Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.. Cho đường tròn O có đường kính CD; dây cung AB vuông góc với CD tại điểm I.. Lấy điểm E thuộc cung nhỏ BC, nối EI cắt đường tròn tại F F�E.. Gọi M
Trang 1SỞ GD & ĐT HOÀ BÌNH
Đề chính thức
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2011 – 2012
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ
ĐỀ THI MÔN TOÁN CHUYÊN Ngày thi: 30 tháng 6 năm 2011
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm có 01 trang Bài 1 (2 điểm).
1) Cho 3 2 3 3 1 .
Chứng minh a là nghiệm của phương trình a33a 4 0.
2) Tìm các số tự nhiên n để n34n22n15 là số nguyên tố
Bài 2 (2 điểm).
1) Giải phương trình x 10 x 4
2) Giải hệ phương trình
6 12 0
�
�
�
Bài 3 (3 điểm).
1) Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường cao AH và BK có độ dài lần lượt là 10(cm) và 12(cm) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.
2) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 2x2 xy 3x2y 5 0
3) Chứng minh rằng: 2
2
Bài 4 (2 điểm).
Cho đường tròn (O) có đường kính CD; dây cung AB vuông góc với CD tại điểm I Lấy điểm E thuộc cung nhỏ BC, nối EI cắt đường tròn tại F (F�E) Gọi M, N lần lượt là giao điểm của AB với CF và ED Chứng minh rằng:
1) DI.DC = DN.DE
2) IM = IN
Bài 5 (1 điểm).
Cho các số tự nhiên a, b, c thỏa mãn a2 b2 c2 2051 Chứng minh rằng tích abc chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 12
Họ và tên thí sinh: SBD: Phòng thi: …
Giám thị 1 (họ và tên, chữ ký): Giám thị 2 (họ và tên, chữ ký):
Hết
Trang 2SỞ GD & ĐT HOÀ BÌNH KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2011-2012
Trường THPT chuyên Hoàng Văn Thụ
Hướng dẫn chấm Toán (chuyên)
1 1 GT suy ra:
4 3
a
a
0,5
2 Ta có: n3 - 4n2 - 2n + 15 = ( n - 3 )( n2 - n - 5 ) là số nguyên tố khi n - 3 = �1 hoặc
n2 - n - 5 = �1
Giải tìm được n = 2, n = 4, n = 3
0,5
Thử lại thấy n = 2, n = 4 thỏa mãn bài toán
2 1 Điều kiện: 0� �x 10
0,5
9
x
x
�
2
Biến đổi PT thứ nhất của hệ thành: ( 2 )( 1) 0 2
1
�
+ Với x = 2y, thế vào PT thứ hai của hệ được: y24y 4 0� y 2,
TH này hệ có nghiệm (x; y) = (-4; -2)
+ Với x = 1 - y, thế vào PT thứ hai được: 8 19 0 19,
8
y � y TH này hệ có
nghiệm ( ; ) 11 19;
8 8
x y �� ��
� � KL:
0,5
3 1 Xét x = -2 không thỏa mãn PT
0,5
Lập luận dẫn đến các TH: x 2 �3, x 2 �1
Từ đó tìm được các cặp (x;y) thỏa mãn bài toán là: (1;0), (-5;-10), (-1;-6), (-3;-4)
0,5
2 Đặt AB = AC = x, BC = y
2AH BC 2BK AC� y x
0,5
AB2 = AH2 + BH2 2 2 100 (2)
4
y
�
Kết hợp (1), (2) tìm được: 25, 15
2
Trang 33 Viết lại điều phải chứng minh: 2 2 1 2
Giải thích không có giá trị nào của x: x 2 1 3 0
x x
0,5
0,5
4
N
M F
B
A
O
I
E
Suy ra DI DE DI DC DE DN
2 Có: �FCD FED� (1)
Dễ chứng minh được tứ giác CENI nội tiếp nên �ICN IEN� (2)
Từ (1) và (2) ta có �MCI ICN� ; gt lại có CI và MN vuông góc, dẫn đến tam giác MCN cân tại C, suy ra: MI=IN ( đpcm)
Chú ý: Đây là trường hợp đặc biệt của bài toán con bướm.
0,5
0,5
5 Chứng minh được với mọi số tự nhiên a có a2chia cho 3 hoặc 4 được số dư
là 0 hoặc 1
+ Số 2051 chia cho 3 dư 2, nên trong 3 số a b c2; ;2 2 phải có 1 số chia hết cho 3, suy ra trong 3 số a; b; c có một số chia hết cho 3 (vì 3 là số nguyên tố)
+ Số 2051 chia cho 4 dư 3, nên 3 số a b c2; ;2 2 khi chia cho 4 đều dư 1, dẫn đến a; b; c đều lẻ -> tích abc không chia hết cho 4
Suy ra tích a.b.c chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 12
0,25
0,25
0,25 0,25
Lưu ý: Mọi cách giải khác đúng đều cho điểm tương ứng.