Cơ sở trong không gian banach

Luận văn "Cơ sở trong không gian Banach" gồm 3 chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Cơ sở Schauder Chương 3: Ứng dụng Chương 1 trình bày những kiến thức cơ bản, trọng tâm được

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Độc Lập - Tự Do - Hạnh Phúc

Tp HCM, ngày 14 tháng 12 năm 2011

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ và tên học viên: TRẦN THỊ THỦY Giới tính: Nữ

Ngày, tháng, năm sinh: 20/9/1985 Nơi sinh: Bình Định Chuyên ngành : Toán ứng dụng

Khoá (Năm trúng tuyển) : 2010

1- TÊN ĐỀ TÀI:

CƠ SỞ TRONG KHÔNG GIAN BANACH

2- HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : TS Chu Đức Khánh

3- HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ PHẢN BIỆN 1:

4- HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ PHẢN BIỆN 2:

Nội dung và đề cương Luận văn thạc sĩ đã được Hội Đồng Chuyên Ngành thông qua

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CHỦ NHIỆM BỘ MÔN

(Họ tên và chữ ký) QUẢN LÝ CHUYÊN NGÀNH

(Họ tên và chữ ký)

TS Chu Đức Khánh PGS.TS Nguyễn Đình Huy

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

™ Cán bộ hướng dẫn khoa học: TS Chu Đức Khánh

………

………

………

………

………

………

………

………

………

™ Cán bộ chấm nhận xét 1: ………

………

………

………

………

………

………

………

………

™ Cán bộ chấm nhận xét 2: ………

………

………

………

………

………

………

………

………

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN THẠC

SĨ TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA, ngày……tháng…… năm 2011

Lời cảm ơn

Đầu tiên, tôi bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến Thầy hướng dẫncủa tôi: TS Chu Đức Khánh, người đã tận tình hướng dẫn và cho nhiều ý kiếnđóng góp quý báu để Luận văn được hoàn thành Tôi xin chân thành biết ơn

cố PGS.TS Đậu Thế Cấp, người đã có những định hướng ban đầu và gợi ý đềtài

Tôi xin chân thành cảm ơn Thầy, cô giáo phản biện đã đọc và cho những ýkiến nhận xét để Luận văn được chỉnh sửa và hoàn thiện hơn

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn tập thể Thầy cô giáo của Khoa Khoa họcứng dụng, Bộ môn Toán ứng dụng - trường Đại học Bách khoa TP.HCM vàcác bạn học viên lớp Cao học Toán ứng dụng đã tạo điều kiện giúp đỡ cho tôitrong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường

Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, người thân và bạn bè đãđộng viên tôi trong quá trình học tập và thực hiện Luận văn

Trần Thị Thủy

Lời mở đầu

Việc nghiên cứu cơ sở của một không gian là cần thiết khi mô tả không giancũng như nghiên cứu các đặc trưng trên nó Mọi không gian vectơ đều có cơ sởthông thường (cơ sở Hamel) Tuy nhiên, trong trường hợp không gian Banach

vô hạn chiều, việc xác định dạng của cơ sở Hamel không phải là đơn giản Đểkhắc phục khó khăn đó, ta nghiên cứu một loại cơ sở khác cho không gianBanach là cơ sở Schauder

Cơ sở Schauder giống như cơ sở Hamel, tuy nhiên có sự khác biệt là cơ sởHamel sử dụng tổ hợp tuyến tính, tức là tổng hữu hạn, trong khi cơ sở Schauder

sử dụng tổng vô hạn Điều này giúp cho cơ sở Schauder phù hợp hơn đối vớikhông gian Banach vô hạn chiều

Luận văn "Cơ sở trong không gian Banach" gồm 3 chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Cơ sở Schauder

Chương 3: Ứng dụng

Chương 1 trình bày những kiến thức cơ bản, trọng tâm được sử dụng trongLuận văn

Chương 2 giới thiệu cơ sở Schauder trong không gian Banach Mối liên hệgiữa cơ sở trong không gian thực và không gian phức để từ đó kết luận: trongquá trình nghiên cứu ta chỉ khảo sát trên không gian thực và từ đó kết luậntương tự cho không gian phức Trong chương này cũng giới thiệu cơ sở Schaudercủa một số không gian Banach quen thuộc và các tính chất của cơ sở.

Dựa trên những kiến thức cơ bản về cơ sở Schauder, trong chương 3 tácgiả giới thiệu ứng dụng của cơ sở Schauder trong việc tìm nghiệm xấp xỉ củaphương trình tích phân Fredholm loại 2

Trong quá trình làm luận văn, mặc dù dưới sự hướng dẫn ân cần chu đáocủa Thầy và bản thân cũng hết sức cố gắng, song luận văn này cũng khôngtránh khỏi những hạn chế, thiếu sót Vì vậy, rất mong sự đóng góp ý kiến củaThầy, Cô và các bạn để luận văn được hoàn chỉnh hơn

C([a, b]): không gian các hàm liên tục trên [a, b]

Lp([0, 1]): không gian các hàm p - khả tích trên [0,1]

L(X): không gian các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào XL(X, Y ): không gian các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y

Mục lục

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 7

2 CƠ SỞ SCHAUDER 16

1 Định nghĩa 17

2 Các ví dụ 18

3 Liên hệ giữa cơ sở Hamel và cơ sở Schauder 24

4 Tính chất 24

4.1 Mối quan hệ giữa cơ sở trong không gian Banach thực và phức 24

4.2 Tính chất của phiếm hàm hệ số liên kết 35

4.3 Điều kiện cần và đủ để một dãy là cơ sở 41

5 Bài toán cơ sở 43

Kết luận 54

Tài liệu tham khảo 55

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày những kiến thức cơ bản được sử dụngtrong Luận văn Trước hết, chúng tôi nhắc lại những kiến thức liên quan đếnkhông gian vectơ và sự tồn tại cơ sở Hamel của nó

Cho K là trường số (thực hoặc phức)

Định nghĩa 1.1 Cho X là một không gian vectơ Hệ vectơ {x1, x2, , xp} ∈

X được gọi là độc lập tuyến tính nếu với bất kỳ α1, α2, , αp ∈ K thỏa

Nếu M không độc lập tuyến tính thì ta nói nó phụ thuộc tuyến tính

Định nghĩa 1.2 Không gian sinh bởi tập M, kí hiệu là spanM , là tập tất

cả những tổ hợp tuyến tính hữu hạn của những phần tử của M, tức là

Định nghĩa 1.3 Một tập con S của không gian vectơ X được gọi là một cơ

sở Hamel của X nếu:

có cận trên thì E có phần tử tối đại.

Định lý 1.1 Mọi không gian vectơ X 6= {0} đều có cơ sở Hamel

Chứng minh

Gọi M là tập tất cả các tập con độc lập tuyến tính của X

Do X 6= {0} nên trong X luôn tồn tại một phần tử x 6= 0 và {x} ∈ M Từ

Định nghĩa 1.5 Không gian vectơ X được gọi là không gian định chuẩnnếu với mỗi x ∈ X tồn tại một số thực x , được gọi là chuẩn của x, thỏa mãn:

Nếu chỉ thỏa mãn tính chất i, iii, iv thì ta gọi là nửa chuẩn

Nếu trường K = RI (t.ư CI ) thì ta gọi (X, ) là không gian định chuẩnthực (t.ư không gian định chuẩn phức)

Cho (X, ) là không gian định chuẩn Với mọi x, y ∈ X, ta định nghĩakhoảng cách giữa chúng là x − y Dễ thấy rằng với khoảng cách này, X làmột không gian mêtric và cũng là một không gian tôpô Ta luôn dùng tôpônày cho không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.6 Cho X là không gian định chuẩn Dãy vectơ (xn) trong Xhội tụ về x nếu lim

2 chuẩn này là tương đương nếu tồn tại hằng số C1, C2 > 0 sao cho

C1 x 1 ≤ x 2 ≤ C2 x 1, ∀x ∈ X

Chú ý rằng, nếu 1 và 2 tương đương thì các tôpô trên X tương ứngvới hai chuẩn này là bằng nhau Đặc biệt, nếu 1 và 2 tương đương thì sựhội tụ theo chuẩn này kéo theo sự hội tụ theo chuẩn kia và ngược lại Tức là,

lim

n→∞ x − xn 1 = 0 ⇐⇒ lim

n→∞ x − xn 2 = 0Định nghĩa 1.8 Cho X là không gian định chuẩn Dãy vectơ (xn) trong Xđược gọi là một dãy Cauchy nếu

Một số không gian Banach thường gặp:

Ví dụ 1.1 Tất cả các không gian định chuẩn dưới đây đều là không gian nach

Ba-a) lp ( 1 ≤ p < ∞) là không gian các dãy số x = (xn) thỏa

∞

P

n=1

|xn|p < ∞với chuẩn

b) l∞ là không gian các dãy số bị chặn với chuẩn

x = sup

n

|xn|

c) c là không gian các dãy số hội tụ với chuẩn

i) L∞[a, b] là không gian các hàm bị chặn hầu khắp nơi trên [a, b] với chuẩn

k) X∗ = L(X, K) là không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên Xvới chuẩn như trên.

Định nghĩa 1.10 Cho (xn) là một dãy trong không gian định chuẩn X Talập một dãy mới xác định bởi

Định nghĩa 1.11 Một không gian định chuẩn X là không gian khả ly nếu

nó chứa một tập con đếm được trù mật

Ví dụ 1.2 lp(1 ≤ p < ∞) là không gian khả ly; l∞ không là không gian khả ly

Rõ ràng S là tập con đếm được của lp vì QI là tập đếm được.

< ε

p

2 +

εp2

Ui = {y ∈ l∞| zi− y < r}

Dễ thấy rằng mỗi Ui chỉ chứa nhiều nhất một phần tử của T

Vì T là không đếm được nên tồn tại x ∈ T sao cho x /∈ Ui, i = 1, 2, hay

S ∩ {y| x − y < r} = ∅

Do đó S không trù mật trong l∞ Vì S lấy tùy ý nên l∞ không khả ly

Định nghĩa 1.12 Cho X, Y là hai không gian Banach.

Toán tử F : X → Y là toán tử compact nếu F (BX(0, 1)) là tập compacttrong Y

Kí hiệu K(X, Y ) = {F ∈ L(X, Y ) : F compact } là tập các toán tử compact

từ không gian Banach X vào không gian Banach Y

Định nghĩa 1.13 Hạng của toán tử F : X → Y là số chiều của không giancon ImF

Nếu toán tử F : X → Y có hạng hữu hạn thì tồn tại y1, , yn ∈ Y ; f1, , fn ∈

X∗ sao cho với mọi x ∈ X, F (x) =

Nếu T : X → Y là một song ánh tuyến tính liên tục từ không gian Banach

X vào không gian Banach Y thì ánh xạ ngược T−1: Y → X cũng liên tuc

Định nghĩa 1.14 Cho X, Y là hai không gian định chuẩn và (Ai)i∈I là một họcác toán tử tuyến tính từ X vào Y Nếu với mọi x ∈ X, tồn tại một số dương

Kx sao cho Ai(x) ≤ Kx với mọi i ∈ Ithì ta nói họ (Ai)i∈I bị chặn từngđiểm trên X

Nếu (Ai)i∈I ⊂ L(X, Y ) và tập {Ai : i ∈ I} bị chặn trong không gian L(X, Y )thì ta nói họ (Ai)i∈I bị chặn đều Điều này tương đương với:

∃K > 0, ∀i ∈ I : Ai ≤ K

Rõ ràng nếu họ (Ai)i∈I bị chặn đều thì nó bị chặn từng điểm trên X Tuynhiên, ta có

Định lý 1.4 Định lý Banach - Steinhaus (nguyên lý bị chặn đều)

Giả sử X là một không gian Banach, Y là một không gian định chuẩn Nếu(Ai)i∈I là một họ các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y bị chặn từng điểmtrên X thì nó bị chặn đều

Định nghĩa 1.15 Giả sử X là không gian mêtric và A là tập con của X Tậphợp A được gọi là tập không đâu trù mật trong X nếu intA = ∅

Định nghĩa 1.16 Cho không gian mêtric X Tập E ⊂ X được gọi là thuộcphạm trù thứ nhất nếu nó viết được dưới dạng hợp đếm được những tậpkhông đâu trù mật

E không thuộc phạm trù thứ nhất được gọi là thuộc phạm trù thứ hai

Chương 2

CƠ SỞ SCHAUDER

Nhắc lại rằng, mọi không gian vectơ đều có cơ sở Hamel và số chiều củakhông gian là số vectơ của cơ sở Do đó, không gian Banach luôn tồn tại cơ sởHamel và không gian Banach vô hạn chiều có vô hạn phần tử trong cơ sở

Định lý 2.1 Mọi cơ sở Hamel của một không gian Banach vô hạn chiều đềukhông đếm được

cơ sở Hamel bằng tổ hợp tuyến tính đếm được, người ta đưa ra khái niệm cơ

sở Schauder cho không gian Banach

1 Định nghĩa

Định nghĩa 2.1 Cho (X, k k) không gian Banach trên trường K Dãy (en) ⊂

X được gọi là cơ sở Schauder của X nếu với mọi x ∈ X, tồn tại duy nhấtdãy hệ số (αn(x)) ⊂ K sao cho

(αn) được gọi là dãy phiếm hàm hệ số liên kết (với cơ sở (en))

Trong định lý 4.2 , ta sẽ chứng minh được rằng những phiếm hàm hệ số liênkết là liên tục, tức là αn ∈ X∗, ∀n

- Hơn nữa, với mỗi m, từ xm = P∞

n=1

αn(xm)en, và xm = P∞

n=1

δmnen là 2 biểudiễn của en, ta có αn(xm) = δmn, với mọi m và n Ta nói dãy (en) ⊂ X và(an) ⊂ X∗ là lưỡng trực giao

- Phép chiếu tự nhiên thứ k kết hợp với cơ sở (en) là toán tử tuyến tính liêntục Pk từ X vào X được xác định bởi: với x =

Từ đây về sau nếu không giải thích gì thêm, ta nói gọn "cơ sở" thay cho "cơ

là một cơ sở, trong đó δnj là hệ số Kronecker, nghĩa là

1 Xét không gian lp(1 ≤ p < ∞), với mọi x = {ξn} ∈ lp; N ∈ NI ta có

2 Xét không gian c0, với mọi x = (ξn) ∈ c0; N ∈ NI ta có

j=1, (n = 1, 2 ) không là cơ sở của l∞

Ví dụ 2.2 Trong không gian C([0, 1]), xét (an) là một dãy trù mật bất kỳ trong[0, 1], với a1 = 0, a2 = 1 Ta xây dựng dãy (en) như sau:

e1(t) = 1, ∀t ∈ [0, 1]

và với n ≥ 2, en là hàm số có đồ thị là đường tuyến tính từng khúc xác địnhbởi en(ai) = 0, với i < n và en(an) = 1

Khi đó, dãy (en) là cơ sở của C([0, 1])

Thật vậy, với mỗi n, gọi {t1, t2, , tn−1}={a1, a2, , an−1} với t1 ≤ t2 ≤

· · · ≤ tn−1

Trước hết ta xét trường hợp x ∈ C[0, 1], thỏa x(0) = x(1) = 0

Cho  > 0 bất kì Vì x liên tục đều trên [0, 1] nên tồn tại η = η() > 0 saocho ∀t0, t” ∈ [0, 1] : |t0− t”| < η ta có

Lấy t ∈ [0, 1], khi đó tồn tại λ, 0 < λ ≤ 1 sao cho t = λaik + (1 − λ)ai,k+1

với aik; ai,k+1 là những điểm chia liên tiếp của 

= x(t) − λx(aik) − (1 − λ)x(ai,k+1)

= λ[x(t) − x(aik)] − (1 − λ)[x(t) − x(ai,k+1)]|

≤ max

x(t0) − x(t”) ... cho trước không gian Banach phức X tồn tạimột không gian Banach thực liên kết X(r) Ngược lại, câu hỏi tự nhiên đặt ra :không gian Banach thực F có tính chất : tồn không gian Banachphức... hướng

Cho X không gian Banach trường số phức CI Khi X l? ?không gian Banach trường RI - tập số thực Khơng gian Banachnày kí hiệu X(r) gọi khơng gian Banach thực nhận từ

X... (Bn) sở C([0, 1]2)

Cách chứng minh tương tự ví dụ

3 Liên hệ sở Hamel sở Schauder

Cho X không gian Banach

4.1 Mối quan hệ sở không gian Banach thực