chương 1 bài tập toán cao cấp

Phép thế 1 Xác định các phép thế của một tập hợp Bài 1.. Quan hệ: Dựa vào định nghĩa và tính chất của từng loại quan hệ: Quan hệ tương đương thỏa các tính chất phản xạ, đối xứng, bắt cầ

Chương 1 TẬP HỢP – ÁNH XẠ - QUAN HỆ - SỐ PHỨC

_

Chú ý: Sinh viên có thể tham khảo thêm các dạng bài tập khác trên các tài liệu khác và trên

website: http://www.linear.aglebra1.wikispaces.com

I Chứng minh một đẳng thức về tập hợp:

Để chứng minh tập hợp A bằng tập hợp B ta cần chứng minh A⊂Bvà B⊂ A, hay

∀ ∈ ⇒ ∈ và ngược lại

Ví dụ:

Cho X, A, B là các tập hợp, chứng minh rằng: X \ (A ∪ B) = (X \ A) ∩ (X \ B)

Hướng dẫn:

\

\

x X

x B

∈



⇒ ∈x ( \ ) ( \ )X A ∩ X B

Do đó X A B\ ( ∪ ⊂) ( \ ) ( \ )X A ∩ X B (1)

\

Suy ra, ( \ ) ( \ )X A ∩ X B ⊂ X \ (A B∪ )(2)

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.

Bài 1 Chứng minh với mọi tập A, B, C ta luôn có:

a) A A B\ ( \ )= ∩A B;

b) A∩( \ ) (B C = A B∩ ) \ (A C∩ );

c) ( \ ) ( \ )A B ∪ A C = A B C\ ( ∩ );

d) ( \ ) ( \ ) (A B ∪ B A = A B∪ ) \ (A B∩ );

e) A∩( \ )B A = ∅;

f) A B\ =A A B\ ( ∩ ) (= A B B∪ ) \ .

Hướng dẫn:

\

Suy ra, A A B\ ( \ )⊂ ∩A B

Bao hàm thức còn lại chứng minh tương tự

Vậy, A A B\ ( \ )= ∩A B

Các câu còn lại sinh viên chứng minh tương tự

Bài 2: Các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

a) A\ ∅ =A;

b) ( \ ) \A B C=A B C\ ( \ );

c) A∩( \ ) (B C = A B∩ ) \ (A C∩ ).

Hướng dẫn:

Sinh viên dựa vào các phép toán trên tập hợp Có thể vẽ biểu đồ Venn để minh họa

Đối với đẳng thức sai có thể chỉ ra phản ví dụ

Bài 3: Chứng minh rằng:

a) (A B∩ ×) (C∩D) (= A C× ) (∩ ×B D);

b) A× ∩(B C) (= A B× ∩ ×) (A C)

c) A× ∪(B C) (= A B× ∪ ×) (A C)

d) A×( \ ) (B C = A B× ) \ (A C× )

e) (A C× ) (∩ ×B D) (= A B∩ ×) (C∩D)

Hướng dẫn:

( , )

( , )

x A

y C

∈



Bao hàm thức ngược lại chứng minh tương tự

Suy ra, A× ∩(B C) (= A B× ∩ ×) (A C).

- Các câu còn lại sinh viên làm tương tự

II Phép thế

1) Xác định các phép thế của một tập hợp

Bài 1 Tìm tất cả các phép thế của mỗi tập sau và xác định dấu của mỗi phép thế:

a)X3 ={1, 2,3}

b)X4 ={1, 2,3, 4}

Hướng dẫn:

Dựa vào định nghĩa của phép thế là một hoán vị của các phần tử của tập hợp Số các phép thế của tập có n phần tử là n!

a) Ta có các phép thế sau:

π = ÷π = ÷π = ÷π = ÷π = ÷π = ÷

b) Sinh viên làm tương tự

Bài 2 Cho X là tập hợp có n phần tử Hỏi có thể lập được tổng cộng bao nhiêu phép thế?

Trong đó, có bao nhiêu phép thế chẵn? Phép thế lẻ?

Cho ví dụ khi n bằng 5

2) Các phép toán trên phép thế:

Bài 1 Cho các phép thế sau:

6 5 4 3 2 1

1 2 3 4 5 6

4 1 3 6 5 2

1 2 3 4 5 6

3 4 1 2 6 5

a) Tính σµvà ϖµ

b) Với mỗi phép thế trên hãy xác định dấu của nó, tìm phép thế nghịch đảo và dấu của phép thế nghịch đảo đó

Hướng dẫn:

Tích hai phép thế thực chất là tích của hai ánh xạ

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6

Câu còn lại làm tương tự

b) Dựa vào định nghĩa dấu của phép thế

Ta có 1 2 3 4 5 6 (1 6) 2 5 3 4( ) ( )

6 5 4 3 2 1

  Do đó, số nghịch thế của σ là số lẻ nên đây là phép thế lẻ, dấu của phép thế này bằng -1

- Các câu còn lại làm tương tự

Bài 2 Xác định dấu của các phép thế sau:

2 3 1

1 2 3 4

3 2 4 1

1 2 3 4 5

2 1 5 3 4

  d)

1 2 3 4 5

4 3 2 5 1

Hướng dẫn:

- Tìm số nghịch thế từ đó suy ra dấu của phép thế

Bài 3: Tính 2 2 1

σπ πσ σ π σπ− trong các trường hợp sau:

Hướng dẫn:

Tính π− 1thực chất là lấy nghịch ảnh của phép thế πvà σ2là tích hai ánh xạ σ

Ta có

;

Các câu còn lại làm tương tự

III Quan hệ:

Dựa vào định nghĩa và tính chất của từng loại quan hệ: Quan hệ tương đương (thỏa các tính chất phản xạ, đối xứng, bắt cầu); Quan hệ thứ tự (thỏa các tính chất phản xạ, phản xứng, bắt cầu)

Ví dụ:

1) Trong tập N N× xác định quan hệ hai ngôi R như sau:

∀ (a, b) , (c, d) ∈N N× : (a, b) R (c, d) ⇔ a + d = b + c

Chứng minh rằng R là quan hệ tương đương

2) Cho F là tập hợp các hàm số thực liên tục trên [a, b], xét xem quan hệ sau trên F có là

quan hệ thứ tự không:∀f g F f, ∈ : R g ⇔ f x( )≤g x( ),∀ ∈x [ , ]a b

Hướng dẫn:

1) ∀ (a, b) ∈ N N× : a + b = b + a ⇒ (a, b) R (a, b)

∀ (a, b), (c, d) ∈ N N× :(a, b) R (c, d) ⇒ a + d = b + c

⇒ c + b = d + a ⇒ (c, d) R (a, b)

∀ (a, b), (c, d) , (e, f ) ∈ N N× : ( , ) ( , )

( , ) ( , )

⇒ + + + = + + + ⇒ + = + ⇒ (a, b)R (e, f)

Do đó R là quan hệ tương đương

2) ∀ ∈f F f x: ( )≤ f x( ),∀ ∈x [ , ]a b

, : ( ) ( ), [ , ] ( ) ( ), [ , ]

≤

≤

R R

, , : ( ) ( ), [ , ] ( ) ( ), [ , ]

≤

≤

R R

Do đó ℜ là quan hệ thứ tự trên F.

Bài 1 Ký hiệu N∗chỉ tập hợp số tự nhiên khác không, trong tập N N× ∗xác định quan hệ hai ngôi R như sau:

∀ (a, b) , (c, d) ∈N N× ∗: (a, b) R (c, d) ⇔ ad = bc

Chứng minh rằng R là quan hệ tương đương

Hướng dẫn:

∀ (a, b) ∈ N N× ∗: ab = ba ⇒ (a, b) R (a, b)

∀ (a, b), (c, d) ∈ N N× ∗:(a, b) R (c, d) ⇒ ad = bc

⇒ cb = da ⇒ (c, d) R (a, b)

∀ (a, b), (c, d) , (e, f ) ∈ N N× ∗: ( , ) ( , )

( , ) ( , )

Nếu a, c, e đều khác 0 thì ta có adcf =bcde⇒af =be⇒ (a, b)R (e, f)

Nếu trong a, c, e có một số bằng 0, giả sử a = 0 thì: a = 0 ⇒ ad = 0

⇒ bc = 0 ⇒ c = 0 ⇒ cf = 0 ⇒ e = 0 ⇒ af = be ⇒ (a, b)R (e, f)

Do đó R là quan hệ tương đương

Bài 2: Trên tập số thực ¡ cho quan hệ T như sau: aTb nếu a2 =b2 Chứng minh T là một

quan hệ tương đương

Hướng dẫn:

2 2

:

2 2 2 2

∀ ∈¡ = ⇔ = Suy ra nếu aTb thì bTa.

2 2

2 2

2 2

 =



=



¡ Suy ra nếu aTb và bTc, thì aTc.

Vậy tập số thực ¡ cho quan hệ T như trên là một quan hệ tương đương

Dựa vào các ví dụ và bài tập trên, sinh viên làm tương tự các bài tập sau

Bài 3 Cho X là tập các điểm trong khơng gian và O là một điểm cố định của X Trong X ta

xác định quan hệ R như sau:

PR P’ khi và chỉ khi O, P, P’ thẳng hàng.

a/ R cĩ phải là quan hệ tương đương trong X hay khơng?

b/ R cĩ phải là quan hệ tương đương trong X\{O} hay khơng?

Hướng dẫn:

a) Khơng phải là quan hệ tương đương vì khơng thỏa mãn tính chất bắt cầu

b) ∀ ∈A X \{ }O : O, A, A thẳng hàng nên AR A.

{ }

∀ ∈U\ R ⇔ O, A, B thẳng hàng ⇔ O, B, A thẳng hàng ⇔BR A

, ,

R R

thẳng hàng thuộc đường thẳng OB

⇒ O, A, C thẳng hàng ⇒ AR C

Bài 4 Trong tập các số nguyên ¢xác định các quan hệ R và T như sau:

a R b khi và chỉ khi a + b lẻ

a T b khi và chỉ khi a + b chẵn.

Hãy xét xem các quan hệ trên cĩ những tính chất gì?

Hướng dẫn:

Kiểm tra xem các quan hệ R , T cĩ thỏa những tính chất của quan hệ tương đương khơng?

Bài 5 Cho tập X ≠0 Trên tập P X( )các tập con của X xác định các quan hệ P, Q, R, S như sau:

P B

A

⇔ ∪ =

⇔

Hãy xét xem những quan hệ trên cĩ những tính chất gì?

Hướng dẫn:

Kiểm tra các quan hệ nêu trên cĩ thỏa các tính chất của quan hệ thứ tự khơng?

IV Ánh xạ:

1 Kiểm tra tính chất đơn ánh, tồn ánh, song ánh

Dựa vào định nghĩa và các tính chất của đơn ánh, tồn ánh, song ánh

Ví dụ:

Cho ánh xạ f :R→R với f x( )= − +x2-5x 3=, xét xem f cĩ là tồn ánh khơng? f cĩ là đơn

ánh khơng? Vì sao?

Hướng dẫn:

- Chọn y = –5 ∈R0thì phương trình x2-− + = −5x 3= =5 vô nghiệm, do đó f không là toàn ánh

- Chọn y = 3 ∈R0thì phương trình x2-− + =5x 3 3= có 2 nghiệm phân biệt, do đó f không là

đơn ánh

Bài 1 Trong các ánh xạ từ X vào Y sau, ánh xạ nào là đơn ánh, toàn ánh, song ánh Trong

trường hợp song ánh, hãy tìm ánh xạ ngược

a X =¡ ,Y =(0, ), ( )π f x =arccotx

b X = [1; 2], Y = [1;7], f x( )=x2+3x−3

c X = =Y ¡ , ( ) 3f x = x−4 | |;x

1

x

+ +

¡

e X = (-1; 0) , ( ) ln 1

1

x

x

+

=¡ =  − ÷

Hướng dẫn:

b) Ta có f’(x) = 2x +3

Dựa vào bảng biến thiên của hàm f(x) trên đoạn [1, 2] ta thấy f(x) là hàm đơn điệu tăng và nhận giá trị biến thiên thuộc đoạn [1;7] do đó, f(x) là song ánh.

Khi đó, 1 3 21

( )

f− x = − + x+

- Các câu còn lại sinh viên làm tương tự

2 Chứng minh một đẳng thức về ánh xạ:

Ví dụ:

Cho ánh xạ f : X → Y, A và B là các tập con của X Chứng minh:

a) f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B)

b) Bao hàm thức ngược lại không đúng

Hướng dẫn:

a) ∀ y ∈ f (A ∩ B): y ∈ f (A ∩ B) ⇒∃ x ∈ A ∩ B : y = f (x)

b) Xét ánh xạ f : R→R, f (x) = 1 với mọi x ∈ R; A = {–3, 0}, B = {2, 5}

Khi đó A ∩ B = ∅ nên f (A ∩ B) = f (∅) = ∅ nhưng f (A) ∩ f (B) = {1} tức là không có

f (A) ∩ f (B) ⊂ f (A ∩ B)

Bài 1 Cho f X: →Y là ánh xạ, A và B là các tập con của X, C và D là các tập con của Y

Chứng minh:

1 1 1

⊃

=

Hướng dẫn:

a) Lấy y∈ f A B( ∪ )khi đó, tồn tại x A B∈ ∪ sao cho y= f x( ) Khi đó,

Suy ra, f A B( ∪ )⊂ f A( )∪ f B( )

Bao hàm thức còn lại chứng minh tương tự

Vậy có, f A B( ∪ )= f A( )∪ f B( )

- Các câu còn lại sinh viên làm tương tự

Bài 2 Giả sử f X: →Y là ánh xạ và A⊂X B; ⊂Y Chứng minh:

a) f−1( ( ))f A ⊃A và f f( −1( ))B ⊂B;

b) f− 1( ( ))f A =A, với mọi A⊂X khi và chỉ khi f là đơn ánh

c) f f( −1( ))B =B, với mọi B⊂Y khi và chỉ khi f là toàn ánh.

Hướng dẫn:

Dùng định nghĩa nghịch ảnh của hàm số để chứng minh các bao hàm thức

Lấy y∈ f f( − 1( ))B , khi đó có x∈ f− 1( )B để y= f x( ) Mặt khác,

1( ) ' : ' ( )

x∈f− B ⇒ ∃ ∈y B y = f x Nhận thấy y’ = y suy ra, y B∈ ⇒ f f( − 1( ))B ⊂B

Bài 3 Cho A ⊂ X, hàm đặc trưng của A là χA: X → {0, 1} xác định bởi ( ) 1

0

A

khi x A x

khi x A

∈





Chứng minh nếu A ⊂ X, B ⊂ X thì χA ∩ B(x) = χA (x).χ B(x) với mọi x ∈ X

Hướng dẫn:

Với x tùy ý thuộc X thì x ∈ A ∪ B hay x ∉ A ∪ B

Nếu x ∉ A ∪ B thì x ∉ A ∩ B, x ∉ A, x ∉ B ⇒χA ∩ B(x) = 0 =χA (x).χ B(x)

Nếu x ∈ A ∪ B thì có các trường hợp sau:

 x ∈ A ∩ B: khi đó χA ∩ B(x) = 1 =χA (x).χ B(x)

 x ∈ A \ B: khi đó χA ∩ B(x) = 0 =χA (x).χ B(x)

 x ∈ B \ A: khi đó χA ∩ B(x) = 0 =χA (x).χ B(x)

3 Tìm ảnh và nghịch ảnh của một hàm số trên một tập hợp:

Bài 1: Cho ánh xạ f :¡ →¡ bởi f x( )= −x3 24x+2

a) Xác định f( )¡ ;

b) Cho A = [-1; 1], xác định f− 1( )A

Hướng dẫn:

Có thể khảo sát hàm số để tìm tập giá trị và nghịch ảnh của một hàm số trên một tập hợp a) Ta có: f( )¡ =¡

b) Sinh viên tự làm như bài tập nhỏ

Bài 2:

V Số phức:

1 Tính các biểu thức của số phức:

Dùng các công thức tính phép cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa số phức và đưa về dạng lượng giác

Ví dụ:

Tính các biểu thức:

5

3

3

(1 )

d

(1 )

i

i

i

i n

+

+

−

∈¢

Hướng dẫn:

i Cos=  π +i  π ⇒ =i Cos π +i  π 

Các câu còn lại sinh viên tự làm

Bài 3 Tìm dạng lượng giác của số phức sau:

a) 5;

b) – 2;

c) -3i;

d) 1 + i;

e) 1 – i;

i

i

−

− +

Hướng dẫn:

Muốn tìm dạng lượng giác của một số phức cần tìm r và góc ϕ.

d) Ta có: 1 2 1 1 2 cos sin

Các câu còn lại sinh viên làm tương tự

Bài 4 Biến đổi về dạng lượng giác để tính các biểu thức sau:

150 30

24

3

d) 1

i

i

i

i

+

+

+

e)

12

1

i

i

Hướng dẫn:

Đưa về dạng lượng giác rồi áp dụng công thức Moivre để nâng lên lũy thừa

a) Ta có 1 2 1 1 2 cos sin

Suy ra, ( )1000 ( )1000 1000 1000 ( )1000( )

Các câu còn lại sinh viên làm tương tự

2 Giải các phương trình lượng giác:

Ví dụ:

1) Tìm các số thực x, y thỏa mãn phương trình sau:

a (2+i x) + +(1 2 )i y= −1 4 ;i

b (3 2 )+ i x+ +(1 3 )i y= −4 9 i

Hướng dẫn:

a) Ta có:

2x + y + i(x + 2y) = 1 -4i

Suy ra, 2x x y+ =2y 14 x y=2 / 31/ 3

⇔

b) Làm tương tự

2) Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho (1 – i ) n là một số dương

Hướng dẫn:

Ta có: 1 – i = 2 cos sin

  nên (1 – i )

i

Để thỏa yêu cầu bài toán, phải có:

4

n

n

π

Do đó n = 8.

Bài 1:Hãy giải các phương trình sau trên £

2

2

2

2

=

= −

= −

Bài 2: Tính

2010

2010 1

z

z

  +  ÷  biết rằng z 1 1

z

+ =

Hướng dẫn:

2

z

Do đó z2010 = cos2010 sin2010 cos 670 sin 670 1

1

z

z

 

 

Bài 3: Cho k là số thực,

a) Tính 2

1

ki z

+

= + − (viết kết quả dưới dạng đại số)

b) Tìm k sao cho z là số thực, là số thuần ảo.

Hướng dẫn:

a)

2

1

ki z

i

b) Vì 21 0

1

+ với mọi k nên không có giá trị k nào để z là số thực.

Khi k = 0 thì z là số thuần ảo.

Bài 4: Cho a, b là các số thực, tìm x và y sao cho (x + ai)(b + yi) = 4 + 3i

Hướng dẫn: Áp dụng phép toán trên số phức khai triển vế trái, áp dụng tính chất hai số phức

bằng nhau đưa về giải và biện luận một hệ phương trình với hai ẩn x, y

Bài 5: Giải phương trình sau trong tập hợp số phức:

3

1

z i

i z

+

 − ÷

Điều kiện: z ≠ 1

Đặt u = z i

i z

+

− , ta có phương trình u3 = 1

1

2

2

u

i u

i u



 =



− +



⇔ =



=



* Với u = 1 thì z = 0

* Với u = 1 3

2

i

− + thì 1 3

2

i z

+ = − +

* Với u = 1 3

2

i

− − thì 1 3

2

i z

+ = − −

3 Biểu diễn hình học của một tập hợp số phức:

Ví dụ:

Cho hai số phức z, z'

a) Chứng minh rằng | z + z'|2 + | z – z'|2 = 2(|z|2 + |z'|2)

b) Giải thích ý nghĩa hình học của đẳng thức trên

Hướng dẫn:

a) Giả sử z = x + iy , z' = x' + iy', khi đó:

| z + z'|2 + | z – z'|2 = (x + x' )2 + (y + y' )2 + (x – x' )2 + (y – y' )2

= 2x2 + 2x'2 + 2y2 + 2y'2 = 2(|z|2 + |z'|2)

b) Gọi các điểmM x y M x y( , ), '( ', ') lần lượt là biểu diễn hình học của các số phức z = x + iy,

z' = x' + iy'

8

6

4

2

-2

-4

-6

O

M

M'

N

Ta có OMuuuur=( , )x y , OMuuuur' ( ', ')= x y ,

OM OMuuuur uuuuur uuur uuur+ =ON ON = +x x y y+ , OM OMuuuur uuuuur uuuuuur uuuuuur− '=M M M M' , ' = −(x x y y', − ')

Ý nghĩa hình học của đẳng thức: trong hình bình hành tổng bình phương hai đường chéo

bằng tổng bình phương các cạnh

Bài 1: Cho số phức z = a + ib (a, b là số thực) Tìm điều kiện của a, b để điểm biểu diễn của z nằm trong đường tròn tâm O, bán kính 2

Hướng dẫn: Gọi M(a, b) là điểm biểu diễn của z M nằm trong đường tròn tâm O, bán kính

2 khi và chỉ khi a2 + b2 < 4

Bài 2: Biểu diễn hình học các số phức z thỏa các điều kiện sau:

a) | z – 2| = 2

b) | z + 1| + | z – 1| = 4

Hướng dẫn:

a) Gọi M(x, y) là biểu diễn hình học của số phức z, I(2, 0) là biểu diễn hình học của số phức

z 1 = 2

Khoảng cách từ điểm M đến điểm I (cố định) luôn bằng 2 nên tập hợp các điểm M chính là tập hợp các điểm thuộc đường tròn tâm I bán kính 2

Sinh viên vẽ hình minh họa

b) Gọi M(x, y) là biểu diễn hình học của số phức z, A(–1, 0) là biểu diễn hình học của số

phức z1 = –1, B(1, 0) là biểu diễn hình học của số phức z2 = 1

Tổng khoảng cách từ điểm M đến 2 điểm cố định A, B luôn bằng 4 nên tập hợp các điểm M

chính là tập hợp các điểm thuộc ellipse(E)

(E) có hai tiêu điểm là A, B ; nửa trục lớn là a = 2; tiêu cự 2c = AB = 2; nửa trục nhỏ

2 2 4 1 3

b= a −c = − = , do đó phương trình của (E) là 2 2 1

x + y = Sinh viên vẽ hình minh họa

Bài 3: Biểu diễn trên mặt phẳng phức các tập hợp sau:

a { | | 3};

z z

=

3

4

− ≤ − − <

Hướng dẫn:

Sinh viên làm tương tự như bài 2

BÀI TẬP CỦNG CỐ:

1) Cho A, B là các tập hợp, chứng minh rằng:

a) (A \ B) ∪ B = A ∪ B

b) Tìm điều kiện để (A \ B) ∪ B = A.

2) Cho các phương trình g x( ) 0= , h x( ) 0= với g x h x( ), ( ) là các đa thức hệ số thực Gọi

A1, A2, B lần lượt là các tập hợp nghiệm của các phương trình g x( ) 0= , h x( ) 0= ,

2( )+ 2( ) 0=

g x h x Chứng minh rằng A1∩ A2 = B.

3) Cho F là tập hợp các hàm số thực liên tục trên [a, b], xét xem quan hệ sau trên F có là

quan hệ thứ tự không:∀f g F f S g, ∈ : ⇔max[a,b] f ≤max[a,b]g

4) ChoUlà tập hợp các điểm trong mặt phẳng, O là một điểm cố định trong U Trong U

xác định quan hệ hai ngôi R như sau: ∀A B, ∈U:AR B⇔ O, A, B thẳng hàng Xét xem R có

là quan hệ tương đương không

5) Giả sử X∆là tập hợp các tam giác, 0

X là tập hợp các đường tròn trong mặt phẳng

a) Quy tắc cho tương ứng mỗi tam giác với đường tròn ngoại tiếp tam giác đó có phải là ánh xạ từ X∆đến X0không? Tại sao?

b) Quy tắc cho tương ứng mỗi đường tròn với tam giác nội tiếp trong nó có phải là ánh

xạ từ 0

X đến X∆không? Tại sao?

6) Cho tập X gồm m phần tử, tập Y gồm n phần tử Tìm số ánh xạ có thể có từ X đến Y.

Hướng dẫn:

Giả sử X = { x1, x2, …, xm} và Y = { y1, y2, …, yn} Khi đó phần tử xi bất kỳ trong X có n

cách chọn ảnh, suy ra số ánh xạ có thể có từ X đến Y là n m

Sinh viên có thể cho ví dụ với các giá trị cụ thể của m và n

7) Giải phương trình sau trong tập số phức C: (z + 1)6 – 2 = 0

8) Tìm số phức z thỏa: z2 +2z =0

Hướng dẫn: Đặt z x iy= + ⇒ = −z x iy, thay vào phương trình giải hệ tìm được 4 nghiệm (0, 0) , (–2, 0) , (1, ) , (1, –) ,

Do đó có 4 số phức thỏa đkbđ: z1 = 0 ; z2 = –2 ; z3 = 1 + i ; z4 = 1 – i

9) Tính n 1

n

z

z

+ biết rằng z 1 2cos

z

+ = α, n là số nguyên khác không, α là số thực

10) Biểu diễn hình học các số phức z thỏa các điều kiện sau:

a) | z – 2| = 2

b) | z + 1| + | z – 1| = 4

11) Tìm số nghịch thế của phép thế sau, từ đó suy ra đâu là phép thế chẵn, đâu là phép thế lẻ:

5 3 2 4 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 9 6 3 2 5 4 7 8

1 1

n

n n

12) Cho π là một phép thế thuộc S n, chứng minh rằng sign( ) sπ = ign(π− 1)

13) Cho A ⊂ X, hàm đặc trưng của A là χA: X → {0, 1} xác định bởi ( ) 1

0

A

khi x A x

khi x A

∈



Chứng minh rằng nếu A ⊂ X, B ⊂ X thì χA ∪ B(x) = χA (x) + χ B(x) – χA ∩ B(x) với mọi x ∈

X