Khóa Luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier và ứng dụng

thuyết chuỗi l ợng giác_ chuỗi Fourier chúng ta có thêm một ph ơng pháp khai triển hàm số nữa đó là sự khai triển hàm số thành chuỗi l ợng giác_ chuỗi Fourier.. Không chỉ với hàm tuần

thuyết chuỗi l ợng giác_ chuỗi Fourier chúng ta có thêm một

ph ơng pháp khai triển hàm số nữa đó là sự khai triển hàm

số

thành chuỗi l ợng giác_ chuỗi Fourier Không chỉ với hàm

tuần hoàn mà đối với một hàm số bất kì.Thông qua sự khai triển này, chúng ta có thể tính tổng của một chuỗi số.

Chuỗi Fourier không chỉ có giá trị về mặt lí thuyết mà

nó

còn có những ứng dụng to lớn vào các lĩnh vực nghiên cứu khoa học khác và trong thực tiễn:

Khi giải các ph ơng trình đạo hàm riêng, việc áp dụng lí

thuyết Fourier và khai triển Fourier có tầm quan trọng cơ bản;

nó cho phép với những điều kiện nhất định đ a về việc giải

Nội dung chính của khoá luận:

Ch ơng 1 Kiến thức chuẩn bị.

Ch ơng 2 Khai triển hàm số thành chuỗi Fourier.

Ch ơng 3 ứng dụng.

Ch ơng 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Chuỗi l ợng giác

1.1.1 Khái niệm chuỗi l ợng giác

Với mỗi n, hàm số x U(x) = a n cos(nx) + b n sin(nx) có

đạo hàm mọi cấp trên R và có chu kì 2

Nếu chuỗi l ợng giác hội tụ đến hàm f(x) thì f(x) là

Định lí 1.1 Nếu các chuỗi số hội tụ tuyệt

đối thì

chuỗi l ợng giác: (1.1) hội tụ

đều

trên R và tổng của nó là một hàm số liên tục trên R.

Định lý 1.2 Nếu {an };{bn } là hai dãy số d ơng giảm

khóc trªn [a;b] nÕu chØ cã mét sè h÷u h¹n

®iÓm gi¸n ®o¹n

lo¹i I, liªn tôc t¹i mäi ®iÓm cßn l¹i cña ®o¹n 1.2.2 §Þnh nghÜa chuçi Fourier

Gi¶ sö f lµ mét hµm sè tuÇn hoµn x¸c

Sn (x) = (1.2)

π

− π

π ∫ 2 1 π − π∫π f (t)sin ktdt

2n 1 sin z

f (x z) dz

z 2sin

2

π

−π

+ +

π ∫

(1.3)

f ( ) sin 0

λ

ϕ

chặn và a n , b n là các hệ số của chuỗi Fourier của hàm

số f

thì:

1.3.2 Điều kiện Dini

Nh ta đã biết hàm số liên tục từng khúc trên [0;2 ] thì giới hạn phải f(x + 0) = và giới hạn trái

f(x - 0) = tồn tại, hữu hạn tại mỗi điểm x

[0;2 ]

hay f(x + 0) = f(x – 0) = f(x) trừ một số hữu hạn điểm.

Ta có điều kiện Dini nh sau:

Định lý1.6 Nếu f là hàm khả tổng và với mỗi x cố định,

Nhận xét 1.7 Định lý1.6 vẫn còn hiệu lực nếu thay điều kiện

Dini bởi sự hội tụ của hai tích phân sau:

và

.Trong đó f(x - 0) và f(x + 0) là các giới hạn trái, phải của hàm f tại x (x là điểm giới hạn loại I của f) Nhận xét 1.8 Giả sử f là hàm bị chặn, tuần hoàn chu kì 2

,

liên tục từng khúc trên mỗi đoạn bị chặn và x0 là một số

thực

sao cho các giới hạn: và

tồn tại và hữu hạn Khi đó chuỗi Fourier của nó hội tụ khắp nơi

có tổng bằng f(x) tại các điểm liên tục và bằng

chuỗi

Fourier của f hội tụ tại x0 và có tổng bằng f(x0 ).

Định lý 1.7 Nếu f: R R là hàm số tuần hoàn với chu kì

2 , khả vi thì chuỗi Fourier của nó hội tụ và có tổng

0 f (x z) f (x 0)

dz z

bằng f(x) với mọi x thuộc R.

1.4 Đẳng thức Parseval

Giả sử f: R R là hàm tuần hoàn chu kì 2 , thoả mãn

định lý Dini Khi đó f(x) = trừ những

điểm gián đoạn loại I của f(x) (1.6)

∞

=

k 0

Ch ơng 2 Khai triển hàm số thành chuỗi Fourier 2.1 Khai triển một hàm số tuần hoàn

Hàm f tuần hoàn chu kì 2 .

tuần hoàn chu

kì 2 , thoả mãn định lý Dini trên , nên khai triển f(x) =

2.2 Khai triển một hàm số bất kỳ

Giả sử f(x) thoả mãn điều kiện định lý Dini trên [a;b], để khai triển hàm f(x) thành chuỗi Fourier, ta đi xây dựng

f(x) nh vậy.Với mỗi hàm g(x), có một chuỗi Fourier t ơng

ứng Do đó có nhiều chuỗi Fourier biểu diễn hàm f(x).

Nếu g(x) chẵn thì chuỗi Fourier của nó chỉ gồm những hàm

cßn nÕu hµm g(x) lÎ th× chuçi Fourier cña

VËy chuçi Fourier cña f(x): =

1

4 3

Ch ¬ng 3 øng dông 3.1 øng dông khai triÓn Fourier gi¶i bµi to¸n Dirichlet

Điều kiện biên đôi khi kí hiệu :

Để tìm nghiệm bài toán (3.3) chúng ta dùng phép đổi biến:

đ a về bài toán Dirichlet trong hình tròn đơn vị Nghiệm bài toán (3.3):

S

f (s) U

;)

suy ra U( )=

3.2 ứng dụng khai triển Fourier giải bài toán hỗn hợp của ph ơng trình

Hypebolic Trong miền Q =

3.2.1 Xét bài toán đối với ph ơng trình dao

) 5 3 (

) 4 3 (

n

n n

a

b n

a

a a

ρ ϕ ϕ

là nghiệm bài toán

NÕu khai triÓn thµnh chuçi Fourier trªn

) 10 3 (

) 9 3 (

) 8 3 (

tt Ux

0 t(x;0) 1

XÐt bµi to¸n (2*)

NghiÖm bµi to¸n (2*):

g(x; t) cã khai triÓn Fourier theo hµm sin có d¹ng : g(t) =

nghiÖm bµi to¸n (2*): U2 (x; t)

Suy ra nghiÖm bµi to¸n lµ: U(x; t) = U1 (x; t) +

) 12 3 (

Xét bài toán hỗn hợp đối với ph ơng trình truyền nhiệt dạng :

Nghiệm của bài toán:

có khai triển Fourier thì:

Ví dụ 3.1 Cho hình tròn tâm O, bán kính a (x;y) là toạ độ

Đêcac; là toạ độ cực Tìm nghiệm bài toán Dirichlet

) 16 3 (

) 15 3 (

2

ak ( ) t l k

k 1

k U(x;t) A sin( x)e

NghiÖm bµi to¸n cã d¹ng:

n 1

A U( ; ) (A cos(n ) B sin(n ))

1.ưTìmưhiểuưvềưlýưthuyếtưchuỗiưFourierư(điềuư kiệnưhộiưtụ,ưđẳngưthứcưPaseval,ưđịnhưlýư

3.3.ưứngưdụngưFourierưgiảiưbàiưtoánưtoánưđốiưvớiư

ưphươngưtrìnhưtruyềnưnhiệtư

trongư

khoaưkhoaưhọcưtựưnhiên;ưcácưbạnưsinhưviênưlớpư

K6a_ĐHSPưtoánưđãưgiúpưđỡưưemưtậnưtìnhưtrongưquáư trìnhưnghiênưcứu.ưĐặcưbiệt,ưemưchânưthànhưbàyư

tỏưlòng

cảmươnưsâuưsắcưđếnưthầyưgiáoưMaiưXuânưThảo_ư ngườiư

đãưtrựcưtiếpưhướngưdẫnưemưhoànưthànhưkhoáưluậnư

này.