàm khá tích trên đoan

Đ%nh lý 2.1: Neu f (x) là hàm khá tong và vói moi x co đ%nh hàm so f

(x)

thóa mãn đieu ki¾n Dini, túc là ta tìm đưoc so δ > δ 0 sao cho tích phân

si n

khá tong theo bien z trên đoan [ −δ, δ] nên

nó khá tong trên đoan [−π, π] (do giá tr% hàm f (x) khá tong).

2sin

2

2liên tuc nên ton tai giá tr%

Đ%nh lý đưoc chúng minh.

Chú ý:

+ Neu f (x) liên tuc và có đao hàm huu han ho¾c có đao hàm trái

và đao hàm phái huu han tai điem x thì đieu ki¾n Dini đưoc thóa mãn.

f ( x + z ) − f ( x )

Th¾t v¾y: Khi đó

%ch¾n trong tùng đoan [−δ, 0], [0, δ] nên tích phân (2.12) là ton tai.

+ L¾p lu¾n trong đ%nh lý trên van đúng khi thay đieu ki¾n Dini bói snh®i tu cna hai tích phân sau:0

π

−π

21

Đ%nh lý 2.2:

Giá sú f (x) là hàm b% ch¾n, tuan hoàn vói chu kỳ 2π chí có điem

gián đoan loai 1 và giá sú tai moi điem hàm so có đao hàm trái và đao

hàm phái Khi đó chuoi Fourier cna nó h®i tu khap nơi và tong bang f (x) tai

f ( x + 0) + f ( x − 0)

nhưng điem liên tuc và bang

2loai 1

tai các điem gián đoan

Chú ý: Ket lu¾n cna đ%nh lý trên van còn đúng vói nhung đieu ki¾n r®ng

rãi hơn

Ta thùa nh¾n đ%nh lý sau đây:

Đ%nh lý 2.3: (đieu ki¾n Dirichlet) Giá sú f (x) là hàm tuan hoàn vói

chu kỳ 2π, thóa mãn m®t trong hai đieu ki¾n sau trên đoan [−π, π]

+ f (x) liên tuc tùng khúc và có đao hàm f r (x) liên tuc tùng khúc + f (x) đơn đi¾u tùng khúc và b% ch¾n.

Khi đó chuoi Fourier cna nó h®i tu tai moi điem, chuoi này có tong

bang f (x) tai nhung điem liên tuc cna nó và bang

f (c − 0) + f (c

− 0)

2

tai các điem gián đoan c cna nó.

2.4.2 Đieu ki¾n Lipschitz

• Đieu ki¾n Lipschitz:

Cho hàm so f (x) tuan hoàn vói chu kỳ 2π, và f (x) ∈ L1[−π,

π ] Hàm f (x) đưoc goi là thóa mãn đieu ki¾n Lipschitz b¾c α >

0 tai điem x0 neu ton tai m®t hang so C và so dương r thóa mãn:

|f (x) − f (x0)| ≤ C|x − x0| α (∀x : |x − x0| < r)

Neu đieu ki¾n này đúng vói tat cá các giá tr% x0 vói cùng m®t

hang so c thì hàm so f (x) đưoc goi là thóa mãn đieu ki¾n Lipchitz

đeu

• H¾ quá:

Neu hàm f (x) thóa mãn đieu ki¾n lipchitz b¾c α > 0 tai điem x0

thì tong riêng S n cna chuoi Fourier cna hàm f (x) tai điem x0 se

h®i tu ve f(x0)

• Chúng minh :

Hàm f (x) thóa mãn đieu ki¾n Lipchitz b¾c α > 0 tai điem x0 nên

ton tai m®t hang so C và so dương δ thóa mãn:

Cho hàm f xác đ%nh trên đoan [a, b] Neu ta có the chia đoan [a, b]

thành huu han đoan [ai , b i ], i = 1, k bói các điem chia

a = a1 < b1 < < a k < b k = b sao cho trên moi khoáng (a i , b i) hàm