Đề thi học sinh giỏi lớp 10 môn Toán tỉnh Vĩnh Phúc (khối không chuyên) năm học 20112012

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O.. Gọi M, N, P lần lượt là điểm đối xứng của O qua các đường thẳng BC, CA, AB; H là trực tâm của tam giác ABC và L là trọng tâm tam giác M

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

——————

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 NĂM HỌC 2011-2012

ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho học sinh THPT không chuyên

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

————————————

Câu 1 (4,0 điểm).

1 Giải phương trình: x2  x 1 x2  x 1 2 x  

2 Giả sử phương trình bậc hai ẩn x ( m là tham số): 2   3  2

x  m xm  m  có hai nghiệmx1, x thỏa mãn điều kiện2 x1x2  Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu4

1 2 1 2 3 1 3 2 8

Px x x x x  x 

Câu 2 (1,5 điểm).

Giải hệ phương trình:

1

x y



Câu 3 (1,5 điểm).

Cho x y, là hai số thực dương thoả mãn điều kiện  2 2

x x y y  Tìm giá trị nhỏ nhất của P x y

Câu 4 (3,0 điểm).

1 Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O Gọi M, N, P lần lượt là điểm đối xứng của O qua các đường thẳng BC, CA, AB; H là trực tâm của tam giác ABC và L là trọng tâm tam giác MNP Chứng minh rằng OA OB OC     OH

và ba điểm O, H, L thẳng hàng.

2 Cho tứ giác lồi ABCD Giả sử tồn tại một điểm M nằm bên trong tứ giác sao cho

   

MABMBCMCDMDA Chứng minh đẳng thức sau:

cot

2 sin

AC BD





trong đó  là số đo góc giữa hai đường thẳng AC và BD.

3 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I Các đường thẳng AI, BI, CI lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại các điểm

    (M, N, P không trùng với các đỉnh của tam giác ABC) Tìm

tọa độ các đỉnh A, B, C biết rằng đường thẳng AB đi qua điểm Q1; 1 và điểm A có hoành độ

dương

—Hết—

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh………