Luận văn sư phạm Giải gần đúng phương trình vi phân thường

L i nói đ u

Toán h c b t ngu n t nhu c u gi i quy t các bài toán có ngu n g c

th c ti n Cùng v i th i gian, toán h c ngày càng phát tri n chia thành hai

l nh v c đó là: Toán h c lý thuy t và toán h c ng d ng Trong l nh v c toán

h c ng d ng th ng g p r t nhi u bài toán có liên quan đ n vi c gi i ph ng trình vi phân, vi c nghiên c u ph ng trình vi phân th ng đóng vai trò r t quan tr ng trong lý thuy t toán h c

Chúng ta bi t r ng ch m t s ít ph ng trình vi phân th ng là có th tìm đ c nghi m chính xác Trong khi dó ph n l n các ph ng trình vi phân

n y sinh t các bài toán th c ti n đ u không tìm đ c nghi m chính xác Do

v y chúng ta ph i nh t i các ph ng pháp x p x đ tìm nghi m g n đúng

Xu t phát t nhu c u đó, các nhà khoa h c đư nghiên c u tìm ra nhi u ph ng pháp đ gi i g n đúng ph ng trình vi phân th ng

Là m t sinh viên chuyên nghành toán em may m n có c h i nghiên

c u v đ tài: “Gi i g n đúng ph ng trình vi phân th ng” D i s giúp

đ t n tình, s ch b o ân c n c a th y giáo: TS Nguy n V n Hùng V i s

say mê toán, s tích c c tìm tòi nghiên c u c a mình em đư hoàn thành đ c

đ tài nghiên c u này

tài c a em g m 3 ph n: L i nói đ u, n i dung, k t lu n

Em xin c m n s giúp đ c a các th y cô giáo khoa toán, các th y cô

t b môn gi i tích, các b n sinh viên khoa toán và t p th các b n sinh viên

l p k32 c nhân toán, đư giúp đ , đóng góp ý ki n cho em trong su t quá trình hoàn thành b n khóa lu n này

Do l n đ u tiên ti p xúc v i nghiên c u khoa h c và do th i gian có

h n nên đ tài c a em ch c ch n không th tránh kh i thi u sót Em mong

đ c s thông c n c a các th y cô giáo cùng các b n sinh viên

Hà n i ngày 5 tháng 4 n m 2010

hi u các giá tr đó là x 1 x x1;  2 x2; ;x k  và vi t dưy s đó d i xk

d ng x x1, 2, ,x k

M t hàm s x xác đ nh trên t p N các s t nhiên khác không đ c

g i là dưy s vô h n (hay g i là dưy s T p giá tr c a dưy s x g m vô s

ph n t x 1 x x1;  2 x2; ;x n xn Ng i ta th ng vi t dưy s d i

d ng x x1, 2, ,xn,

Dưy s x x1, 2, ,xn, đ c g i là dưy d ng n u t n t i s nguyên

d ng N sao cho 0 xn  c v i m i nN0 đây c là m t h ng s nào đó (và

1.1 2 Gi i h n c a dãy s

Ta nói r ng dưy s  xn có g i h n là a n u v i m i s d ng  cho

tr c (nh h n bao nhiêu tùy ý), t n t i m t s t nhiên N sao cho v i m i

là sai phân c p hai c a hàm s y f x 

0f

1f

0f

Ch ng minh:

Ta có: f g  x  f gx h   f g x

f x h  g x h  f x g x  f x h   f x g x h    g x 

i i

      1   2   2     

n n

i i

h

p xi

n

i i n i

n

i

n i



i in i

kk

Sai phân c p i c a đa th c b c n là:

Do đó a ta không bi t nên  c ng không bi t nh ng ta có th tìm

đ c   sao cho: a 0 a  a a 2.1 

S  a nh nh t th a mưn (2.1) đ c g i là sai s tuy t đ i c a a

T s a

aa

   đ c g i là sai s t ng đ i c a a

Ví d 1: Cho s xn a; 3,14;a n

3,14a 3,15 ;  a 0,01 3,14a3,142 ;  a 0,002

Ví d 2: Cho s xe a; 2,71;a e

2,71a 2,718 ;  a 0,008 2,71a 2,7182 ;  a 0,0082

Trong phép đo nói chung sai s tuy t đ i càng nh càng t t

Ví d 3: A500 m  a 0,09

B4km  b 10m



v n là ch s ch c Rõ ràng i là ch s ch c thì i1 c ng là ch s ch c

a8,60432 0,001 10

1 2.2.3 Sai s c a m t th ng

1 2

xyx

1.n y i

fxi

Ví d 9: m t hình tr có chi u cao h3m, bán kính đáy R2m Tìm , ,

R

V

R hr

0,1

0,0033,12

r

212,6

N u c  c1 0 thì (3) là ph ng trình thu n nh t c p 1

1 10; 0; a b 0



  (1.3.1.4) 1:

z y và đ a v ph ng trình tuy n tính không thu n nh t

1.3.3 nh lý Pica-Lindolov (đ nh lý t n t i và duy nh t nghi m)

x0 h x, 0  và dưy nghi m này là các hàm liên t c h i t đ u đ n nghi m h

duy nh t c a ph ng trình đư cho và th a mưn đi u ki n ban đ u

M f x y x y  G

Dãy hàm n x  g i là nghi m g n đúng c a ph ng trình đư cho Ta

s ch ng minh dưy n x  h i t đ u G i  x là nghi m đúng c a ph ng

Gi s có 2 hàm  x và  x là nghi m c a ph ng trình đư cho và

th a mưn đi u ki n ban đ u cho tr c

V y  x duy nh t

ii N u f x y  , là hàm liên t c theo x th a mưn đi u ki n Lipsit đ i

v i bi n ytrong mi n G thì f x y  , là liên t c trong mi n G

Gi thi t r ng các đi u ki n t m t i duy nh t nghi m đ c th a mưn

Vi c gi i bài toán trên t ng đ ng v i vi c tìm nghi m c a ph ng trình

tích phân sau:

Khi n  thì n x 0 và y xn y x  trên đo n x x0, 0  h

(xem ph n ch ng minh đ nh lý Picard_Lindolor)

Ví d 1: Áp d ng ph ng pháp Picard gi i bài toán Cauchy sau:

N u k c đ nh thì giá tr l n nh t c a h đ t đ c khi:

 2 suy ra 2

11

u đi m c a ph ng pháp Picard là tìm nghi m g n đúng d i d ng

gi i tích Nh c đi m l n nh t là tích phân đòi h i ph i l y đ c t ng minh

Ví d 2: Xét bài toán Cauchy:  

c n khá bé c a đi m x y 0, 0

Gi thi t là hàm f x y  , v ph i c a ph ng trình (2.1.2.1) là gi i tích trong lân c n đi m x y0, 0 i u đó có ngh a là hàm f x y  , khia tri n

đ c thành hai chu i s nguyên

Và chu i này h i t trong lân c n đi mx y 0, 0 v i g i thi t đó bài toán

cosi có n(2.1.2.1),(2.1.2.2) ghi m duy nh t trong m t lân c n đ bé c a x và 0

; 1,2, ,

!

k N

k N

Ví d 3: B ng ph ng pháp chu i s nguyên tìm nghi m g n đúng c a

bài toán Cauchy sau:

2 2: Ph ng pháp Euler và Euler c i ti n

2.2 1 Ph ng pháp Euler:

T đi m ban đ u A x y  0, 0 c a đ ng cong tích phân, nh ph ng

trình vi phân y' f x y , ta có th xác đ nh g n đúng giá tr c a y x   các

đi m ti p theo: x0  x1 xn   x0 a b ng ph ng pháp đ n gi n sau đây:

Theo công th c Taylor ta có:

N u ta chia đo n x x0, 0  thành n ph n b ng nhau sao cho kho ng a

cách gi a chúng càng bé thì ta có th b qua S h ng cu i cùng trong khai tri n (2.2.1.1) và khai tri n này ch còn:

khúc, goi là đ ng g p khúc Th c Euler ch t ph ng pháp Euler là ta thay

đ o hàm các m c x i b ng các t s sai phân c p 1 c a g (cho y f x  xác

đ nh trên t p ,x h0;hconst, s gia  f f x h   f x  g i là sai phân

c p 1 c a f x   t i x

2 ii i

xyy

Qua ví d ta th y sai s m c ph i trong ph ng pháp Euler là khá l n

B ng cách đánh giá tr c ti p nh công th c Taylor ta th y sai s m c ph i c

 2

0 h nâng cao đ chính xác c a nghi m g n đúng thông th ng ng i ta

không tr c ti p s d ng công th c (2.2.1.3) mà ph ng pháp Euler d i

d ng c i ti n

2.2 2 Ph ng pháp Euler c i ti n:

Nh c đi m c a ph ng pháp Euler là ch trong yich tính đ n giá

tr đ o hàm đi m x yi, i;  yi hf x y i, i mà không chú ý đ n s thay đ i

c a đ o hàm nên sai s l n Ph ng pháp hình thang hay còn g i là ph ng

pháp Euler -Cauchy giúp ta tránh b t nh ng nh c đi m trên

2 3: Ph ng pháp Runge Kuta 2.3.1.Ph ng pháp Runge l n đ u tiên đ c Runge đ ra, sau đó đ c Kuta

và Hayner cùng các nhà toán h c khác hoàn ch nh

i u ki n m 0  0 luôn đ c th a mưn Bây gi ta xét các đi u ki n còn l i:  1  

m m

R h  y   h (n u y'' gi i n i)

Ta đ c công th c Euler quen thu c và c l ng sai s c a nó

r rrr

181121

41

Ví d : S d ng ph ng pháp Runge Kutta tìm nghi m c a ph ng

h

x  1 0

02

k

y 

k2 0 2k2 0

02

h

x  2 0

02

k

y 

k3 0 2k3 00

0,02472

1

0,1 0,97528 0,24382 0,024779 0,024779 0,15 0,96289 0,24072 0,025429 0,050858 0,15 0,96257 0,24064 0,025413 0,050826 0,2 0,94987 0,23747 0,026557 0,026557

0,02550

2

0,2 0,94978 0,23745 0,026553 0,026553 0,25 0,93650 0,23413 0,028176 0,056352 0,25 0,93569 0,23392 0,028138 0,056276 0,3 0,92164 0,23041 0,030236 0,030236

2.4: P h ng pháp sai phân gi i bài toán biên

Trong đó g là các s đ c g i là nh ng đi u ki n biên c a ph ng

trình (2.4.1.1) cùng v i các đi u ki n (2.4.1.4) l p thành bài toán biên

Bài toán biên đ c g i là thu n nh t n u g 0;  1,m và

  0

f x 

Trong tr ng khác ta g i là không thu n nh t, đôi khi c ng có th g i

là bán thu n nh t n u g  nh ng 0 f 0 ta th y r ng  x  d nhiên 0

th a mưn bài toán biên thu n nh t Nghi m đó g i là nghi m t m th ng, ta

ch chú ý đ n nghi m không t m th ng D nhiên n u 1, ,k là nh ng

nghi m c a bài toán biên thu n nh t thì m t t h p tùy ý c a chúng

1 1 k k

c  c c ng là nghi m c a bài toán đó

2.4 2 i u ki n gi i đ c c a bài toán biên:

Có nh ng bài toán biên không có m t nghi m nào c :

toán biên (2.4.1.1); (2.4.1.3); (2.4.1.4) gi i đ c khi và ch khi ch n đ c các

h s c i trong bi u th c:   0 c1 1 c22  cnn; sao cho đi u ki n

(2.4.1.4) đ c th a mưn Vì v y đi u ki n c n và đ đ bài toán biên gi i

n n

N u ma tr n (2.4.2.1) có h ng r thì bài toán biên thu n nh t gi i đ c

và có n b c t do, vì v y nó có nghi m không t m th ng v i r mn

Trong tr ng h p mn bài toán biên thu n nh t ch có nghi m không t m

th ng khi đ nh th c c a ma tr n (2.4.2.1) b ng không Nh v y trong tr ng

h p mn ho c bài toán biên không thu n nh t có duy nh t m t nghi m ho c bài toán biên thu n nh t t ng ng có ít nh t m t nghi m không t m th ng

2.4 3 a bài toán biên v bài toán Cauchy

     1   

2

.b

mãn bài toán biên (2.4.3.1)

V y ta có th áp d ng các ph ng pháp gi i bài toán Cauchy vào vi c tìm nghi m g n đúng c a bài toán biên

Gi thi t r ng các hàm k x q x r x      , , hai l n kh vi sai phân hóa

bài toán biên (2.4.4.5); (2.4.4.6)ta dùng các công th c d ng (2.4.4.2);

k yh

Thay vào h gi i đ c: y1 0,7568

y2  0,3424

y3 0,1063

y4 0,0459

K t lu n

Gi i g n đúng ph ng trình vi phân th ng có r t nhi u cách Nh ng

do đi u ki n th i gian, trình đ , và n ng l c b n thân em có h n nên trong khóa lu n này em ch nêu ra m t s ph ng pháp th ng dùng

Qua quá trình nghiên c u, hoàn thành khóa lu n em đư rút ra nhi u đi u

b ích trong vi c nghiên c u khoa h c

V n đ nghiên c u còn r t nhi u đi u lý thú và b ích Tuy nhiên do l n

đ u tiên ti n hành nghiên c u khoa h c, do th i gian, kinh nghi m có h n nên

khóa lu n t t nghi p này c a em còn nhi u đi u c n b sung Em kính mong

nh n đ c s góp ý c a th y cô, c ng nh các b n sinh viên khoa toán

hoàn thành b n khóa lu n này em đư nh n đ c s giúp đ nhi t tình c a th y, cô giáo trong khoa toán, th y (cô) giáo trong t b môn gi i tích

cùng các b n sinh viên l p k32 c nhân-toán

Qua đây em xin bày t lòng bi t n sâu s c c a mình t i th y giáo:

Ti n S Nguy n V n Hùng đư t n tình h ng d n cho em hoàn thành khóa

lu n m t cách t t nh t

Em xin chân thành c m n

M c l c

trang

L i c m n L i nói đ u

N i dung:

Ch ng 1: Ki n th c b tr Bài 1: Sai phân 3

Bài 2: S g n đúng, sai s 10

Bài 3: M t s ki n th c v ph ng trình vi phân th ng 16

Ch ng 2: Các ph ng pháp gi i g n đúng ph ng trình vi phân th ng Bài 1: M t s ph ng pháp gi i tích 22

Bài 2: Ph ng pháp Euler và Euler c i ti n 29

Bài 3: Ph ng pháp Runge-Kutta 33

Bài 4: Ph ng pháp sai phân gi i bài toán biên 45

K t lu n 51

Tài li u tham kh o 52

L i c m n

Em xin bày t lòng bi t n sâu s c c a mình t i th y giáo: TS Nguy n

V n Hùng- tr ng khoa toán đư t n tình giúp đ em hoàn thành b n khóa lu n

này

Trong quá trình h c t p, nghiên c u, và hoàn thành lu n v n em đư

nh n đ c s giúp đ , đóng góp ý ki n c a th y cô giáo cùng các b n sinh viên khoa toán Em xin trân tr ng c m n các th y cô giáo, cùng các b n sinh viên v s giúp đ đó

Em xin chân thành c m n các th y cô giáo trong t b môn gi i tích, khoa toán tr ng i h c s ph m Hà N i 2 đư t o đi u ki n thu n l i cho em trong quá trình h c t p và làm lu n v n

Hà N i, ngày 13 tháng 4 n m 2010

Ng i th c hi n:

inh Th Thu

L i cam đoan

Khóa lu n là k t qu c a b n thân em trong quá trình h c t p nghiên

c u b c đ i h c.Bên c nh đó em c ng đ c s quan tâm, t o đi u ki n c a các th y cô giáo trong khoa toán,các th y cô t b môn gi i tích c bi t là

s giúp đ tân tình c a th y giáo TS Nguy n V n Hùng