ℳừng xuân Canh Dần 2010 Hàm sinh ⋇franciscokison⋇ Hàm sinh Kim Đình Sơn, 12A1,THPT Chuyên Vĩnh Phúc 1 Giới thiệu Xét dãy số và hàm số Khi đó đươcj gọi là hàm sinh cho dãy , ta n
Trang 1ℳừng xuân Canh Dần 2010 Hàm sinh ⋇franciscokison⋇
Hàm sinh Kim Đình Sơn, 12A1,THPT Chuyên Vĩnh Phúc
1 Giới thiệu
Xét dãy số( ) và hàm số
Khi đó ( ) đươcj gọi là hàm sinh cho dãy ( ) , ta nói hàm ( ) mang đầy đủ thông tin về dãy ( ) ∈ Hệ số của chính là số hạng của dãy.Nếu biết đặc điểm của hàm ( ) ta hoàn toàn có thể biết mọi số hạng của dãy một cách tổng quát Ví dụ dãy số thỏa mãn phương trình sai phân + + = 0 ta có hàm sinh cho dãy thỏa mãn
Hay
Nếu , là hai nghiệm của phương trình đặc trưng + + = 0 khi đó
(1 − )(1 − ) = (1 − )+(1 − )= (
∞
Từ đó suy ra số hạng tổng quát của dãy là : + , ≥ 0 Trong đó , xác định theo và
VÍ DỤ 1.Tìm công thức tổng quát cho dãy ( , ≥ 0) với = 1 và = + , ∀ ≥
1
Giải Xét ( )= ∑∝ , khi đó
( ) = + (
∞
∞
+
∞
1 − + ( ) Suy ra
Trang 2ℳừng xuân Canh Dần 2010 Hàm sinh ⋇franciscokison⋇
VÍ DỤ 2 Chứng minh rằng số
∞
Giải Dãy thỏa mãn = 0, = 1 và = + , ∀ ≥ 1 Đặt
∞
Xét hàm sinh ( )= ∑∝ , khi đó
( ) =
∞
−
=
−
∞
∞
1 − −
Để ý rằng hàm sinh cho dãy cũng chính bằng và = 0 = , = 1 =
. Suy ra = , ∀ Ta có điều cần chứng minh
VÍ DỤ 3 ( ℎ )
Chứng minh rằng
2
= 2 + 1
2 Các phép toán trên hàm sinh
Cho dãy , …và ( )là hàm sinh bởi dãy số đó Khi đó hàm sinh cho dãy , , … là
Tiếp theo, giả sử hai dãy { } à { } có hai hàm sinh lần lượt là A(x) và B(x) Khi đó
( ), ta có phép cộng
Nếu thêm đằng trước dãy , bằng số 0 thì ta có hàm sinh co dãy 0,0, … ,0, , , … chính
là ∑∞ = ( ), ta có phép nhân
Trang 3ℳừng xuân Canh Dần 2010 Hàm sinh ⋇franciscokison⋇
Bây giờ ta xét hàm ( )= ( ) ∙ ( ) = ∑∞ ∑ , đặt = ∑ Ta có hàm sinh cho dãy { } chính là hàm G(x) Ta gọi quy tắc này là “phép xoắn” hay quy tắc
“xoắn”(ta có hai dãy { } à { } ghép cặp từng số hạng như kiểu
.)
VÍ DỤ 4 Chứng minh rằng số cách chèn dấu ∗ vào tích của n+1 nhân tử là số
1 + 1 2
Giải Ta nhận thấy số cách chèn dấu ∗ vào giữa tích + 1 nhân tử là và giữa − nhân tử còn lại là Do đó
=
Xét hàm sinh
( ) =
∞
= 1 +
∞
Khi đó ( )− 1 = ∑∞ = ∑∞ ∑ , theo quy tắc xoắn ta có
( ) − 1 = ( ) Suy ra
( ) = 1 − √1 − 4
2
Ta có
1 2
∞
(−4 )
=
1
2∙
1
2− 1
1
2− 2 …
1
2− + 1
!
∞
(−4 )
( − 1)! ( − 1)!
∞
+ 1 2
∞
Trang 4ℳừng xuân Canh Dần 2010 Hàm sinh ⋇franciscokison⋇
VÍ DỤ 5 Chứng minh đẳng thức sau đúng với mọi số nguyên dương , ,
+
=
−
VÍ DỤ 6 Cho dãy { } xác định bởi = 1 à + + ⋯ + = 1 Tìm công thức tổng quát cho
3 Xây dựng hàm sinh
Để biết thông tin về một dãy số ta xét hàm sinh cho dãy số đó Đối với các bài toán đòi hỏi công thức tường minh cho số hạng của dãy hoặc chứng minh đẳng thức về dãy tức là ta chỉ cần
“nắm bắt về một thông tin “( quan trọng) về dãy, khi đó ta chỉ cần xét hàm sinh cho một biến Vậy thế nào là “thông tin”? Ta sẽ gán cho mỗi một thông tin ứng với một biến Ví dụ, với một
phần tử của dãy ta có hai lựa chọn là hoặc được chọn hoặc là nó không được chọn, do đó biểu diễn hàm sinh cho là + = 1 + như vậy ta có hàm sinh cho dãy gồm phần tử được chọn là (1 + ) Ở đây thông tin là sự xuất hiện của phần tử trong dãy
VÍ DỤ 7( 2003) Có bao nhiêu số có chữ số từ tập hợp {2,3,7,9} và chia hết cho 3?
Giải Ta có một số chia hết cho 3 nếu và chỉ nếu tổng các chữ số của nó chia hết cho 3 Như vậy
yêu cầu bài toán tương đương với việc tìm số các số có chữ số mà tổng các chữ số của nó chia hết cho 3 Ta có mỗi chữ số của số thỏa mãn có giả trị là một trong các số 2,3,7 ℎ ặ 9 Do đó hàm sinh cho mỗi chữ số sẽ là + + + Xét hàm sinh 1
Trong đó là số các số có chữ số từ {2,3,7,9} mà có tổng các chữ số là
Xác định = / là nghiệm nguyên thủy bậc ba của Unity ( phương trình = 1), ta có
≠ 1 à 1 + + = ( − 1)/( − 1) = 0 Khi đó
ℱ(1) = + + + + + ⋯
Khi đó
Trang 5ℳừng xuân Canh Dần 2010 Hàm sinh ⋇franciscokison⋇
ℱ(1) + ℱ( ) + ℱ( ) = 3 + (1 + + ) + (1 + + ) + 3 + ⋯
= 3( + + + ⋯ ) = 3 Vậy ta có các số cần tính là
= 1
3 ℱ(1) + ℱ( ) + ℱ( )
=1
3((1 + 1 + 1 + 1) + ( + 1 + + 1) + ( + 1 + + 1) ) =1
3(4 + 2) _
1
Nói thêm về hàm sinh.Như ở phần 1 đã giới thiệu, khi ta cần biết chính xác công thức của dãy, thông thường ta chỉ tính được hệ số hoặc giá trị của hàm sinh tại điểm nào đó (như thế là quá đủ).Cũng vậy ta đưa số các đại lượng cần tính về việc tính hệ số của hàm sinh Tuy nhiên đối với
ví dụ 7 lại khác Đại lượng cần tính lại là tổng của vài số hạng nào đó của dãy, do đó loại hàm sinh ta cần xét là dãy các số mũ trong hàm sinh Như vậy, ta có hai lọai hàm sinh thường gặp( ứng với một biến –một thông tin) loại thứ hai là
Trong đó dãy ( ) ∈ là dãy hữu hạn hoặc vô hạn
VÍ DỤ 8 Cho các số nguyên dương phân biệt , , … , , , , … , , với ≥ 2 thỏa mãn + |1 ≤ < ≤ = + |1 ≤ < ≤ Chứng minh rằng là một lũy thừa của 2
Giải Xét hai hàm sinh
Và
ta có
( ) − ( ) = ( ) − ( ) Hay ( ) − ( ) = ( ) − ( ) Mặt khác (1) = (1) = nên ta có thể viết
( ) − ( ) = ( − 1) ( ), (1) ≠ 0 Dođó( − 1) ( ) ( ) + ( ) = ( − 1) ( ),i.e,
Trang 6ℳừng xuân Canh Dần 2010 Hàm sinh ⋇franciscokison⋇ Với = 1, ta có 2 = 2 hay = 2 Vậy là một lũy thừa của 2
Ngoài ra, việc xây dựng hàm sinh không chỉ dựa trên một biến (vì một biến chỉ cho ta một thông tin duy nhất!) Đối với những bài toán đòi hỏi nhiều thông tin ta cần xét hàm sinh với nhiều biến hơn Nhưng trước khi đến với các ví dụ đo ta hãy xét bốn định lý cơ bản sau
4 Định lý
Trong ví dụ 7, ta đã thấy một phương pháp giải các bài toán dạng này có sự kết hợp với số phức
để tính (như một bài báo của thầy Đặng Hùng Thắng trên tạp chí Toán học & Tuổi trẻ: “dùng cái
ảo đếm cái thực”)
ĐỊNH LÝ 1 Xác định = / với là một số nguyên dương Khi đó mọi đa thức
Trong đó được xác định là nếu > ℱ Ta có tổng
n ℱ(1) + ℱ( ) + ⋯ + ℱ( ) Chứng minh Ta xét chứng minh dựa vào các tổng = 1 + + ⋯ + ( ) Nếu chia hết , khi đó = 1 nên = Trong trường hợp khác ta có ≠ 1 và =
= 0 Ta có
Định lý được chứng minh
VÍ DỤ 9 ( 1995 6) Cho là một số nguyên tố lẻ Tìm số các tập con của tập {1,2,3, … } thỏa mãn
(i) có đúng phần tử và
(ii) Tổng tất cả các phần tử của chia hết cho
Giải Bài toán trên có hai thông tin cần biết: số các phần tử của tập hợp và tổng các phần tử của tập hợp Đến đây ta có hai hướng giải như sau
Hướng 1 Rõ ràng với mỗi , 1 ≤ ≤ 2 ta không thể góp vào nó với hàm + = 1 + vì tích
1 +
Không thể hiện được tập có đúng p phần tử Vì thế ta phải xét hàm sinh
Trang 7ℳừng xuân Canh Dần 2010 Hàm sinh ⋇franciscokison⋇
( , ) = (1 + )(1 + ) … (1 + ) = ,
,
Trong đó , là số các tập con của {1,2,3, … } thỏa mãn (i)| | = 2 − và (ii) ( ) =
Vì vậy ta cần tính = ∑ | , Đặt = / là nghiệm nguyên thủy của Unity và
= { , , … , , = 1}
Ta sẽ tính tổng ∑ ∈ ∑ ∈ ( , ) theo hai cách
Đầu tiên ta có ∑ ∈ ( , )= ( , 1) + ∑ ∈ \{ } ( , ) = ( , 1) + ∑ , Ta có ( , 1) = ( + 1) Mặt khác với mọi ≢ 0 ta có {1,2, … , } = {1 ⋅ , 2 ⋅ , … , ∙ }
Do đó
Hay
Xét ( )= ( − )( − ) … ( − ) = − 1, ta có (− ) = (−1) ( + )( + ) … ( + ) = −( + 1) suy ra
( , )
∈
= ( + 1) + ( − 1)( + 1)
( , )
∈
∈
= [( + 1) + ( − 1)( + 1) ]
∈
= ( + 1)
∈
+ ( − 1) ( + 1)
∈
∈
∈
+ 4 ( − 1)
∈ , ,
+ 4 ( − 1) = 2 + 2 + 4 ( − 1)
= 2 + 4 − 2 (†)