Một mở rộng định lý tồn tại vector riêng của toán tử (k,uo) lõm chính quy trong không gian banach với nón cực trị

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Phụ Hy, luậnvăn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: Một mở rộng định lý tồn tại vector riêng của toán tử K,u0 - lõm chính quy tr

VŨ HỒNG PHƯƠNG

MỘT MỞ RỘNG ĐỊNH LÝ TỒN TẠI

TRONG KHÔNG GIAN BANACH VỚI NÓN CỰC TRỊ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2017

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

VŨ HỒNG PHƯƠNG

MỘT MỞ RỘNG ĐỊNH LÝ TỒN TẠI

TRONG KHÔNG GIAN BANACH VỚI NÓN CỰC TRỊ

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN PHỤ HY

HÀ NỘI, 2017

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới

sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Phụ Hy

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến PGS.TS Nguyễn Phụ

Hy, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tác giả hoànthành luận văn này

Nhân dịp này, tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toànthể các Thầy, Cô giáo khoa Toán, đặc biệt là Tổ Toán Giải tích, Phòng Sauđại học, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy và giúp đỡ tác giảtrong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè

đã cổ vũ, động viên, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thànhluận văn này

Hà Nội, tháng 7 năm 2017

Tác giả

Vũ Hồng Phương

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Phụ Hy, luận

văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: Một mở rộng định lý tồn tại

vector riêng của toán tử (K,u0) - lõm chính quy trong không gian Banach với nón cực trị do tôi tự làm

Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừanhững thành quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Các kết quả trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, tháng 7 năm 2017

Tác giả

Vũ Hồng Phương

Mục lục

1.1 Khái niệm nón và quan hệ sắp thứ tự trong không gian

Banach 6

1.1.1 Khái niệm nón trong không gian Banach 6

1.1.2 Quan hệ thứ tự trong không gian Banach 10

1.2 Quan hệ thông ước 11

1.3 Phần tử u0 - đo được 13

1.4 Một số nón đặc biệt 17

1.4.1 Nón chuẩn tắc 17

1.4.2 Nón cực trị 21

1.5 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tựLp (p > 1) 23

1.5.1 Xây dựng không gian tuyến tính thựcLp 23

1.5.2 Xây dựng không gian định chuẩn Lp 24

1.5.3 Xây dựng không gian Banach nửa sắp thứ tự Lp 28

2 Mở rộng định lý tồn tại vectơ riêng của toán tử (K,u0) - lõm

chính quy 34

2.1 Khái niệm toán tử (K,u0) - lõm chính quy 34

2.1.1 Các định nghĩa 342.1.2 Một số tính chất 352.2 Toán tử (K,u0) - lõm chính quy trong không gian Lp 362.3 Mở rộng định lý tồn tại vectơ riêng của toán tử (K,u0) -

lõm chính quy 382.4 Áp dụng 50

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Lý thuyết điểm bất động là một ngành toán học lý thuyết có nhiều ứngdụng Lý thuyết điểm bất động được nghiên cứu theo nhiều hướng khácnhau và gắn liền với tên tuổi nhiều nhà toán học nổi tiếng như: Lipschitz,Kraxnoxelxki, Braide, Aylenbec, Các nhà toán học đã xét các toán tửkhác nhau: toán tử đơn điệu, toán tử đo được, toán tử có đạo hàm Fréchethay đạo hàm tiệm cận, toán tử lõm,

Nhà toán học Nga nổi tiếng Kraxnoxelxki đã nghiên cứu về toán tử lõmtác dụng trong không gian Banach thực với một nón cố định (1956), cácnghiệm riêng của các phương trình toán tử (1962)

Phát triển các kết quả của nhà toán học Nga Kraxnoxelxki, GS.TSBakhtin nghiên cứu về các phương trình không tuyến tính với các toán

tử lõm đều (1959), các nghiệm dương của các phương trình không tuyếntính với các toán tử lõm (1984), sau đó mở rộng cho toán tử (K,u0) - lõmtác dụng trong không gian Banach thực với hai nón cố định có điểm trongchung (1984)

Các lớp toán tử được các giáo sư Kraxnoxelxki, Bakhtin nghiên cứu

và công bố những kết quả về lớp toán tử lõm tác dụng trong không gian

Banach với một nón cố định, các toán tử đều có chung tính chất u0 - đođược.

Năm 1987, PGS.TS Nguyễn Phụ Hy đã nghiên cứu về các vectơ riêngcủa toán tử lõm chính quy và vào năm 2013 là về các vectơ riêng dươngcủa toán tử (K,u0) - lõm chính quy Tác giả đã mở rộng và phát triển cáckết quả về toán tử lõm cho lớp toán tử lõm chính quy tác dụng trong khônggian Banach với một nón cố định nhưng không yêu cầu toán tử có tính chất

u0 - đo được

Để chứng minh sự tồn tại vectơ riêng của các toán tử, trong công trìnhcủa các nhà toán học kể trên đã bổ sung các điều kiện phù hợp cho cáctoán tử

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lớp toán tử này, nhớ sự giúp đỡ,hướng dẫn tận tình của Thầy giáo, PGS.TS Nguyễn Phụ Hy, tôi chọn

nghiên cứu đề tài: "Một mở rộng định lý tồn tại vector riêng của toán

tử (K,u0) - lõm chính quy trong không gian Banach với nón cực trị"

2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài này nhằm mở rộng một số định lý về sự tồn tại vectơ riêng củacác toán tử (K,u0) - lõm chính quy ( không có tính chấtu0 - đo được) trongkhông gian Banach bằng cách bổ sung các điều kiện cho nón: nón cực trị

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu về không gian Banach nửa sắp thứ tự

Tìm hiểu về sự tồn tại vectơ riêng của toán tử (K,u0) - lõm chính quytrong không gian Banach với nón cực trị.

Một mở rộng định lý tồn tại vectơ riêng của toán tử (K,u0) - lõm chínhquy

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: các kiến thức cơ sở cần thiết, các kết quả về toán

tử (K,u0) - lõm chính quy, sự tồn tại vectơ riêng của toán tử (K,u0) - lõmchính quy trong không gian Banach với nón cực trị

Phạm vi nghiên cứu: các tài liệu và bài báo trong và ngoài nước có liênquan đến vectơ riêng của toán tử (K,u0) - lõm chính quy trong không gianBanach với nón cực trị

5 Phương pháp nghiên cứu

Phân tích, tổng hợp các kiến thức liên quan tới mục đích nghiên cứu

6 Đóng góp của luận văn

Luận văn trình bày tổng quát về:

Không gian Banach nửa sắp thứ tự

Một số tính chất cơ bản về toán tử (K,u0) - lõm chính quy

Toán tử (K,u0)- lõm chính quy trong không gian Lp[a;b] (p > 1)

Một mở rộng định lý tồn tại vectơ riêng của toán tử (K,u0) - lõm chínhquy

Chương 1

Không gian Banach nửa sắp thứ tự

1.1 Khái niệm nón và quan hệ sắp thứ tự trong không gian

một nón.

Chứng minh.

*) Ta thấy F ⊂ K(F ) và F 6= Ø, nên K(F ) 6= Ø Với mọi x ∈ F tachứng minh tồn tại hai số thực dương m, M sao cho m ≤ kxk ≤ M Thậtvậy, do tập F bị chặn nên tồn tại M > 0:kxk ≤ M, ∀x ∈ F

Lấy bất kì dãy {zn}∞n=1 ⊂ K(F ) sao cho lim

n→∞zn = z trong không gian E.Nếuz = θ, thìz = 0.x, x ∈ F ⇒ z = θ ∈ K(F )

Nếuz 6= θ, thì với ε = 1

2kzk > 0, (∃n0 ∈ N∗)∀n ≥ n0 ta có

kzn − zk < ε = 1

2kzk.Khi đó, kznk − kzk ≤ kzn − zk < 1

2M kzk < t0 < 3

2mkzk, nênt0 > 0

t0 → 0khi i → ∞, nênxni → z

t0 khii → ∞.Mặt khác, doF đóng suy ra 1

t0z ∈ F, do đóz = t0(1

t0z) ∈ K(F ).Vậy, K(F) đóng

*) Ta chứng minh z, z0 ∈ K(F )thìαz + βz0 ∈ K(F )(α, β ≥ 0)

Do z, z0 ∈ K(F ), nênz = t1x1, z0 = t2x2(t1, t1 ≥ 0, x1, x2 ∈ F ).Nếuαt1+ βt2 = 0 thìαt1 = βt2 = 0

Do F lồi, nên biểu thức trong dấu ngoặc vuông thuộc F

Suy ra, nếu z∗ ∈ K(F )vàz∗ 6= θ, thì−z∗ ∈ K(F )/

Do đó,K(F ) thỏa mãn các điều kiện của nón Vậy,K(F ) là một nón

1.1.2 Quan hệ thứ tự trong không gian Banach

Định nghĩa 1.1.2.

Giả sử E là không gian Banach thực, K là một nón trong không gian E.Vớix, y ∈ E ta viết x ≤ y nếu y − x ∈ K, x < y nếu y − x ∈K\ {θ}

Định lý 1.1.4.

Quan hệ” ≤ ”, xác định trong định nghĩa 1.1.2 là một quan hệ sắp thứ

tự trong không gian E.

Nếux 6= y thì y − x 6= θ, theo giả thiết x ≤ y ⇒ y − x ∈ K

Do K là nón, nên x − y = −(y − x) /∈ K, mâu thuẫn với giả thiết y ≤ x.Vậyx = y

Quan hệ ” ≤ ”có tính chất phản đối xứng

Vậy, quan hệ ” ≤ ” là một quan hệ sắp thứ tự trên không gian E theo nón

Từ nay về sau ta coi hai cách viết ”x ≤ y” hay”y ≥ x” là như nhau và

ta nói hai phần tử x, y so sánh được với nhau

Tuy nhiên, trường hợp không phải hai phần tử nào x, y ∈ E cũng so sánhđược với nhau, ta gọi không gian E thực nửa sắp thứ tự theo nón K; còntrường hợp hai phần tử bất kì x, y∈E đều so sánh được với nhau, ta nóikhông gian E thực sắp thứ tự theo nón K

1.2 Quan hệ thông ước

Giả sử E là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón K ⊂E

Định nghĩa 1.2.1.

Với hai phần tử x, y ∈ E ta nói phần tử x thông ước với phần tử y, nếu

có hai số dươngα, β sao cho

αy ≤ x ≤ βy

Định lý 1.2.1.

Quan hệ thông ước là một quan hệ tương đương trên không gian E Chứng minh.

*) Quan hệ thông ước có tính chất phản xạ

∀x ∈ E thìxthông ước với x, vì tồn số 1 > 0 để1.x ≤ x ≤ 1.x

*) Quan hệ thông ước có tính chất đối xứng

Giả sử x, y thuộc tập E, x thông ước với y Khi đó, tồn tại hai số dương

α, β sao cho αy ≤ x ≤ βy ⇒ 1

βx ≤ y ≤

1

αx Vậy, y thông ước với x

*) Quan hệ thông ước có tính chất bắc cầu.

Giả sử x, y, z thuộc tập E, sao cho x thông ước với y, y thông ước với z.Khi đó, tồn tại các số dương a, b, c, d sao cho ay ≤ x ≤ by, cz ≤ y ≤ dz

⇒ (a.c)z ≤ x ≤ (b.d)z và ac > 0, bd > 0 Nên x thông ước với z

Vậy, quan hệ thông ước là một quan hệ tương đương trên không gian E

Giả sử u0 ∈ K\ {θ} Kí hiệu K(u0) là tập tất cả phần tử của không gian

E thông ước với phần tửu0

Định lý 1.2.2.

Tập hợp K(u0)= {x ∈ E : ∃α > 0, ∃β > 0, αu0 ≤ x ≤ βu0} là một tập lồi và K(u0)⊂K\ {θ}.

tα + (1 − t)α1 ≥ t min {α, α1} + (1 − t) min {α, α1} = min {α, α1} > 0

vàtβ + (1 − t)β1 ≥ t min {β, β1} + (1 − t) min {β, β1} = min {β, β1} > 0,nên tx + (1 − t)y ∈ K(u0)

Vậy,∀x, y ∈ K(u0), ∀t ∈ [0; 1] thìtx + (1 − t)y ∈ K(u0) Do đó,K(u0) làtập lồi

Giả sử E là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón K ⊂ E,

u0 ∈ K \ {θ} Phần tử x ∈ E được gọi là u0 - đo được, nếu tồn tại các sốkhông âmt1, t2 sao cho−t1u0 ≤ x ≤ t2u0

Kí hiệuEu0 là tập tất cả các phần tửx ∈ E có tính chất u0 - đo được

Với mỗix ∈ Eu0 tồn tại các số không âm nhỏ nhấtα = α(x), β = β(x)

sao cho −αu0 ≤ x ≤ βu0.

Giả sử inf f−1(K)
= −∞

Khi đó, ∃ (tn)∞n=1 ⊂ f−1(K) sao chotnu0 − x ∈ K và lim

n→∞tn = −∞

Cho qua giới hạn trong biểu thứcưu0+ 1

tnxkhin → ∞, ta đượcưu0 ∈ K,mâu thuẫn với tính chất của nón K

Do đó,inf fư1(K)
= β ∈ fư1(K)

Ta xét tập A = {t ≥ 0 : tu0ư x ∈ K} Hiển nhiênt2 ∈ A hayA 6= Ø.Theo chứng minh trên, tồn tạiinf {t ≥ 0 : tu0 ư x ∈ K} = β(x) ∈ fư1(K),nghĩa làβ(x) ≥ 0và x ≤ β(x)u0

Vậy, tồn tại số không âm β(x) nhỏ nhất, sao chox ≤ β(x)u0

*) Ta chỉ ra sự tồn tại số thực α(x) ≥ 0 nhỏ nhất, sao cho ưα(x)u0 ≤ x.Xét ánh xạ

g : R ư→ E

t 7ư→ g(s) = su0+ x

Do tính chất liên tục của hai phép toán cộng hai phần tử và nhân một số vớimột phần tử trong không gian Banach E, nên g liên tục Và từ tính đóngcủa nón K trong không gian E, suy ra gư1(K) là tập đóng trong khônggian R

Giả sử inf(gư1(K)) = ư∞thì∃ (sn)n=1∞ ⊂ gư1(K), sao cho

Cho qua giới hạn trong biểu thứcưu0+ 1

snxkhin → ∞, ta đượcưu0 ∈ K,mâu thuẫn với tính chất của nón K Nên, inf(gư1(K)) ∈ gư1(K)

Ta xét tập B = {s ≥ 0 : x + su0 ∈ K} Hiển nhiên s1 ∈ B hayB 6= Ø.Theo chứng minh trên, tồn tại

Vớiλ < 0 thì−λ > 0 ta có:−(−λ)α(x)u0 ≤ −λx ≤ (−λ)β(x)u0

0 = max {inf t1, inf t2}, kyku

0 = max {inf t3, inf t4} Do đó

0 là một chuẩn trên không gian Eu0 và chuẩn k.ku

0 đượcgọi là u0 - chuẩn

Nón K được gọi là nón chuẩn tắc nếu:

Ta lại có

1 = ke1kE ≤ N ke1+ e2kE.

Do đó (∃δ = 1

N > 0) ke1 + e2kE ≥ δ.Suy ra,K là nón chuẩn tắc

Vậy, ba mệnh đề là tương đương

Định lý 1.4.2.

Nếu K là nón chuẩn tắc thì một dãy hội tụ theo u0 - chuẩn cũng hội

tụ theo chuẩn trên không gian E và Eu0 là không gian Banach theo u0 chuẩn.

-Chứng minh.

*) Trước hết ta chứng minh một dãy điểm (xn)∞n=1 ⊂ Eu0 hội tụ tới

x ∈ Eu0 theo u0 - chuẩn thì dãy đó hội tụ theo chuẩn trên không gian E.Thật vậy, giả sử dãy điểm (xn)∞n=1 ⊂ Eu0 hội tụ tới x ∈ Eu0 theo u0 -chuẩn, nghĩa là lim

Vậy dãy đó hội tụ theo chuẩn trên không gian E

*) Tiếp theo, ta chứng minh Eu0 là không gian Banach theo u0 - chuẩn.Giả sử (xn)∞n=1 là một dãy cơ bản bất kì trong không gian Eu0 theo u0 -

Điều này cho thấy dãy(xn)∞n=1 là một dãy cơ bản trong không gian Banach

E nên ∃x ∈ E sao cho lim

n→∞kxn− xkE = 0.Qua giới hạn trong hệ thức (1.3) khim → ∞ ta nhận được

Định nghĩa 1.4.3.

Tập hợp con P ⊂ E:

Phần tửz ∈ E được gọi là cận trên đúng của tập P, nếu(∀x ∈ P )x ≤ z vànếu ∃z0 ∈ E sao cho(∀x ∈ P )x ≤ z0, thì z ≤ z0 Kí hiệu z = sup P

Phần tử w ∈ E được gọi là cận dưới đúng của tập P, nếu (∀x ∈ P )w ≤ x

và nếu∃w0 ∈ E sao cho(∀x ∈ P )w0 ≤ x, thì w0 ≤ w Kí hiệu w = inf P

1.5 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự Lp (p > 1)

Trong mục này ta xét một tập hợp các hàm số xác định và đo được trên

1.5.1 Xây dựng không gian tuyến tính thực Lp

Tập Lp là không gian tuyến tính trên trường số thực R với hai phép toánthông thường cộng hai hàm số và nhân một số thực với hàm số Thật vậy,

x(t)

p

dt +

Z b a

p

dt

!

1p

x(t)

x(t)

p

dt

1p

⇒ kx + yk ≤ kxk + kyk

Vậy,Lp là không gian định chuẩn với chuẩn (1.4)

Ta chứng minhLp là không gian Banach với chuẩn (1.4)

Thật vậy, lấy một dãy cơ bản tùy ý xn(t) trong không gian Lp Theođịnh nghĩa,

thìys(t) ∈ Lp vàys(t) ≥ 0(t ∈ [a; b], s = 1, 2, ) Ta nhận được dãy hàm

(ys(t) ∈ Lp) không giảm, do đó tồn tại lim

s→∞ys(t) với mỗit ∈ [a; b]

hội tụ tuyệt đối h.k.n trên [a;b] Nên dãy hàm

ta được:(n, nk ≥ K)

ky − xnk ≤ y − xn + xn − xn < 2ε

Vậy, dãy xn(t) hội tụ tới y(t) trong không gian Lp Do đó không gian

Lp là không gian Banach

1.5.3 Xây dựng không gian Banach nửa sắp thứ tự Lp

⇔ y(t) − x(t) ≥ 0h.k.n trên [a; b] ⇔ y(t) ≥ x(t) h.k.n trên [a;b].

Hai phần tử tùy ý trong không gian Lp có thể không có quan hệ ” ≤ ”,chẳng hạn vớix = a − t, y = t − b, ∀t ∈ [a; b]

=

Z b a

= 1

Z b a

= 1 = δ

Vậy,K là nón chuẩn tắc

*) Ta chứng minh K là nón cực trị

+) Giả sử (xn)∞n=1 ⊂ K là một dãy bất kì không giảm, bị chặn trên bởi

z = z(t) ∈ K, bị chặn theo chuẩn nghĩa là:

trên[a; b] ∀n ∈ N∗ nên, x(t) = lim

n→∞xn(t) ≤ w(t) h.k.n trên [a; b], nghĩa là

x ≤ w

Vậy,x = sup (xn)∞n=1 thuộcK

+) Giả sử (yn)∞n=1 ⊂ K là một dãy bất kì không tăng, bị chặn dưới bởi

v = v(t) ∈ K, bị chặn theo chuẩn nghĩa là:

y1 ≥ y2 ≥ ≥ yn ≥ ≥ v ≥ θ h.k.n trên [a;b]

hayy1(t) ≥ y2(t) ≥ ≥ yn(t) ≥ ≥ v(t) ≥ 0 h.k.n trên [a; b]và

(∃M0 > 0)(∀n ∈ N∗) kynk ≤ M0

Suy ra, ∃ lim

n→∞yn(t) = y(t) ≥ v(t) > 0h.k.n trên [a; b], y(t) ≤ y1(t) h.k.ntrên[a; b] nên y ∈ Lp và y ∈ K h.k.n trên [a; b]

Ta chứng minhinf (yn)∞n=1 = y ∈ K

Thật vậy,∀n ∈ N∗ theo tính chất của dãy(yn)∞n=1 ta có:

yn(t) ≥ lim

n→∞yn(t) = y(t) h.k.n trên [a; b] nên yn ≥ y∀n ∈N∗

Nếu ∃w0 ∈ K mà yn ≥ w0, ∀n ∈ N∗, khi đó yn(t) ≥ w0(t) h.k.n trên [a; b]

∀n ∈ N∗, nêny(t) = lim

n→∞yn(t) ≥ w0h.k.n trên [a; b] ⇒ y ≥ w0.Vậy,inf (yn)∞n=1 = y ∈ K

Thật vậy, giả sử x thuộc vế trái của (1.8), tức là x ∈ K(u0), x ∈ Lp và tồntại các số dương α, β, sao cho

αu0 ≤ x ≤ βu0 ⇔ αu0(t) ≤ x(t) ≤ βu0(t) h.k.n trên [a;b]

⇔ α ≤ x(t) ≤ β h.k.n trên [a;b] Chọn m = α, M = β ta được

m ≤ x(t) ≤ M h.k.n trên [a; b]

Vậy, x thuộc vế phải của (1.8)

Ngược lại, xét x thuộc vế phải của (1.8)hay x ∈ Lp và ∃m > 0, ∃M > 0

sao chom ≤ x(t) ≤ M h.k.n trên [a;b] ⇒ mu0(t) ≤ x(t) ≤ M u0(t) h.k.ntrên [a;b]

⇒ x ∈ K(u0) hayx thuộc vế trái của (1.8)

Do đó,K(u0) = x ∈ Lp :∃m > 0, ∃M > 0, m ≤ x(t) ≤ M h.k.n trên [a;b] +) Ta chỉ ra

⇔ x(t) ≤ h = max {t1, t2} h.k.n trên [a;b]

⇒ x thuộc vế phải của (1.9)

Giả sử x thuộc vế phải của (1.9) hay x ∈ Lp, ∃h > 0 sao cho

x(t) ... liên tục hai phép toán cộng hai phần tử nhân số vớimột phần tử không gian Banach E, nên g liên tục Và từ tính đóngcủa nón K khơng gian E, suy gư1(K) tập đóng khơnggian R

Giả... mãn điều kiện nón Vậy,K(F ) nón

1.1.2 Quan hệ thứ tự khơng gian Banach< /b>

Định nghĩa 1.1.2.

Giả sử E không gian Banach thực, K nón khơng gian E.Vớix, y ∈ E ta... hệ tương đương không gian E

Giả sử u0 ∈ K\ {θ} Kí hiệu K(u0) tập tất phần tử không gian

E thông ước với phần tửu0

Định lý 1.2.2.

Tập