Giải gần đúng phương trình vi phân thường

Lờinói đầu Toánhọcbắtnguồntừnhucầugiảiquyếtcá c bàitoáncónguồngốcthựctiễn.Cùngvớithờigian,toánhọ cngàycàngpháttriểnchiathànhh ai lĩnhvựcđólà:Toánhọclýthuyếtvàtoánhọcứngdụng.Tronglĩnhvựct

Lờinói đầu

Toánhọcbắtnguồntừnhucầugiảiquyếtcá c bàitoáncónguồngốcthựctiễn.Cùngvớithờigian,toánhọ cngàycàngpháttriểnchiathànhh ai lĩnhvựcđólà:Toánhọclýthuyếtvàtoánhọcứngdụng.Tronglĩnhvựctoánhọcứngdụngthườnggặprấtnhiềubàitoáncóliênquanđếnviệcgiảiphươngtrìnhviphân,việcnghiêncứuphươngtrìnhviphânthườngđóngvaitròrấtquantrọngtronglýthuyếttoánhọc

Chúngtabiếtrằngchỉmộtsốítphươngtrìnhviphânthườnglàcóthểt ì m đượcnghiệmchínhxác.Trongkhidóphầnlớncácphươngtrìnhviphânn ả y sinhtừcácbàitoánthựctiễnđềukhôngtìmđượcnghiệmchínhxác.Dov ậ y chúngtaphảinhờtớicácphươngphápxấpxỉđểtìmnghiệmgầnđúng.Xuấtpháttừnhucầuđó,cácnhà

khoahọcđãnghiêncứutìmranhiềuphươngphápđểgiảigầnđúngphươngtrìnhviphânthường

Làmộtsinhviênchuyênnghànhtoánemmaymắnc óc ơ hộinghiêncứuvềđềtà

i:“Giảigầnđúngphươngtrìnhviphânthường”.Dướisựgiúpđ ỡtậntình,sựchỉbảo

âncầncủathầygiáo:TSNguyễnVănHùng.Vớisựsa y mêtoán,sựtíchcựctìmtòinghiêncứucủamìnhemđãhoànthànhđượcđ ề tàinghiêncứunày

Đềtàicủaemgồm3phần:Lờinóiđầu,nộidung,

kếtluậnNộidunggồm:

Chương1:Cáckiếnthứcbổtrợ Chương2:Giảigầnđúngphươngtrìnhviphânthường

Nhândịpnàyemx i n b à y t ỏlòngbiếtơnsâusắccủamìnhđếnthầygiáo:TSNguyễnVăn Hùngđãtậntìnhhướngdẫnemhoànthànhđềtàinày

Emxincảmơnsựgiúpđỡcủacácthầycôgiáokhoatoán,cácthầycôtổbộmôngiảitích,cácbạnsinhviênkhoatoánvàtậpthểcácbạnsinhviên

lớpk32cửnhântoán,đ ã giúpđ ỡ , đónggópý kiếnchoe m trongsuốtquátrìnhhoànthànhbảnkhóaluậnnày

Dolầnđầutiêntiếpxúcvớinghiêncứukhoahọcvàdothờigiancóhạnnênđ ề tàicủaemchắc chắnkhôngt h ể tránhkhỏithiếusót.Emmongđượcsựthôngcảncủacácthầycôgiáocùngcácbạnsinhviên

Hànộingày5tháng4năm2010

vớimọi n1,2,

Dãybịchặnnếunóvừabịchặntrênvừabị chặndưới

nr n

cosisin nr n

1.1.6 Tínhchấtsaiphân

a SaiphânlàtoántửtuyếntínhxácđịnhtrênkhônggianX cáchàmsốxácđịnhtrênR,nghĩalàvớimọi,R,vớimọih à

i f

 x

i n

 doh0

Đặt 'k'',0,1

k1Tađược:

1.2.1 Saisố

1.2:Số gầnđúngvàsai số

1.2.1.1 Trongtínhtoántathườnglàmviệcvớicácgiátrịgầnđúngcủacácđạ i lượng

Tanóialà sốgầnđúngcủasốa.Đạilượngsaisốt

Thugọna l à vứtbỏmộtsốcácchữsốbênphảicủaa đ ể đượcmộtsố

b.Xétsố a  10p 

thìa c ó bachữsốchắclà:8,6,0c ò n lạibachữsốkhông

;h3m;

Hàmsố y 

x,ccR cóđạohàmriêngtheobiếnx đếncấpnđượcgọilànghiệmtổngquátcủaphươngtrìnhn(1.3.1.1)

duynhấtcủaphươngtrìnhđ ã chovàthỏamãnđiềukiệnb a n đầu

y x y;hmina; b

n1!Từđ ót a có:

theobiếny ,đốivớimỗix s a o chox,yG

ii Nếu f x,y

22

22



ƯuđiểmcủaphươngphápPicardlàtìmnghiệmgầnđúngdướidạnggiảitích Nhượcđiểmlớnnhấtlàtíchphânđòihỏiphảilấyđượctườngminh

0v àcóthểbiểudiễnđượcdướidạngchuỗiTaylor:

x ibằngcáctỷsốsaiphâncấp1củag(cho y

fx xácđịnhtrêntập

Từlýluậntrêntathấynếuncànglớnthìđườnggấpkhúcnàycànggầnđườngcongtíchphân,nhưngnếucàngtăngnthìkhốilượngtínhtoánsẽtăngl ê n

Tacó: y 1

y f x,y fx 1,y 1

i i

2 i i i i Đểtínhđược

Phươngpháp(2.2.2.3)gọilàphươngphápEulercảitiến(hayEuler-Cauchay)

Vídụ:SửdụngphươngphápEulercảitiếntìmnghiệmgầnđúngcủa: y'y

 ff





y2x1

0 0

2.3:PhươngphápRungeKuta

2.3.1.PhươngphápRungelầnđầutiênđượcRungeđềra,sauđóđượcKutav à Haynercùngcácnhàtoánhọckháchoànchỉnh

DvDuvv

DuuDv

D Du D2uu.Du

y Tacó: y'f

y''

D f y'''

DD f



D2f



0

h

(nếu y' ' giớinội)

r1r2

2khiđó:

tươngtự nhưtrường

hợptrên,t ừ nhữngđiềukiện i ,ij ,r i :

k14k2

 k36

ta có

h

Vídụ: S ử dụngphươngphápRungeKuttat ì m nghiệmc ủ a phương

y'0,25y2x2Với y01,x0

0,24692 0,024638 0,0492760,1 0,97536 0,24384 0,024783 0,024783

2

0,2 0,94978 0,23745 0,026553 0,0265530,25 0,93650 0,23413 0,028176 0,0563520,25 0,93569 0,23392 0,028138 0,0562760,3 0,92164 0,23041 0,030236 0,030236

0

k12k22k3k42

ìnhtínhtoánrấtcồngkềnh

f x;y

 màphứctạp

 x0

dĩnhiênthỏamãnbàitoánbiênthuầnnhất.Nghiệmđógọilànghiệmtầmthường,ta

và cónr bậctựdo,vìvậynócónghiệmkhôngtầmthườngvớimn.

Trongtrườnghợpmn

yx

 đượcxácđịnhbằngcôngthức(2.4.3.3)thỏaVậytacóthểápdụngcácphươngphápgiảibàitoánCauchyvàoviệctìmnghiệmgầnđúngcủabàitoánbiên

y i1 y i1 2h

y i1 2y i

y i

1h2

(2.4.4.3)(2.4.4.4)

Chẳnghạnxétphươngtrìnhsauđây:

k x.y''qx

yr x; qx

0; (2.4.4.5)Vớicácđiềukiệnbiên: ya

x i0,2i i1,2,3,4Viếtphươngtrình(2.4.4.12)đốivớitừngnút.

0,04y00,16y10,12 y20,080,24y10,64y20,4y30,080,6y21, 44y30,84 y40,081,12y32,56 y41, 44y50,08

Giảigầnđúngphươngtrìnhviphânthườngcórấtnhiềucách.Nhưngd o điềukiệnthờigian,trìnhđộ,vànănglựcbảnthânem cóhạnnêntrongkhóaluậnnàyemchỉnêuramộtsốphươngphápthườngdùng

Quaquátrìnhnghiêncứu, hoànthànhkhóaluậnemđãrútranhiềuđiềub ổ íchtrongviệcnghiêncứukhoahọc

Vấnđềnghiêncứucònrấtnhiềuđiềulýthúvàbổích

Tuynhiêndolầnđầutiêntiếnhànhnghiêncứukhoahọc,dothờigian,kinhnghiệmcóhạnnênkhóaluậntốtnghiệpnàycủaemcònnhiềuđiềucầnbổsung.Emkínhmongnhậnđượcsựgópýcủathầycô,cũngnhưcácbạnsinhviênkhoatoán

Đểhoànthànhbảnkhóaluậnnàyemđãnhậnđượcsự giúpđỡnhiệttìnhcủathầy,côgiáotrongkhoatoán,thầy(cô)giáotrongtổbộmôngiảitíchcùngcácbạnsinhviênlớpk32cửnhân-toán

Quađ â y emx i n b à y t ỏ lòngbiếtơnsâus ắ c củamìnhtớithầygiáo:TiếnSĩNguyễnVănHùngđãtậntìnhhướngdẫnchoe mhoànthànhkhóaluậnmộtcáchtốtnhất

Emxinchânthànhcảmơn.

Lờicảmơn

Lờinóiđầu

Nộidung:

Chương1:Kiếnthứcbổtrợ

trang

Bài1:Saiphân 3

Bài2:Sốgầnđúng, saisố 10

Bài3:Mộtsốkiếnthứcvềphươngtrìnhvi phânthường 16

Chương2:CácphươngphápgiảigầnđúngphươngtrìnhviphânthườngB à i 1:Một sốphươngphápgiảitích 22

Bài2:PhươngphápEulerv à Euler cảitiến 29

Bài3:PhươngphápRunge-Kutta 33

Bài4:Phươngphápsaiphângiảibàitoánbiên 45

Kếtluận 51

Tàiliệuthamkhảo 52

Lờicảm ơn

Emxinbàytỏlòngbiếtơnsâusắccủamìnhtớithầygiáo:TSNguyễnVănHùng-trưởngkhoatoánđãtậntìnhgiúpđỡemhoànthànhbảnkhóaluậnnày

Trongq u á trìnhhọctập,nghiêncứu,v à hoànthànhluậnvăne m đ ã nhậnđượcsựgiúpđỡ,đónggópýkiếncủathầycôgiáocùngcácbạnsinhviênkhoatoán.Emxintrântrọngcảmơncácthầycôgiáo,cùngcácbạnsinhviênvề sựgiúpđỡđó

Emxinchânthànhcảmơncácthầycôgiáotrongtổbộmôngiảitích,khoatoántrườngĐạihọcsưphạmHàNội2

đãtạođiềukiệnthuậnlợichoemtrongquátrìnhhọctậpvàlàmluậnvăn

HàNội,ngày13tháng4năm2010Ngườith

ựchiện:

ĐinhThịThu

Khóaluậnlàkếtquảcủabảnthânemtrongquátrìnhhọctậpnghiêncứuởbậcđạihọc.Bêncạnhđóemcũngđượcsựquantâm,tạođiềukiệncủacácthầycôgiáotrongkhoatoán,cácthầycôtổbộmôngiảitích.Đặcbiệtlàs ự giúpđỡtântìnhcủathầygiáoTSNguyễnVănHùng

Emx i n khẳngđịnhk ế t quảđ ề tài“ g i ả i gầnđ ú n g phươngtrìnhviphân”c

ủaemkhôngtrùnglặpkếtquảcủađềtàikhác

HàNội,ngày13tháng4năm2010Ngườithực

hiện:

ĐinhThịThu