bài tập luyện thi chuyên toán lớp 9

1. Khóa học online Luyện thi hsg – thi chuyên toán lớp 9 Thầy Hồng Trí Quang 1 Luyện đề là giai đoạn quan trọng nhất trong quá trình ôn thi. Nó giúp bạn có bức tranh hoàn chỉnh về những kiến thức của kì thi, giúp bạn có tư duy tổng hợp, rèn luyện cách trình bày bài, tâm lí làm bài Tài liệu gồm 03 đề thi trích trong tuyển tập 101 đề thi Học sinh giỏi, thi chuyên toán 9 03 đề thi này ở mức Lever 2 (thi học sinh giỏi), Lever 3 (thi vào các trường chuyên top đầu) Cấu trúc đề thi theo chương trình thi chuyên, để làm tốt 03 đề thi này các bạn gần như phải sử dụng toàn bộ phương pháp giải toán chuyên, khi thi thật điểm số các bạn sẽ rất cao. Khóa học online luyện thi học sinh giỏi – thi chuyên toán Thầy Hồng Trí Quang ĐỀ SỐ 39 Bài 1. Cho a, b, c là các số dương và thỏa mãn đẳng thức cba 111  . Chứng minh rằng: 3 b ca a bc c ab Bài 2. Tìm các số tự nhiên x, y biết rằng . Bài 3. Giải phương trình   34 3 2 3 4 1 1x x x    (1) Bài 4. Giải hệ phương trình:       9612 43 233 22 xyxx xyx Bài 5. Cho x, y, z là các số thực khác 0, thỏa mãn điều kiện 2 3 5x y z   và 2 6 3 8xy yz xz   . Chứng minh rằng 7 1 3 x  ; Bài 6. Cho tam giác ABC . Đường tròn (I) nội tiếp tam giác (với tâm I) tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Đường thẳng ID cắt EF tại K, đường thẳng qua K và song song với BC cắt AB, AC theo thứ tự tại M và N. 1 Chứng minh rằng tứ giác IFMK, IMAN nội tiếp 2. Gọi J là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng ba điểm A, K, J thẳng hàng. 3 Gọi r là bán kính đường tròn (I), cho

Luyện đề là giai đoạn quan trọng nhất trong quá trình ôn thi Nó giúp bạn có bức tranh hoànchỉnh về những kiến thức của kì thi, giúp bạn có tư duy tổng hợp, rèn luyện cách trình bàybài, tâm lí làm bài

Tài liệu gồm 03 đề thi trích trong tuyển tập 101 đề thi Học sinh giỏi, thi chuyên toán 9

03 đề thi này ở mức Lever 2 (thi học sinh giỏi), Lever 3 (thi vào các trường chuyên top đầu)Cấu trúc đề thi theo chương trình thi chuyên, để làm tốt 03 đề thi này các bạn gần như phải sửdụng toàn bộ phương pháp giải toán chuyên, khi thi thật điểm số các bạn sẽ rất cao

Khóa học online luyện thi học sinh giỏi – thi chuyên toán Thầy Hồng Trí Quang

ĐỀ SỐ 39

Bài 1 Cho a, b, c là các số dương và thỏa mãn đẳng thức

c b a

111

=+

Chứng minhrằng:

bc c

=++

9612

43

2 3 3

2 2

x y x x

x y

3

x

≤ ≤

;

Bài 6 Cho tam giác ABC Đường tròn (I) nội tiếp tam giác (với tâm I) tiếp xúc với cạnh BC,

CA, AB lần lượt tại D, E, F Đường thẳng ID cắt EF tại K, đường thẳng qua K và song songvới BC cắt AB, AC theo thứ tự tại M và N

1/ Chứng minh rằng tứ giác IFMK, IMAN nội tiếp

2 Gọi J là trung điểm của cạnh BC Chứng minh rằng ba điểm A, K, J thẳng hàng.

3/ Gọi r là bán kính đường tròn (I), cho Tính IEAF

S theo r và chứng minh:

≥ IEAF IMN

SS

thì được phép ghi thêm sốc a b ab= + + .

Hỏi bằng cách đó có thể ghi được các số 2001

và 11111 hay không?

ĐỀ SỐ 49 Bài 1 Với a, b, c là 3 số thực đôi một phân biệt, chứng minh rằng

a c

a c c b

c b b a

b a b

a a c

b a a c a

c c b

a c c b c

b b

a

c b b

a

−

++

−

++

+

−

−

++

+

−

−

++

))(

(

)2)(

2())(

(

)2)(

2())(

(

)2)(

phương trình

p x = −

không có nghiệm nguyên

Bài 3 Giải phương trình

+

=+

122

122

4 5

4 5

x y y

y x x

Bài 5 Hãy xác định số k > 0 bé nhất sao cho

Bài 6 Cho tam giác đều ABC cạnh a nội tiếp đường tròn (O) Ax là tia nằm giữa tia AB và

tia AC Ax cắt BC tại X và cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai la Y

1) Chứng minh rằng AX.AY = a2

2) Chứng minh rằng YB YC

XC XB YA

XA

=3) Tìm vị trí Ax để XA.YB.YC đạt giá trị lớn nhất

ĐỀ SỐ 59 Bài 1 Cho các số dương a, b, c thỏa mãn:

12

3 4 5

6 −x +x −x +x −x+ =

x

vô nghiệm

Bài 4 Cho x, y là các số thỏa mãn điều kiện:

a) Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD và BC Chứng minh rằng G1G2 // MN

24

G G H H

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Bài 8 Hãy xác định tất cả các cặp số nguyên dương (h, s) có tính chất sau: Nếu kẻ h đường

thẳng nằm ngang và s đường thẳng khác thỏa mãn tính chất

i) Không có đường nào nằm ngang

ii) Không có 2 đường nào trong chúng song song

iii) Không có bất kì 3 đường nào trong (h + s) đường thẳng trên đồng quy, thì số các

miền tạo thành bởi (h + s) đường thẳng này là 1992

ĐÁP ÁN

ĐỀ SỐ 39

Bài 1 Cho a, b, c là các số dương và thỏa mãn đẳng thức a b c

111

=+

Chứng minhrằng:

bc c

Nếu y≥1 thì từ A−5y =11879 có vế trái chia hết cho 5 nhưng vế phải không chia hết cho 5,

mâu thuẫn vậy y=0, ta có (2x+1 2) ( x+2 2) ( x+3 2) ( x+ =4) 11880 9.10.11.12=

Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x=0

Cách 2: Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số không âm,ta có

( )3

3x −4x ≥ −1 1+x

Đẳng thức ở (4) xảy ra khi và chỉ khi x=0

Bài 4 Giải hệ phương trình: 

=++

9612

43

2 3 3

2 2

x y x x

x y

2 = ⇒ y=

y

, cặp ( ) ( )x;y = 3;0

thoả mãnphương trình (2)

Vậy nghiệm của hệ đã cho là ( ) ( ) ( )x;y = 3;0, 2;1

Bài 5 Cho x, y, z là các số thực khác 0, thỏa mãn điều kiện

Khẳng định của bài toán đã được chứng minh

Bài 6 Cho tam giác ABC Đường tròn (I) nội tiếp tam giác (với tâm I) tiếp xúc với cạnh BC,

CA, AB lần lượt tại D, E, F Đường thẳng ID cắt EF tại K, đường thẳng qua K và song songvới BC cắt AB, AC theo thứ tự tại M và N

1/ Chứng minh rằng tứ giác IFMK, IMAN nội tiếp

2 Gọi J là trung điểm của cạnh BC Chứng minh rằng ba điểm A, K, J thẳng hàng

3/ Gọi r là bán kính đường tròn (I), cho Tính IEAF

S theo r và chứng minh:

≥ IEAF IMN

SS

4

Bài giải

IMK IFK Tư ùgiác IFMK nội tiếp

IN K IEK Tư ùgiác IKEN nội tiếp

2 IMN

2)11()11(1

21

2 1 1

2 1

1 2

1

2 1 1

2 2

+

≥+++++

⇔+

≥+

+

x x x

x x

x x

x

x x x

x x

x

2 1 2

1 2

1 2

1

1

2)

21()1

11

1)(

1

(

x x x

x x

x x

x

++

≥+

+++

21

11

1

2 1 2

x + + ≥ ++ 1+x1+x2 ≥1+2 x1x2(2)

thì được phép ghi thêm sốc a b ab= + + .

Hỏi bằng cách đó có thể ghi được các số 2001

và 11111 hay không?

Dãy các số được viết là 1, 2, 5, 11, 17, …

Dế dàng chứng minh được các số được viết thêm trên bảng đều chia cho 3 dư 2 Bất biến trêncho phép ta loại trừ số 2001 trong dãy các số viết được trên bảng Tuy nhiên, bất biến đókhông cho phép ta loại trừ số 11111 Ta đi tìm một bất biến khác Quan sát các số viết được

và quy tắc viết thêm số, ta có

c=a+b+ab⇒c+1 (= a+1)(b+1)

và nếu cộng thêm 1 vào các số thuộc dãy trên ta có dãy mới 2, 3, 6, 12, 18, …

Như vậy, nếu cộng thêm 1 vào các số viết thêm thì các số này đều có dạng2 3

a c

a c c b

c b b a

b a b

a a c

b a a c a

c c b

a c c b c

b b

a

c b b

a

−

++

−

++

+

−

−

++

+

−

−

++

))(

(

)2)(

2())(

(

)2)(

2())(

(

)2)(

Bài 2 Cho đa thức

phương trình

p x = −

không có nghiệm nguyên

Gọi a, b, c và d là 4 nghiệm nguyên khác nhau của phương trình p(x) = 1

(x

p

-2⇒ p(x)≠−1

với mọi x nguyên

Bài 3 Giải phương trình



− = ⇔ − = ⇔ = ⇔  = −

Thử lại thấy nghiệm x = -2 không thỏa mãn điều kiện, nghiệm x = 2 thỏa mãn phương trình

Bài 4 Giải hệ phương trình

+

=+

122

122

4 5

4 5

x y y

y x x

Nhận thấy vai trò a; b; c bình đẳng, cho a = b = c thay vào ta có

A

C M

N

X A'

a a

3

.34

Đến đây thì việc chứng minh rất đơn giản

Xem bài giảng Điểm rơi AM – GM – thầy Hồng Trí Quang phần BĐT phụ

1 1 4

a b+ ≥ a b

+

Bài 6 Cho tam giác đều ABC cạnh a nội tiếp đường tròn (O) Ax là tia nằm giữa tia AB và

tia AC Ax cắt BC tại X và cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai la Y

1) Chứng minh rằng AX.AY = a2

2) Chứng minh rằng YB YC

XC XB YA

1) Dễ thấy góc nội tiếp

BYA BCA= = ° = ABC

Vậy tam giác

).(

AX =

Suy ra

2 2.AY AB a

2) Sử dụng kết quả câu 1(

2.AY AB

2

BY

BX AY

AB AY

(đpcm)

3) Gọi R là bán kính của (O) Qua X vẽ đường kính MN của (O) Từ các góc nội tiếo bằng

nhau ta suy ra

).(

là nghiệm của hệ phương trình

Bài 8 Trong một trò chơi có 8 đấu thủ tham gia, ban đầu hai đấu thủ

1

P

và 2

Bài giảiGọi người thắng cuộc là N

Cứ mỗi trận trận thua, a ta phải đợi đến 6 trận tiếp theo mới đến lượt của mình trở lại thi đấu

Ta gọi x là số trận đấu trước khi N vào thi đấu trận đầu tiên, thì 0≤ ≤x 6

và gọi r là số trận

mà N thua, ta có r≥0

Để N là người thắng cuộc thì anh ta có tổng số 7 trận thắng Vậy tổng số trận là x+ +7r 7

Vì mỗi trận đi qua là một điểm được ghi, nên 37 điểm tổng cộng cũng có nghĩa là 37 trận đãdiễn ra

Bài 2 Tìm a sao cho phương trình

• Nếu a = 0 thì ∆ = − <4 0

Phương trình đã cho vô nghiệm

• Nếu a = 1 thì ∆ = − <7 0

Phương trình đã cho vô nghiệm

• Nếu a = 2 thì ∆ = 0 Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

2

22

là giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài 3 Chứng minh rằng phương trình

02

12

3 4 5

2

1()2

1(x3 − 2 + x− 2 +x4 −x5 >

Vậy phương trình vô nghiệm

Bài 4 Cho x, y là các số thỏa mãn điều kiện:

Trong trường hợp này phương trình đã cho không có nghiệm nguyêndương.

8

y= vào (3) ta thu được

2 8

z = (loại)

Tóm lại, phương trình đã cho có 2 nghiệm là

(2;1;1),(8;7;1)

Bài 7 Cho tứ giác ABCD có AC cắt BD tại O Gọi H1, H2 lần lượt là trực tâm các tam giác OAB, OCD G1, G2 lần lượt là trọng tâm các tam giác OAD, OBC Gọi S là diện tích của tứ giác H1G1H2G2

a) Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD và BC Chứng minh rằng G1G2 // MN

b) Chứng minh rằng 1 2

H H ⊥MN

Trước hết phát biểu và không chứng minh bổ đề sau:

BỔ ĐỀ: Cho tam giác ABC, A’B’C’ có

TRỞ LẠI BÀI TOÁN:

H1, H2 lần lượt là trực tâm của hai tam giác

OH =CD

Gọi M, N, K lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AD, BC, BD Vì G1, G2 lần lượt là

trọng tâm của các tam giác OAD,OBC Nên

Nên

1

.2

Bài 8 Hãy xác định tất cả các cặp số nguyên dương (h, s) có tính chất sau: Nếu kẻ h đường

thẳng nằm ngang và s đường thẳng khác thỏa mãn tính chất

iv) Không có đường nào nằm ngang

v) Không có 2 đường nào trong chúng song song

vi) Không có bất kì 3 đường nào trong (h + s) đường thẳng trên đồng quy, thì số các

miền tạo thành bởi (h + s) đường thẳng này là 1992

Bài giảiĐầu tiên ta xét s đường thẳng không nằm ngang, không song song Khi có 1 đường thẳng, ta dược 2 miền Đường thẳng thứ (k + 1) sẽ cắt k đường thẳng trước và bị chia thành (k + 1)

phần Mỗi phần này sẽ chia một miền cũ thành 2 miền, do vậy có thêm (k + 1) miền nữa tạo thành

Từ đó với s đường thẳng thì số miền tạo thành là

Điều này kéo theo tổng số các miền tạo thành là

*** Chúc các em thi tốt ***

The pen is mightier than the sword Bulwer Lytton