Cơ sở trong không gian Banach

Nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài này được nghiên cứu nhằm đi sâu khai thác làm nổi bật nhữngtính chất đặc trưng của cơ sở tổng quát trong không gian Banach, mối liên hệgiữa cơ sở với một số dã

Khoá luận tốt nghiệp Vũ Thị Hương - K29K - Toán

2 Mục đích nghiên cứu

Quá trình thực hiện đề tài đã giúp em bước đầu làm quen với việcnghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu hơn về giải tích hàm, đặc biệt là tìmhiểu sâu về cơ sở trong không gian Banach

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Đề tài này được nghiên cứu nhằm đi sâu khai thác làm nổi bật nhữngtính chất đặc trưng của cơ sở tổng quát trong không gian Banach, mối liên hệgiữa cơ sở với một số dãy dặc biệt, tính đối ngẫu của cơ sở Từ đó, nghiêncứu sâu các tính chất đặc trưng của một số cơ sở cụ thể: cơ sở hội tụ tuyệtđối, cơ sở yếu và yếu* trong không gian Banach Qua đó, bổ sung thêmnhững tính chất quan trọng và làm phong phú thêm nội dung của bộ mônGiải tích hàm

4 Phương pháp nghiên cứu

Đề tài được hoàn thành dựa trên sự kết hợp các phương pháp: nghiêncứu lí luận, phân tích, tổng hợp, đánh giá

5 Cấu trúc khoá luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khoá luậngồm ba chương:

 Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

 Chương 2: Cơ sở trong không gian Banach

 Chương 3: Cơ sở hội tụ tuyệt đối, cơ sở yếu và yếu* trong không gianBanach

Trong suốt quá trình nghiên cứu, được thầy giáo – TS Bùi KiênCường chỉ bảo, giúp đỡ tận tình, em đã hoàn thành khoá luận này Một lầnnữa cho em được gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy

Em rất mong các thầy giáo, cô giáo cùng các bạn sinh viên trong khoa đónggóp ý kiến để đề tài này được hoàn thiện hơn

Hà Nội, tháng 05 năm 2007

Tác giả

Vũ Thị Hương

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Một số kí hiệu

F : kí hiệu là trường vô hướng, F =  hoặc F = 

A : lực lượng của tập A hữu hạn.

§1 Không gian Banach

1 Định nghĩa không gian định chuẩn và ví dụ

Định nghĩa 1.1 Không gian vectơ X được gọi là không gian tuyến tính

định chuẩn (không gian định chuẩn) nếu với mỗi x

Nếu chỉ có tính chất a), c) và d) thì được gọi là một nửa chuẩn

Định nghĩa 1.2 Cho X là một không gian tuyến tính định chuẩn

 Dễ thấy mọi dãy hội tụ trong không định chuẩn đều là dãy

Cauchy Tuy nhiên, điều ngược lại nói chung không đúng Ta nói rằng X

là không gian đầy nếu nó thoả mãn mọi dãy Cauchy đều hội tụ Khônggian tuyến tính định chuẩn đầy được gọi là không gian Banach

Định nghĩa1.3 Dãy x ntrong không gian Banach X là

a) Bị chặn dưới nếu inf

c) Chuẩn hoá nếu x n 1 với mọi n

lim

Nếu E là một tập compact trong  thì mọi phiếm hàm liên tục trên

E đều bị chặn Trong trường hợp này,

p p ,

n n

p p , ,

n

 gọi là không gian định chuẩn con của không

gian định chuẩn X nếu X 0 là không gian tuyến tính con của không gian

X và chuẩn xác định trên X 0 là chuẩn xác định trên X

Nếu X0 đồng thời là tập đóng trong không gian X thì X0 gọi là

không gian định chuẩn con đóng của không gian X

Định nghĩa 1.6 Không gian tuyến tính định chuẩn X gọi là không gian

tách được nếu tồn tại một tập đếm được trù mật trong X

là một dãy tuỳ ý trong không gian tuyến tính

 Bao tuyến tính hữu hạn của

T là đơn ánh hoặc 11 nếu Tx Ty khi và chỉ khi x y .

Ảnh hay miền giá trị của T là Range(T) T(X) Tx :

x X

T là toàn ánh hoặc lên nếu Range(T) Y.

Chuẩn của toán tử tuyến tính hoặc đơn giản là chuẩn của toán tử T là

T sup

x 1 Tx

T được gọi là bị chặn nếu T  

T là bảo toàn chuẩn hoặc đẳng cự nếu Tx

là toán tử tuyến tính ánh xạ không gian định

chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Khi đó

T liên tục T bị chặn.

Do đó, ta dùng các thuật ngữ liên tục và bị chặn thay thế cho nhau khi

nói về các toán tử tuyến tính

4 Không gian liên hợp, toán tử liên hợp

Định nghĩa 1.9 Cho X là một không gian tuyến tính định chuẩn trên

trường F Ta gọi không gian Xcác phiếm hàm tuyến tính liên tục

trên không gian X là không gian liên hợp (không gian đối ngẫu) của không gian X

Định lí 1.4 Nếu X là không gian định chuẩn, khi đó không gian đối ngẫu

Xlà không gian Banach với chuẩn

Định lí 1.5 Giả sử X là không gian Banach Khi đó, xX

x sup x, x X 

x1

Định nghĩa 1.10

a) Không gian liên hợp của không gian Xgọi là không gian liên

hợp thứ hai của không gian định chuẩn X và kí hiệu là X

Định nghĩa 1.11 Giả sử X,Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn, S là

toán tử tuyến tính bị chặn từ X vµo Y Toán

: Y

Dễ thấy Stuyến tính và với mọi y

Y

ta có

Vậy Slà một toán tử tuyến tính bị chặn.

Định lí 1.6 Nếu Slà toán tử tuyến tính liên hợp của toán tử tuyến tính

bị chặn S từ không gian tuyến tính định chuẩn X vào không gian tuyến tính

định chuẩn Y thì SS

5 Sự hội tụ yếu

Định nghĩa 1.12 Giả sử X là một không gian Banach.

a)Dãy x ncác phần tử của X hội

hội tụ theo chuẩn

b) Dãy x ncác phần tử của X hội tụ

u hoặc trong tôpô yÕu

Chú ý rằng, sự hội tụ yÕuchỉ áp dụng đối với sự hội tụ của

các phiếm hàm trong không gian đối ngẫu X Tuy nhiên, do Xlà khônggian đối ngẫu của chính nó, ta có thể chỉ ra sự hội tụ mạnh hoặc yếu

của các phiếm hàm trong Xcũng chính là sự hội tụ yÕucủa cácphiếm hàm này

Đặc biệt, nếu X là không gian phản xạ thì X X,

do đó

x



xn

yÕutrong X

x, x 

Bổ đề 1.1 Cho X là một không gian Banach.

a) Sự hội tụ mạnh trong X thì kéo theo sự hội tụ yếu trong X.

b) Sự hội tụ yếu trong Xkéo theo sự hội tụ yÕutrong X.

Bổ đề 1.2 Mọi dãy hội tụ yếu thì đều có chuẩn bị chặn trên, nghĩa là, nếu

§2 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.13 Cho không gian tuyến tính X trên trường F Ta gọi là

tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes X

thì công thức này xác định một chuẩn trên X

Định nghĩa 1.14 Không gian tuyến tính trên trường F cùng với một tích

vô hướng gọi là không gian tiền Hilbert

Như vậy, mọi không gian tiền Hilbert đều là không gian định chuẩn với chuẩn (1.2)

Định nghĩa 1.15 Ta gọi một tập H

đấy là không gian Hilbert nếu H thoả man các điều kiện:

x, x 

1) H là không gian tuyến tính trên trường F ;

 H được trang bị một tích vô hướng ,;

 H là không gian Banach với chuẩn x

Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H

là không gian Hilbert con của không gian Hilbert H

Ví dụ 1.6 a) L p

(E) là không gian Hilbert khi p 2 và tích vô hướng

đượcxác định bởi

l p không là không gian Hilbert

Định lí 1.7 Cho H là một không gian Hilbert và lấy x, yH.

là một dãy trong không gian

(x,e n ) được gọi là dãy các hệ số Fourier suy rộng.

Định lí 1.8 (Định lí Friesz) Nếu xlà một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert H thì tồn tại duy nhất phần tử y của H sao cho

Nhờ định lí Friesz, mỗi phiếm hàm tuyến tính liên tục xtrên

không gian Hilbert H tương ứng với một phần tử y H Hiển

nhiên tương ứng đó vừa tuyến tính vừa đẳng cự Vì vậy ta có thểđồng nhất mỗi phiếm hàm

H Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương:

d) x 

x, x n x n

xH

Định lí 1.11 Không gian Hilbert H có cơ sở trực chuẩn khi và chỉ khi

không gian đó là tách được.

Định nghĩa 1.17 Cho S là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian

Hilbert X vào không gian Hilbert Y Toán tử Sánh xạ không gian Y vào không gian X gọi là toán tử liên hợp của toán tử S

Định nghĩa 1.18 Giả sử H là không gian Hilbert.

a) Toán tử tuyến tính bị chặn S ánh xạ không gian Hilbert H vào chính nó gọi là tự liên hợp nếu Sx, y x,Sy x,

y H Có thể chỉ ra rằng S là tự liên hợp khi và chỉ khi

và (aij ) (aji )

§3 Các nguyên lí cơ bản của giải tích hàm

là một hàm giá trị thực trên X thoả mãn

xX,

(x) p(x)

và x Y,(x) (x)

Hệ quả 1.1 Cho X là một không gian tuyến tính định chuẩn và lấy Y

là một không gian con của X, Y Khi đó, tồn tại

x .

n

Nếu H là một không gian Hilbert thì HH Do đó, hệ quả 4 suy

ra

rằng dãy

x n trong không gian Hilbert H là đầy nếu và chỉ nếu mỗi y  H thoả mãn x n , y 0 với mọi n thì y 

Định lí 1.13 (Nguyên lí bị chặn đều) Cho X là một không gian Banach và

Y là một không gian tuyến tính định chuẩn Lấy T

tính bị chặn từ không gian Banach X lên không gian Banach Y Khi đó

T(U) T(x) : x Ulà tập mở trong Y khi U là tập mở trong X.

Định lí 1.15 (Nguyên lí ánh xạ ngược). Một song ánh liên tục

T : X Yánh xạ không gian Banach X lên không gian

lên không gian Banach Y là một phép đồng phôi tuyến tính.

Định lí 1.16 (Nguyên lí đồ thị đóng) Cho toán tử tuyến tính T ánh

xạ không gian Banach X lên không gian Banach Y Toán tử T liên tục khi và

chỉ

khi graph(T) (x, y) X

Y : y T(x) là tập đóng trong X Y,

nghĩa là T bị chặn nếu và chỉ nếu với mỗi

(x n x vµT(x n ) y)

y  T(x)

Ta thấy trong định nghĩa 2.2 không đòi hỏi

chuỗi tới cùng một giá trị với mọi sự hoán vị  

x (n)

phải hội tụ

Ví dụ 2.1 Cho

e n là một dãy trực chuẩn vô hạn trong không gian Hilbert

H vô hạn chiều Khi đó, từ định lí1.9a), chuỗi 

dãy

trực chuẩn Từ đó suy ra 

c n e n

hội tụ nếu và chỉ nếu chuỗi đó hội tụ vô

điều kiện và điều này xảy ra với mọi (c )l 2

hội tụ vô điều kiện nhưng không

hội tụ tuyệt đối

Chú ý rằng trong ví dụ này, ta có thể mô tả chính xác tập hợp các hệ

c n a n hội tụ hoặc hội tụ

2 Mối liên hệ giữa sự hội tụ tuyệt đối và sự hội tụ vô điều kiện của chuỗi trong không gian Banach



n M

1

c(n)

là một chuỗi các vô hướng thực hội tụ vô điều

kiện nhưng không hội tụ tuyệt đối Lấy ( p n

hướng phức hội tụ vô điều kiện ta sẽ chỉ ra phần thực và phần ảo của

c n hội tụ vô điều kiện

phải hội tụ vô điều kiện Do đây là chuỗi các vô hướng

thực nên chuỗi đó phẩi hội tụ tuyệt đối Tương tự,

§2 Cơ sở trong không gian Banach

1 Cơ sở Hamel

a) Định nghĩa

Định nghĩa 2.3 Một tập hợp hữu hạn các phần tử x x1, ,

n

trong không gian

vectơ phức(thực) được gọi là độc lập tuyến tính nếu và chỉ nếu

1x1 n x n 0 ,với 1, ,n 

(hoÆc  ) thì suy ra 1 n 0 Tập con

A của không

gian vectơ được gọi là độc lập tuyến tính nếu và chỉ nếu mỗi tập con hữu

hạn của A là độc lập tuyến tính.

Định nghĩa 2.4 Tập con độc lập tuyến tính hữu hạn A trong không gian

vectơ X được gọi là cơ sở Hamel của X nếu và chỉ nếu phần tử khác không

u1, ,u m A.

Nói cách khác, A là cơ sở Hamel của X nếu A là độc lập tuyến tính

và nếu phần tử bất kì của X có thể viết được dưới dạng một tổ hợp tuyến tính hữu hạn các phần tử của A.

Chú ý rằng nếu A là tập con độc lập tuyến tính của X và nếu x

X

có thể viết được dưới dạng x 1u1



m u m

như trên thì sự khai triển

này là duy nhất Để hiểu điều này, giả sử ta cũng có biểu diễn

x 1v1 k v k ,với 1, ,k khác không và các phần tử

phân biệt

v1, ,v k A

Thựchiện chuyển vế, ta có

1u1 m u m 1v1

k v k

b) Sự tồn tại của cơ sở Hamel trong không gian vectơ

Định lí 2.1 Mọi không gian vectơ X có thể có cơ sở Hamel.

Chứng minh

Lấy kí hiệu tập hợp các bộ phận độc lập tuyến tính của X , được

sắp xếp riêng rẽ bao hàm nhau Lấy S:Jlà một tập hợpđược sắp thứ

Từ đó suy ra S là bị chặn trên bởi Scủa  Vì thế mọi tậpsắp thứ tự toàn phần trong là bị chặn trên và vì vậy theo bổ đề Zorn,

là không thể xảy ra với bất kì k

0 Nhưng khi đó điều này có

là cơ sở Hamel của X

Định lí 2.2 Cho A là tập con độc lập tuyến tính của không gian vectơ X.

Khi đó, có một cơ sở Hamel của X chứa A, nghĩa là, tập con độc lập tuyến tính bất kì của không gian vectơ có thể được chứa trong một cơ sở Hamel.

Chứng minh

Lấy kí hiệu tập hợp các tập con độc lập tuyến tính của X mà chứa A Khi đó, được sắp thứ tự theo thuyết bao hàm tập Như trên,vận dụng bổ đề Zorn ta thu được phần tử lớn nhất của mà tập này là

cơ sở Hamel của X và chứa A.

Sự tồn tại của cơ sở Hamel có ý nghĩa quan trọng trong việc xây dựngcác ví dụ “ bệnh học ” khác nhau.

Ví dụ 2.2 Trước tiên ta chú ý đến sự tồn tại của các phiếm hàm tuyến

tính bị chặn Dễ dàng đưa ra các ví dụ trên không gian định chuẩn Chẳng

hạn, lấy X là không gian vectơ các dãy số phức mà các dãy này dần tới không Vì thế (a n )

X

nếu và chỉ nếu a n 

0

với mọi n đủ lớn (phụ thuộc

vào dãy đặc biệt) Trang bị X với chuẩn (a n

p a n

và xác định

: X  cho bởi (a n )  ((a n )) a n Rõ ràng

là một phiếm hàm

n

tuyến tính bị chặn trên X

Ví dụ 2.3 Ta có thể dùng khái niệm về cơ sở Hamel để đưa ra một ví dụ về

một không gian mà không gian này là không gian Banach với hai chuẩnkhông tương đương đương Dễ dàng đưa ra các ví dụ về các không gian

vectơ với các chuẩn không tương đương Chẳng hạn, C0,1

Ví dụ 2.4 Ta sẽ dùng sự tồn tại của cơ sở Hamel để chỉ ra rằng nếu X là

một không gian Banach vô hạn chiều thì tồn tại các phiếm hàm tuyến tính

trên X mà các hàm này không liên tục Lấy x

  là một cơ sở Hamel của

không gian Banach vô hạn chiều X , đã được chuẩn hoá Vì vậy, x1

vớimọi 

hàm tuyến tính trên X nhưng nó không bị chặn.

Do mỗi không gian Banach là một không gian vectơ nên có cơ sởHamel hoặc cơ sở không gian vectơ Trong không gian Banach vô hạn chiềutách được đòi hỏi có cơ sở Hamel không đếm được Hơn nữa, phép chứngminh sự tồn tại của cơ sở Hamel đối với không gian vô hạn chiều tách đượccần có các tiên đề Chọn (có thể chỉ ra được rằng mệnh đề “ mọi không gian





vectơ có một cơ sở Hamel ” là tương đương với tiên đề Chọn) Do đó, đốivới không gian Banach không có một phương pháp xây dựng nào để mởrộng cơ sở Hamel.

Có ứng dụng hơn cơ sở Hamel là dãy đếm được x nsao cho

mọi phần tử xX có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính vô hạn x c n x n

2 Các định nghĩa, kí hiệu và ví dụ về cơ sở

sở x n là một cơ sở hội tụ vô điều kiện nếu chuỗi (2.1) hội tụ

vô điều kiện với mỗi x X

c) Cơ sở x nlà một cơ sở hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi (2.1) hội tụ

tuyệt đối với mỗi x X

d) Cơ sở x nlà cơ sở bị chặn nếu x ncó chuẩn vừa bị chặn trên

vừa bị chặn dưới, nghĩa là, nếu 0

Chú ý rằng nếu x nlà cơ sở thì mỗi x X có thể được viết

x n / x n là một cơ sở đã được chuẩn hoá của X Nếu X có một cơ sở

x nthì X phải tách được Do đó, tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính

mọi không gian Banach tách được đều có một cơ sở được đặt ra như một bàitoán cơ sở Từ Enflo[Enf73] có thể chỉ ra được rằng tồn tại những khônggian Banach tách được, phản xạ mà không có bất kì một cơ sở nào.

Kí hiệu 2.1 Chú ý rằng, các hệ số a

(x)

được xác định trong (2.1) là các

hàm tuyến tính của X Hơn nữa, chúng được xác định duy nhất bởi cơ sở,

nghĩa là, cơ sở x nxác định một tập hợp duy nhất các phiếm hàm tuyến

tính n X F Do đó,

ta gọi a n là dãy liên kết các phiếm hàm hệ số.

Do đó, các phiếm hàm này được xác định một cách duy nhất, ta thường không trình bày cụ thể Khi ta cần làm rõ đối với cả cơ sở và các phiếm hàm

hệ số liên kết, ta sẽ viết “

 x n,a n  là cơ sở ” có nghĩa là cơ x nlà một

sở với các phiếm hàm hệ số liên kết a n