Luận văn sư phạm Một số phương pháp giải gần đúng phương trình vi phân

18 Chương 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .... Vì vậy, nghiên cứu phương trình vi phân thường đóng một vai trò quan trọng trong lí thuyết toán học.. Chúng ta biế

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành bản khóa luận tốt nghiệp này, trước hết em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán, các thầy cô trong

tổ giải tích đã tạo điều kiện, giúp đỡ em trong thời gian vừa qua

Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo cho em trong suốt quá trình nghiên cứu khóa luận

Em xin chân thành cảm ơn

Hà Nội, ngày 25 tháng 4 năm 2013

Sinh viên

Trần Hồng Hạnh

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan khóa luận này là công trình nghiên cứu của riêng em

Trong khi nghiên cứu, em đã kế thừa những thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn

Những kết quả nêu trong khóa luận chưa được công bố trên bất kì công trình nào khác

Hà Nội, ngày 25 tháng 4 năm 2013

Sinh viên

Trần Hồng Hạnh

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 1

Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

§1 SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ 3

1 Khái niệm về số gần đúng, sai số tuyệt đối, sai số tương đối 3

2 Sai số tính toán 5

3 Bài toán ngược của bài toán sai số 8

§2 SAI PHÂN 9

1 Định nghĩa và tính chất 9

2 Một số công thức nội suy sử dụng sai phân 10

§3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG 12

1 Một số khái niệm 12

2 Một số phương trình vi phân đã biết cách giải 12

3 Định lí Pica – Lindolov (định lí tồn tại và duy nhất nghiệm) 14

4 Phương trình vi phân cấp 1 chưa giải ra đối với đạo hàm 16

5 Cách giải một số phương trình vi phân cấp cao 18

Chương 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 24

§1 PHƯƠNG PHÁP EULER VÀ EULER CẢI TIẾN 24

1 Phương pháp Euler 24

2 Phương pháp Euler cải tiến 26

§2 PHƯƠNG PHÁP RUNGE – KUTTA 29

1 Trường hợp m = 1 31

2 Trường hợp m = 2 31

3 Trường hợp m = 3 33

4 Trường hợp m = 4 35

5 Phương pháp Runge – Kutta có thể áp dụng để giải một hệ

phương trình vi phân cấp 1 hay một phương trình vi phân cấp cao 39

Chương 3: BÀI TẬP ÁP DỤNG 41

KẾT LUẬN 53

TÀI LIỆU THAM KHẢO 54

LỜI NÓI ĐẦU

Thoạt đầu, toán học được phát sinh do nhu cầu giải quyết các bài toán có nguồn gốc thực tiễn Cùng với sự phát triển của nội tại toán học

và các ngành khoa học khác, toán học chia thành hai lĩnh vực: toán học lí thuyết và toán học ứng dụng

Trong lĩnh vực toán học ứng dụng thường gặp rất nhiều bài toán liên quan tới phương trình vi phân thường Vì vậy, nghiên cứu phương trình vi phân thường đóng một vai trò quan trọng trong lí thuyết toán học

Chúng ta biết rằng chỉ có một số ít các phương trình vi phân thường

là có thể tìm được nghiệm chính xác, trong khi đó phần lớn các phương trình vi phân thường nảy sinh từ các bài toán thực tiễn đều không tìm được nghiệm chính xác Do dó, một số vấn đề đặt ra là tìm các phương pháp để xác định nghiệm gần đúng của phương trình vi phân thường

Xuất phát từ nhu cầu thực tiễn đó, các nhà toán học đã tìm ra nhiều phương pháp để giải gần đúng phương trình vi phân thường Trong các phương pháp đó, người ta đã phân làm 2 nhóm: nhóm thứ nhất gọi là các phương pháp giải tích cho phép tìm nghiệm gần đúng dưới dạng biểu thức giải tích, nhóm thứ hai gọi là các phương pháp số cho phép tìm nghiệm dưới dạng bảng

Là một sinh viên khoa Toán, trong khuôn khổ một bản khóa luận,

em xin được trình bày những hiểu biết của mình về một số phương pháp

số giải gần đúng phương trình vi phân thường

Được sự hướng dẫn tận tình của Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng cùng với lòng nhiệt tình say mê nghiên cứu khoa học, em đã chọn đề tài: “Một

số phương pháp giải gần đúng phương trình vi phân” Em đã đi sâu nghiên cứu hai phương pháp số: phương pháp Euler và Euler cải tiến, phương pháp Runge – Kutta

Nội dung bản khóa luận gồm ba chương

Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Một số phương pháp giải gần đúng phương trình vi phân

Chương 3: Bài tập áp dụng

Do thời gian và năng lực có hạn nên khóa luận của em còn nhiều thiếu sót, kính mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên

Hà Nội, ngày 25 tháng 4 năm 2013

Sinh viên

Trần Hồng Hạnh

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

§1 SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ

1 Khái niệm về số gần đúng, sai số tuyệt đối, sai số tương đối

a, Số gần đúng, sai số tuyệt đối, sai số tương đối

Trong thực tế tính toán, ta thường không biết số đúng a mà chỉ *

biết số gần đúng của a là a Đại lượng * a * a được gọi là sai số thực sự của a

Do không biết a nên  cũng không biết, nhưng ta có thể tìm *

được a0 sao cho a* a a ; (1.1)

Số a nhỏ nhất thỏa mãn (1.1) được gọi là sai số tuyệt đối của a

Trong phép đo nói chung, sai số tuyệt đối càng nhỏ thì càng tốt

Ví dụ 2 Đo độ dài hai đoạn thẳng AB, CD ta được a10 cm và 1



b cm, với a b0,01 Khi đó, ta có 0,01 0,1%;

10a

b, Sự thu gọn các số, sai số thu gọn

Xét số thập phân a được biểu diễn dưới dạng

s p

p p

p p





s

p nên a597,36 là số thập phân có phần lẻ gồm hai chữ số

*) Thu gọn a là vứt bỏ đi một số các chữ số hàng bên phải trong biểu diễn của a để được một số gần đúng a gọn hơn, nhưng vẫn đảm bảo độ chính xác cần thiết

*) Quy tắc thu gọn

s p

j j

p p

j j

p p

j j

j j

khi

khi

10.5,00

1010

.5,0

Nếu  0,5.10j thì j j nếu jlà chẵn và j j1 nếu j

lẻ vì tính toán với số chẵn tiện hơn

Ví dụ 3  3,1415923,141593,14163,1423,1431,3 Sai số thu gọn a0 là mọi số thỏa mãn điều kiện

aa

a 

Vì    j 

j

p p

a 10 10

j

j j

p p

a

a    10  0,5.10

Sau khi thu gọn, sai số tuyệt đối tăng lên

aaaaaaa

a*   *     

c, Chữ số chắc

Chữ số có nghĩa là mọi chữ số khác “0” và cả “0” nếu nó kẹp giữa hai chữ số có nghĩa hoặc nó đại diện cho hàng được giữ lại

Ví dụ 4 a0,0030140 Ba chữ số “0” đầu không có nghĩa

s p

p p

p p

i

a.10

trong đó  là tham số cho trước Tham số  được chọn để một chữ số vốn đã chắc sau khi thu gọn vẫn là chữ số chắc Giả sử chữ số chắc cuối cùng của a trước khi thu gọn là i Để i 1 và các chữ số trước nó vẫn chắc, phải có

1

10 

Trong tính toán, ta thường gặp 4 loại sai số sau:

+ Sai số giả thiết – do mô hình hóa, lý tưởng hóa bài toán thực tế Sai số này không loại trừ được

+ Sai số phương pháp – các bài toán thường gặp rất phức tạp, không thể giải đúng được mà phải sử dụng các phương pháp gần đúng Sai số này sẽ được nghiên cứu cho từng phương pháp cụ thể

+ Sai số các số liệu – các số liệu thường thu được bằng thực nghiệm do đó có sai số

+ Sai số tính toán – các số vốn đã có sai số, còn thêm sai số thu gọn nên khi tính toán sẽ xuất hiện sai số tính toán

Giả sử ta phải tính đại lượng y theo công thức y  f(x1, ,xn)

Giả sử xi(i1, ,n);xi(i 1, ,n) là các sai số tuyệt đối và sai

số tương đối tương ứng của các đối số Khi đó: sai số của hàm số

), ,

(x1 xn

f

y  được gọi là sai số tính toán

Giả sử hàm f là hàm số khả vi liên tục theo tất cả các biến x thì i

1 1

*

n

xxfyy

i n

xy

y

xx

y

xx

xy

Ln

xxxy

xxxy

n

n n n

ln

lnln

ln

lnln

2 1

2 1

2 2

1 2 2 1

2 2

1 '

2 ' 2 1

;

1

2 1

xxy

x

xxxxy

x

xy

xyx

xy

x x

Theo công thức tổng quát của sai số tính toán ta phải có

i n

fnx

xx

fy

fn

x  

khi đó y 

[)(



 f (x2h)2f(xh) f (x)

f(xh)f(x)

được gọi là sai phân cấp 2 của f(x) tại x

Tương tự nf (n  1f ) được gọi là sai phân cấp n

Giả sử f(x) được cho bằng bảng tại các giá trị cách đều của đối số: f(xi), xi  x0 ih (i 0,1, )

Khi đó, ta có thể lập bảng các sai phân cấp 1, cấp 2, … của f như sau

Chẳng hạn f3  f2  f3

b, Các tính chất

constc

xP

ff

gf

gf

n n

k k

k k k

)

.)(

)

)(

(( )1()

)()

.(

)

1

1

hinxfCf

xfCh

nx

f

i n n

i

i n

i n i

i n

2 Một số công thức nội suy sử dụng sai phân

Giả sử hàm y  f(x) dưới dạng bảng y i f(xi) tại các mốc xicách đều

)0(

 x h const i

xi iMốc nội suy được sắp xếp theo thứ tự x0 x1   xn

Ta tìm đa thức nội suy dưới dạng

)) (

(

))(

()(

1 1 0

hi

ya

xx

Mốc nội suy sắp theo thứ tự xn xn 1  x0

h

xx

t   n   n 

Đa thức nội suy Newton lùi tìm dưới dạng

)) (

(

))(

()(

haax

x

i i

§3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

1 Một số khái niệm

Phương trình vi phân thường bậc n là một hệ thức có dạng

0), ,

"

,',,(x y y y y( n ) 

Trong đó x là biến độc lập, y là hàm số cần tìm

) (

, ,

"

,'y y n

y là các đạo hàm của hàm số y (y là hàm số của x)

Cấp của phương trình là đạo hàm cấp cao nhất có mặt trong phương trình

Hàm số y(x) được gọi là nghiệm của phương trình (1.4) nếu thay y(x),y' ('x), ,y( n ) ( n )(x) vào (1.4) thì (1.4) trở thành đồng nhất thức

Hàm số y( cx, ) thỏa mãn (1.4) khi ( yx, ) chạy khắp D, với mọi c  R

2 Một số phương trình vi phân đã biết cách giải

a, Phương trình vi phân có biến số phân li

cxyf

dyy

fdxdy

cdxxfyxfdxdy

(

)()

(

)0)()

(

(

0)

(

)

()

(

)(0

)()()

()

(

1 2

1

2 2

1 2

2 1

M

dyyN

yNdxxM

xMdy

yNxMdxyNx

y' Giả thiết hàm số xác định với mọi x0

Để giải phương trình này ta đặt

+) Q( x) 0 thì gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất cấp 1

Công thức nghiệm tổng quát của phương trình là

xQe

y P ( x ) dx P ( x ) dx

)(

d, Phương trình Bernoulli

Dạng tổng quát: y'P(x)yQ(x)y

+)  1: phương trình tuyến tính thuần nhất cấp 1

+)  0: phương trình tuyến tính không thuần nhất cấp 1

+)  0 , 1: ta chia cả hai vế của phương trình cho y 

Sau đó, đặt z  y1   và đưa về phương trình tuyến tính không

thuần nhất

e, Phương trình vi phân toàn phần

Dạng tổng quát: P(x,y)dxQ(x,y)dy0 ; (1.5) Trong đó P(x,y),Q(x,y) là các hàm số liên tục cùng với các đạo

hàm riêng trên miền đơn liên D và thỏa mãn Qx'(x,y) Py'(x,y) trên D

Nếu D  R2, giả sử (x0,y0)D thì tích phân tổng quát của (1.5)

y y

x x

dyyxQdxyxPdyyxQdxyxPy

x

u

0 0

0 0

),()

,()

,()

,()

,

f, Phương trình vi phân đưa được về dạng phương trình thuần nhất cấp 1

a

cbyaxfdx

Nếu cc1 0 thì (1.6) là phương trình thuần nhất cấp 1

1 1



ba

bac

xx

, (,_const)

3 Định lí Pica – Lindolov (định lí tồn tại và duy nhất nghiệm)

Giả sử hàm f( yx, ) xác định và liên tục trong miền G

x y x x a y y b

G  ( , ):  0  ,  0 đồng thời thỏa mãn điều kiện Lipsit theo biến y Khi đó, tồn tại một dãy nghiệm gần đúng của phương trình f( yx, )

,min,

)

M

bah

yx

yx

dtttfyx

dtttfyx

x

n

x x

x x

)(,)

(

)(,)

(

)(,)

(

1 0

1 0

2

0 0

Dãy hàm n(x) gọi là nghiệm gần đúng của phương trình đã cho Ta sẽ chứng minh dãy n(x) hội tụ đều

Gọi (x) là nghiệm đúng của phương trình, ta có

  x

x

dtttfyx

0

))(,()

Đặt n(x) (x)n(x) , ta có

(,)

()

(,)

()()



Vì f( yx, ) thỏa mãn điều kiện Lipsit theo biến y , do vậy

dttL

dttt

, )2,1,0(

;)!

1(

)(

)(

!3

)(

2

)(.)

()

(

2

)(

)

(.)

()

(

1 0

3 0 2

2 0 2

1 2

2 0 0

0 1

0 0

0 0

xxMLx

xxMLdtxtMLdttLx

xxMLdtxtMLdttLx

n n

n

x x

x x

x x

x x

Từ đó, ta có n thì n( x) 0 và n(x)(x) trên đoạn ].

,

[x0 x0 h

Ta chứng minh (x) là duy nhất Giả sử có 2 hàm (x)&(x) là nghiệm của phương trình đã cho và thỏa mãn điều kiện ban đầu cho trước Xét

( ) ( ) 0 ;

x x

4 Phương trình vi phân cấp 1 chưa giải ra đối với đạo hàm

Dạng phương trình: F(x,y,y)'0 ; (1.8)Trường hợp 1: phương trình (1.8) giải được theo y

)',( yx

p

dxxdyp

xypy

dx

dppxpdpp

dxx

(

cxxy

cx

p

dyydxp

yx

py

pdxpdxdx

nghiệm của phương trình (1.11) là y  p0x(p0)

+ Nếu p( p) 0 thì

)13.1(

)(

)(')('

pp

pp

xdp

)

(')

(

)

('

pp

px

pp

pdp

)

(')

(

)

('

pp

px

p

pdp

Tích phân phương trình (1.14) ta được nghiệm tổng quát dạng tham số của phương trình (1.11) là

(

),

(

pc

ppy

cp

15

1

( là phương trình Lagrange với (y )' y'

Giả thiết hàm  là hàm phi tuyến tính (không tuyến tính)

)('

0

xp

c

pp

x

dp



Thay vào (1.16)     







)()

(

)

(

xx

xy

ccx

5 Cách giải một số phương trình vi phân cấp cao

a, Một số phương trình cấp cao đơn giản

*) Phương trình chỉ chứa biến số độc lập và đạo hàm cấp cao nhất

Fx,y( n )0 ; (1.18)+ Trường hợp 1: Nếu từ (1.18) ta giải ra được y( n )  f(x) với )

n n

n

dydxy

dy

1 )

( )

1 ( )

( ) 1

'

Tương tự

n n

n x

x

x x

x x

n

cdxxfy

0 1

)(

)

y

tx

(')(

)(')

('

1 1 1 )

1 (

) ( ) 1 (

ctc

dttty

dtttdxydy

dxydy

n

n n

n n

)(

)(

1 )

1

y

tx



+ Trường hợp 2: Giả sử từ (1.19), ta có thể biểu diễn y( n  1 ),y( n )

theo tham số t có phương trình dạng

)(

) (

) 1 (

ty

ty

dxy

(

)('

)(

)

(')

(

))((

1 1

ct

dttx

t

dt

tt

tddx

)(

)(')

()

(

)(')

(

2 2 ) 2 (

2 )

2 ( )

1 ( )

2

(

cty

cdtt

tty

dtt

ttdxydy

n

n n

2 2 ) 2 (

1 1

cty

ctx

2 1

1 1

n

y

ct

2

)(2'

)(2'

cdzzfz

dzzfz

)(2'

cdzzfdx

dz

cdzzfz

2 f z dz c

dzdx

2 f z dz c

dzc

Giải (1.22) sau đó thay z y(  n 2 ), ta đưa phương trình (1.22) về trường hợp đã giải ở trên

+ Trường hợp 2: Từ (1.21), ta có thể biểu diễn

) 2 (

) (

ty

ty

1 (

) ( ) 1 ( )

2 ( )

2

(

) ( )

1

(

n n

n n

n n

n n

dydxy

dxy

dydx

ydy

dxydy

Ta nhân hai vế của hai phương trình ta được

),()

(')('2

)(')(22

22

1 1 1 )

1 (

1 2

) 1 ( ) 2 ( ) ( 2 ) 1 (

) 2 ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( )

2 ( ) ( ) 1 ( ) 1 (

ctc

dttty

cdttty

dyyy

d

dyydy

ydy

ydy

y

n

n n

n n

n n n

n n

n n

),(

) (

1 1 ) 1 (

ty

cty

b, Các phương trình cấp cao hạ thấp cấp được

*) Phương trình không chứa hàm phải tìm và các đạo hàm đến cấp )

1

( k

Dạng phương trình: Fx,y( k ),y( k  1 ), ,y( n )0;(kn) ; (1.23)Đặt z  y(k ), ta có phương trình Fx,z,z', ,z( n k )0 ; (1.24)Giả sử (1.24) có nghiệm

( , , , ) ( ) ( , 1, , )

k k

ccx

( ) ( , 1, , )

k n

  ; (đưa nó về dạng phương trình chỉ chứa biến số độc lập và đạo hàm cấp cao nhất)

Nếu từ (1.24) ta tìm được tích phân tổng quát sau:

x,z,c1, ,cnk0

 thì ta có phương trình x,y(k),c1, ,cnk0; (đã biết cách giải ở trên)

*) Phương trình không chứa biến số độc lập

Dạng phương trình: Fy,y', ,y( n )0; (1.25)Đặt y ' z, ta có

dy

dz z dx

dy dy

dz dx

dz dx

dy y dx y

' '

'

.'''

'''

"

'''

dy

zdzdy

dzzz

zzy

dy

dzzzdy

dy

dzz

dzy

dx

dydydy

dzzddx

dy

dzzddx

dyy

y y

dy

z

ddy

dzz

thay vào phương trình đầu, ta được phương trình vi phân cấp ( n 1):

0, ,

,, ((1)1) 

n

dy

z

ddy

dzzy

Giả sử phương trình này có nghiệm tổng quát zy,c1, ,cn1;



1 1

1

dyc

xc

cy

dydx

Trong đó Fx,y,y', ,y( n ) là hàm thuần nhất đối với các biến từ

3 2

2 2

2

, ,',

'3

"

"

'2'

"

'2''

)'(

'''

zzzyzzyz

zyy

thay vào phương trình đầu

dxccxy

dyc

cxydxdy

ccxy

yc

cxz

n n

n n

), ,,()

, ,,(

), ,,(

'), ,,(

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

Chương 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG

"

!2

)(

)(')

()()

)(')

()()(xi 1 y xi xi 1 xi y xi

Công thức (2.2) cho ta tính được các giá trị yi(i 1, ,n)

Ta đặt như sau: xi1xi h; (i 01,, ,n1), do đó

),(

y (cho y  f(x) xác định trên tập X, h0, hconst, số gia

)()(x h f x

f

 gọi là sai phân cấp 1 của f(x) tại x)

Nhận xét: từ lí luận trên, ta thấy nếu n càng lớn thì đường gấp khúc này càng gần đường cong tích phân, nhưng nếu càng tăng n thì khối lượng tính toán sẽ tăng lên

Ví dụ 5 Tìm các nghiệm gần đúng của phương trình sau bằng phương pháp Euler:

2' xy

Để nâng cao độ chính xác của nghiệm gần đúng thông thường không trực tiếp dùng công thức (2.3), mà dùng phương pháp Euler dưới dạng cải tiến