Chuỗi fourier và ứng dụng trong việc tính tổng của một số chuỗi số

Vîi cæng tr…nh n y, nhi•u ng÷íi xem æng l ng÷íis¡ng l“p ra Lþ thuy‚t chuØi Fourier... T…m hi”u v• kh¡i ni»m, mºt sŁ t‰nh ch§t v øngdöng cıa chuØi Fourier trong vi»c t‰nh tŒng cıa mºt sŁ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích

HÀ NỘI – 2018

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích

Người hướng dẫn khoa học

TS NGUYỄN VĂN HÀO

HÀ NỘI – 2018

1.2.2

1.2.3

1

T i li»u tham kh£o

Trong qu¡ tr…nh thüc hi»n, em ¢ nh“n ÷æc nhi•u þ ki‚n âng gâp ” b£nkhâa lu“n ÷æc ho n thi»n nh÷ hi»n t⁄i.

H Nºi, ng y 17 th¡ng 5 n«m

2018Sinh vi¶n

Vô Thà Ngåc Di»u

3

Em xin cam oan, d÷îi sü h÷îng d¤n cıa TS Nguy„n V«n H o, khâa lu“ntŁt nghi»p ng nh To¡n gi£i t‰ch vîi • t i "ChuØi Fourier v øng döngtrong vi»c t‰nh tŒng cıa mºt sŁ chuØi sŁ" ÷æc ho n th nh bði nh“nthøc cıa b£n th¥n.

Trong qu¡ tr…nh thüc hi»n khâa lu“n tŁt nghi»p, em ¢ thła k‚ nhœng k‚tqu£ v th nh tüu cıa c¡c nh khoa håc vîi sü ch¥n trång v bi‚t ìn

H Nºi, ng y 17 th¡ng 5 n«m 2018

Sinh vi¶n

Vô Thà Ngåc Di»u

4

Mð ƒu

1 L‰ do chån • t i ChuØi l÷æng gi¡c ÷æc kh£o cøu tł k‚t qu£ mºt sŁ nghi¶n cøu v• v“t lþ çng thíi bði c¡c nh to¡n håc Gauss, Abel v Cauchy C¡c chuØi khai tri”n theo c¡c h m sin v cosin công ¢ ÷æc xem x†t bði hai anh em nh to¡n håc Bernoulli tł nhœng n«m 1701 1702, v th“m ch

‰ sîm hìn bði Vi–te Ngo i ra, Euler, Larrange v mºt sŁ nh to¡n håc kh¡c công tham gia v o h÷îng nghi¶n cøu n y

N«m 1807, Fourier ÷a ra ph÷ìng ph¡p bi”u di„n h m sŁ li¶n töc quachuØi l÷æng gi¡c v sß döng v o vi»c gi£i ph÷ìng tr…nh truy•n nhi»ttrong v“t th” ch§t r›n N«m 1822, æng cho cæng bŁ cæng tr…nh Lþthuy‚t gi£i t‰ch cıa nhi»t v mð ra mºt thíi ký mîi v• øng döng to¡n håctrong c¡c khoa håc kh¡c

Tr¶n thüc t‚, Euler l ng÷íi ¢ ÷a ra cæng thøc t‰nh c¡c h» sŁ trong khaitri”n, cÆn Fourier th… ph¡t bi”u v câ mºt sŁ cŁ g›ng trong chøng minhành lþ tŒng qu¡t Tuy nhi¶n, Fourier ¢ khæng °t ra v§n • hºi tö chochuØi cıa m…nh, m ch‰nh Cauchy ¢ nh…n ra v§n • n y v câ ÷a ramºt sŁ k‚t qu£ Th¶m nœa, Poisson công ¢ xem x†t v§n • n y nh÷ng tłmºt kh‰a c⁄nh kh¡c K‚t qu£ cıa Poisson v• sü hºi tö cıa chuØi Fourier

÷æc Cauchy ch¿ ra l thi‚u ch°t ch‡ Tuy nhi¶n, ch‰nh cæng tr…nh cıaCauchy v• v§n • n y công ÷æc Dirichlet ch¿ ra l sai V§n • ch¿ ÷æc gi£iquy‚t mºt c¡ch cì b£n b‹ng cæng tr…nh cıa Dirichlet, «ng tr¶n t⁄p ch‰Crelle v o n«m 1829 Vîi cæng tr…nh n y, nhi•u ng÷íi xem æng l ng÷íis¡ng l“p ra Lþ thuy‚t chuØi Fourier Cæng tr…nh n¶u tr¶n cıa Dirichletsau â ÷æc ch¿nh sßa v ho n thi»n th¶m bði Riemann v o n«m 1854

5

‚n nay, lþ thuy‚t chuØi sŁ v chuØi h m v sü hºi tö cıa chóng ¢ ÷æc coinh÷ ho n ch¿nh Tuy nhi¶n, nhi•u chuØi sŁ d„ nh“n bi‚t ÷æc sü hºi töcıa chóng, nh÷ng vi»c t‰nh tŒng cıa c¡c chuØi â l khæng h• ìn gi£n ”

ho n th nh khâa lu¥n tŁt nghi»p ⁄i håc chuy¶n ng nh To¡n gi£i t‰ch, emchån • t i "ChuØi Fourier v øng döng trong vi»c t‰nh tŒng cıa mºt sŁchuØi sŁ."

2 Möc ‰ch nghi¶n cøu T…m hi”u v• kh¡i ni»m, mºt sŁ t‰nh ch§t v øngdöng cıa chuØi Fourier trong vi»c t‰nh tŒng cıa mºt sŁ chuØi sŁ

3 Nhi»m vö nghi¶n cøu

- Nghi¶n cøu v• chuØi Fourier

- Nghi¶n cøu v• øng döng cıa chuØi Fourier trong vi»c t‰nh tŒng cıa mºt sŁ chuØi sŁ

4 Łi t÷æng v ph⁄m vi nghi¶n cøu

- Łi t÷æng: ChuØi Fourier v øng döng

- Ph⁄m vi: ChuØi sŁ, chuØi h m v t‰nh tŒng cıa mºt sŁ chuØi sŁ hºi tö

5 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cøu

- Nghi¶n cøu l‰ lu“n v t i li»u tham kh£o

- Ph¥n t‰ch, tŒng hæp ki‚n thøc phöc vö cho möc ‰ch nghi¶n cøu

6 C§u tróc Ngo i phƒn mð ƒu, k‚t lu“n, t i li»u tham kh£o, khâa lu“n tŁt nghi»p gçm hai ch÷ìng

- Ch÷ìng 1 Ki‚n thøc chu'n bà

- Ch÷ìng 2 ChuØi Fourier v øng döng trong vi»c t‰nh tŒng cıa mºt sŁchuØi sŁ

÷æc gåi l mºt chuØi sŁ Trong chuØi sŁ tr¶n ng÷íi ta gåi

+ Phƒn tß an ÷æc gåi l sŁ h⁄ng tŒng qu¡t thø n cıa chuØi sŁ

+ TŒng hœa h⁄n ÷æc x¡c ành v k‰ hi»u d÷îi d⁄ng

Bði v… hai d¢y con câ c¡c giîi h⁄n kh¡c nhau, n¶n d¢y tŒng ri¶ng fsng

khæng câ giîi h⁄n Do â, vîi jqj = 1 th… chuØi ¢ cho công ph¥n ký Qua

vi»c x†t nh÷ v“y, ta câ k‚t lu“n cuŁi còng l chuØi tr¶n ch¿ hºi tö trongtr÷íng hæp jqj < 1:

1 + 1 1 +:::+ 1 1

n n + 1

Tł â, suy ra lim sn = 1: V“y chuØi ¢ cho l hºi tö v câ tŒng b‹ng 1

n!1

1.1.2 i•u ki»n ” chuØi hºi tö

ành lþ 1.1.1 (Ti¶u chu'n Cauchy) ChuØi (1:1) hºi tö khi v ch¿ khi vîimåi " > 0 tçn t⁄i sŁ nguy¶n d÷ìng N sao cho vîi måi n N v vîi måi sŁnguy¶n d÷ìng p ta câ

jan+1 + an+2 + ::: + an+pj < ":

Chøng minh ChuØi (1:1) hºi tö khi v ch¿ khi d¢y tŒng ri¶ng fsng hºi

tö Theo ti¶u chu'n Cauchy v• sü hºi tö cıa d¢y sŁ, vîi måi " > 0 tçn t⁄i sŁnguy¶n d÷ìng N sao cho vîi måi n N v måi sŁ nguy¶n d÷ìng p ta câ

lim an = 0:

n!1

Th“t v“y, theo (1:3) th… vîi måi n N chån p = 0 ta nh“n ÷æc ngay

janj < ": Do â, ta câ

n!1

Chó þ.i•u ki»n n y ch¿ l i•u ki»n cƒn chø khæng ph£i l i•u ki»n ı i•u â

÷æc ch¿ ra qua c¡c v‰ dö d÷îi ¥y

nP

a) ChuØi

1

=1 2n + 11

Nh÷ th‚, n‚u chuØi n y hºi tö th… c¡c d¢y tŒng ri¶ng sn v s2n ph£i còng

ti‚n tîi mºt giîi h⁄n khi n ! +1 tøc l lim (s2n sn) = 0: Tuy nhi¶n,

n!1

i•u n y m¥u thu¤n vîi ¡nh gi¡ tr¶n tr¶n Công tł ti¶u chu'n Cauchy ta

công d„ nh“n ÷æc k‚t qu£ sau

H» qu£ 2 ChuØi (1:1) v chuØi nh“n ÷æc tł chuØi n y b‹ng c¡ch th¶m

v o hay bä bît i mºt sŁ hœu h⁄n c¡c sŁ h⁄ng còng hºi tö ho°c còng ph¥n

V“y câ i•u cƒn chøng minh.

1.1.4 D§u hi»u hºi tö cıa chuØi sŁ d÷ìng

hºi tö Do â d¢y (sn) bà ch°n Ng÷æc l⁄i, do d¢y tŒng ri¶ng cıa chuØi

sŁ d÷ìng l d¢y fsng t«ng n¶n n‚u fsng bà ch°n th… tçn t⁄i giîi h⁄n

ành lþ 1.1.4 (D§u hi»u so s¡nh thø nh§t) Gi£ sß tçn t⁄i sŁ nguy¶n d÷ìng n0 v mºt h‹ng sŁ C > 0 sao cho

an Cbn; vîi måi n n0:

Khi â, ta câ c¡c khflng ành sau

(i) N‚u chuØi

(ii) N‚u chuØi

Chøng minh Nh÷ ¢ nâi trong h» qu£ 2 möc (1:1:2); khæng m§t t‰nh tŒng

qu¡t ta câ th” gi£ thi‚t n0 = 1: Gåi sn v tn lƒn l÷æt l tŒng ri¶ng thø n

Khi â, theo gi P

cıa c¡c chuØi

Nh÷ v“y, n‚u d¢y ftn bà ch°n th… d¢y fsng công bà ch°n v£ n‚u d¢y fsngkhæng bà ch°n th… d¢y ftng công khæng bà ch°n

Tł â suy ra k‚t lu“n cıa ành lþ.

ành lþ 1.1.5 (D§u hi»u so s¡nh thø hai) Gi£ sß

Chøng minh (i) Bði v… n lim

d÷ìng n0 ” vîi måi n n0 ta câ

Theo ành lþ 1:1:4; th… chuØi

D„ d ng ki”m tra r‹ng tan x 2x; vîi måi x 2

n tan

Theo v‰ dö 1, chuØi

n¶n theo ành lþ 1.1.5, chuØi

Tł â, theo ành lþ 1.1.4, ta câ chuØi

1.1.6

ành lþ 1.1.6 (D§u hi»u Cauchy) Cho chuØi sŁ d÷ìng

n!1

(i) N‚u c < 1 th… chuØi ¢ cho l

(ii) N‚u c > 1 th… chuØi ¢ cho l

Chøng minh (i) N‚u c < 1 th… tçn t⁄i sŁ p ” c < p < 1: V…

n¶n tçn t⁄i n0 ”

Bði v… chuØi

(ii) N‚u c > 1 th… tçn t⁄i n ”

Nh÷ v“y, chuØi ph¥n ký theo h» qu£ 1 cıa ành lþ 1:1:1:

1.1.7

ành lþ 1.1.7 ( D§u hi»u D’Alembert) Cho chuØi d÷ìng

tçn t⁄i giîi h⁄n

(i) N‚u d < 1 th… chuØi ¢ cho l

(ii) N‚u d > 1 th… chuØi ¢ cho l

Chøng minh N‚u d < 1 th… tçn t⁄i p ” d < p < 1: V…

tçn t⁄i sŁ nguy¶n d÷ìng n0 ” måi n n0v

an+1

< p , an+1 < pan:

ành lþ 1.1.8 (D§u hi»u t‰ch ph¥n Cauchy) Cho chuØi sŁ d÷ìng

Gi£ sß f(x) l

f(n) = an; vîi måi n = 1; 2; :::: Khi â, ta câ c¡c khflng ành sau

(i) N‚u tçn t⁄i

! 1

Chøng minh Tł gi£ thi‚t cıa ành lþ, vîi måi x 2 [k; k + 1] vîi k l

nhi¶n v k 1 ta •u câ

n+1 a

1Z1

trong â sn l tŒng ri¶ng thø n cıa chuØi

(1:5) ta th§y r‹ng d¢y tŒng ri¶ng fsng cıa chuØi v t‰ch ph¥n

công bà ch°n ho°c khæng còng bà ch°n i•u â cho ta khflng ành cıa

ành lþ

Chó þ Khi ¡p döng d§u hi»u D’Alembert hay d§u hi»u Cauchy n‚u

lim

a n+1

= 1 ho°cn!1

còng d§u ÷æc gåi l chuØi an d§u.

ành lþ 1.1.9 (D§u hi»u Leibniz) Gi£ sß d¢y fang l

giîi h⁄n cıa d¢y

n

Chøng minh Gåi fsng l d¢y tŒng ri¶ng cıa chuØi Bði v…

s2m = (a1 a2) + (a3 a4) + ::: + (a2m 1 a2m):

C¡c sŁ h⁄ng trong ngo°c •u khæng ¥m n¶n d¢y fs2mg ìn i»u t«ng

M°t kh¡c, ta l⁄i câ th” vi‚t

s2m = a1 [(a2 a3) + (a4 a5) + ::: + (a2m 2a 2m 1 ) + a 2m ]:

Do â s2m a1 vîi måi m: V“y fs2mg hºi tö theo ti¶u chu'n ìn i»u.

Tł â, n‚u lim s2m = s th… vîi måi " > 0 tçn t⁄i sŁ nguy¶n d÷ìng N1 ”

°t N = maxfN1; N2g th… vîi måi n N ta câ jsn sj <

Vîi n l· th… n + 1 chfin ta công câ

Nh÷ th‚ , vîi måi n N ta •u câ

V“y lim sn = s, tøc l

n!1

d§u thäa m¢n i•u ki»n cıa ành lþ 1:1:1 gåi l

V“y chuØi Leibniz l hºi tö

1

ành ngh¾a 1.1.4 ChuØi sŁ

P janj hºi tö N‚u chuØi P

an hºi tö nh÷ng chuØi janj ph¥n ký, th…

P

chuØi ÷æc gåi l b¡n hºi tö.

MŁi quan h» giœa t‰nh ch§t hºi tö tuy»t Łi v

ành nh÷ sau

ành lþ 1.1.10 Mºt chuØi hºi tö tuy»t Łi l

Chøng minh Tr÷îc h‚t, ta câ ¡nh gi¡

1.1.11 C¡c t‰nh ch§t cıa chuØi hºi tö

T‰nh ch§t 1.1.1

tŒng l s th… chuØi

+(ank 1 +1 + ank 1 +2 + ::: + ank ) + :::; ( ) công hºi tö v

Chøng minh Gåi tk l tŒng ri¶ng thø k cıa chuØi ( ) v sn l tŒng ri¶ng

V“y ta câ i•u ph£i chøng minh

T‰nh ch§t 1.1.2 (T‰nh ch§t giao ho¡n) N‚u chuØi sŁ

Łi v câ tŒng l s th… chuØi

vîi måi t“p con hœu h⁄n F fn 2 N : n > n 1 g: Gåi s n v

tŒng ri¶ng thø n cıa chuØi

Chån n3 n2 sao cho c¡c sŁ h⁄ng a1; a2; :::; an2 câı m°t trong c¡c sŁh⁄ng b1; b2; :::; bn3 : Khi â vîi måi n n3, ta câ

b¡n hºi tö th… ta câ th” thay Œi thø tü cıa c¡c sŁ h⁄ng cıa nâ ” thu ÷æcchuØi hºi tö v câ tŒng b‹ng mºt sŁ b§t ký cho tr÷îc ho°c trð n¶n ph¥n

ký

1.2 ChuØi h m v sü hºi tö cıa chuØi h m

+ H m un(x) gåi l sŁ h⁄ng thø n cıa chuØi

+ TŒng cıa n h m ƒu ti¶n cıa chuØi sn(x) = u1(x) + u2(x) + ::: +

un(x)

÷æc gåi l tŒng ri¶ng thø n cıa chuØi h m

1.2.2 Sü hºi tö v hºi tö •u cıa chuØi h m

i”m x 2 X gåi l i”m hºi tö hay ph¥n k… cıa chuØi (1:6) n‚u d¢y tŒngri¶ng fsn(x)g cıa nâ hºi tö hay ph¥n ký t⁄i i”m n y

N‚u X0 l t“p hæp c¡c i”m hºi tö cıa d¢y fsn(x)g th… ta công gåi X0 l mi•n hºi tö cıa chuØi (1:6):

N‚u lim sn(x) = u(x) tr¶n X0; th… ta công vi‚t

v gåi u(x) l tŒng cıa chuØi h m tr¶n X0:

Sü hºi tö tr¶n ÷æc gåi l hºi tö i”m cıa chuØi h m Theo ngæn ngœCauchy, ta câ th” ph¡t bi”u nh÷ sau

ChuØi h m (1:6) ÷æc gåi l hºi tö tr¶n t“p hæp X v câ tŒng l u(x) n‚u vîimåi sŁ " > 0 v vîi mØi x 2 X tçn t⁄i mºt sŁ nguy¶n d÷ìng n0 = n0("; x) saocho

jsn(x) u(x)j < "; vîi måi n n0:

Khi t…m ÷æc ch¿ sŁ nguy¶n d÷ìng n0 ch¿ phö thuºc v o sŁ " > 0 m

phö thuºc v o gi¡ trà cıa x ta nâi chuØi h m hºi tö •u Ch‰nh x¡c hìn tacâ

ành ngh¾a 1.2.2 ChuØi h m (1:6) ÷æc gåi l hºi tö •u tr¶n t“p hæp X

v câ tŒng l h m u(x) n‚u vîi måi sŁ " > 0 tçn t⁄i mºt sŁ nguy¶n d÷ìng n0 =

n0(") sao cho

jsn(x) u(x)j < "; vîi måi n n0 v vîi måi x 2 X:

1.2.3 C¡c ti¶u chu'n hºi tö •u cıa chuØi h m sŁ

ành lþ 1.2.1 (Ti¶u chu'n Cauchy) ChuØi h m sŁ

tr¶n t“p hæp X khi v

n0 sao cho vîi måi n n0 v

jsn+p(x)Chøng minh Th“t v“y, chuØi h m hºi tö •u khi v ch¿ khi d¢y c¡c tŒngri¶ng fsn(x)g hºi tö •u Theo ti¶u chu'n Cauchy cıa d¢y h m hºi tö •u, i•u

n y x£y ra khi v ch¿ khi vîi måi sŁ " > 0 cho tr÷îc tçn t⁄i sŁ nguy¶n d÷ìng

n0 sao cho khi n n0 v måi sŁ nguy¶n d÷ìng p ta câ

jsn+p(x) sn(x)j < "; vîi måi x 2 X:

ành lþ 1.2.2 (Ti¶u chu'n Weierstrass) Cho chuØi h m sŁ

N‚u vîi måi sŁ nguy¶n d÷ìng n ta câ

= (x)

=

n i=1

X

(i) D¢y tŒng ri¶ng s n (x) cıa chuØi h m

ngh¾a l tçn t⁄i sŁ M > 0 sao cho

jsn(x)j =

(ii) D¢y h m

sŁ ìn i»u v

Khi â chuØi h m

Chøng minh Ta câ th” xem fbng l d¢y ìn i»u gi£m v d¢y h m fbng hºi

tö •u tr¶n X ‚n khæng Khi â vîi " > 0 tçn t⁄i sŁ tü nhi¶n

n0 = n0(") sao cho

"

0 < bn(x) < 2M ; vîi måi n > n0v vîi måi x 2 X:

Tł b§t flng thøc n y çng thíi k‚t hæp vîi gi£ thi‚t cıa ành lþ ta ÷æc

V“y chuØi h m a n (x)b n (x) hºi tö •u tr¶n X:

(ii) D¢y h m fbn(x)g ìn i»u vîi måi x v måi x

2 X, d¢y sŁ bn(x) l d¢y ìn i»u v

Chøng minh Tł gi£ thi‚t (i) vîi " > 0 tçn t⁄i sŁ tü nhi¶n cho

vîi måi n > n0 v måi sŁ nguy¶n d÷ìng m ta •u câ

+1

X

a k (x)b k (x) = b n+1 1 + b n+2 ( 2 1 ) + ::: + b n+m ( m m 1 )

n=1

B¥y gií ta gi£ sß fbn(x)g l d¢y ìn di»u t«ng (tr÷íng hæp d¢y ìn i»u

Chøng minh Theo gi£ thi‚t s(x) l tŒng cıa mºt chuØi h m sŁ hºi tö •u

tr¶n [a; b] câ c¡c sŁ h⁄ng li¶n töc tr¶n â, do v“y s(x) li¶n töc tr¶n [a; b];

n¶n s(x) kh£ t‰ch tr¶n [a; b]: X†t hi»u

b

Z

V… chuØi h m sŁ hºi tö •u tr¶n [a; b] n¶n vîi måi " > 0 t…m ÷æc sŁ

nguy¶n d÷ìng n0 sao cho khi n > n0 ta câ

jsn(x) s(x)j <

Do â

a a a

1.2.5 ChuØi lôy thła

ành ngh¾a 1.2.3 ChuØi lôy thła l

trong â x0; a1; a2; :::l

thła

Nh“n x†t

(i) ChuØi lôy thła luæn hºi tö t⁄i i”m x = x0:

(ii) N‚u °t y = x x0 th… ta câ th” ÷a chuØi lôy thła v• d⁄ng

B¡n k‰nh hºi tö cıa chuØi lôy thła

ành lþ 1.2.7 ( ành lþ Abel) Cho chuØi lôy thła

1

X

anxn = a0 + a1x + a2x2 + :::::

n=0

N‚u chuØi lôy thła (1:9) hºi tö t⁄i i”m x0 6= 0th… nâ hºi tö tuy»t Łi t⁄i måii”m x m jxj < jx0j :

nxnhºi tö tuy»t Łi v hºi tö •u.

Tł ành lþ Abel suy ra: N‚u chuØi

chuØi lôy thła

ành lþ 1.2.8 Cho chuØi lôy thła

lim n

th… b¡n k‰nh hºi tö cıa chuØi lôy thła ÷æc

>

:

Chøng minh X†t chuØi lôy thła (1:8): Theo d§u hi»u Cauchy dòng cho

chuØi sŁ d÷ìng

n!1

limN‚u = 0 chuØi hºi tö tuy»t Łi vîi måi x hay R = +1:

H m mô H m f(x) = ex câ ⁄o h m måi c§p trong kho£ng (

v ⁄o h m cıa nâ ÷æc x¡c ành bði

Do â, ta câ

Gi£ sß x0 l

ta luæn câ ¡nh gi¡ sau

i•u â chøng tä

ex ÷æc khai tri”n th nh chuØi Taylor t⁄i i”m x0 nh÷ sau

1 f(k)(x 0 )

Khai tri”n cıa h m logarit

Tr÷îc h‚t hi”n nhi¶n ta câ khai tri”n sau ¥y

Khai tri”n cıa h m hyperbolic

z3

shz = z +

3!

cosh z = 1 +

B‹ng mºt sŁ ph†p bi‚n Œi sì c§p, ta d„ d ng nh“n ÷æc k‚t qu£

BŒ • H» h m l÷æng gi¡c d÷îi ¥y

f1; cos x; sin x; cos 2x; sin 2x; :::; cos nx; sin nxgtrüc giao tr¶n o⁄n [ ; ]: i•u â câ ngh¾a l

32

2.2 ChuØi l÷æng gi¡c

ành ngh¾a 2.2.1 ChuØi h m l÷æng gi¡c l chuØi câ d⁄ng

+ Trong â a0; an; bn (n = 1; 2:::) l nhœng sŁ thüc

+ SŁ h⁄ng tŒng qu¡t cıa chuØi h m un(x) = an cos nx + bn sin nx tuƒn 2

ho n vîi chu k… n ; li¶n töc v kh£ vi måi c§p

+ N‚u chuØi (2:2) hºi tö v câ tŒng f(x) th… f l mºt h m li¶n töc, tuƒn ho

n vîi chu k… 2 V… th‚ sau ¥y ta ch¿ cƒn x†t chuØi h m l÷æng gi¡ctr¶n mºt o⁄n câ º d i l 2 B‹ng ph†p Œi bi‚n ta câ th” chuy”n mºt

h m tuƒn ho n tr¶n o⁄n [a; b] v• mºt h m tuƒn ho n tr¶n o⁄n câ º d i 2 Ch

‰nh v… v“y, ð ¥y ta ch¿ x†t ‚n c¡c h m tuƒn ho n tr¶n o⁄n [ ;]:

Gi£ sß chuØi h m (2:2) hºi tö ¶u tr¶n [ ; ] v• h m f(x); tøc l

f(x) =

” h» sŁ a0 ta l§y t‰ch ph¥n tłng sŁ h⁄ng cıa chuØi h m tł ‚n ta ÷æc

” t‰nh c¡c h» sŁ ak ta nh¥n c£ hai v‚ cıa flng thøc (2:3) vîi cos kx,sau â l§y t‰ch ph¥n hai v‚ cıa flng thøc nh“n ÷æc tr¶n o⁄n [ ; ] v do t

‰nh trüc giao cıa h» h m l÷æng gi¡c ta câ

Z

Tł â, ta nh“n ÷æc

ak =T÷ìng tü” t‰nh bk, ta nh¥n c£ hai v‚ cıa flng thøc (2:3) vîi sin kx sau â l§y t‰ch ph¥n hai v‚ cıa flng thøc nh“n ÷æc tr¶n [ ; ]:

Ch÷ìng 2 CHUÉI FOURIER V ÙNG DÖNG TRONG VI C T NH T˚NG CÕA M¸T S¨ CHUÉI S¨

2.3.1 Sü hºi tö cıa chuØi Fourier

V§n • °t ra ð ¥y l khi n o chuØi Fourier S(x) cıa h m f(x) hºi tö v• ch‰nh

h m â Chóng tæi giîi thi»u k‚t qu£ sau, ph†p chøng minh ta câ th” xemtrong t i li»u tham kh£o [2] ành lþ 2:10:

ành lþ 2.3.1 ( ành lþ Dini) Gi£ sß f l mºt h m sŁ li¶n töc tłng khóc, bàch°n v tuƒn ho n vîi chu k… 2 ; x¡c ành tr¶n R: Khi â, ta câ c¡c khflngành sau

(i) ChuØi Fourier cıa h m f(x) hºi tö v• ch‰nh h m â t⁄i nhœng i”m h mli¶n töc

(ii) ChuØi Fourier cıa h m hºi tö v• gi¡ trà trung b…nh cºng cıa giîi h⁄n tr¡i vgiîi h⁄n ph£i cıa h m t⁄i nhœng i”m h m gi¡n o⁄n

2.3.2 Khai tri”n chuØi Fourier cıa h m tuƒn ho n

Vi»c khai tri”n th nh chuØi Fourier cıa mºt h m kh£ t‰ch, bà ch°n vtuƒn ho n tr¶n o⁄n [ ; ] nh÷ ¢ ÷æc x¡c ành ð phƒn tr¶n qua vi»c t‰nhc¡c h» sŁ cıa chuØi n y

Khai tri”n Fourier cıa h m chfin Gi£ sß f(x) l mºt h m chfin, kh£ t‰chtr¶n o⁄n [ ; ] x¡c ành v tuƒn ho n tr¶n R vîi chu k… 2 : Bði v… f(x) sin nx

l h m l·, n¶n chuØi Fourier cıa h m n y câ d⁄ng

1 X

bn sin nx:

n=1

Khai tri”n tuƒn ho n trong o⁄n [ l; l] b§t k….Cho h m sŁ f(x)x¡c ành v kh£ t‰ch tr¶no⁄n [ l; l]; tuƒn ho n tr¶n Rvîi chu k… 2l