Tách các tập đóng trong không gian banach và áp dụng trong tối ưu vectơ

Nguyễn QuangHuy, luận văn Chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: Tách các tập đóngtrong không gian Banach và áp dụng trong tối ưu véctơ do tôi tự làm.Trong quá trình nghiên cứu và thực

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ HƯỜNG

TÁCH CÁC TẬP ĐÓNG TRONG KHÔNG GIAN BANACH

VÀ ÁP DỤNG TRONG TỐI ƯU VECTƠ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2017

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ HƯỜNG

TÁCH CÁC TẬP ĐÓNG TRONG KHÔNG GIAN BANACH

VÀ ÁP DỤNG TRONG TỐI ƯU VECTƠ

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Quang Huy

Hà Nội, 2017

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Quang Huy

Phản biện 1:

Phản biện 2:

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận văn họp tại: Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 vào hồi giờ

Ngày tháng năm 2018

CÓ THỂ TÌM HIỂU LUẬN VĂN TẠI THƯ VIỆN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Quang Huy.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến PGS.TS Nguyễn Quang Huy, người

đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi hoàn thành luậnvăn này

Nhân dịp này, tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toànthể quý thầy cô giáo trong Khoa Toán, Phòng Sau đại học Trường Đạihọc Sư phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trìnhhọc tập và nghiên cứu

Tôi xin cảm ơn tới Sở Giáo dục - Đào tạo Tỉnh Bắc Ninh, Ban Giámhiệu, các đồng nghiệp Trường THPT Tiên Du số 1 - Huyện Tiên Du -Tỉnh Bắc Ninh đã tạo điều kiện, giúp đỡ cho tôi học tập và hoàn thành

kế hoạch học tập

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè,

đã cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và hoàn thànhluận văn này

Hà Nội, tháng năm 2017

Tác giả

Nguyễn Thị Hường

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn QuangHuy, luận văn Chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: Tách các tập đóngtrong không gian Banach và áp dụng trong tối ưu véctơ do tôi tự làm.Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tôi đã kế thừanhững thành quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.Các kết quả trích dẫn trong luận văn là trung thực và được chỉ rõnguồn gốc.

Hà Nội, tháng năm 2017

Tác giả

Nguyễn Thị Hường

Mục lục

Mở đầu 2

Chương 1 Tách mờ các tập đóng 5 1.1 Các khái niệm về nón tiếp tuyến, nón pháp tuyến, dưới vi phân và đối đạo hàm 5

1.1.1 Khái niệm nón tiếp tuyến 5

1.1.2 Khái niệm nón pháp tuyến 5

1.1.3 Khái niệm dưới vi phân và đối đạo hàm 6

1.2 Nguyên lý cực trị 8

1.3 Định lý tách mờ các tập đóng 9

Chương 2 Áp dụng trong tối ưu véctơ 21 2.1 Các khái niệm nghiệm 21

2.2 Điều kiện cực trị 23

Kết luận 40

Tài liệu tham khảo 41

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Các định lý tách các tập lồi đóng có một vai trò quan trọng tronggiải tích hàm và lý thuyết tối ưu Một dạng hữu ích và quen thuộc củacác định lý này có thể phát biểu như sau: Nếu A1 và A2 là hai tập lồiđóng trong không gian Banach (hoặc tổng quát hơn, không gian véctơtôpô lồi địa phương) X với một trong hai tập là compact thì tồn tại mộthàm tuyến tính liên tục x∗ trên X sao cho

inf{hx∗, xi : x ∈ A2} > sup {hx∗, xi : x ∈ A1} Trong những năm gần đây đã có nhiều sự quan tâm nghiên cứu theohướng mở rộng định lý tách cho các tập đóng không nhất thiết lồi (xem,chẳng hạn, [10] và các tài liệu tham khảo trong đó) Trong một khônggian Asplund và theo thuật ngữ nón pháp tuyến Fréchet, Mordukhovich

và Shao [11] lần đầu tiên thiết lập nguyên lý cực trị cho hai tập đóng vớimột điểm chung xác định của hai tập này Theo nghĩa nào đó, nguyên

lý cực trị này có thể xem như một dạng của định lý tách mờ cho hai tậpđóng không nhất thiết lồi Tiếc rằng, trong trường hợp A1 = {x} và A2

là tập lồi (và đóng) sao cho x /∈ A2 thì định lý tách mờ đã biết cho cáctập đóng không thể đưa về dạng định lý tách các tập lồi đã phát biểu

ở trên Từ quan điểm lý thuyết cũng như trong ứng dụng, nó là quantrọng và thú vị mà cần phải tìm một dạng khác cho định lý tách mờ để

có thể đồng nhất định lý tách mờ các tập đóng và định lý tách các tậplồi đóng cổ điển

Sử dụng kỹ thuật của giải tích biến phân và các khái niệm nón pháptuyến, Zheng và NG [17] đã thiết lập một dạng mới của định lý tách mờmột số hữu hạn tập đóng trong không gian Banach mà nó đồng nhấtcác định lý tách lồi cổ điển và định lý tách mờ đã biết

Đề tài "Tách các tập đóng trong không gian Banach và ápdụng trong tối ưu véctơ" nhằm mục đích nghiên cứu dạng mở rộngđịnh lý tách mờ các tập đóng của Zheng và NG[17], và áp dụng để thiếtlập các điều kiện cần và đủ cho nghiệm Pareto xấp xỉ của bài toán tối

ưu có ràng buộc

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu các kết quả về tách mờ các tập đóng trong không gianBanach và áp dụng trong tối ưu véctơ hay tối ưu đa mục tiêu

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu các định lý tách lồi cổ điển; các định lý tách mờ củaMordukhovich và các đồng tác giả; định lý hình chiếu xấp xỉ; nguyên lýcựu trị; dạng mở rộng định lý tách mờ của Zheng và NG[17] đã đồngnhất các định lý tách lồi cổ điển, định lý tách mờ tập đóng và định lýhình chiếu xấp xỉ; các kỹ thuật của giải tích biến phân để thiết lập dạng

mở rộng định lý tách mờ Áp dụng để thiết lập các điều kiện cần và đủcho nghiện Pareto xấp xỉ của bài toán tối ưu véctơ có ràng buộc

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+ Đối tượng nghiên cứu: Nón pháp tuyến; nguyên lý cực trị trongkhông gian Banach; các định lý tách mờ các tập lồi đóng; các điều kiệncần và đủ tối ưu

+ Phạm vi nghiên cứu: Giải tích biến phân và tối ưu véctơ

5 Phương pháp và đối tượng nghiên cứu

Sử dụng các phương pháp nghiên cứu của Giải tích hàm, Giải tíchbiến phân và Tối ưu véctơ

6 Dự kiến đóng góp của đề tài

Hệ thống hóa các kết quả về tách lồi cổ điển, tách mờ các tập đóng,định lý hình chiếu xấp xỉ và dạng mở rộng của định lý tách mờ các tậpđóng Áp dụng kết quả tách mờ các tập đóng để thiết lập các điều kiệntối ưu trong tối ưu véctơ

Chương 1

Tách mờ các tập đóng

Trong chương này, trước tiên chúng ta nhắc lại các khái niệm quenthuộc về nón tiếp tuyến, nón pháp tuyến, dưới vi phân và đối đạo hàm.Tiếp theo là trình bày các định lý tách mờ, định lý hình chiếu xấp xỉ,một mở rộng nguyên lý cựu trị của Mordukhovich và các đồng tác giả.Kết quả quan trọng trong chương này là dạng mở rộng định lý tách mờcủa Zheng và NG [17] đã đồng nhất các định lý tách lồi cổ điển, định lýtách mờ tập đóng và định lý hình chiếu xấp xỉ đã biết

1.1 Các khái niệm về nón tiếp tuyến, nón pháp tuyến, dưới

vi phân và đối đạo hàm

1.1.1 Khái niệm nón tiếp tuyến

Ta ký hiệu BX, P

X lần lượt là hình cầu đơn vị và mặt cầu đơn vị.B(x, r) ký hiệu là hình cầu mở với tâm x và bán kính r Cho A là mộttập con đóng của X và a là một điểm thuộc A Ta ký hiệu Tc(A, a) và

T (A, a) lần lượt là các nón tiếp tuyến Clarke và nón tiếp liên của A tại

a, được định nghĩa như sau

Tc(A, a) := {v ∈ X : ∀an→ a và ∀tA n → 0+ ∃vn → v

sao cho an + tnvn ∈ A ∀n ∈ N}và

T (A, a) := v ∈ X : ∃tn → 0+ và vn → v sao cho a + tnvn ∈ A ∀n ∈ N ,

ở đây x→ a nghĩa là x → a và x ∈ A.A

1.1.2 Khái niệm nón pháp tuyến

Nón pháp tuyến Clarke Nc(A, a) của A tại a được định nghĩa bởi

Nc(A, a) := {x∗ ∈ X∗| hx∗, hi ≤ 0 ∀h ∈ Tc(A, a)} ,

ở đó X∗ là không gian đối ngẫu của không gian Banach X.

gọi là ε-pháp tuyến Fréchet của A tại a

Khi ε = 0 thì cNε(A, a) là một nón lồi và được gọi là nón pháp tuyếnFréchet của A tại a và được kí hiệu bởi bN (A, a)

Nón pháp tuyến Mordukhovich N (A, a) của A tại a được định nghĩabởi

Ta đã biết rằng

b

N (A, a) ⊂ N (A, a) ⊂ Nc(A, a)

Mordukhovich và Shao [12] đã chứng minh rằng nếu X là không gianAsplund thì

Nc(A, a) = cl∗(co(N (A, a))) và N (A, a) = lim sup

1.1.3 Khái niệm dưới vi phân và đối đạo hàm

Cho φ : X → R ∪ {+∞} là hàm chính thường và nửa liên tục dưới.Dưới vi phân Clarke-Rockafellar ∂cφ(x) của φ tại x ∈ dom(φ) được xácđịnh như sau

Dưới vi phân Fréchet của φ tại x ∈ dom(φ) được định nghĩa bởi

Nc(A, a) = ∂cδA(a), bN (A, a) = b∂δA(a) ∀a ∈ A (CS)

và với mỗi x ∈ dom(φ),

∂cφ(x) = {x∗ ∈ X∗|(x∗, −1) ∈ Nc(epi(φ), (x, φ(x)))} (CF)b

∂φ(x) =

n

x∗ ∈ X∗|(x∗, −1) ∈ bN (epi(φ), (x, φ(x)))

o,

Nếu X là không gian Asplund thì với mỗi x∗ ∈ b∂(φ1+ φ2)(x) và với mỗi

ε > 0 luôn tồn tại x1, x2 ∈ B(x, ε) sao cho |φi(xi) − φi(x)| < ε (i = 1, 2)và

x∗ ∈ b∂(φ1)(x1) + b∂φ2(x2) + εBX ∗.Cho một hàm đa trị F giữa các không gian Banach X và Y Ta kíhiệu Gr(F ) là đồ thị của nó Ta nói rằng F là đóng (tương ứng, lồi) nếuGr(F ) là tập con đóng (tương ứng, lồi) trong X × Y Ta nắc lại rằng F

là giả Lipschitz tại (x, y) ∈ Gr(F ) nếu tồn tại các số L, r1, r2 ∈ (0, +∞)sao cho

F (x1) ∩ B(y, r1) ⊂ F (x2) + kx1 − x2k L BY, ∀x1, x2 ∈ B(x, r2).Cho x ∈ X và y ∈ F (x) Ánh xạ đa trị bD∗F (x, y) và Dc∗F (x, y) :

Y∗−→→X∗ là đối đạo hàm của F tại (x, y) tương ứng theo nón pháp tuyếnFréchet và Clarke được xác định như sau

Dc∗F (x, y)(y∗) := {x∗ ∈ X∗ : (x∗, −y∗) ∈ Nc(Gr(F ), (x, y))} ∀y∗ ∈ Y∗.1.2 Nguyên lý cực trị

Theo một nghĩa nào đó, Nguyên lý cực trị đã được thiết lập bởiMordukhovich và Shao [11] có thể được xem như là một dạng của định lýtách mờ hai tập đóng không nhất thiết lồi Hơn thế nữa, Mordukhovich,Treiman và Zhu [13] đã giới thiệu khái niệm điểm cực trị cho một số hữuhạn các tập đóng và thiết lập nguyên lý cực trị cho một số hữu hạn cáctập đóng Ta nhắc lại định nghĩa tập chỉ số không phân cắt (nonintersectindex) γ(A1, , An) [11] của một số hữu hạn các tập A1, , An nhưsau:

Lưu ý rằng γ(A1, , An) =0 nếu

n

T

i=1

Ai 6= ∅ và ∀ε > 0, ∃ai ∈ Ai(1 ≤ i ≤n) sao cho

n−1

X

i=1

||ai − an|| < γ(A1, , An) + ε (1.3)

Mở rộng nguyên lý cực trị của Mordukhovich và đồng tác giả, Zheng và

Ng [15] đã thiết lập kết quả sau:

(ii) a∗i ∈ Nc(Ai, ai) + λεBX∗ (hoặc a∗i ∈ bN (Ai, ai) + λεBX∗),i=1, ,n,

ở đây Nc(Ai, ai) và bN (Ai, ai) kí hiệu lần lượt là nón pháp tuyến Clarke

và Fréchet

Ta dễ dàng thấy rằng trong trường hợp n = 2, A1 = {x} , A2 là mộttập lồi (và đóng) sao cho x /∈ A2 thì Định lý A và tất cả các định lý táchcác tập đóng đã biết hiện nay nói chung không không bao hàm đượcđịnh lý tách cổ điển đã trình bày trong phần Mở đầu Mặt khác, ta nhắclại định lý hình chiếu xấp xỉ trên một tập đóng (đã được chứng minh bởicác tác giả trong [16]) như sau: ∀η ∈ (0, 1), ∃a2 ∈ A2 và − a∗2 ∈ (A2, a2)sao cho || a∗2|| = 1 và

η||x − a2|| ≤ ha∗2, a2 − xi (1.4)

Rõ ràng, (1.4) suy ra rằng ta có thể tách (theo nghĩa thông thường)

A1 = {x} và A2 nếu A2 là tập lồi Từ quan điểm lý thuyết cũng nhưquan điểm ứng dụng ta thấy rằng sẽ quan trọng và thú vị để thiết lậpmột kiểu tách mờ mới cho các tập đóng mà ở đó đồng nhất các kết quảtách mờ đã biết, định lý tách lồi cổ điển và định lý hình chiếu xấp xỉ.Điều này dược trình bày trong mục tiếp theo

1.3 Định lý tách mờ các tập đóng

Trong mục này, chúng ta thiết lập định lý tách mờ cho một số hữuhạn các tập đóng mà cho phép không chỉ đồng nhất được định lý táchlồi cổ điển đã đề cập ở Mục 1.2 và các kết quả tách không lồi đã biết

mà còn đạt được cả kết quả về định lý phép chiếu xấp xỉ đã được chứngminh trong [16]

Giả sử 1 ≤ p ≤ +∞ γp(A1, , An) là kí hiệu chỉ số (p-trọng số)

không giao nhau của hữu hạn các tập con đóng A1, , An của mộtkhông gian Banach và được được định nghĩa bởi:

γp(A1, , An) := inf





(

: xi ∈ Ai, i = 1, , n





,

được hiểu là max

Khi đó

γp(A1, , An) = inf {φ (x1, , xn) : (x1, , xn) ∈ Xn} ,

và ta suy ra từ (1.5) rằng ∃ε, ∈ (0, ε) sao cho

φ (a1, , an) < inf {φ (x1, , xn) : (x1, , xn) ∈ Xn} + ε,

Vì φ là hàm nửa liên tục dưới trong không gian Banach Xn, ta suy ra

từ nguyên lý biến phân Ekeland (xem, chẳng hạn, [14, Theorem 2.26])rằng tồn tại (a1, , an) ∈ Xn sao cho (i) được thỏa mãn và

Khi đó f là một hàm lồi liên tục trên Xn và từ (1.6) suy ra rằng

f đạt cực tiểu trên A1 × · · · × An tại (a1, , an) Do đó 0 ∈

∂c(f + δA1×···×An) (a1, , an) Điều này và Bổ đề 1.1.1 suy ra rằng

Khi đó, tồn tại a∗i ∈ X∗(1 ≤ i ≤ n) thỏa mãn

và A2 của R2 sao cho d(A1, A2) > 0 nhưng N (A1, a1) ∩ −N (A2, a2) ={0} ∀a1 ∈ A1, a2 ∈ A2 Đặt A1 = (s, t) ∈ R2

N (A1, (s, t)) ∩ −N (A2, (s,, t,)) = {(0, 0)} ∀ (s, t) ∈ A1, ∀ (s,, t,) ∈ A2

Hệ quả 1.3.2 Lấy A1 là một tập con đóng khác rỗng của X và A2 là mộttập con, lồi, đóng, bị chặn và khác rỗng của X Giả sử rằng A1∩ A2 = ∅.Khi đó, ∀ε > 0, ∃a1 ∈ A1 và a∗ ∈ Nc(A1, a1) với ||a∗|| = 1 sao cho

d (A1, A2) − ε < inf

x∈A 2

ha∗, xi − ha∗, xi Hơn nữa, nếu thêm điều kiện A1 là tập lồi thì

||a1(k) − a1(k) || + ||a2(k) − a2(k) || < 1

|| a∗1(k) || = 1, a∗1(k) + a∗2(k) = 0, a∗i (k) ∈ Nc(Ai, ai(k)) +1

kBX∗, i = 1, 2,và

||a1(k) − a2(k) || = ha∗1(k) , a2(k) − a1(k)i

Lấy a∗i ∈ Nc(Ai, ai(k)) sao cho ||ai∗(k) − a∗i (k) || < 1k(i = 1, 2) Khi đó

Nhận xét: Trong Hệ quả 1.3.2, nếu A2 là compact thì d (A1, A2)>0 Lấy

ε ∈ (0, d (A1, A2)), ta thấy rằng Hệ quả 1.3.2 là một mở rộng và tổngquát của định lý tách các tập lồi như đã đề cập trong phần Mở đầu.Khi X là không gian Asplund, định lý sau đây dễ dàng cho thấy rằngnón pháp tuyến Clarke trong Định lý 1.3.1 có thể thay bởi nón pháptuyến Fréchet nếu đẳng thức (iii) trong Định lý 1.3.1 được thay bởi bấtđẳng thức

Định lý 1.3.3 Cho X là không gian Asplund và A1, , An là các tậpcon đóng khác rỗng của X sao cho

0 ∈ b∂f (x1, , xn) + bN (A1 × × An, (ea1, ,ean)) + β BXn∗ (1.15)

Ta suy ra từ (1.11) rằng (i) được thỏa mãn Lấy g là hàm được xác địnhnhư trong chứng minh Định lý 1.3.1 Khi đó, f = g + λε,,||.||Xn Bởi tínhlồi của f và g lồi, ta có

Từ định lý tách mờ trên, ta có thể thiết lập kết quả hình chiếu xấp

xỉ như sau Trong trường hợp đặc biệt khi n = 1, các kết quả hình chiếuxấp xỉ này đã được biết và đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứuchặn sai số, tính chính quy metric và chính quy tuyến tính metric chocác phương trình suy rộng

Hệ quả 1.3.3 Cho X là một không gian Asplund, A1, , An là cáctập con đóng khác rỗng của X Lấy x ∈ X\

Với mỗi i, lấy ea∗i (k) ∈ bN (Ai,eai(k)) sao cho ||ea∗i (k) − a∗i (k) || ≤ 1k vàđặt ηk := max

a∗i (k)

ηk , x −eai(k)

 (1.20)

với mọi k đủ lớn Định lý được chứng minh

Tương tự cho chứng minh Hệ quả 1.3.3 (với Định lý 1.3.1 được thaythế bởi Định lý 1.3.3) ta có thể chứng minh được kết quả sau

Hệ quả 1.3.4 Cho X là một không gian Banach và A1, , An là cáctập con đóng khác rỗng của X Lấy x ∈ X\

Kết luận Trong chương này chúng ta đã bày các định lý tách mờ, định

lý hình chiếu xấp xỉ, một mở rộng nguyên lý cựu trị của Mordukhovich

và các đồng tác giả Định lý 1.3.1 và 1.3.3 là các kết quả thú vị cho tacái nhìn thống nhất về các định lý tách lồi cổ điển, kết quả về tách mờ

và định lý hình chiếu xấp xỉ đã biết được đề cập trong phần Mở đầu Ápdụng các kết quả này để thiết lập các điều kiện cần cực trị và các điềukiện đủ cực trị cho bài toán tối ưu véctơ có ràng buộc ở chương sau

Chương 2

Áp dụng trong tối ưu véctơ

Tối ưu véctơ có liên hệ mật thiết với giải tích hàm và quy hoạch toánhọc, và nó đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết kinh tế, kỹ thuật,khoa học quản lý và nhiều lĩnh vực khác Trong những năm gần đây, đã

có nhiều nghiên cứu và ứng dụng trong tối ứu véctơ (xem, chẳng hạn,[5], [7], [9] và các tài liệu tham khảo trong đó) Trong mục này chúng

ta trình bày nghiên cứu về các bài toán tối ưu véctơ có ràng buộc theohướng cải tiến và mở rộng các kết quả đã biết trong tối ưu một mụctiêu; Cụ thể là các khái niệm nghiệm, sự tồn tại nghiệm, các điều kiệncần cực trị, điều kiện đủ cực trị và mối liên hệ giữa chúng đã được trìnhbày trong [17]

2.1 Các khái niệm nghiệm

Cho Y là một không gian Banach và K là một nón lồi đóng nhọntrong Y Thứ tự từng phần ≤K trên Y được xác định như sau: Cho

y1, y2 ∈ Y ,

y1≤Ky2 khi và chỉ khi y2 − y1 ∈ K

Ký hiệu K+ là nón đối ngẫu của nón K, tức là

K+ := {y∗ ∈ Y∗ : 0 ≤ hy∗, yi ∀y ∈ K} Cho Z là tập con của Y và nhắc lại rằng y ∈ Z được gọi là điểm hữuhiệu Pareto, viết là y ∈ E (Z, K), nếu

z ∈ Z, z≤Ky ⇒ z = y

Chúng ta đã biết và dễ dàng kiểm tra rằng

y ∈ E (Z, K) ⇔ (Z + K) ∩ (y − K) = {y} Trong trường hợp int(K) 6= ∅, ta nhắc lại rằng điểm y ∈ Z được gọi làđiểm hữu hiệu Pareto yếu, viết là y ∈ WE (Z, K), nếu

(Z + K) ∩ (y − int(K)) = ∅