Cho khối cầu có bán kính R, cắt một chỏm cầu theo mặt phẳng cách tâm khối cầu một đoạn bằng a.. Tính thể tích khối còn lại và thể tích phần cắt đi.. Một khối cầu bằng thủy tinh có bán
Trang 1CÔNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH
1 Thể tích khối cầu
Bài toán gốc Cho khối cầu có bán kính R, cắt một
chỏm cầu theo mặt phẳng cách tâm khối cầu một
đoạn bằng a Tính thể tích khối còn lại và thể tích
phần cắt đi
Công thức giải
Phần bị cắt đi (tính dựa vào thể tích vật thể tròn
xoay tạo bởi phần đường tròn y R2 x2 quay
xung quanh Ox từ a đến R):
R cut out
a
V R x dx
Phần còn lại:
a
R rem cut out
a in
V R V R R x dx
Bài toán 1 Một khối cầu bằng thủy tinh có bán kính 4dm, người ta muốn cắt bỏ một
chỏm cầu có diện tích mặt cắt là 15 (dm2) để lấy phần còn lại làm chậu nuôi cá Hỏi thể tích nước tối đa mà chậu cá này có thể chứa là bao nhiêu? (giả sử bề dày chậu không
đáng kể)
Giải
Diện tích mặt cắt là S r2 15 r2 15 (r OC Khi đó, tính được )
16 15 1
a R r
Khi đó:
4
1
R cut out
a
V R x dx x dx dm
4
rem
3 (dm )
Trang 2Bài toán 2 Nhà sản xuất muốn tạo một cái lu đựng nước bằng cách cắt bỏ hai chỏm cầu của một khối cầu để tạo phần đáy và miệng lu như hình vẽ Biết bán kính khối cầu là 50
cm, phần mặt cắt ở đáy là hình tròn có bán kính 30cm và mặt phẳng ở miệng lu cách tâm khối cầu 30cm Tính thể tích nước tối đa mà cái lu có thể chứa (giả sử độ dày của lu
không đáng kể)
Giải
Xét phần đáy lu Ta có,
4
14000
3
cut out
V x dx cm
Xét phần miệng lu Ta có:
3
50
50
3
cut out
Suy ra phần thể tích còn lại 4 3 14000 52000 434000 3
50
remain
2 Thể tích khối trụ
Bài toán gốc Cho một khối trụ có bán kính đáy bằng R và
chiều cao h Cắt khối trụ theo một mặt phẳng song song với
trục và cách trục (tâm) một khoảng r Tính thể tích phần còn
lại và phần bị cắt đi
Công thức giải
Diện tích phần bị cắt đi (bằng 2 lần diện tích hình tạo bởi
phần đường tròn y R2 x2 và trục Ox tính từ r đến R):
cu
r
t out
R
S R x dx
Thể tích phần bị cắt đi:
cut out cut out
V S h
Thể tích phần còn lại:
2
remain tru cut out cut out
V V V R h V
Bài toán 3 Một bồn trụ đang chứa dầu được đặt nằm ngang
Trang 3có chiều dài bồn là 5m, bán kính đáy 1m Người ta rút dầu ra trong bồn tương ứng với 0,5m của đường kính đáy Tính thể tích gần đúng nhất của thể tích dầu trong bồn (theo đơn vị m 3 )
A 11 781, m3 B 12 637, m3 C 14 923, m3 D 8 703, m3
Giải Ta có:
1
2 0,5
2 1 5 3, 071
cut out cut out
V S h x dx
Thể tích dầu: V dau V V cut out R h V2 cut out 1 5 3 071 12 637, , (m Đáp án B 3)
3 Thể tích khối nón
Bài toán gốc Cho một khối nón có bán kính đáy bằng R và chiều cao h Cắt khối nón theo một mặt phẳng đi qua đỉnh và cắt đường tròn đáy theo một dây cung cách tâm một khoảng r Tính thể tích phần còn lại và phần bị cắt đi.
Công thức giải
Diện tích phần bị cắt đi (bằng 2 lần diện tích hình tạo
bởi phần đường tròn y R2 x2 và trục Ox tính từ r
đến R):
R cut out
r
S R x dx
Thể tích phần bị cắt đi:
R cut out cut out
r
V S h h R x dx
Thể tích phần còn lại:
2
1
3 . .
remain n on cut ou t c t o t u u
Bài toán 4 Một khối nón bán kính bằng 5cm, đường cao
bằng 4cm Cắt khối nón theo một mặt phẳng từ đỉnh xuống
đáy và cắt đáy theo dây cung có độ dài bằng 6cm Thể tích
phần còn lại của khối nón là:
A 99 27, cm3 B.5 45, cm3 C 297 81, cm3 D 88 37, cm3
Giải Thể tích phần bị cắt đi (r 52 32 4):
Trang 44
R cut cut
r
V S h R x dx h x dx (cm3) Thể tích phần còn lại:
3
25 4 5 45 99 27 3
1
remain n o n cut c u t
Nhận xét Trong các bài toán trên, việc tính tích phân giải nhanh bằng Casio Ta hoàn toàn có thể giải tay tích phân 2 2 2
R cut out
r
S R x dxbằng đổi biến x Rsin t
BÀI TOÁN MỞ RỘNG Bài toán về: 2 khối cầu giao nhau, 2 khối trụ giao nhau, khối cầu giao khối trụ, khối cầu giao khối nón, khối nón giao khối trụ…
(còn tiếp…)
Follow facebook thầy Đặng: www.facebook.com/thaydangtoan
Follow facebook thầy Nhơn: www.facebook.com/viet.nhon
Fanpage: www.facebook.com/thithuthptquocgia
Group hỏi đáp: www.facebook.com/groups/giaidaponthidaihoc
Website: www.dethithptquocgia.com