TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2Người hướng dẫn khoa học PSG.TS KHUẤT VĂN NINH... Líi cam oanEm xin cam oan khâa luªn n y l cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa ri¶ng em d÷îi sü h÷îng d¨n cõa th¦y P
Trang 2TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
Người hướng dẫn khoa học
PSG.TS KHUẤT VĂN NINH
Trang 3Em xin ÷ñc b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc ¸n PGS.TS Khu§tV«n Ninh - Ng÷íi trüc ti¸p tªn t¼nh h÷îng d¨n, ch¿ b£o v ànhh÷îng cho em trong suèt qu¡ tr¼nh em l m b i khâa luªn cõa m¼nh.
çng thíi em công xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c th¦y cæ trong tê Gi£it½ch v c¡c th¦y cæ trong khoa To¡n - Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m H Nëi 2, Ban chõ nhi»m khoa To¡n ¢ t¤o i·u ki»n cho em ho n th nhtèt b i khâa luªn n y º câ k¸t qu£ nh÷ ng y hæm nay
M°c dò ¢ câ r§t nhi·u cè gng, song thíi gian v kinh nghi»m b£nth¥n cán nhi·u h¤n ch¸ n¶n khâa luªn khæng thº tr¡nh khäi nhúngthi¸u sât r§t mong ÷ñc sü âng gâp þ ki¸n cõa c¡c th¦y cæ gi¡o, c¡cb¤n sinh vi¶n v b¤n åc
Em xin ch¥n th nh c£m ìn!
H Nëi, th¡ng 05 n«m 2018
Sinh vi¶n
é Thà Thu H
Trang 4Líi cam oan
Em xin cam oan khâa luªn n y l cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa ri¶ng
em d÷îi sü h÷îng d¨n cõa th¦y PGS.TS Khu§t V«n Ninh Trongkhi nghi¶n cùu, ho n th nh b£n khâa luªn n y em ¢ tham kh£o mët
sè t i li»u ¢ ghi trong ph¦n T i li»u tham kh£o
Em xin kh¯ng ành k¸t qu£ cõa · t i: Ph÷ìng ph¡p ph¥n t½chAdomian gi£i g¦n óng c¡c ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng l k¸t qu£ cõa vi»c nghi¶n cùu v né lüc håc tªp cõa b£n th¥n, khængtròng l°p vîi k¸t qu£ cõa c¡c · t i kh¡c N¸u sai em xin chàu ho n
to n tr¡ch nhi»m
H Nëi, th¡ng 05 n«m 2018
Sinh vi¶n
é Thà Thu H
Trang 5Mð ¦u 1
1.1 Mët sè ki¸n thùc v· gi£i t½ch 31.1.1 B¡n k½nh hëi tö v kho£ng hëi tö cõa chuéi lôy
thøa 31.1.2 C¡c t½nh ch§t cì b£n cõa chuéi lôy thøa 41.1.3 Khai triºn h m th nh chuéi lôy thøa 51.2 Mët sè ki¸n thùc v· ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng 61.2.1 Mët sè kh¡i ni»m 61.2.2 Mët sè ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p mët gi£i ÷ñc
b¬ng c¦u ph÷ìng 71.2.3 Mët sè t½nh ch§t nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh vi
ph¥n tuy¸n t½nh 91.2.4 B i to¡n Cauchy 111.2.5 ành lþ tçn t¤i v duy nh§t nghi»m cõa b i to¡n
Cauchy 11
2 Ph÷ìng ph¡p ph¥n t½ch Adomian gi£i g¦n óng c¡c
Trang 6Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc É THÀ THU H
2.1 Ph÷ìng ph¡p ph¥n t½ch Adomian 122.2 Gi£i ph÷ìng tr¼nh Riccati 222.3 Gi£i ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n bªc cao 292.4 Gi£i ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n vîi c¡c i·u ki»n ban ¦u
suy bi¸n 35
3 Sü hëi tö cõa ph÷ìng ph¡p ph¥n t½ch Adomian 463.1 Sü hëi tö 463.2 C¡c v½ dö 48
Trang 7Líi mð ¦u
1 Lþ do chån · t i
To¡n håc l mët mæn khoa håc tü nhi¶n gn li·n vîi thüc ti¹n Süph¡t triºn cõa to¡n håc ÷ñc ¡nh d§u bði nhúng ùng döng cõa to¡nhåc v o vi»c gi£i quy¸t c¡c b i to¡n thüc ti¹n Trong thüc ti¹n nhi·u
b i to¡n cõa khoa håc, kÿ thuªt v mæi tr÷íng, d¨n ¸n vi»c gi£i
b i to¡n ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng, ch½nh v¼ vªy, vi»c nghi¶n cùuph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng âng mët vai trá quan trång trong to¡nhåc
Trong c¡c ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng, trø mët sè nhä lîp ph÷ìngtr¼nh vi ph¥n th÷íng ¢ ÷ñc håc: ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n t¡ch bi¸n,ph÷ìng tr¼nh Becnoulli, ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh thu¦n nh§t,ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n to n ph¦n, cán l¤i nâi chung khæng t¼m ÷ñcnghi»m mët c¡ch ch½nh x¡c Do vªy, mët v§n · °t ra l t¼m c¡ch ºx¡c ành nghi»m g¦n óng cõa c¡c ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng â.Xu§t ph¡t tø nhu c¦u n y, c¡c nh to¡n håc ¢ t¼m ra nhi·u ph÷ìngph¡p º gi£i g¦n óng ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng Ph÷ìng ph¡pph¥n t½ch Adomian l mët trong nhúng ph÷ìng ph¡p húu hi»u d¹ ¡pdöng º gi£i ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n, ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n
Vîi mong muèn t¼m hiºu v nghi¶n cùu s¥u hìn v§n · n y, d÷îi
sü h÷îng d¨n cõa PGS.TS Khu§t V«n Ninh em ¢ nghi¶n cùu
· t i: Ph÷ìng ph¡p ph¥n t½ch Adomian gi£i g¦n óng c¡cph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng º thüc hi»n khâa luªn tèt nghi»p
Trang 8Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc É THÀ THU H
2 Möc ½ch nghi¶n cùu
Khâa luªn nghi¶n cùu v· ph÷ìng ph¡p ph¥n t½ch Adomian gi£i g¦n
óng c¡c ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng
3 èi t÷ñng nghi¶n cùu
Nghi¶n cùu ùng döng cõa ph÷ìng ph¡p ph¥n t½ch Adomian gi£ig¦n óng c¡c ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng phi tuy¸n
4 Ph¤m vi nghi¶n cùu
C¡c ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p mët, c§p hai v ph÷ìng tr¼nh vi ph¥nc§p cao vîi i·u ki»n ban ¦u cho tr÷îc
5 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu
S÷u t¦m, nghi¶n cùu c¡c t i li»u li¶n quan
Vªn döng mët sè ph÷ìng ph¡p cõa Gi£i t½ch v Lþ thuy¸t ph÷ìngtr¼nh vi ph¥n
Ph¥n t½ch, têng hñp v h» thèng c¡c ki¸n thùc li¶n quan
6 C§u tróc · t i
Khâa luªn gçm ba ch÷ìng
Ch÷ìng 1: Ki¸n thùc chu©n bà
Ch÷ìng 2: Ph÷ìng ph¡p ph¥n t½ch Adomian gi£i g¦n óng c¡cph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng
Ch÷ìng 3: Sü hëi tö cõa ph÷ìng ph¡p ph¥n t½ch Adomian
Trang 9Ki¸n thùc chu©n bà
Trong ch÷ìng n y chóng ta tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m v· ph÷ìngtr¼nh vi ph¥n th÷íng v chuéi lôy thøa Nëi dung ÷ñc tham kh£otrong t i li»u [1], [2]
Chuéi lôy thøa luæn luæn hëi tö t¤i iºm x = a
N¸u ngo i iºm x = a chuéi ph¥n ký th¼ ta nâi chuéi lôy thøa ph¥n
ký khp nìi
N¸u chuéi lôy thøa khæng ph£i ph¥n ký khp nìi th¼ tçn t¤i sè R > 0
Trang 10Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc É THÀ THU H
an
an+1
1.1.2 C¡c t½nh ch§t cì b£n cõa chuéi lôy thøa
a Têng cõa chuéi lôy thøa l mët h m li¶n töc, hìn núa l mët h mkh£ vi væ h¤n trong kho£ng hëi tö cõa nâ v ta câ thº ¤o h m tøng
Trang 111.1.3 Khai triºn h m th nh chuéi lôy thøa
a N¸u h m f(x) kh£ vi væ h¤n trong kho£ng (a − R, a + R) câ thºkhai triºn ÷ñc th nh chuéi lôy thøa trong kho£ng â th¼ chuéi lôythøa n y ch½nh l chuéi Taylor cõa h m f(x)
c C¡c khai triºn lôy thøa cì b£n
• ex = 1 + x + x
2
2! + +
xnn! + , x ∈ (−∞, +∞)
• sinx = x −x
3
3! +
x55! − + (−1)n−1 x
2n−1
(2n − 1)!+ , x ∈ (−∞, +∞)
x2 x4 n x2n
Trang 12Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc É THÀ THU H
Nâi c¡ch kh¡c, mët ph÷ìng tr¼nh chùa ¤o h m ho°c vi ph¥n cõa h mc¦n t¼m ÷ñc gåi l mët ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n
Ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng câ d¤ng
F (x, y, y0, y00, , y(n)) = 0 (1.2.1)
trong â x l bi¸n ëc lªp; y l h m c¦n t¼m v nh§t thi¸t ph£i câ
¤o h m ( ¸n c§p n o â) cõa ©n y; y0, y00, , y(n) l c¡c ¤o h m cõa
Trang 13gåi l nghi»m têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh (1.2.1) n¸u
+ Måi (x, y) ∈ D (D l mi·n x¡c ành cõa ph÷ìng tr¼nh) ta câ thºgi£i ra èi vîi c: c = ψ(x, y)
+ H m y = ϕ(x, c) thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh (1.2.1) khi (x, y) ch¤ykhp D, vîi måi c ∈ R
f (y) = x + c.+ Ph÷ìng tr¼nh M1(x).N1(y)dx + M2(x).N2(y)dy = 0
M1(x) N2(y)
Trang 14Khâa luªn tèt nghi»p ¤i håc É THÀ THU H
... Adomian giÊi gƯn úng cĂc phữỡng trẳnh vi phƠn thữớng
Trong chữỡng ny trẳnh by và phữỡng phĂp Adomian vphữỡng phĂp Adomian cÊi biản giÊi cĂc bi toĂn Cauchy ối vợiphữỡng trẳnh vi. ..
Phữỡng phĂp phƠn tẵch Adomian giÊi cĂc phữỡng trẳnh vi phƠn
ữủc minh hồa bơng cĂc vẵ dử sau
Vẵ dử 2.1.1 Sỷ dửng phữỡng phĂp phƠn tẵch Adomian giÊi phữỡngtrẳnh vi phƠn
dy
dx... xĐp x cừa bi toĂn
Vi? ??c giÊi cĂc phữỡng trẳnh vi phƠn bêc cao bơng phữỡng phĂp phƠntẵch Adomian ữủc minh hồa bi cĂc vẵ dử sau
Vẵ dử 2.3.1 GiÊi phữỡng trẳnh vi phƠn sau
y(4)