Toán học, Phương pháp toán sơ cấp, Số học, Hán Nôm

Tác giả xin được tỏ lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới Thầy, người đã tận tình hướng dẫn và chỉ đạo tác giả tập dượt nghiên cứu khoa học trong suốt thời gian dài tìm hiểu tài liệu và v

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Tạ Duy Phượng

LỜI CÁM ƠN

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học

Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, dưới sự hướng dẫn của PGS TS Tạ Duy Phượng Tác giả xin được tỏ lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới Thầy, người đã tận tình hướng dẫn và chỉ đạo tác giả tập dượt nghiên cứu khoa học trong suốt thời gian dài tìm hiểu tài liệu và viết Luận văn

Một phần nội dung Luận văn dựa trên bản thảo bản dịch một số phần trong các sách Toán Hán Nôm của hai học viên cao học Hán Nôm Trần Thị

Lệ và Nguyễn Thị Thành, một số đoạn dịch của Tiến sĩ Nguyễn Hữu Tâm (Viện nghiên cứu Lịch sử) Xin được chân thành cám ơn sự giúp đỡ của Tiến

sĩ Nguyễn Hữu Tâm và hai bạn Lệ và Thành Xin được cám ơn Thày hướng dẫn đã cho phép sử dụng một số tư liệu cá nhân của Thày

Đồng thời em xin chân thành cảm ơn các quý thầy cô trong Khoa Toán – Cơ–Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội,

đã tận tình giảng dạy, quan tâm và tạo mọi điều kiện thuận lợi về thủ tục hành chính để em hoàn thành luận văn

Tôi cũng chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè và cơ quan, đoàn thể nơi tôi đang công tác là Trường Trung học Phổ thông Nguyễn Văn Cừ, đã tạo mọi điều kiện về vật chất lẫn tinh thần trong quá trình tôi học tập, nghiên cứu và viết luận văn

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG I TỔNG QUAN VỀ CÁC SÁCH TOÁN HÁN NÔM 3

1.1 Tổng quan về các tài liệu viết về toán học Việt Nam thời ì phong iến 3

1.2 Tổng quan về di sản sách Toán Hán Nôm 5

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP TRONG CÁC SÁCH TOÁN HÁN NÔM 15

2.1 Bảng cửu chương và Hệ đếm 15

2.2 Bốn phép toán số học trên tập số nguyên 18

2.3 Toán phân số, Số phập phân, toán phần trăm, toán chuyển động 28

2.4 Các bài toán lập và giải phương trình, hệ phương trình 35

2 5 Phương trình nghiệm nguyên 45

2 6 Ma phương trong Ý trai toán pháp nhất đắc lục của Nguyễn Hữu Thận 47

2.7 Một đề thi và bài giải minh họa 54

2.8 Một số bài toán dân gian liên quan đến các bài toán trong sách Hán Nôm 58

KẾT LUẬN 65

TÀI LIỆU THỐNG KÊ, THAM KHẢO VÀ TRÍCH DẪN 66

MỞ ĐẦU

Sự ra đời và phát triển của toán học nói chung, toán học Việt Nam nói riêng, luôn gắn liền với nhu cầu giải quyết các bài toán thực tiễn Tương truyền Lương Thế Vinh đã sử dụng công thức tính diện tích các hình để giúp người dân quê đo đạc ruộng đất, Vũ Hữu đã áp dụng toán học để tính toán nguyên vật liệu “ hông thừa không thiếu một viên gạch” trong sửa chữa thành

Thăng Long Đại Nam chính biên liệt truyện chép: “Năm Ất Hợi (1815) trong

khi luận về thiên tượng, nhà vua quyết định ngày mồng một nào có nhật thực thì bãi lễ triều và hạ yến hương, để tỏ ý lo sợ tu tỉnh” Nguyễn Hữu Thận đã tính toán và báo lên nhà vua hai năm nữa vào ngày 1 tháng 4 Đinh Sửu (16-5-1817) sẽ có nhật thực Sự việc xảy ra hai năm sau đúng như vậy, khiến nhà vua và triều thần phải thốt lên: “Thiên văn gia vô xuất kỳ hữu” (nhà thiên văn không ai sánh kịp)

Những kiến thức hình học, thiên văn nói riêng và toán học nói chung của người Việt cổ đã được thể hiện trên mặt trống đồng Đông Sơn, tháp Đào Thịnh, trên các đồ gốm sứ, Một số tác giả đã chứng minh các hình vẽ trên mặt trống đồng là một cuốn lịch của người Việt cổ (xem [B17] Như vậy, có thể nói, người Việt cổ đã có những hiểu biết khá cao về hình học, thiên văn và toán học

Trong quá trình tiếp thu và phát triển toán học Trung Quốc, trong quá trình giảng dạy, phổ biến và áp dụng các kiến thức toán học vào thực tiễn, các nhà toán học Việt Nam thời kì phong kiến đã đạt được một số thành tựu đáng ể Điều này đã được thể hiện trong các sách toán (được viết bằng chữ Hán và chữ Nôm) của các tác giả Việt Nam trong suốt chiều dài hàng ngàn năm lịch sử Tiếc rằng một số sách toán học thời ì Lý-Trần như cuốn sách toán (có lẽ đầu tiên của nước ta) của Mạc Hiển Tích, trong đó ng nghiên cứu

tr chơi ô ăn quan và đưa ra hái niệm s n (số âm), hoặc cuốn h th

thông khảo của Trần Nguyên Đán nghiên cứu thiên văn, lịch pháp và toán học

hay Lung linh nghi của Đặng Lộ đời Trần, một dụng cụ khảo sát thiên thể

được các sử gia hết lời ca ngợi (xem, [B13]), nay đã thất truyền Vì vậy, chúng ta chỉ có thể khảo cứu các kiến thức toán học của các nhà toán học Việt Nam thời phong kiến qua các sách Hán Nôm viết trong khoảng 500 năm (từ thế

kỉ XV đến thế kỉ XX), mà nội dung chủ yếu nằm trong khuôn khổ toán sơ cấp

Toán học cũng liên quan mật thiết tới sự phát triển của kỹ thuật, khoa học, giáo dục, văn hóa và tiến bộ xã hội, vì vậy nghiên cứu lịch sử phát triển toán học cũng góp phần làm sáng tỏ lịch sử phát triển văn hóa, hoa học và giáo dục

Luận văn này có mục đích tìm hiểu các phương pháp toán sơ cấp trong các sách toán Hán Nôm Luận văn trình bày chủ yếu hai vấn đề:

1 Tổng quan về nội dung sách toán Hán Nôm

2 Một số nội dung và phương pháp giải toán trong các sách toán Hán Nôm

Để viết Luận văn, tác giả dựa trên các tài liệu chính là bản thảo bản dịch một số phần trong các sách toán Hán Nôm, các bài nghiên cứu và giới thiệu của các tác giả trong nước về toán học và các nhà toán học Việt Nam, và đặc biệt, các bài báo hoa học của nhà nghiên cứu lịch sử toán học Việt Nam Alexei Volkov

Luận văn gồm 2 chương:

Chương I Tổng quan về các sách toán Hán Nôm thời kỳ phong kiến Chương II Một số phương pháp toán sơ cấp trong các sách Hán Nôm

Số lượng và nội dung sách Hán Nôm khá phong phú, nhưng chưa hề có một cuốn sách nào được dịch ra tiếng Việt Vì vậy, một luận văn cao học không thể khai thác và bao quát hết toàn bộ nội dung sách toán Hán Nôm Thông qua luận văn này, tác giả chỉ mong muốn gợi lên sự quan tâm đến một mảng di sản quý báu, mà gần như chưa được nghiên cứu và khai thác, là mảng sách toán Hán Nôm

Hà Nội, Tết Ất Mùi 2015 Tác giả

CHƯƠNG I TỔNG QUAN VỀ CÁC SÁCH TOÁN HÁN NÔM 1.1 Tổng quan về các tài i u vi t về toán học Vi t N thời phong i n

Những người đầu tiên nhắc đến và viết về toán học Việt Nam có lẽ là những truyền giáo, nhà buôn và nhà du lịch, thám hiểm phương Tây Nhà du lịch v ng quanh thế giới W Dampier có lẽ là một trong những người nước ngoài đầu tiên nhắc tới toán học Việt Nam ng đã viết về người Ton in ( ắc

ì): Họ rất chú ý tới toán học, có vẻ có hiểu bi t chút ít về hình học và s học

và hiểu bi t về thiên văn học nhiều hơn Họ có lị h ph p riêng nhưng tôi không rõ là húng được làm tại đàng ngoài hay đượ đưa từ Trung Qu c sang ([B21], Bản dịch II, trang 80-81)

Trong [B15] đã trích dẫn bản dịch đầu tiên cuốn sách của W Dampier: “Người Việt Nam rất giỏi hình học, số học và thiên văn học”, có lẽ do dịch sai nội dung Bản dịch

II [B21] của Hoàng Anh Tuấn năm 2005 (in lại 2007) với đoạn trích dẫn trên là đáng tin cậy hơn

Nguyễn Hữu Thận đã tham khảo lịch pháp của Trung Quốc và phương Tây để lập

ra lịch Việt Nam, có nhiều điểm khác với lịch Trung Quốc (xem [B11])

Một số nhà sử học Việt Nam hoặc các nhà nghiên cứu lịch sử hoa học

tự nhiên và lịch sử toán học nước ngoài trước năm 2000 cũng đã đề cập tới toán học và thiên văn học Việt Nam, nhưng rất sơ sài (xem, [ 8], [ 14], [B23], [B25], ) Các sách tiếng Việt viết về Lịch sử toán học gần như hông

đề cập tới toán học Việt Nam (xem [B3], [B4], [B19], [B20])

Một cách tiếp cận khoa học và quan trọng, có lẽ là bậc nhất, giúp giải

mã nhiều câu hỏi hiện nay còn mở là hướng tìm hiểu lịch sử toán học Việt

Nam thế kỉ XV-XIX qua khai thác trực tiếp di sản sách toán Hán Nôm

Có lẽ người đầu tiên quan tâm nghiên cứu lịch sử toán học ở Việt Nam qua sách toán Hán Nôm là nhà toán học Nhật Bản Mikami Yoshio (1875-

1950) Dựa trên cuốn Chỉ minh toán pháp do nhà dân tộc học Nobuhiro

Matsumoto mang về từ Việt Nam năm 1933, Mi ami Yoshio đã viết một bài

báo tiếng Nhật ([B30], 1934) với tiêu đề Về một tác ph m toán của Annam, phân tích nội dung Chỉ minh toán pháp Tuy nhiên, vẫn chưa rõ Chỉ minh

toán pháp mà Mikami Yoshio nghiên cứu có đúng là cuốn Chỉ minh lập thành toán pháp của Phan Huy Khuông ([A2], 1820) hay không (xem [C3]) Cũng

không rõ cuốn Chỉ minh toán pháp mà Mikami Yoshio nghiên cứu hiện nay

vẫn c n được lưu giữ ở Nhật Bản hay không

Năm 1938, nhà nghiên cứu lịch sử toán học và khoa học tự nhiên người Trung Quốc Zhang Yong (1911-1939) đã phát hiện mảng sách toán Hán Nôm trong kho sách của Viện Viễn đông bác cổ Tuy nhiên, Ông mất năm

1939 và không kịp để lại những nghiên cứu về các sách toán Việt Nam, ngoại trừ một bài báo về lịch sử thiên văn Việt Nam ([ 28], 1940) Năm 1954, Li Yan [B24] đã thống kê (8 cuốn) các sách toán Hán Nôm mà Zhang Yong mang về từ Việt Nam Dựa trên tư liệu này, Han Qi [B29] đã viết một bài báo

về quan hệ giữa toán và thiên văn Việt Nam với toán và thiên văn Trung Hoa

Vào năm 1943, Giáo sư Hoàng Xuân Hãn đã có một bài viết về thi toán

ở Việt Nam thời phong iến (xem [ 9]) Đặc biệt, cuốn chuyên hảo ị h và

lị h Việt am của ng viết và in năm 1952 và 1982 [ 11] (và sau được in lại

nhiều lần) là một trong ba công trình được giải thưởng Hồ Chí Minh của ng

Năm 1979, Giáo sư sử học Tạ Ngọc Liễn đã viết một bài về toán học

Việt Nam in trong cuốn ị h s khoa họ k thuật [B15] Gần đây, Nguyễn

Xuân Diện và Tạ Duy Phượng cũng có một số bài viết giới thiệu các sách Hán Nôm (xem [B5], [B6], [B7], [B22]) Một số bài báo viết khá công phu về nhà toán học Việt Nam Nguyễn Hữu Thận (xem [B1], [B2], [B17], [B18])

Có thể nói, cho tới nay, Alexei Vol ov là người duy nhất thành công và thành danh trong nghiên cứu lịch sử toán học Việt Nam thời phong iến ng

và Y học Việt Nam (xem Tài liệu trích dẫn C) A Vol ov đã sang Việt Nam

và Paris nhiều lần, tìm hiểu và nghiên cứu các sách Hán Nôm tại thư viện Hán Nôm, thư viện Quốc gia và thư viện Paris Dưới góc độ của một nhà nghiên cứu lịch sử khoa học, toán học và giảng dạy toán học, ng đã “càn quét” hầu hết các vấn đề cơ bản trong nghiên cứu di sản sách toán Hán Nôm ng đã làm báo cáo mời ở nhiều Hội nghị Quốc tế (xem, thí dụ, [C28]), được mời viết những bài tổng quan về toán truyền thống Việt Nam trong các sách từ điển toán, các sách chuyên khảo về lịch sử toán và các tạp chí (xem [C1]-[C11]) Có thể nói, thế giới biết đến toán học Việt Nam thời phong kiến là nhờ các bài viết của A Volkov Tạp chí Zentralblatt [B27] đã đánh giá bài

viết [C11] của A Vol ov như sau: This well-researched work of the author is

a valuable addition to the history of mathematics Yukio Ãhashi [B30] viết:

In 2002, Alexei Volkov published a paper on the Toan- phap dai- thanh I think that this is a monumental paper on the history of mathematics in Vietnam Qua đây cũng thấy rằng, các nhà nghiên cứu lịch sử toán học trên

thế giới rất quan tâm tới lịch sử toán học Việt Nam

Với sự cố gắng của một số nhà nghiên cứu, đặc biệt là Alexei Vol ov,

di sản sách toán Hán Nôm đang dần được hai thác, các câu hỏi về toán học Việt nam đang dần dần được làm sáng tỏ

bằng chữ Hán, 9 cuốn có cả chữ Hán và chữ Nôm Dưới đây chúng tôi liệt ê (theo [B5] và [B16]) Ngoài ra c n có một số sách giáo hoa cho tr em học, trong đó cũng có một phần nội dung toán học (xem [ 5])

Một số sách toán Hán Nôm được lưu trữ dưới dạng sách hoặc microphim (MF) tại thư viện Viễn đông ác cổ (EFEO) Paris Tuy nhiên, hình như hông có cuốn sách nào ở thư viện Paris mà thư viện Hán Nôm không có ([ 5], [ 16])

Số sách (8 quyển) mà Zhang Yong mang từ Việt Nam có tên tr ng với tên của các sách trong thư viện Hán Nôm (so sánh [ 24] với [ 5]) Tuy nhiên, vẫn chưa rõ Zhang Yong đã mua những cuốn sách này hay chép lại từ các cuốn sách đã có trong ho sách của Viễn đông bác cổ (xem [C5]) Và cũng vẫn chưa rõ các sách của Zhang Yong có nội dung hoặc năm, nơi xuất bản có hác với các sách trong thư viện Hán Nôm hay hông

Dưới đây là danh mục sách toán viết bằng chữ Hán – Nôm hiện có (xem [B5], [B16]):

A1 Bút toán chỉ nam

Tác giả: Tuần phủ Quảng Yên Nguyễn Cẩn, hiệu Hương Huề

Kiều Oánh Mậu, hiệu Áng Hiên, duyệt

In năm Duy Tân 3 (1909), Hà Nội

2 bản in (5 quyển), 178 trang, khổ 26x15, có hình vẽ

Số thứ tự trong Danh mục sách của thư viện Hán Nôm [B14]: 299

Mã hiệu thư viện Hán Nôm hoặc Paris:

A 1031; VHv 282; MF 2318 (A.1031); Paris, EFED MF II/1/52

Nội dung: Sách dạy toán

Quyển 1: Con số và bốn phép tính cộng, trừ, nhân, chia

Quyển 2: Tạp toán, có 21 đề bài

Quyển 3: Phép đo ruộng

Quyển 5: Phép đo độ nông, sâu, chiều dài, chiều rộng

A2 Chỉ minh lập thành toán pháp

Tác giả: Lão phố Phan Huy Khuông Soạn năm Minh Mệnh thứ nhất (1820) Lạc thiện oa tàng thư 2 bản viết, 1 mục lục, có hình vẽ, sơ đồ, có chữ Nôm

Số thứ tự trong Danh mục sách của thư viện Hán Nôm [B18]: 433;

Mã hiệu thư viện Hán Nôm: VHv 1185, 184 trang, khổ 29x17;

A 1240: 218 trang, 31x21; EFEO sao lại từ bản VHv.1185

MFR 2391 (A 1290) Paris EFEO MF II/1/89

Nội dung: Cách làm bốn phép tính cộng trừ nhân chia Cách tính diện

tích, tính sản lượng ruộng đất Nhiều phép tính được diễn thành thể ca

A3 Cửu chương ập thành toán pháp

Tác giả: Phạm Hữu Chung, tự là Phúc soạn

Thập Lí Hầu Ngô Sĩ in lần đầu vào năm Vĩnh Thịnh Quí Tị (1713)

Số thứ tự trong Danh mục sách của thư viện Hán Nôm [B14]: 638

Mã hiệu thư viện Hán Nôm hoặc Paris:

AB 173, 56 trang, khổ 20x14; AB 563, 44 trang, khổ 17x13

Paris BN.B.29 Vietnamien

Đ y l là ản in s h to n Việt am nhất hiện n đượ lưu giữ

Nội dung: Sách toán đời Lê, trình bày dưới dạng các bài ca Nôm, gồm

bảng cửu chương, tính diện tích ruộng đất, cách tính diện tích hình tròn, hình bán nguyệt, hình đa giác, Cách tính hai phương, phép tính cộng trừ nhân chia, So sánh nhiều hơn, ít hơn, Có một số phép bói độn, cách tính ngày giờ lành, dữ, AB.173 có Tẩy oan truyện (Nôm), thể 6-8, nói về cách xét nghiệm các huyệt trong cơ thể con người, có kèm 2 hình vẽ; bài Thủy triều ca nói về qui luật lên xuống của thủy triều, bài ca về mặt trời mọc, lặn,

A4 Cửu chương toán pháp ập thành

Tờ cuối cùng ghi bằng mực đỏ: “…Tự Đức tam thập ngũ niên phụng biên” ( iên tập năm Tự Đức 35), tức năm 1882

Số thứ tự trong Danh mục sách của thư viện Hán Nôm [B14]: 639

Mã hiệu thư viện Hán Nôm: VNb 30, 150 trang, khổ 21x14;

AB 407, 150 trang, khổ 24x14; Paris BN.B.29 Vietnamien

Nội dung: Bốn phép tính cộng trừ nhân chia, phép cân đo, đo ruộng

đất, tính sản lượng Có các đề toán bài giải

Một số bài thơ ca Hán và Nôm về toán cho dễ nhớ

AB 407 có Số học tiểu dẫn (Nôm) và Cửu chương toán pháp (Nôm)

A5 Cửu chương ập thành toán pháp

Mã hiệu Thư viện Quốc gia: R 120

Mã hiệu số hóa: NLVNPF-0562

Thư mục sách Hán Nôm ở Thư viện Quốc gia Hà Nội, 2004: trang 87 Năm viết: Thành Thái thập nhất niên (1899)

Nội ung: Số ảnh: 20 Dạng chép tay Kích thước: 24 x13

Sách toán học theo phương pháp

truyền thống Việt Nam Nội dung sách

dạy cách làm toán, đo tính ruộng, dạng

toán đố Có các bài thơ về phép đo

ruộng có kiểu như: iểu sừng trâu,

kiểu mũ, iểu cong, kiểu gấp khúc,

kiểu tròn, kiểu bán nguyệt Cuối sách

có các đơn vị đo, đơn vị tiền…”

A6 Cửu chương ập thành toán pháp

Sách toán học theo phương pháp

truyền thống Việt Nam Đầu sách có bài

thơ huyên sĩ lưu tâm học toán pháp

Nội dung chính gồm các phân mục: khởi

tổng vị pháp, cửu chương pháp, quan

điền pháp, tư điền pháp, Bình phân pháp

Các phép đo tính ruộng đất

A7 Đại thành toán học chỉ minh

Tác giả: Sơn tây ố chính sứ Phạm Gia Kỉ khởi thảo,

Quốc tử giám tư nghiệp Phạm Gia Chuyên hiệu đính

Số thứ tự trong Danh mục sách của thư viện Hán Nôm [B18]: 895

Mã hiệu thư viện Hán Nôm: A 1555, 114 trang, khổ 28x16, có hình vẽ

Số thứ tự trong Danh mục sách của thư viện Hán Nôm [B18]: 1645

Mã hiệu thư viện Hán Nôm: A 1555

Nội dung: 1 bản viết, 114 trang, khổ 28x16, có hình vẽ 4,5 x 15,5 in

Khảo cứu về cách đo đạc bằng thước và bằng bộ (bước chân) từ Hoàng

đế, Hạ Thương Chu đến Hán, Đường, Tống Có hình vẽ các loại thước

A9 Lập thành toán pháp

Số thứ tự trong Danh mục sách của thư viện Hán Nôm [B14]: 1847

Mã hiệu thư viện Hán Nôm: VHv 497

Nội dung: 1 bản viết, 50 trang, khổ 24x13 Có hình vẽ, có chữ nôm

Cách đo ruộng, tính diện tích ruộng Hình vẽ các thửa ruộng có hình phức tạp và cách tính diện tích các loại ruộng này Cách tính bằng bàn tính, phép cửu chương, cửu qui Một số bài tính đố, có cho biết đáp số

A10 Số học tiểu dẫn

Số thứ tự trong Danh mục sách của thư viện Hán Nôm [B14]: AB 407

Nội dung: Cửu chương toán pháp

A11 Thống tông toán pháp

Tác giả: Nghiệp sư Tạ Hữu Thường (Ninh Cường xã, Ninh Cường tổng, Trực Ninh huyện)

Mã hiệu Thư viện Quốc gia: R 1194 Mã hiệu số hóa: NLVNPF-0493 Thư mục sách Hán Nôm ở Thư viện Quốc gia Hà Nội, 2004: trang 87

Nội dung: Số ảnh: 112 Dạng chép tay Kích thước: 22 x14

Sách bao gồm những kiến thức

cơ bản trong lĩnh vực toán học, áp

dụng toán học trong việc tính toán

thực tế: Khởi tổng vị pháp, Cửu

chương lập thành toán pháp, Cửu qui

lập thành toán pháp, toán quan điền

ca, bình phân ca

A12 Toán điền trừ cửu pháp

Số thứ tự trong Danh mục sách của thư viện Hán Nôm [B14]: 3787

Mã hiệu thư viện Hán Nôm: VHb 50

Nội dung: 1 bản viết, 114 trang, khổ 19,5 x 12, có chữ Nôm

Cách đo và tính diện tích theo phương pháp trừ 9

Hình vẽ các loại ruộng đất, cách đo, tính diện tích

A13 Toán học đề uẩn

Số thứ tự trong Danh mục sách của thư viện Hán Nôm [B14]: 3788

Mã hiệu thư viện Hán Nôm: A.156

Nội dung:

- Sách dạy cách cân đo, tính toán, bình phương, lập phương, cách tính thể tích, cách lấy mẫu cột nhà, xà nhà, nóc nhà

- Hình vẽ các loại ruộng đất, mẫu nóc nhà, xà nhà

- Các qui định của triều Nguyễn về thuế khóa, ruộng đất, thóc gạo, lương bổng

A14 Toán pháp

Số thứ tự trong Danh mục sách của thư viện Hán Nôm [B14]: 3789

Mã hiệu thư viện Hán Nôm: A.3150;

MF 2347, Paris EFEO MF II/5/825

Nội dung: 1 bản viết, 308 trang, khổ 26,5x14,1

Cách tính các loại ruộng đất Hình vẽ các loại ruộng đất Cách đo chiều cao của cây, chiều sâu của sông, hồ Cách đo hối đất đắp đê Cách lấy mẫu

xà và nóc để dựng nhà

A15 Toán pháp

Số thứ tự trong Danh mục sách của thư viện Hán Nôm [B14]: 3790

Mã hiệu thư viện Hán Nôm: VHv 496, MF.2402

Nội dung: 1 bản viết, 148 trang, khổ 27x15,5 Có chữ Nôm

Bốn phép tính cộng trừ nhân chia Cách đo, tính diện tích ruộng đất Hình vẽ các loại ruộng đất Các đơn vị cân, đo Hình hộp, hình lập phương, khối đa giác, hình trụ Cách xem tuổi, xem ngày có thai để đoán sinh con trai hay con gái

A16 Toán pháp

Tác giả: Nguyễn Cẩn, hiệu Hương Huề, Tuần phủ Quảng Yên biên

soạn

Kiều Oánh Mậu duyệt năm Duy Tân Kỉ dậu (1909)

Số thứ tự trong Danh mục sách của thư viện Hán Nôm [B14]: 3791

Mã hiệu thư viện Hán Nôm: Vhv.495, MF 1699

Nội dung: 1 bản viết, 148 trang, khổ 25x14 Có chữ Nôm

- Bốn phép tính cộng trừ nhân chia, bình phương, lập phương

- Cách đo và tính diện tích ruộng đất Hình vẽ các loại ruộng

A17 Toán pháp đại thành

Tác giả: Ngoài bìa đề: Tiến sĩ Lương Thế Vinh biên soạn

ản hiện có: Sao chép lại năm ảo Đại Giáp thân (1944)

Số thứ tự trong Danh mục sách của thư viện Hán Nôm [B14]: 3792

Mã hiệu thư viện Hán Nôm: A 2931: 240 tr , 24 7x13 3 (chép năm 1944);

Vhv.1152: 136 trang, khổ 27 2x15 8 (chép năm 1934)

Nội dung: 2 bản viết, có chữ Nôm

Các phép tính cộng trừ nhân chia, hai phương Cách đo, tính diện tích ruộng đất Hình vẽ các loại ruộng đất Cách cân, đo, tính hối lượng vật thể

A18 Toán pháp kì di u

Số thứ tự trong Danh mục sách của thư viện Hán Nôm [B14]: 3793

Mã hiệu thư viện Hán Nôm: A 1584

Nội dung: 1 bản viết, 212 trang, khổ 26.7 x 14.5, 1 mục lục

Các phép tính cộng trừ nhân chia Cách cân đo Cách đo và tính diện tích ruộng đất Hình vẽ các loại ruộng đất Hoàng triều Minh Mệnh các hạng thuế lệ (từ tờ 66): Các loại thuế dưới triều Minh Mệnh (1820-1840)

A19 Toán pháp quyển (*)

(*) Theo A Volkov [B4] Hiện chúng tôi chưa tra cứu được đây là cuốn sách nào trong thư viện Hán Nôm hay thư viện Quốc gia

A20 Toán pháp kì di u

Số thứ tự trong Danh mục sách của thư viện Hán Nôm [B14]: 3793

Mã hiệu thư viện Hán Nôm: A 1584

Nội dung: 1 bản viết, 212 trang, khổ 26.7 x 14.5, 1 mục lục

A21 Tổng tự chư gi toán pháp đại toàn (quyển tam)

Số thứ tự trong Danh mục sách của thư viện Hán Nôm [B14]: 3825

Mã hiệu thư viện Hán Nôm: A.2732, MF 2019

Nội dung: 1 bản viết, 102 trang, 26.7x15.7

Cách tính diện tích và chiều dài

A22 Ý trai toán pháp nhất đắc ục (Minh Mệnh 1829)

Tác giả: Nguyễn Hữu Thận

Số thứ tự trong Danh mục sách của thư viện Hán Nôm [B14]: 4505

Nội dung: Sách số học và hình học, trình bày dưới dạng những bài lí

thuyết, bài ca, đầu đề và cách giải để dạy người học toán theo kiểu phương đông xưa

Quyển 1: Bảng chữ số 81 ô (9x9); khảo về việc đo, lường, cân

Quyển 2: Cách tính diện tích ruộng đất (phương điền pháp)

Quyển 3: Cách tính sai số (sai phân pháp)

Quyển 4: Cách tính hai phương, bình phương

Quyển 5: Cách tính theo mối tương quan giữa hai cạnh tam giác vuông với cạnh huyền của tam giác ấy (câu cổ pháp)

Quyển 6: Cách tính chu vi và diện tích một số hình (phương, viên, tà, giác, biên tuyến, diện thể)

Quyển 7: Cách giải một số bài toán khó

Quyển 8: Cách tính thể tích (lập phương pháp)

Ngoài ra, c n có một số sách giáo hoa, trong đó có dạy toán và thiên văn như cuốn sách sau đây (có cả trong thư viện Hán Nôm và thư viện Quốc gia)

A23 Ấu học phổ thông thuy t ước

Tác giả: Ngạc đình Phạm Quang Xán biên tập, năm 1888

Số thứ tự trong Danh mục sách của thư viện Hán Nôm [B18]: 52

Mã hiệu thư viện Hán Nôm:

VHv 64: in năm Duy Tân 2 (1908), 100 trang, khổ 24x15

MF 3116 (VHv 64)

A 892: in năm Duy Tân 2 (1908), 100 trang, hổ 28x15

VHv 2937: in năm Duy Tân 2 (1908), 100 trang, hổ 27x15

VHv 468: chép năm Khải Định 5 (1920), 130 trang, khổ 27x16

Mã hiệu Thư viện Quốc gia: R 126

Mã hiệu số hóa: NLVNPF-1030

Nội dung: Dạy tr em về đạo đức,

vệ sinh, toán lí, hóa, sinh vật, thiên văn,

địa lí, Bảng chú thích các đơn vị đo

lường, loại gỗ, hướng gió,

Số lượng sách trên có thể vẫn c n được tiếp tục bổ sung Một số sách Hán – Nôm có thể đã bị thất lạc, có thể nằm trong thư viện các nước khác hoặc trong kho sách của những nhà khoa học Việt kiều đang sinh sống và làm việc tại nước ngoài mà chúng ta chưa có điều kiện để tìm hiểu Hy vọng sách toán Hán–Nôm tiếp tục được bổ sung xuyên suốt theo thời gian và qua nhiều thế hệ

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP TRONG CÁC SÁCH TOÁN HÁN NÔM 2.1 Bảng cửu chương và H đ m

2.1.1 Bảng cửu chương

Theo Hoàng Xuân Hãn ([B12], trang 1118), toán học Trung Hoa có lịch sử 4000 năm, nhưng đến đời Đường (618 - 935) mới du nhập vào Việt Nam và cả các nước khác ở châu Á như Nhật Bản, Triều Tiên, Hàn Quốc,…

Toán học Trung Hoa du nhập vào nước ta đầu tiên là Bảng c u hương theo

thứ tự từ lớn đến bé: cửu cửu bát nhất, bát cửu thất nhì…nhất nhất như nhất (chín chín tám mốt, tám chín bảy hai,…một một là một) Thứ tự này ở sách

Tàu từ đời Tống (960-1276) về sau đều đổi ngược lại Thí dụ, theo sách Toán

pháp th ng tông (1639) của Trung Hoa, cuối đời nhà Minh là một sách đã

được xuất bản nhiều lần và rất phổ thông cũng chép cửu chương theo thứ tự

từ bé đến lớn Nhưng tên bài ca ấy trong các sách đều đề là c c u hay c

u-c u u-ca quy t Chứng tỏ đời u-cổ bản u-cửu-u-cửu (u-cửu u-chương đượu-c xếp theo thứ tự

từ lớn đến bé) Sách Tôn t toán kinh đời Hán có chép cửu-cửu như thế

Trong ho sách đời Đường ở Đôn Hoàng (Cam Túc) có một bản cửu-cửu viết

trên gỗ nay còn gần trọn vẹn Bản này bắt đầu bằng câu: c u c u bát thập

nhất (chín chín tám mươi mốt) Theo nhà toán học Nhật Bản Mikami thì có lẽ

người Tống-Nguyên bắt chước Ấn Độ mà đảo ngược thứ tự Cho nên các sách toán Trung Quốc sau đời đường đều theo như vậy (xem [B12], trang 1118)

Trong sách C u hương lập thành toán pháp của Phạm Hữu Chung in đời Vĩnh Thịnh (1705-1719) và Đại thành toán pháp của Lương Thế Vinh

(1441-1496) đời Lê Thánh Tôn (nay còn bản in cũ đời Vĩnh Thịnh) và trong các sách hác đều chép cửu chương với thứ tự từ lớn đến bé (xem [B12], trang 1118)

Hiện nay, chỉ có hai bản Toán pháp đại thành chép tay năm 1934 và 1944 được ghi

ngoài bìa là của Tiến Sĩ Lương Thế Vinh (trong thư viện Hán Nôm, xem [A17]) Như vậy,

bản Đại thành to n ph p của Lương Thế Vinh (bản in cũ đời Vĩnh Thịnh) mà Giáo sư

Hoàng Xuân Hãn nhắc tới đã thất lạc

Thời Lương Thế Vinh thì 9x9=81 được viết trước, đến Nguyễn Hữu Thận thì bảng cửu chương cũng vẫn được viết 9x9 trước Ngay cả đến là cuốn được viết gần đây nhất (xem [A1]) thì bảng cửu chương vẫn bắt đầu bằng cửu cửu… Trong [A1], trang 4-5, bảng cửu chương được viết như sau :

Cửu cửu bát thập nhất át cửu thất thập nhị Thất cửu lục thập tam Lục cửu ngũ thập tứ Ngũ cửu tứ thập ngũ Tứ cửu tam thập lục Tam cửu nhị thập thất Nhị cửu nhất thập bát Nhất cửu như cửu

át bát lục thập tứ Thất bát ngũ thập lục Lục bát tứ thập bát Ngũ bát tứ thập chi Tứ bát tam thập nhị Tam bát nhị thập tứ Nhị bát nhật thập lục Nhất bát như bát

Thất thất tứ thập cửu Lục thất tứ thập nhị Ngũ thất tam thập ngũ

Tứ thất nhị thập bát Tam thất nhị thập nhất Nhị thất nhất thập tứ Nhất thất như thất

Lục lục tam thập lục Ngũ lục thập thập chi Tứ lục nhị thập tứ

Tam lục nhất thập bát Nhị lục nhất thập nhị Nhất lục như lục

Ngũ ngũ nhị thập ngũ Tứ ngũ nhị thập chi Tam ngũ nhất thập ngũ Nhị ngũ nhất thập chi Nhất ngũ như ngũ

Lời bình Bảng cửu chương trong các sách toán Hán Nôm, cho đến tận

năm 1909, trong cuốn sách in mộc bản của Nguyễn Cẩn (xem [A1]), là cuốn

sách toán Hán Nôm viết cuối cùng, và trong quyển sách của Lương Thế Vinh được chép tay năm 1944, thì người Việt vẫn học bảng cửu chương theo lối cũ (thời nhà Đường bên Trung Quốc trở về trước), trong hi đó Trung Hoa đã học bảng cửu chương theo lối mới cách đây hàng nghìn năm ảng cửu chương hiện nay (hai lần một là hai, ) lần đầu tiên được phổ biến có lẽ là do người Pháp

2.1.2 H đ

Từ một đến ngàn, các từ đều có gốc Nam Á Chỉ từ mười ngàn trở đi, người Việt mới dùng các từ Hán Việt: vạn hay muôn (âm Hán cổ của vạn), ức, triệu, tỉ Có lẽ thời xưa ở nước ta, vì sản xuất quá yếu, nên con

số lớn nhất thường dùng là muôn hay vạn Hiện nay người Việt rất ít dùng các

từ vạn và nhất là muôn và ức, trái lại hai đơn vị triệu, tỉ trở nên rất thông

dụng

Ðiều đáng để ý là, ở một số vùng, trong sinh hoạt hằng ngày giá trị của

từ chục thay đổi tùy theo sự thỏa thuận giữa người mua và người bán: 12, 13 hay nhiều hơn nữa Trước đây ở Quảng Nam, người ta phân biệt chục

trơn (10) và chụ ăn tiền (luôn luôn lớn hơn 10)

Hệ đếm cơ số 10 đã được phổ biến ở Việt Nam từ lâu Sách [A17] trang 1b viết:

Cũng trong sách trên, ở trang 1b có liệt kê thứ tự các số Thứ tự:

“…vạn vạn ức là một triệu, vạn vạn triệu là một kinh, vạn vạn kinh là một thê, vạn vạn thê là một cai, vạn vạn cai là một nhương, vạn vạn nhương là một

giản, vạn vạn giản là một chính, vạn vạn chính là một tải, vạn vạn tải là một cực ” Đây là cách đếm trong Tôn t toán kinh gọi là Đại s pháp Nhưng

trong Tôn t toán kinh chép tên các thứ bậc khác: cai với thê tráo lộn nhau (có

lẽ sách Việt nhầm), có thêm bậc câu trước bậc giản và cuối cùng không có bậc cực Và các chữ thê, ai, nhương, giản, chính đều viết khác

Trong ho sách đời Đường ở Đôn Hoàng có một quyển Toán kinh cũng chép những bậc trên, có bậc cực và những chữ dùng gần giống chữ dùng ở

sách Hán Nôm Việt Nam (xem [B12], trang 1118)

2.2 Bốn phép toán số học trên tập số nguyên

Hầu như tất cả các sách toán Hán Nôm đều bắt đầu bằng các phép toán

số học trên tập số nguyên Dưới đây, chúng tôi trình bày và giải thích các

phép toán số học trên tập số nguyên theo Bút toán chỉ nam của Nguyễn C n

(xem [A1])

2.2.1 Phép cộng

Sách [A1] trang 6-trang 9 viết:

CỘNG PHÁP Cộng giả hợp linh tinh chi các số nhi tổng chi dã Như

nhất gia nhị vi tam, tứ gia ngũ vi cửu, tứ gia bát vi thập nhị chi loại phàm cộng tự hữu nhi tả mỗi vị hợp đắc thành số thiên linh số thiên (như nhị thập nhất tắc nhị thập vi thành số nhất vi linh số nhất bách nhị thập tắc nhất bách vi thành số nhị thập vi linh số thiên vạn khả dĩ loại suy) tác nhất hoành hoạch cách chi tương linh liệt ư bản vị các chi hạ nhi thành số thiên tiến trí thiên thượng vị tịnh dữ thượng vị các số điểm toán các vị tịnh đồng

THỨC LIỆT NHƯ HẠ Án thử cộng thức hoành số tự tả nhi hữu đệ

nhất hàng nhất vạn nhị thiên tứ bách bát thập nhị đệ nhị hàng thiên vị khuyết thị nhị vạn ngũ bách thất thập nhất đệ tam hàng bách vị khuyết thị nhất vạn tam thiên bát thập nhị, đệ tứ hàng thập vị khuyết thị nhị vạn nhất thiên nhị

bách nhất, đệ ngũ hàng mạt vị khuyết thị tứ vạn ngũ thiên lục bách cửu thập

Toán pháp tỉ mạt vị khởi điểm nhị hợp nhất vi tam hựu nhị vi ngũ hựu nhất vi lục thị mạt Nhất vị chỉ đắc linh số giả lục ấn tức ư hoành hoạch hạ thư lục tiến điểm thập vị bát hợp thất vi thập ngũ hựu bát vi nhị thập tam hựu cửu

vi tam thập nhị thị đắc thành số giả tam nhị linh số nhị dã Thư nhị ư bản vị lục tự chi tả nhị tiến thành số chi tam vu bách vị hợp dữ bách vị chi tứ vi thất hựu ngũ vi thập nhị hựu nhị vi thập tứ hựu lục vi nhị thập thị bách vị chỉ đắc thành số giả nhị nhi vô linh số tắc bản vị tác nhất khuyên vi không nhi tiến thành số chi nhị vu thiên vị hợp dữ thiên vị chi nhị vi tứ hựu tam vi thất hựu nhất vi bát hựu ngũ vi thập tam thị thiên vị hựu đắc thành số giả nhất nhi linh

số tam dã Thư tam ư bản vị nhi tiến thành số chi nhất vu vạn vị hợp dữ vạn vị chi nhất vi nhị hựu nhị vi tứ hựu nhất vi ngũ hựu nhị vi thất hựu tứ vi thập nhất thị vạn vị hựu đắc thành số giả nhị nhi linh số diệc nhất dã Thư linh số chi nhất vu bản vị nhi tiến thành số chi nhất vu ức vị nhi chỉ thị hợp ngũ hành cho số cộng đắc nhất ức nhất vạn tam thiên nhị thập lục dã

Dịch: CÁCH TÍNH NHƯ SAU Cộng số hàng ngang từ phải sang trái

Hàng thứ nhất, một vạn hai nghìn bốn trăm tám mươi hai (12482) Hàng thứ hai, đơn vị nghìn khuyết, hai vạn năm trăm bảy mươi mốt (20571) Hàng thứ

ba, đơn vị hàng trăm huyết, một vạn ba nghìn tám mươi hai (13082) Hàng thứ tư, khuyết hàng chục, hai vạn một nghìn hai trăm (linh) một (21201) Hàng cuối cùng thứ năm, hàng đơn vị thiếu, bốn vạn năm nghìn sáu trăm chín mươi (45690)

Phép toán di chuyển đơn vị cuối bắt đầu từ 2 gộp với 1 là 3, lại cộng

thêm 2 là 5, cộng thêm 1 là 6 Một chỗ (mỗi vị trí) chỉ được viết một số Số 6

thì ở hàng tính phía dưới viết 6 Tiếp theo đến hàng chục, 8+7=15 lại +8=23+9=32 là có thể (được) thành số thành là 3, số linh là 2 Viết 2 ở bên trái số 6 và thành số của nó là số 3 thì sang hàng trăm sẽ cộng với đơn vị hàng trăm là +4=7, lại +5=12+2=14+6=20 Đơn vị hàng trăm chỉ được thành số là

2 mà không có số l thì ở vị trí đó đánh một khuyên là 0, còn thành số là 2 thì cộng với đơn vị hàng nghìn là +2=4 lại +3=7+1=8+5=13 thì đơn vị hàng nghìn lại được thành số là 1 và linh số là 3, viết 3 ở hàng nghìn và thành số là

1, sang hàng vạn, cộng với đơn vị hàng vạn là +1=2+2=4+1=5+2=7+4=11 thì đơn vị hàng vạn lại được thành số là 1 và linh số cũng là 1 Viết linh số là 1 ở hàng vạn và đẩy thành số là 1 sang hàng ức thì dừng lại ở đó Cộng số của 5 hàng lại được một ức một vạn ba nghìn không trăm hai mươi sáu (113026)

Giải thích Theo ngôn ngữ hiện đại, thí dụ này được trình bày như sau:

12482

20571  13082

21201

45690

113026 HỰU THỨC Án thử thức cộng cửu hàng Đệ nhất hàng, thiên bách nhị

vị tịnh khuyết thị nhất vạn lục thập ngũ Đệ nhị hàng bách thập nhị vị tịnh khuyết thị nhất vạn nhị thiên linh tứ Đệ tam hàng bách vị mạt vị tịnh khuyết thị nhất vạn tam thiên tứ thập Đệ tứ hàng, thiên vị thập vị tịnh khuyết thị nhất vạn tam bách linh cửu Đệ ngũ hàng thập vị mạt vị tịnh khuyết thị nhất vạn nhị thiên tam bách Đệ lục hàng, thiên vị bách vị thập vị tịnh khuyết thị nhất vạn linh tứ Đệ thất hàng, bách vị thập vị mạt vị tịnh khuyết thị nhất vạn tứ thiên Đệ bát hàng thiên vị thập vị mạt vị tịnh khuyết thị nhất vạn nhị bách

Đệ cửu hàng thiên vị bách vị mạt vị tịnh khuyết thị nhất vạn tam thập Hợp

cửu hàng số chiếu tiền pháp điểm toán thị hợp cộng nhất ức nhất thiên cửu bách ngũ thập nhị dã

Dịch: THÊM VÍ DỤ Phép cộng chín hàng cũng như thế Hàng thứ

nhất, hai hàng nghìn và trăm cùng thiếu, là một vạn sáu mươi lăm (10065) Hàng thứ hai có hai hàng trăm và chục thiếu, là một vạn hai nghìn linh bốn (12004) Hàng thứ ba, hàng trăm và hàng đơn vị đều thiếu, là một vạn ba nghìn bốn mươi (13040) Hàng thứ tư, hàng nghìn và hàng chục đều thiếu, là một vạn ba trăm linh chín (10309) Hàng thứ năm, hàng chục và hàng đơn vị đều thiếu là một vạn hai nghìn ba trăm (12300) Hàng thứ sáu, hàng nghìn, trăm, chục đều thiếu là một vạn linh bốn (10004) Hàng thứ bảy, hàng trăm, chục, đơn vị đều thiếu là một vạn bốn nghìn (14000) Hàng thứ tám, hàng nghìn, chục, đơn vị đều thiếu là một vạn hai trăm (10200) Hàng thứ chín, hàng nghìn, trăm, đơn vị đều thiếu là một vạn ba chục (10030) Cộng chín hàng số, đối chiếu, làm giống cách tính ở bài trước, cộng lại được một ức một nghìn chín trăm năm mươi hai (101952)

Giải thích Theo ngôn ngữ hiện đại, thí dụ này được trình bày như sau:

Cách thức trừ như ưới đây: Hàng trên là nguyên số: 32014, hàng

dưới là số trừ: 22312 Phép tính cũng từ phải sang trái Đầu tiên lấy hàng đơn

vị cuối c ng để trừ Hàng trên là 4 thì 4–2=2 Tính và viết xuống dưới là 2 Tiếp theo trừ đơn vị ở hàng chục, lấy 1–1 là hết, nên viết xuống dưới một khuyên là 0 Tiếp theo trừ đơn vị hàng trăm, số 0 thì không trừ được 3 thì phải giả sử đó là 10–3=7, viết 7 xuống dưới Tiếp theo trừ đơn vị hàng nghìn phải nhớ số đã giả sử ở trước để cộng với số trừ là 2 thành 3 Mà nguyên số ở trên

là 2 thì hông đủ để trừ, nên phải mượn 1 ở hàng trên là 12 thì lấy 12 –3=9 Viết 9 ở dưới Tiếp đến hàng vạn, số 1 đã mượn vào đơn vị hàng nghìn, chuyển sang số trừ hàng vạn thành 3 thì hàng vạn giảm hết, còn lại là 9702

Giải thích Theo ngôn ngữ hiện đại, thí dụ này được trình bày như sau:

chục, trăm, nghìn, vị trí của mỗi loại lần lượt, không hỗn loạn, sẽ thu được tích Giống như phép tính được viết ở đây, các ví dụ được trình bày rõ ràng ở phía sau

Đề 1 (Hàng trên 1 đơn vị, hàng dưới 1 đơn vị, trên dưới nhân với

nhau, gọi là đơn vị và đơn vị nhân với nhau, đơn vị cu i được s đơn) Nay có

9 nhà, mỗi nhà 4 người, thì tất cả có bao nhiêu người

Trả lời: 36 người

Phép tính như s u: Trên viết số 9, dưới viết số 4 Lấy số 4 ở dưới

nhân số 9 ở phía trên thì 4x9 là 36 Số 36 này có thành số là 3 và linh số là 6 Viết 6 vào hàng đơn vị (ở phía dưới) và 3 là thành số thì viết vào hàng chục

(ở phía trên) Vậy là được 36 người

Đề 2 Nay có ngựa 60 con, mỗi con nặng 48 cân thì cộng lại được bao

nhiêu?

Đáp số: 2880 cân

Phép tính như s u: Hàng trên viết 48 cân, hàng dưới viết 60 con

Nhưng mà 60 thì 6 là thành số mà không có linh số, cho nên dưới số 6 phải là

số 0 Trước tiên lấy 0x0= 0 là một khuyên ở hàng tính dưới là 0

Tiếp đó, lấy số 6 ở dưới nhân với số 8 ở trên là 6x8=48, viết 8 ở hàng dưới bên trái số 0 và nhớ thành số của nó là 4 Lại lấy số 6 ở dưới nhân với số

4 ở trên là 4x6=24 Cộng với số nhớ ở trước là 4=28, viết 8 ở trước, bên trái

số 8 Và tiếp theo thành số là 2 ở bên trái số 8 này thì được kết quả là 2880 cân

Đề 3 (Phép tính các s có hai đơn vị) Nay có 24 hộp thuốc, trong mỗi

hộp chứa 64 gói Hỏi cộng lại được bao nhiêu gói?

Đáp số: Cộng được 1536 gói

Phép tính như s u: Hàng trên viết số hộp là 24 hộp, hàng dưới số gói

thuốc là 64 gói Lấy số thuốc là 4 nhân với số hòm ở trên là 4 thì 4x4=16 Viết linh số của nó là 6 ở hàng đơn vị cuối và nhớ thành số của nó là 1 Tiếp

theo nhân số 2 ở trên là 2x4=8 Cộng với số nhớ ở trước là 1 thành 9 Viết 9 ở hàng chục thì số 4 ở dưới đã nhân xong Lại lấy số 6 ở dưới nhân với số 4 ở trên là 6x4 =24 Viết linh số của nó là 4 ở hàng chục, dưới số 9 và nhớ thành

số của nó là 1, tiếp theo nhân số 2 ở hàng trên thì 2x6=12 Gộp với số nhớ ở trước là 2 thành 14 Viết 4 ở hàng trăm và 1 ở hàng nghìn thì số bên dưới là 6 lại nhân xong

Bèn cộng 2 hàng phép nhân như phép cộng thì được số thuốc là 1536 gói

Giải thích Theo ngôn ngữ hiện đại, thí dụ này được trình bày như sau:

Ai nhớ được bảng cửu chương (9x9=81) thì cũng có thể suy ra được phép chia

Nhưng hông hẳn đã tương đương với số đó mà đằng sau nó có thể chia ra, tức là khiến cho số dư cũng có thể chia Viết số bị chia thành một hàng ở bên trái, bên phải vẽ một đường gấp húc ngăn cách, bên trên viết số chia Lấy số tương ứng sao cho có thể chia được, kết quả viết ở dưới đường gấp khúc Khi nhân lại làm phép trừ thì phải nhớ để trừ Nếu số dư hông đủ chia tiếp thì lấy thêm một đơn vị ở hàng trên xuống gộp lại chia tiếp, được số

X

thương lại nhân để làm phép tính trừ như trước, nếu trừ hết thì viết một khuyên là 0 Lại lấy thêm một đơn vị xuống để chia tiếp

Đề 1 (Chia dư) Nay có 37 quyển sách chia cho 9 người Hỏi mỗi

người được mấy quyển?

Đáp số Mỗi người được 4 quyển dư 1 quyển

Phép tính như s u: Hàng bên trái viết 37 quyển, bên phải vẽ đường

gấp khúc viết 9 người ở trên Làm phép tính: lấy 3 chia 9 thì không thể chia được, thêm hàng đơn vị dưới là 7 thành 37 chia 9 thì được 4, viết 4 ở dưới dấu gạch ngag Lấy 4x9=36

Đầu tiên lấy linh số là 6 trừ với số trên là 7 thì dư 1, viết 1 ở dưới số 37 Lấy thành số là 3 trừ đi số trên là 3 thì vừa hết, viết ở dưới số 3 là 0 Vậy là 37 quyển chia 9 người thì mỗi người được 9 quyển, dư 1 quyển

Đề 2 (Phép chia h t cho s có ba chữ s , có chứa s 0) Nay có một vật

nặng 19845 cân Dùng xe chở, mỗi xe chỉ chứa được 405 cân Hỏi cần có mấy xe?

Đáp số Cần 49 xe

Phép tính như s u: Hàng trái ghi trọng lượng của vật là 19845 cân

Hàng phải vẽ đường gấp khúc, phía trên ghi 405 cân làm phép tính Lấy số tương ứng có thể chia được thì phải lấy đến 4 chữ số Sau hi chia được, viết kết quả vào dưới đường gấp khúc Lấy 4 nhân với chữ số cuối cùng của số hàng trên đường gấp khúc là 5 thì 4x5=20, không có linh số, phía trên số bị chia lấy 4 số thì không trừ Nhưng sẽ chuyển số 4 xuống dưới và nhớ số 2 chưa trừ Tiếp theo nhân với số 0 thì cộng với 2 để trừ với số hàng trên là 8 thì 8–2=6 Viết 6 ở dưới số 8 Tiếp theo nhân với số đầu tiên là 4 thì 4x4=16 Lấy số hàng trên là 19–16=3 Viết 3 ở dưới số 9 và viết 0 dưới số 1 Vậy là còn 364 Lấy thêm 5 ở hàng trên dồn vào thành 3645 Lại chia được thương là

9 Viết 9 ở dưới đường gấp khúc, bên phải số 4 Lấy 9 nhân với chữ số cuối

c ng là 5 thì được 5x9=45 Trước tiên lấy linh số là 5 trừ với số 5 ở trên thì

vừa hết và nhớ 4 Tiếp theo nhân với 0 là 0, cộng với thành số đã nhớ ở hàng trước là 4, trừ với 4 ở trên vừa hết Tiếp đến nhân với chữ số đầu là 4 thì 9x4=36 Lấy 36 trừ với 36 ở trên cũng hết, cho nên các số ở dưới hàng 3645 đều là 0, phép tính hông có dư Vậy cần 49 xe

Giải thích Theo ngôn ngữ hiện đại, thí dụ này được trình bày như sau:

Đề 3 (Phép chia h t cho s có 3 chữ s , có chứa s 0 ở giữa) Nay có

đường xe lửa dài ba triệu sáu ức năm vạn hông nghìn tám trăm ba mươi hai thước (3650832) Từ khi khởi công cho đến khi hoàn thành hết bảy trăm hai mươi chín (729) tuần lễ Hỏi mỗi tuần xây được bao nhiêu đường?

Đáp số 5008 thước

Phép tính như s u: Bên trái viết số chiều dài, bên phải vẽ đường gấp

khúc ghi số tuần lễ Làm phép tính tương ứng Lấy đến 4 chữ số mới có thể chia, được kết quả là 5 Viết 5 ở dưới đường gấp khúc Lấy 5 nhân số cuối

c ng là 9 thì được 9x5=45 Lấy 5 trừ với số 0 ở trên thì 0 không trừ được 5, giả mượn 1 chục thành 10–5=5 Viết 5 ở dưới số 0 và nhớ thành số của nó cùng với số 1 đã mượn thành 5

Tiếp theo nhân với đơn vị ở giữa là 2 thì 5x2=10 Tính cả số nhớ là 5 thì thành 15 Lấy linh số là 5 trừ với số ở trên thì vừa hết, cho nên viết số 5 xuống dưới số 0 và nhớ 1 Nhân tiếp với số đầu tiên là 7 thì 5x7=35 Gộp với

số nhớ là 1 thành 36 Lấy 36–36=0 Vậy chia lần đầu c n dư 5 Lấy thêm 8 ở trên xuống thành 58 lại hông đủ chia Nên viết 0 ở dưới đường gấp khúc, bên phải số 5 Lại lấy thêm số 3 ở trên xuống thành 583 vẫn hông đủ chia Ở dưới đường gấp khúc lại thêm một số 0 nữa vào bên phải số 0 Lấy thêm 2 ở

Chữ số thứ tư ở thương là 8 Viết 8 ở dưới đường gấp khúc, bên phải số

0 Lấy 8 nhân với số cuối c ng là 9 được 8x9=72 Lấy 2 trừ với số ở trên thì vừa hết Vì vậy viết số 0 ở dưới số 2 và nhớ số 7 Nhân tiếp với số ở giữa là 2 thì được 2x8=16 Cộng với số nhớ chưa trừ là 7 thành 23 Lấy 3 trừ với số ở trên cũng vừa hết, nên cũng viết số 0 ở dưới số 3 và nhớ số 2 Nhân tiếp với chữ số đầu tiên là 7 thì được 7x8=56 Cộng với số nhớ chưa trừ là 2 thành 58 Lấy 58–58 ở trên cũng vừa hết, nên cũng viết 0 ở dưới sô 58 Như vậy mỗi tuần lễ xây dựng được 5008 thước đường

Giải thích Theo ngôn ngữ hiện đại, thí dụ này được trình bày như sau:

2.2.5 Tạp toán (Các bài toán phức tạp)

Phép toán chính thống thì có quy tắc rõ ràng, tạp toán (các bài toán phức tạp) thì được ghi sơ lược trong các sách Hán Nôm, chủ yếu qua các ví

dụ Dưới đây trình bày một số ví dụ trong [A1]

Đề 1 (Đệ thập cửu đề, [A1], trang 61) Mã lực phụ trọng tứ bách cân,

ngưu lực phụ trọng tam bách cân Hữu vật bất tri trọng số dụng ngưu nhất bách tứ thập tứ đầu vận tải tu tam thập ngũ thứ Kim dụng mã nhất bách nhị thập lục thất cơ thứ khả thanh dữ vận số nhược thiên?

Đáp Tổng trọng nhất bách ngũ thập nhất vạn nhị thiên cân dụng mã vận tam thập thứ

Trí ngưu nhất bách tứ thập tứ đầu dĩ tam bách cân thừa chi đắc nhất thứ vận số (tứ vạn tam thiên nhị bách cân) dĩ tam thập ngũ thứ tái thừa đắc tổng vận trọng số nhất bách ngũ thập nhất vạn nhị thiên cân vi thực Hựu trí mã

nhất bách nhị thập lục thất dĩ tứ bách cân thừa chi đắc mã vận nhất thứ chi số ngũ vạn tứ bách cân vi pháp quy trừ thực số đắc mã tam thập thứ

Dịch: Đề số 19 Sức ngựa đeo nặng 400 cân Sức trâu đeo nặng 300

cân Có một vật không biết nặng bao nhiêu, dùng 144 con trâu chở 35 lần Nay dùng 126 con ngựa có thể chở bao nhiêu lần?

Đáp Tổng trọng lượng là 1512000 cân Dùng ngựa 30 lần

Đặt 144 con trâu Lấy 300 cân nhân với nó được hai lần vận chuyển, số (43200 cân) lấy 35 lần lại nhân được tổng khối lượng vận chuyển là 1512000 cân, đặt làm thực Lại đặt 126 con ngựa, lấy 400 cân nhân với nó được số ngựa vận chuyển 1 lần là 50400 cân, làm phép quy trừ thực số được 30 lần ngựa vận chuyển

Giải thích Tổng khối lượng cần vận chuyển là:

144 300 35 1512000   cân

Số lần ngựa phải vận chuyển là: 1512000 : 400 :12630 lần

2.3 Toán phân số, Số phập phân, toán phần tră , toán chuyển động

Một lớp bài toán hay gặp trong thực tế cuộc sống là bài toán cho vay lãi Điều này thể hiện khá cụ thể trong các sách toán Hán Nôm Các bài toán này thường sử dụng số thập phân và đổi đơn vị (tiền, đo độ dài,…) Dưới đây trình bày một số bài toán như vậy trong [A1]

Đề 1 (Hàng trên có hai đơn vị, Đơn vị cu i là 0, hàng dưới có một

đơn vị là 3, gọi là đơn vị nhân với đơn vị S cu i ùng được s chục) Nay có

người gửi tiền là 60 nguyên nhận lãi ba phân (tức là mỗi nguyên được lãi ba xu) Hỏi mỗi tháng được bao nhiêu?

Trả lời: Tiền lãi là 1 nguyên 8 hào

Phép tính như s u: Phía trên viết số 60 (nguyên), phía dưới viết 3

0 ở hàng đơn vị Tiếp theo, nhân số 6 ở phía trên thì 3x6 là 18, viết 8 ở bên trái số 0 và tiếp đó viết 1 ở bên trái số 8 thành số tiền lãi là 1 nguyên 8 hào

Đề 2 (Hàng trên có hai đơn vị, hàng dưới 1 đơn vị) Nay có 72 cây

bút, mỗi cây giá tiền là 8 xu Hỏi số tiền cộng lại là bao nhiêu?

Đáp số Cộng tiền 5 nguyên 7 hào 6 xu

Phép tính như s u: Hàng trên viết số 72, hàng dưới viết 8 xu trước,

lấy 8 ở hàng dưới nhân với 2 ở hàng trên =16 thì được thành số là 1 và linh số

là 6 Đầu tiên ở hàng tính dưới viết 6 và nhớ thành số của nó là 1 Tiếp đó lấy

số 8 ở hàng dưới nhân với số 7 ở hàng trên là 7x8=56

Nhớ số trước là 1 thành 57 thì lại được thành số là 5 mà linh số là 7 Viết 7 ở đơn vị tiền hào và tiếp theo thành số là 5 viết ở đơn vị tiền nguyên thì thành tổng số tiền là 5 nguyên 7 hào 6 xu

Đề 3 (Phép nhân s có ba đơn vị, trong đ s 0) Nay có một làng có

729 người, bình quân mỗi người nhận số tiền là 4 nguyên 5 xu Hỏi cộng được bao nhiêu tiền?

Đáp số Được số tiền là 2952 nguyên 4 hào 5 xu

Phép tính như sau: Hàng trên số người là 729 người, hàng dưới số tiền

là 4 nguyên 5 xu Đầu tiên lấy số tiền hàng dưới là 5 xu nhân với số người hàng trên là 9 thì 5x9=45 Viết 5 ở hàng cuối cùng, nhớ 4

Tiếp theo nhân với 2 ở trên là 2x5=10 Gộp với số nhớ ở trước là 4 thành 14, viết 4 ở bên trái số 5 và nhớ 1 Tiếp theo, nhân với 7 ở trên là 5x7=35 Gộp với số nhớ ở trước là 1 thành 36 Viết 6 ở bên trái số 4 và viết 3

ở bên trái số 6 đó, thì hàng dưới 5 xu đã nhân xong Tiếp đó đến số 0 thì 0 không thể nhân nên viết một khuyên là 0 ở dưới số 4 Tiếp đó lấy 4 nguyên ở dưới nhân với số 9 ở trên thì 4x9=36 Viết 6 ở bên trái số 0 và nhớ 3 Tiếp theo nhân số 2 hàng trên là 2x4=8 Gộp với số nhớ đằng trước là 3 thành 11 Viết 1 ở bên trái số 6 và nhớ 1 Tiếp theo nhân với 7 ở trên là 4x7=28, gộp với

số nhớ ở trước là 1 thành 29 Viết 9 ở bên trái số 1 và viết 2 ở bên trái số 9 thì

hàng dưới là 4 nguyên đã nhân xong Hợp phép nhân 2 hàng cộng lại thì thành số tiền là 2952 nguyên 4 hào 5 xu

Giải thích Theo ngôn ngữ hiện đại, thí dụ này được trình bày như sau:

Đề 4 (Phép chia h t 2 chữ s ) Nay có tiền là 3 nguyên 6 hào 4 xu mua

28 thoi mực Hỏi mỗi thoi bao nhiêu tiền?

Đáp số Mỗi thoi 1 hào 3 xu

Phép tính như s u: Hàng bên trái số tiền là 3 nguyên 6 hào 4 xu Vẽ

một đường gấp khúc Hàng trên viết số mực là 28 thoi Hai số có hai đơn vị này chia cho nhau thì tương ứng có thể chia được

Lấy 36 chia 28 được 1 viết 1 ở thương Lấy 1 nhân với 8 ở cuối thì 1x8=8 Lấy 8 trừ với số 6 ở trên thì hông đủ Giả mượn làm 16 Lấy 8 trừ với số hàng trên là 16 thì còn lại 8 Viết 8 ở dưới số 6 và nhớ số giả mượn của

nó là 1 Lại lấy 1x2=2 Cộng số giả mượn ở trước là 1 thành 3 Lấy 3 – 3 vừa hết thì viết 0 ở dưới số 3 Vậy thì thương số vẫn chưa hoàn thành, mà chia 8 cho 28 thì không thể Nên phải thêm 4 vào thành 84 Lấy 84 chia 28 = 3 Viết

3 ở thương, bên phải số 1 Lấy 3 nhân với số 8 ở cuối thì 3x8=24 Lấy linh số

là 4 trừ với 4 ở trên là hết, viết 0 ở dưới Lại lấy 3x2=6 Gộp với số 2 được nhớ chưa trừ ở trước là 8 Lấy 8 trừ 8 ở trên thì hết, cũng viết 0 ở dưới số 8 Thì số tiền là 3 nguyên 6 hào 4 xu mua được 28 thoi mực, số tiền mỗi thoi là

1 hào 3 xu hông dư

Đề 5 (Phép chia cho s 2 đơn vị, đơn vị cu i là 0, phải thêm đơn vị

để chia h t) Nay có 183 thước lụa, may 60 cái áo Hỏi mỗi cái áo cần bao

Chú giải 1 thước=100 phân

Đáp số: Mỗi cái áo cần 3 thước 5 phân

Phép tính như s u: Hàng bên trái viết số lụa là 183 thước Bên phải vẽ

một đường gấp khúc, hàng trên viết số áo 60 cái

Thực hiện phép tính chia cho 2 đơn vị lấy 2 đơn vị đầu để chia thì thiếu, không thể chia được Nên lấy hết các chữ số là 183 thước và chia cho

60, được 3 thước viết 3 ở dưới dấu gạch ngang Lấy 3 nhân với chữ số cuối cùng là 3x0=0 Số 3 ở cuối cùng hàng số bị trừ sẽ hạ viết xuống dưới Tiếp theo, nhân số 6 ở đầu là 3x6=18 Lấy 18–18 vừa hết, viết 0 ở dưới số 18 Vậy

là 183 thước chia 60 thì mỗi phần được 3 thước và dư 3 thước Lấy thước làm đơn vị tiêu chuẩn thì phép chia cũng chỉ đến thước là dừng lại Nhưng dưới thước còn có thốn, vẫn có thể chia được Cũng có thể thêm vào số 0 thành 30 thốn Lại chia tiếp Nhưng số còn lại hông đủ để chia thì ở hàng số bị chia viết thêm 1 số 0 nữa vào đơn vị thốn thành 300 phân Lấy 300 chia 60 = 5 Lấy 5 nhân với số 0 cuối cùng =0 Cho nên lại chuyển số 0 ở đơn vị xuống dưới tiếp theo nhân với số đứng đầu là 6 thì 5x6=30, thì được thành số là 3

mà không có linh số và đơn vị thốn cũng hông dư Cho nên lại hạ tiếp số 30 thốn ở trên xuống dưới, tiếp theo trừ 3 thước thì vừa hết Vậy là mỗi phần 3 thước ngoài ra lại thêm được 5 phân

Giải thích Theo ngôn ngữ hiện đại, thí dụ này được trình bày như sau:

Đề 6 Nay có quan viên tại chức được hai năm và năm tháng Hưu bổng

được 5% Số tiền thực được lĩnh là 688 nguyên 7 hào 5 xu Hỏi số tiền lương (số tiền thực lĩnh và số hưu bổng) mỗi tháng là bao nhiêu?

Đáp Tổng số hưu bổng là 36 nguyên (đồng) 2 hào 5 xu Mỗi tháng tiền

hưu bổng là 25 nguyên

Phép tính như s u: Số tiền lĩnh hiện tại (688 đồng 7 hào 5 xu) Lấy

nhất cửu làm phép quy trừ nó (100 thì 20 cá 5, ngoại trừ, một cá năm chỉ còn

19 cá 5 cho nên lấy 19 làm phép) được số tiền hưu bổng là 36 đồng 2 hào 5 phân Ngoài số đó ra, lấy thêm số tiền thực được lĩnh vào, tổng là 688 đồng 7

hào 5 xu sẽ thành tiền là 725 đồng thành tổng số tiền thực và hưu bổng

Lấy 2 năm 5 tháng cộng thành 29 tháng, làm phép chia nó, được số tiền mỗi tháng là 25 đồng

Giải thích: Theo ngôn ngữ hiện đại, số tiền thực lĩnh 68875 xu chính là

95% của tổng số tiền Như vậy, tổng số tiền là 68875 100 725

95

 

đồng

Lấy 725 chia 29 tháng được 25 đ/tháng

Đề 7 Nay có 486 thạch gạo Đầu tiên bán 162 thạch được 2/5 tiền vốn

Sau đó giá gạo chợt giảm, mỗi thạch chỉ bán được 2 đồng 7 hào Nhưng tổng tiền lãi vẫn tăng được mỗi thạch là 1 hào 8 xu Hỏi: toàn bộ tiền vốn là bao nhiêu, trước khi bán, giá mỗi thạch là bao nhiêu?

Đáp: Tiền vốn là 1312 đồng 2 hào, trước khi bán, mỗi thạch là 3 đồng

2 hào 4 xu Đặt toàn bộ số gạo 486 thạch, lấy tiền lãi 1 hào 8 xu nhân ra được tổng lợi là 87 đồng 4 hào 8 xu Lại đặt toàn số gạo trừ đi số gạo bán trước là

162 thạch, còn lại chưa bán là 324 thạch Lấy giá tiền 2 đồng 7 hào nhân ra được tiền là 874 đồng 8 hào, giảm với tổng số tiền lợi là 87 đồng 4 hào 8 xu được tiền vốn là 3/5 là 787 đồng 3 hào 2 xu Lấy 3 quy ra, lại lấy 2 nhân ra được tiền vốn 2/5 là 524 đồng 8 hào 8 xu Gộp 3/5 với 2/5 được tổng số tiền vốn Sau đó đặt 2/5 (524 đồng 8 hào 8 xu) làm thực lấy 162 thạch làm phép

quy ra được giá tiền mỗi thạch trước khi bán

Giải thích Số tiền lãi là: 486 0,18 87,48  đồng.

Số tiền tiền bán số gạo này được là: 324x2,7 đồng=874,8 đồng

Số tiền vốn của số gạo này là: 874,8 87,48 787,32  đồng

Vì số gạo này là 3

5tiền vốn nên số tiền vốn là:

5787,32 1312, 2

Số tiền lãi là: 524,88 437,4 87,48  đồng (cũng là toàn bộ số tiền lãi)

Đề 8 (Đệ nhị thập nhất đề, [A1], trang 62-63) Tự Đông Khê hỏa xa

trạm chí Thái Nguyên tỉnh thành thông trường ngũ vạn nhị thiên bát bách xích mỗi trạm chung mã xa hành cửu thiên xích thủ xa hành thất thiên ngũ bách xích nhất tự Đông Khê nhi thượng nhất tự Thái Nguyên nhi hạ quân ư tảo lục điểm khởi hành tương ngộ thần thị cơ điểm chung tương ngộ xứ các dĩ quá nhược thiên xích?

Đáp: Tương ngộ thần thị ngọ thượng cửu điểm thập phân chung chi nhị

tương ngộ xứ mã xa hành quá nhị vạn bát thiên bát bách xích, thủ xa hành quá nhị vạn tứ thiên xích, trí lí lộ thông trường chi số (ngũ nhị bát) vi thực hợp tính nhị xa nhất điểm chung nội chi hành số (nhất lục ngũ) vi pháp quy trừ chi đắc tam điểm hựu thập phân chung chi nhị thị lưỡng xa tương ngộ chi thần tái

dĩ mỗi xa nhất điểm nội sở hành chi xích số phân thừa chi đắc nhị xa các hành

dĩ quá chi xích số hợp tính chi dữ lí lộ thông trường chi số phù hợp

Dịch: Đề 21 Chiều dài đường từ trạm xe lửa Đông Khê đến tỉnh Thái

Nguyên là 52800 xích Mỗi tiếng, xe ngựa đi 9000 xích, xe tay đi 7500 xích Một xe đi từ Đông Khê lên, Một xe đi từ Thái Nguyên xuống đều bắt đầu đi

từ 6h thì mấy giờ sẽ gặp nhau và ở nơi gặp nhau, mỗi xe đã đi qua bao nhiêu xích?

Đáp: Thời gian gặp nhau là lúc gần trưa, 9 giờ 12 phút Tại nơi gặp

nhau, xe ngựa đã đi qua 28800 xích, xe tay đã đi qua 24000 xích

Đặt số chiều dài quãng đường (52800) làm thực Tính gộp quãng đường

đi được trong một giờ của hai xe (16500) Làm phép quy trừ được 3 giờ 12 phút là thời gian hai xe gặp nhau Lại lấy số quãng đường mỗi xe đi trong một giờ và số phút nhân ra được số chiều dài quãng đường hai xe đã đi Tính gộp lại thì phù hợp với tổng chiều dài quãng đường

Giải thích: Trong một giờ hai xe đi được là: 9000+7500=16500 (xích)

Thời gian hai xe đi từ nơi xuất phát đến lúc gặp nhau là:

Đề 9 Đắp 1 con đê dài 75716 xích 8 thốn, 4 tháng xong việc không biết

mỗi tháng đắp được bao nhiêu, chỉ biết được qua ngày công Tháng thứ hai so với tháng thứ nhất, mỗi 100 xích giảm 3 xích, tháng thứ 3 so với tháng thứ hai, mỗi

100 xích giảm 4 xích, tháng thứ 4 so với tháng thứ 3, mỗi 100 xích giảm 5 xích

Với lại, tháng thứ 4 làm công mỗi ngày chỉ được 8 giờ Cứ mỗi 4 phút đắp được

18 xích 4 thốn 3 phân Hỏi mỗi tháng đắp được bao nhiêu?

Đáp: Tháng đầu đắp được 2 vạn xích, tháng thứ 2 đắp được 19400 xích,

tháng thứ 3 đắp được 18624 xích, tháng thứ 4 đắp được 17692 xích 8 thốn

Đặt 19 xích 4 thốn 3 phân làm thực, lấy 4 phút 8 giờ 30 ngày nhân với

nó được số đê đắp được của tháng thứ 4 Đặt số đê đắp được của tháng thứ 4, lấy 100 xích – 5 xích = 95 xích Làm phép quy được 1 phần nhỏ (186 xích 2 thốn 4 phân) Nhân lên được số đê đắp được của tháng thứ 3 Đặt số đê đắp được của tháng thứ 3, lấy 100 xích – 4 xích = 96 xích Làm phép quy được 1 phần nhỏ (194 xích) Nhân lên được số đê đắp được của tháng thứ 2 Đặt số

đê đắp được của tháng thứ 2, lấy 100 xích – 3 xích = 97 xích Làm phép quy được 1 phần nhỏ (200 xích) Nhân lên được số đê đắp được của tháng đầu tiên Cộng số đê đắp được của 4 tháng lại thành tổng, phù hợp với chiều dài của đê

2.4 Các bài toán lập và giải phương tr nh, h phương tr nh

Trong một số sách toán Hán Nôm đã có những bài toán được giải bằng lời Theo ngôn ngữ hiện đại, những bài toán này có thể được giải bằng ngôn

ngữ lập phương trình, quen thuộc với học sinh trung học cơ sở Một số bài

thậm chí nằm trong chương trình toán tiểu học Đề 1 dưới đây là một bài toán

loại khó trung bình trong To n ph p đại thành của Lương Thế Vinh (bản dịch

của Tạ Ngọc Liễn [B15])

Đề 1

Kim hữu gia kê nhất đại quần