Giải gần đúng phương trình vi phân thường khóa luận tốt nghiệp

Trong lĩnh vực toán học ứng dụng thường gặp rất nhiều bài toán có liên quan đến việc giải phương trình vi phân, việc nghiên cứu phương trình vi phân thường đóng vai trò rất quan trọng tr

Lời nói đầu

Toán học bắt nguồn từ nhu cầu giải quyết các bài toán có nguồn gốc thực tiễn Cùng với thời gian, toán học ngày càng phát triển chia thành hai lĩnh vực đó là: Toán học lý thuyết và toán học ứng đụng Trong lĩnh vực toán học ứng dụng thường gặp rất nhiều bài toán có liên quan đến việc giải phương trình vi phân, việc nghiên cứu phương trình vi phân thường đóng vai trò rất quan trọng trong lý thuyết toán học

Chúng ta biết rằng chỉ một số ít phương trình vi phân thường là có thé tìm được nghiệm chính xác Trong khi dó phần lớn các phương trình vi phân nảy sinh từ các bài toán thực tiễn đều không tìm được nghiệm chính xác Do vậy chúng ta phải nhờ tới các phương pháp xấp xỉ để tìm nghiệm gần đúng Xuất phát từ nhu cầu đó, các nhà khoa học đã nghiên cứu tìm ra nhiều phương pháp để giải gần đúng phương trình vi phân thường

Là một sinh viên chuyên nghành toán em may mắn có cơ hội nghiên cứu về đề tài: “Giải gần đúng phương trình vi phân thường” Dưới sự giúp

đỡ tận tình, sự chỉ bảo ân cần của thầy giáo: TS Nguyễn Văn Hùng Với sự

say mê toán, sự tích cực tìm tòi nghiên cứu của mình em đã hoàn thành được

để tài nghiên cứu này

Đề tài của em gồm 3 phần: Lời nói đầu, nội đung, kết luận

Nội dung gồm:

Chương 1: Các kiến thức bố trợ Chương 2: Giải gần đúng phương trình vi phân thường Nhân địp này em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến thầy giáo: TS Nguyễn Văn Hùng đã tận tình hướng dẫn em hoàn thành đề tài này

Em xin cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô giáo khoa toán, các thầy cô

lớp k32 cử nhân toán, đã giúp đỡ, đóng góp ý kiến cho em trong suốt quá trình hoàn thành bản khóa luận này

Do lần đầu tiên tiếp xúc với nghiên cứu khoa học và do thời gian có hạn nên để tài của em chắc chắn không thể tránh khỏi thiếu sót Em mong được sự thông cản của các thây cô giáo cùng các bạn sinh viên

Hà nội ngày 5 thang 4 năm 2010

Dãy số x,,x„, ,x„ được gọi là:

Bị chặn trên nếu tồn tại số ÄM⁄ sao cho x,<M voi moi

Bị chặn dưới nêu tôn tại sô m sao cho x, >m véi moi n=1,2 Dãy bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới

1.1.2 Giới hạn của dãy số

Ta nói rằng dãy số {x,} có gới hạn là a nếu với mọi số dương ¢ cho trước (nhỏ hơn bao nhiêu tùy ý), tồn tại một số tự nhiên N sao cho véi moi

n>WN thi |x, al <é.Ta viét limx, =a hay viét la limx, =a

1.1.3 Téng n s6 hang dau tiên của dãy số:

Cho dãy số {x,} tổng n số hạng đầu tiên của dãy số được kí hiệu là

a Khái niệm sai phân:

Giả sử ƒ : Ñ —> Ñ là một hàm số cho trước và # là một hằng số khác 0

ta gọi A°f (x)= f(x) 1a sai phan cap 1 cia hàm số y= ƒ(x)

là sai phân cấp hai của hàm số y = ƒ (x)

% |fo (4 | Mf JAP, | ANF,

Bắt đầu từ cột 3 mỗi phần tử bằng hiệu của 2 phần tử dòng dưới và

dòng trên của cột liền trước

Vi du: Af,=f,-f4

1.1.6 Tinh chat sai phan

a Sai phân A là toán tử tuyến tính xác định trên không gian X các hàm số xác định trên R, nghia la voi moi a, BER, voi moi ham số ƒ,ø thì: A(af + Bg)=aAf + Bag

A*(x')=A(Ay')=A(nhv”) [ee at a(n")

Do đó: A"(x")=n!h" 16 rang A"(x")=nth" = const

2 h"

p(x +h) = p(x) +2 p(x )+ Pe x) + p(x) (do p(z) là đa thức bậc nnên Vi >ø ta có p”=0)

Thật vậy:

A‘ f(x) =A] A‘ f(x) ]=A] ai f* (x+'kn) | (rong đó Ø'e(0,1))

Ap dung công thức tính số gia hữu hạn cho f™ (x+6'kh)

Đặt Ø= ,Øe(0,1)

Hệ quả:

A" f(x) mm

Nếu ƒ(x)<(C'[a,b] khi h đủ nhỏ ta có ƒ”(x)=

Nhận xét:Voi ham ƒ (x) xác định trên tập số nguyên Z và coi rằng

Với Ay,=y,¡—y,=ƒ(i+1)—= ƒ()=ƒ(i+h)= ƒ() (ñ=1)

Vậy :Ö_Ay, = Y„u — }i

isl

Sai phân cấp ¡ của đa thức bậc n là:

Hang sé, khi i=n (theo tinh chất b )

Đa thức bậc ø—¿ khi i<n ( theo tính chất c ) Bang 0 khi i>n (theo tinh chất c )

Ví dụ 2: Cho số x=e;a=2,71:a” =e

2,71<a” <2,718 ; A, =0,008 2,71< <2,7182 ; A,=0,0082 Trong phép đo nói chung sai số tuyệt đối càng nhỏ càng tốt

Ví đụ 3: A=500m A,=0,09

B=4km A,=lŨm

_ 0,09 _ 9

; 500 0,00018 = —— 50000

— 10 1

’ 4000 400 Phép đo B chính xác hon phép do A

Vậy độ chính xác của phép đo phản ánh qua sai số tương đối

Ta thay p—q=-2 nén a=52,18 1a sé thập phân có phần lẻ gồm 2 chữ

Thu gọn z là vứt bỏ một số các chữ số bên phải của a để được một số

a ngắn gọn hơn nhưng vẫn đảm bảo độ chính xác cần thiết

Trong dé: B= b2

Vi du 6:

2,718281828 = 2,71828183 = 2,7182818 = 2,718282 = 2,71828 = 2,7183

= 2,718 = 2,72 ~2,7

Giả sử sô thu gọn của ø là đ ta có: la —| <T,

le’ -a|=|a` -a+a-a|s|a’ -a|+|a-a|=A,T,

Nhận xéi: Khi thu gon số œ thì sai số tuyệt đối của a với 4” lớn hơn

hoặc bằng sai số tuyệt đối của a” và a

1.2.1.3 Chữ số có nghĩa, chữ số chắc

a Chữ số có nghĩa: Là mọi chữ số khác 0 và cả chữ số 0 nếu nó kẹp

giữa 2 chữ SỐ cÓ nghĩa hoặc nó đại diện cho hàng được giữ lại

Vi du 8: a=8,60432 A, =0,001=10” khi đó:

a=8.10° +6.10'+0.107 +4.10° +3.107 +2.10°

Chon w=1 thi a co bốn chữ số chắc là: 8,6,0,4 còn lại hai chữ 86

không chắc là: 3,2

Chon @ =5 thì a có ba chữ số chắc là: 8,6,0 còn lại ba chữ số không

Giả sử ta phải tính đại lượng y theo công thức y=ƒ(X;3; X,)-

Gọi x” =(x #„) sy = f(x’) la các giá trị đúng Giả sử ta không biết các giá trị đúng này ta chỉ biết các giá trị gần đúng là x=(x, x„); y=ƒ(x) là

các giá trị gần đúng của y"”

Giả sử Ax,(¡=1,2, ,n); ởx;¡; (i=l,2, m) là các sai số tuyệt đối và

tương đối tương ứng của các đối số Khi đó sai số của hàm số y= ƒ (x, x,)

được gọi là sai số tính toán

Giả sử hàm ƒ(x, x,) là hàm số khả vi liên tục theo tắt cả các biến

Va yas Dinh 5=—= In Ax, as

1.2.2.1 Sai số của một tông

Nếu y= th y,=1 (i=L ,n) vay ta có:

1.2.2.3 Sai số của một thương

1.2.2.4 Sai số trong phép tính logarit:

y=lnx Suyra A,=ôx

1.2.3 Bài toán ngược của bài toán sai số

Giả sử y= ƒ(x,.x; x„) Cần tính A„ để A,<£ (e>0)cho trước

Theo công thức tổng quát của sai số tính toán ta phải có:

Vi du 9: một hình trụ có chiều cao ~3m, bán kính đáy R=2m Tìm

Ah, AR, s6 z để thể tích V được tính chính xác đến 0,1 mẺ

Giải:

V=zR°h ; Av=0,Im` ; h=3m; R=2m,n=3

av OR = 27Rh x 37,7 suy ra AR = 0,1 <0,001

>

Trong dé x 14 bién sé déc lập, y là hàm phải tìm

Cấp của phương trình là đạo hàm cấp cao nhất có mặt trong phương

Hàm số y =ø(3) được gọi là nghiệm của phương trình (1.3.1.1) nếu

thay y=9(x) sy'=9'(x), 5 yl” =""(x) vào (1.3.1.1) thì ta được đồng

Ham y=@(x,c) thoa man k(1.3.1.1)

Thi (x,y) chạy khắp D v6i VceR

1.3.2 Một số phương trình vi phân đã biết cách giải

a Phương trình vi phân có biến số phân li:

@ F(x) suy ra y=[7(x)&x+€

dy = f(y) suy ra dx ayer’

M,(x).N, (y).dx+M,(x).N,(y).dy =

M

TP 10) pp No) 9 Nye (N, (y).M, (x) #0) ve

b Phương trình vi phân cấp I thuần nhất:

® — Ƒ(x.y): ƒ(xw)=f*ƒ(xy): (r>0) dx

Để giải phương trình dạng này ta đặt =~ sau d6 dua vé VIỆC giải

x phương trình vi phân có biến số phan li

c Phương trình vi phân tuyến tính cấp I

Công thức nghiệm tổng quát của chọn trình:

y=e mee (so(x yer? 40)

d Phương trình vi phân đưa được về dạng phương trình thuần nhất cấp I

Néu c= é =0 thì (3) là phương trình thuần nhất cấp 1

ab

Néu c #0; ¢, #0; #0

aD Dat ae ặt: (a, B là hằng số) ơ,/ là hằng số

y=y+Ø

e Phwong trinh Bernoulli

Dang téng quat:

a@=1: (1.3.1.4) tré thành phương trình tuyến tính cấp 1

œ=0: (1.3.1.4) trở thành phương trinh phi tuyến tính không thuần nhất cấp 1

a#0; œz#l, ta chia 2 về của phương trình (1.3.1.4) cho y“ sau đó đặt z= yh“ và đưa về phương trình tuyến tinh không thuần nhất

1.3.3 Định lý Pica-Lindolov (định lý tôn tại và duy nhất nghiệm)

Giả sử hàm ƒ (x, y) xác định và liên tục trong miền G:

Day ham {9, (x)} gọi là nghiệm gần đúng của phương trình đã cho Ta

sẽ chứng minh dãy 9, (x)} hội tụ đều Gọi ø(3) là nghiệm đúng của phương

lolx) —wlf= [Lr (ote) Fowles [|r (e0()F (w(t

< Lflo(t)- y(t)\dt< L[suplo()—v (Nhat = Lsup|ø(r)~w(r)(x—x)

sup|ø(+) - y(x)| <La sup|ø(x) -V(z):

Tương đương (1— La)sup|ø(x) - y(x)| <0

(1-La)>0 suy ra sup|ø(x)—w(x)| <0

lø(x)~w(x)|=0: Yx

Suy ra @=V

Vậy ø(x) duy nhất

Chương 2: Các phương pháp giải gần đúng

phương trình vỉ phân thường

2.1: Một số phương pháp giải tích

2.1.1 Định nghĩa hàm số Lipsit:

Hàm số ƒ (x, y) được gọi là Lipsit theo biến y trên miền G nếu

3k >0 sao cho: |ƒ (x, y,)— ƒ (x; y;)|<k|y; — Vị

Tính chất:

; V(x y;) eG; j =1,2

i Néu f(x,y) là Lipsit đối với biến y trong miền G thì liên tục đều

theo biến y, đối với mỗi x sao cho (x,y) eG

ii, Néu f(x,y) la hàm liên tục theo x thỏa mãn điều kiện Lipsit đối với biến ytrong miền G thì ƒ (x, y) là liên tục trong miền G

2.1.2 Phương pháp xấp xỉ liên tiép Picard

Xét bài toán Cauchy:

Tìm y(x) thỏa mãn điều kiện:

y'=f(xy) (2.1.2.1) (x <x<x)

v(ạ)=wy (2.122) (y./eR")

Trong đó hàm ƒ (x, y) thỏa mãn điều kién Lipsit theo biến y trên miền

mở D:

V(x,y); (xy) eD; f(x»)~7(xy)}<M|y=|

Giả thiết rằng các điều kiện tồm tại duy nhất nghiệm được thỏa mãn Việc giải bài toán trên tương đương với việc tìm nghiệm của phương trình tích phân sau:

y(x)= yy + [Zt.yt))# (2.1.2.3) Nội dung của phương pháp xấp xỉ liên tiếp Picard là thay côh việc

tìmnghiệm đúng của (2.1.2.3) ta tìm nghiệm gần đúng thứ n theo công thức

Trong đó y(x) là nghiệm đúng của phương trình (2.1.2.3) Trừ từng về

của (2.1.2.3) cho (2.1.2.4) ta được:

s)=»/(3)=[[fGxy)= 7y, )]#y:

Từ đó: ø(x)=|y(x)=y,(9J< [|#(xy)= #xy,,)J@

Vì ƒ (x, y) thỏa mãn điều kiện Lipsit heo biến y do vậy:

Áp dụng liên tiếp (9) ta được:

Để xét tốc độ hội tụ ta làm như sau:

Hàm ƒ (x, y) =+?+y? xác định trên toàn mặt phẳng nên có thể chọn

y\ <b;a,b> 0} a,b tùy ý Đặt: b= ka, khi đó miền G là: G={(x.y):|a|<a:

Ta có: x°+y?<a? +b? =a?(L+k?)=M

Nếu k cố định thì giá trị lớn nhất của h đạt được khi:

= que) Bm) N6 suy ra a= Vi k M suy ra h= ek k

v2

Dé thay maxh= 2

đạt được khi k =1

Vì vậy quá trình xấp xi liên tiếp dé tìm nghiệm của (2.1.2.7)hội tụ (ít

Ja

nhat) trong doan ys ,từ hị<*? suy ra Iy|=|ka|=la|<-—:

Hằng số Lipsit được xác định như sau:

L=max

y a max|2y| = V2 pic Voi |x| <2 thi gia trị y; (x) va y; (x) kha gan nhau:

Ưu điểm của phương pháp Picard là tìm nghiệm gần đúng dưới dang

giải tích Nhược điểm lớn nhất là tích phân đòi hỏi phải lay được tường minh

2.1.3 Phương pháp chuỗi số nguyên

Đề giải gần đúng phương trình vi phân trong một số trường hợp ta có thể sử dụng một số phương pháp khai triển nghiệm theo công thức Taylor Trong lân cận điểm (%; Yo) và giữ lại một số các số hạng cần thiết Ta thấy các phương pháp này chỉ có lợi khi khoảng cần xác định nghiệm là một lân

cận khá bé của điểm (xạ y,)

Giả thiết là hàm f(x,y) 6 vé phai của phương trình (2.1.2.1) là giải

tích trong lân cận điểm (x Yo): Điều đó có nghĩa là hàm ƒ (x, y) khia trién được thành hai chuỗi số nguyên

oO

ƒ(x.y)= » a„(x—xụ} (Y= Yo)"

k,m=0

Và chuỗi nay hội tụ trong lân cận điểm (xạ, yạ) với gái thiết đó bài toán cosi có n(2.1.2.1),(2.1.2.2) ghiệm duy nhất trong một lân cận đủ bé của Xy va

y"(%) =f = (xạ, Yo) +2f "oy (x yạ)-y (xạ) +f \ (x, ¥o)-¥"(%)

+h" sy (xo yor")

Nhận xét: phương pháp chuỗi số nguyên rất dé thực hiện bởi vi ta chi

việc tính đạo hàm Nhưng tính toán rất phức tạp, hơn nữa bán kính hội tụ của

chuỗi y`(>+) rất khó xác định

Ví dụ 3: Bằng phương pháp chuỗi số nguyên tìm nghiệm gần đúng của

bài toán Cauchy sau: 4 dx

Giải:

y"(x) =2x+2y.y'

y"(x)=2+2(y} +2y"

y!(x)=6y'.y"+2y."

y'(x)= 6(y") +8y'y"+2y.y

y°(x)=2y.y +10y!.yf) +20y",y"

y'(x)=2y.y® +12y'.y +30y".y) +20(y")”

Thế x=0 vào các biểu thức trên ta có:

y"(0)=0 y"(0)=2

y'(0)= y'(0)= y°(0)=0

y'(0)=80

2.2: Phương pháp Euler và Euler cải tiến

2.2.1 Phuong phap Euler:

Tir diém ban dau A(X, Yo) của đường cong tích phân, nhờ phương

trình vi phân y'= ƒ(x,y) ta có thể xác định gần đúng giá trị của y(x) ở các

điểm tiếp theo: Xụ <#\< <X,=Xg+d bằng phương pháp đơn giản sau đây:

Theo công thức Taylor ta có:

y{3¡u)= y(x,)+ (Xu —x,)-y (3) +5} ya(g (2.2.1.1) Trong d6 x,<¢<x,,,

Néu ta chia doan [xX +a] thanh n phan bang nhau sao cho khoang cách giữa chúng càng bé thì ta có thể bỏ qua Số hạng cuối cùng trong khai

triển (2.2.1.1) và khai triển này chỉ còn:

2.2.2 Phuong pháp Euler cải tiến:

Nhược điểm của phương pháp Euler là ở chỗ trong Ay, chi tính dén gia trị đạo hàm ở điểm (x, y,)3 Ay, =hf (x, y;) mà không chú ý đến sự thay đổi của đạo hàm nên sai số lớn Phương pháp hình thang hay còn gọi là phương pháp Euler -Cauchy giúp ta tránh bớt những nhược điểm trên

Ta có sai số của phương pháp Euler:

Ví dụ: Sử dụng phương pháp Euler cải tiến tìm nghiệm gần đúng của:

2.3: Phương pháp Runge Kuta 2.3.1.Phương pháp Runge lần đầu tiên được Runge đề ra, sau đó được Kuta

và Hayner cùng các nhà toán học khác hoàn chỉnh

Điều kiện ø„(0)=0 luôn được thỏa mãn Bây giờ ta xét các điều kiện

nO Of, Of 2 Fh | Ho, - Ho | H

Yor ar +2 fo ôcôy T9 “ấy? dã cu Lập