Bài tập toán cao cấp Tập 1 part 6 pdf

c´onghiˆe.m duy nhˆa´t v`a c´o thˆe’ t`ım theo cˆong th´u.c Cramer... Tiˆe´p theo ta tr`ınh b`ay nˆo.i dung cu’a phu.o.ng ph´ap Gauss.. Nˆo.i dung cu’a phu.o.ng ph´ap Gauss l`a nhu.. cˆa

Gia’i 1) Lˆa.p ma trˆa.n mo’ rˆ. o.ng v`a thu c hiˆe.n c´ac ph´ep biˆe´n dˆo’i:



. (DS x1= x2 = x3 = 1)

(DS x = 0, x = 1, x = −1, x = 2)

(DS x1 = −19, x2 = 26, x3 = 11, x4 = −5)

12.

3x1+ x2− x3+ x4 = 0, 2x1+ 3x2 − x4 = 0,

x1+ 5x2− 3x3 = 7, 3x2+ 2x3+ x4 = 2,

(DS x1 = 1, x2 = −1, x3 = 2, x4 = −2, x5 = 0)

14.

x1+ x2+ 4x3+ x4− x5 = 2,

x1− 2x2 − 2x3 + 3x5 = 0, 4x2 + 3x3− 2x4+ 2x5 = 2, 2x1 − x3+ 3x4− 2x5 = −2, 3x1+ 2x2 − 5x4+ 3x5 = 3.

4.2 Hˆ e t` uy ´ y c´ ac phu.o.ng tr`ınh tuyˆ e´n t´ınh

Ta x´et hˆe t`uy ´y c´ac phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh gˆo` m m phu.o.ng tr`ınh v´o.i

n ˆa’n

a11x1+ a12x2+ · · · + a 1n x n = b1,

a21x1+ a22x2+ · · · + a 2n x n = b2,

Hiˆe’n nhiˆen r˘a`ng r(A) 6 r( e A) v`ı mˆo˜i di.nh th´u.c con cu’a A dˆe`u l`a di.nh

th´u.c con cu’a eA nhu.ng khˆong c´o diˆ`u ngu.o c la.i Ta luˆon luˆon gia’ thiˆe´te

r˘a`ng c´ac phˆa` n tu.’ cu’a ma trˆa.n A khˆong dˆo` ng th`o.i b˘a`ng 0 tˆa´t ca’

Ngu.`o.i ta quy u.´o.c go.i di.nh th´u.c con kh´ac 0 cu’a mˆo.t ma trˆa.n m`a

cˆa´p cu’a n´o b˘a`ng ha.ng cu’a ma trˆa.n d´o l`a di.nh th´u.c con co so.’ cu’a n´o

Gia’ su.’ dˆo´i v´o.i ma trˆa.n d˜a cho ta d˜a cho.n mˆo.t di.nh th´u.c con co so.’

Khi d´o c´ac h`ang v`a c´ac cˆo.t m`a giao cu’a ch´ung lˆa.p th`anh di.nh th´u.c

con co so.’ d´o du.o c go.i l`a h`ang, cˆo.t co so.’

D - i.nh ngh˜ıa 1+Bˆo c´o th´u tu n sˆo´ (α1, α2, , α n) du.o c go.i l`a nghiˆe.m

cu’a hˆe (4.9) nˆe´u khi thay x = α1, x = α2, , x = α n v`ao c´ac phu.o.ng

tr`ınh cu’a (4.9) th`ı hai vˆe´ cu’a mˆo˜i phu.o.ng tr`ınh cu’a (4.9) tro.’ th`anh

dˆ` ng nhˆa´t.o

2+ Hˆe (4.9) du.o c go.i l`a tu.o.ng th´ıch nˆe´u c´o ´ıt nhˆa´t mˆo.t nghiˆe.m v`ago.i l`a khˆong tu.o.ng th´ıch nˆe´u n´o vˆo nghiˆe.m.

3+ Hˆe tu.o.ng th´ıch du.o c go.i l`a hˆe x´ac di.nh nˆe´u n´o c´o nghiˆe.m duynhˆa´t v`a go.i l`a hˆe vˆo di.nh nˆe´u n´o c´o nhiˆe`u ho.n mˆo.t nghiˆe.m

D - i.nh l´y Kronecker-Capelli.2

Hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh (4.9)tu.o.ng th´ıch khi v`a chı’ khi ha ng cu’a ma trˆa n co ba’n b˘a`ng ha.ng cu’a

ma trˆa n mo’ rˆ. o ng cu’a hˆe., t´u.c l`a r(A) = r( e A).

Dˆo´i v´o.i hˆe tu.o.ng th´ıch ngu.`o.i ta go.i c´ac ˆa’n m`a hˆe sˆo´ cu’a ch´ung lˆa.p

nˆen di.nh th´u.c con co so.’ cu’a ma trˆa.n co ba’n l`a ˆa’n co so.’, c´ac ˆa’n c`onla.i du.o c go.i l`a ˆa’n tu do

Phu.o.ng ph´ap chu’ yˆe´u dˆe’ gia’i hˆe tˆo’ng qu´at l`a:

1 ´Ap du.ng quy t˘a´c Kronecker-Capelli

2 Phu.o.ng ph´ap khu.’ dˆ` n c´ac ˆa’n (phu.o.ng ph´ap Gauss).a

Quy t˘a´c Kronecker-Capelli gˆo` m c´ac bu.´o.c sau

1+ Kha ’ o s´ at t´ ınh tu.o.ng th´ ıch cu ’ a hˆe T´ınh ha.ng r( e A) v` a r(A)

a) Nˆe´u r( e A) > r(A) th`ı hˆe khˆong tu.o.ng th´ıch

b) Nˆe´u r( e A) = r(A) = r th`ı hˆe tu.o.ng th´ıch T`ım di.nh th´u.c con

co so.’ cˆa´p r n`ao d´o (v`a do vˆa.y r ˆa’n co so.’ tu.o.ng ´u.ng xem nhu du.o c

cho.n) v`a thu du.o c hˆe phu.o.ng tr`ınh tu.o.ng du.o.ng gˆo` m r phu.o.ng tr`ınh

v´o.i n ˆa’n m`a (r × n)-ma trˆa.n hˆe sˆo´ cu’a n´o ch´u.a c´ac phˆa` n tu.’ cu’a di.nhth´u.c con co so.’ d˜a cho.n C´ac phu.o.ng tr`ınh c`on la.i c´o thˆe’ bo’ qua

2+ T` ım nghiˆ e.m cu’a hˆe tu o.ng du.o.ng thu du.o c

a) Nˆe´u r = n, ngh˜ıa l`a sˆo´ ˆa’n co so.’ b˘a`ng sˆo´ ˆa’n cu’a hˆe th`ı hˆe c´onghiˆe.m duy nhˆa´t v`a c´o thˆe’ t`ım theo cˆong th´u.c Cramer

b) Nˆe´u r < n, ngh˜ıa l`a sˆo´ ˆa’n co so.’ b´e ho.n sˆo´ ˆa’n cu’a hˆe th`ı tachuyˆe’n n − r sˆo´ ha.ng c´o ch´u.a ˆa’n tu do cu’a c´ac phu.o.ng tr`ınh sang

vˆe´ pha’i dˆe’ thu du.o c hˆe Cramer dˆo´i v´o.i c´ac ˆa’n co so.’ Gia’i hˆe n`ay tathu du.o c c´ac biˆe’u th´u.c cu’a c´ac ˆa’n co so.’ biˆe’u diˆe˜n qua c´ac ˆa’n tu do

2 L Kronecker (1823-1891) l` a nh` a to´ an ho.c D´u c,

A Capelli (1855-1910) l` a nh` a to´ an ho.c Italia.

D´o l`a nghiˆe.m tˆo’ng qu´at cu’a hˆe Cho n − r ˆa’n tu do nh˜u.ng gi´a tri cu.

thˆe’ t`uy ´y ta t`ım du.o c c´ac gi´a tri tu.o.ng ´u.ng cu’a ˆa’n co so.’ T`u d´o thu

du.o c nghiˆe.m riˆeng cu’a hˆe

Tiˆe´p theo ta tr`ınh b`ay nˆo.i dung cu’a phu.o.ng ph´ap Gauss

Khˆong gia’m tˆo’ng qu´at, c´o thˆe’ cho r˘a`ng a11 6= 0 Nˆo.i dung cu’a

phu.o.ng ph´ap Gauss l`a nhu sau

1+ Thu c hiˆe.n c´ac ph´ep biˆe´n dˆo’i so cˆa´p trˆen c´ac phu.o.ng tr`ınh cu’a

hˆe dˆe’ thu du.o c hˆe tu.o.ng du.o.ng m`a b˘a´t dˆa` u t`u phu.o.ng tr`ınh th´u hai

mo.i phu.o.ng tr`ınh dˆe`u khˆong ch´u.a ˆa’n x1 K´y hiˆe.u hˆe n`ay l`a S(1)

2+ C˜ung khˆong mˆa´t tˆo’ng qu´at, c´o thˆe’ cho r˘a`ng a0

226= 0 La.i thu c

hiˆe.n c´ac ph´ep biˆe´n dˆo’i so cˆa´p trˆen c´ac phu.o.ng tr`ınh cu’a hˆe S(1) (tr`u

ra phu.o.ng tr`ınh th´u nhˆa´t du.o c gi˜u nguyˆen!) nhu d˜a l`am trong bu.´o.c

1+ ta thu du.o c hˆe tu.o.ng du.o.ng m`a b˘a´t dˆa` u t`u phu.o.ng tr`ınh th´u ba

mo.i phu.o.ng tr`ınh dˆe`u khˆong ch´u.a ˆa’n x2,

3+ Sau mˆo.t sˆo´ bu.´o.c ta c´o thˆe’ g˘a.p mˆo.t trong c´ac tru.`o.ng ho p sau

dˆay

a) Thˆa´y ngay du.o c hˆe khˆong tu.o.ng th´ıch

b) Thu du.o c mˆo.t hˆe “tam gi´ac” Hˆe n`ay c´o nghiˆe.m duy nhˆa´t

c) Thu du.o c mˆo.t “hˆe h`ınh thang” da.ng

Nˆe´u c´ac sˆo´ h r+1 , , h m kh´ac 0 th`ı hˆe vˆo nghiˆe.m Nˆe´u h r+1 =

· · · = h m = 0 th`ı hˆe c´o nghiˆe.m Cho x r+1 = α, , x m = β th`ı thu du.o c hˆe Cramer v´o.i ˆa’n l`a x1, , x r Gia’i hˆe d´o ta thu du.o c

nghiˆe.m x1 = x1; x2 = x2, , x r = x r v`a nghiˆe.m cu’a hˆe d˜a cho l`a

(x1, x2, , x r , α, , β).

Lu.u ´y r˘a`ng viˆe.c gia’i hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh b˘a`ng phu.o.ngph´ap Gauss thu c chˆa´t l`a thu c hiˆe.n c´ac ph´ep biˆe´n dˆo’i so cˆa´p trˆen c´ach`ang cu’a ma trˆa.n mo.’ rˆo.ng cu’a hˆe du.a n´o vˆe` da.ng tam gi´ac hay da.ngh`ınh thang

C ´ AC V´ I DU . V´ ı du 1 Gia’i hˆe phu.o.ng tr`ınh

3x1− x2+ x3 = 6,

x1− 5x2+ x3 = 12, 2x1+ 4x2 = −6, 2x1+ x2+ 3x3 = 3, 5x1 + 4x3 = 9.

Ta thu du.o c r( e A) = r(A) = 3 Do d´o hˆe tu.o.ng th´ıch

Ta cho.n di.nh th´u.c con co so.’ l`a

∆ =

1 −5 1

v`ı ∆ = 36 6= 0 v` a r(A) = 3 v`a c´ac ˆa’n co so.’ l`a x , x , x

2 Hˆe phu.o.ng tr`ınh d˜a cho tu.o.ng du.o.ng v´o.i hˆe.

x1− 5x2+ x3 = 12, 2x1+ 4x2 = −6, 2x1+ x2+ 3x3 = 3.





Gia’i T`ım ha.ng cu’a c´ac ma trˆa.n

Ta thu du.o c r( e A) = r(A) = 2 Do d´o hˆe tu.o.ng th´ıch

Ta c´o thˆe’ lˆa´y di.nh th´u.c con co so.’ l`a

∆ =

2 −3

v`ı ∆ = 22 6= 0 v`a cˆa´p cu’a di.nh th´u.c = r(A) = 2 Khi cho.n ∆ l`am

di.nh th´u.c con, ta c´o x2 v`a x3 l`a ˆa’n co so.’

Hˆe d˜a cho tu.o.ng du.o.ng v´o.i hˆe

x1+ 2x2− 3x3+ 4x4 = 7, 2x1+ 4x2+ 5x3 − x4= 2hay

2x2− 3x3 = 7 − x1− 4x4, 4x2+ 5x3 = 2 − 2x1+ x4.

2 Ta c´o thˆe’ gia’i hˆe theo quy t˘a´c Cramer D˘a.t x1 = α, x4 = β ta

c´o

2x2 − 3x3 = 7 − α − 4β, 4x2 + 5x3 = 2 − 2α + β.

Theo cˆong th´u.c Cramer ta t`ım du.o c

x2 =

... λ

1 λ

= (λ − 1)

2

(λ + 2).

Nˆe´u D 6= ⇔ λ1< /small> 6= 1, λ2 6= −2 th`ı... nˆe´u (λ + 2)(λ − 1) 2 6= ⇔ λ 6= −2 v` a λ 6= 1< /i>

th`ı hˆe d˜a cho c´o nghiˆe.m nhˆa´t v`a theo c´ac cˆong th´u.c Cramer ta c´o

x1< /small> = x2... class="text_page_counter">Trang 11

Tiˆe´p theo ta biˆe´n dˆo’i ma trˆa.n mo’ rˆ. o.ng

? ?15 x3 = 15



