Trong quá trình giải các bài tập phần này học sinh rất ngại khi nhìn thấy hệ phơng trình, học sinh rất lúng túng không biết phân biệt dạng bài tập và cách giải nh thế nào.. Các bài tập v
Trang 1
sáng kiến kinh nghiệm
áp dụng định lý viét giải hệ phơng trình
Trang 2N¨m häc 200 200 –
Trang 3A đặt vấn đề
Trong chơng trình Toán đại số lớp 9, phần hệ phơng trình là một phần kiến thức trọng tâm và cơ bản
Trong quá trình giải các bài tập phần này học sinh rất ngại khi nhìn thấy hệ phơng trình, học sinh rất lúng túng không biết phân biệt dạng bài tập và cách giải
nh thế nào
Các bài tập về hệ phơng trình rất phong phú và đa dạng, để giải đợc các bài tập đòi hỏi phải khéo léo kết hợp giữa việc vận dụng các kết quả đã biết của đầu bài và phần yêu cầu của đề bài, đặc biệt hơn nữa là phần bài tập đa số phải sử dụng
định lý Viét Do đó phải dựa vào đặc thù riêng của đề bài mà chúng ta linh hoạt biến đổi cho phù hợp
Chính vì thế tôi phân dạng các bài tập về hệ phơng trình có sử dụng định lý
Vi ét nhằm định dạng cách giải giúp cho học sinh khi gặp các bài tập tơng tự học sinh có thể giải đợc, biết cách biến đổi từ điều kiện đề ra để vận dụng định lý Viét cho hợp lý
Trong quá trình xây dựng nội dung chuyên đề, mặc dù tôi đã đầu t thời gian cũng nh vận dụng thực tế nhng khả năng còn hạn chế Do vậy không tránh đợc những thiếu sót Tôi kính mong các đồng chí đồng nghiệp đóng góp ý kiến, giúp tôi xây dựng chuyên đề đợc chất lợng hơn, để có hiệu quả học tập của học sinh chúng ta ngày càng tốt hơn
Tôi xin chân thành cảm ơn./.
………, ngày tháng năm 200
Ngời thực hiện
Trang 4B nội dung
I áp dụng định lý Viét vào giải hệ phơng trình
1 Dạng I:
Giải hệ phơng trình
=
=
+
P y x
S y
x
Theo định lý Viét đảo: x và y là nghiệm của phơng trình bậc hai:
nghiệm hệ (I)
(Đây là dạng cũng khá quen thuộc tìm hai số biết tổng và tích của chúng)
2 Dạng II:
Giải hệ phơng trình:
= +
=
+
2 2
2 y k
x
S y
x
(II)
Hệ phơng trình tơng đơng với
−=
=+
⇔
=−
+
=+
2
2)
(
2
2 2
xy
Sy x kxy yx
Sy
x
Hệ phơng trình trở lại dạng (I) Cách giải nh trên
3 Dạng III:
Giải hệ:
Trang 5
= +
=
2 2
2 y k
x
P
xy
(III)
Hệ phơng trình đã cho tơng đơng với hệ phơng trình sau:
)(
2
)(
2
2 2
2)(
2 2
2 1
22 2 22 2
IIIb Pk Syx
Pxy IIIa PkS yx
Pxy
PkS
Pxy kPS
Pxy kxyy
x
Pxy
⇔
⇔
⇔
a) Giải hệ (IIIa), (IIIb) (Giải nh hệ I)
b) Tập nghiệm của hệ đã cho là tập nghiệm của (IIIa), (IIIb)
4 Dạng IV:
Giải hệ:
= +
= +
+
q xy y x
y x
xy
2 2
1
Gọi S = x+y; P = xy, ta có
=
=
+
q PS
l S P
Trang 6Nh vậy P và S là nghiệm của phơng trình:
Với điều kiện này, ta có nghiệm của hệ (IV) là:
∨
1
2
2
1
ty
tx
ty
tx
=
=
∨
=
=
1
2 2
1
XS
XP XS
XP
Do đó x và y là nghiệm của các phơng trình:
X
X
Ví dụ 1:
Tìm kích thớc của một hình chữ nhật biết chu vi và diện tích của hình là
Giải:
Trang 7Gọi x và y theo thứ tự là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đã cho: x
> y > 0
Ta có:
=
=+
⇔
=
=+
48.
14 48.
28)
(2
yx
yx yx
yx
Suy ra x, y là nghiệm của phơng trình bậc hai:
Vì x > y > 0 nên ta chọn x = 8(m), y = 6(m)
Ví dụ 2:
Giải hệ phơng trình:
= +
=
+
34
8
2
2 y
x
y
x
Giải
Ta có:
=
=+
⇔
⇔
=−
+
=+
⇔
=+
=+
15
8
34 2) (
8 34
8
2 2
2
xy
yx
xy yx
yx yx
yx
Suy ra x và y là nghiệm của phơng trình
Trang 8X – 8X + 15 = 0
⇒ X= 5 hoặc X = 3 do đó nghiệm của hệ phơng trình đã cho là:
=
=
5
3
y
x
hoặc
=
=
3
5
y x
Ví dụ 3:
Giải hệ phơng trình:
−=
+
−=
+
19
1
3
3 y
x
y
x
Giải:
Ta có:
−=
+
−=
+
19
1
3
3 y x
y x
−=
−=+
⇔
=−
+
−=+
⇔
=+
−
−=+
⇔
−=+
−+
−=+
⇐
6
1 193
)(
1
19) (
1 19)
)((
1
2
2 2 2
2
xy
yx xy
yx
yx
yxy x
yx yxy
xyx
yx
Suy ra x, y là nghiệm của phơng trình:
Do đó nghiệm của hệ phơng trình đã cho là:
Trang 9
−=
=
∨
=
−=
3
2 2
3
y
x
y
x
Ví dụ 4:
Giải hệ phơng trình:
= +
=
+
)2 ( 257
)1(
5
4
x
y
x
Giải
Ta biến đổi phơng trình (2) của hệ:
Thay x+y = 5
Đặt P = x, y ta có:
Do đó hệ phơng trình đã cho tơng đơng với:
)(
4.
5 )(
46.
5
b yx
yx a
yx
yx
=
=+
∨
=
=+
Trang 10Hệ (a) vô nghiệm vì S – 4P <0
Vậy nghiệm của hệ phơng trình đã cho là:
=
=
∨
=
=
1
4 4
1
y
x y
x
Bài tập
Bài 1: Giải các hệ phơng trình sau:
a)
= +
= +
+
17
3
4 4
2 2
y x
y xy x
b)
= +
=
+
3
9
3 3
y x
y x
Bài 2: Tổng bình phơng các chữ số của một số gồm hai chữ số bằng 10 Tích của số phải tìm với số viết ngợc lại của nó bằng 403 Tìm số đó
Trang 11C Kết luận:
Thông qua một số dạng bài tập giải hệ phơng trình có áp dụng định lý Viét tôi đã trình bày trên đây, đối chiếu với sự tiếp thu, lĩnh hội kiến thức của học sinh qua quá trình giảng dạy Tôi thấy đã đạt đợc một số kết quả nh sau:
Chuyên đề áp dụng đợc cho nhiều đối tợng học sinh từ trung bình đến khá giỏi
Học sinh nhận dạng nhanh các dạng bài tập đã phân loại, biết cách tìm, biến
đổi phù hợp để áp dụng định lý Viét
Vận dụng định lý Viét vào giải hệ phơng trình, học sinh có thể t duy, suy luận đợc các trờng hợp có thể xảy ra trong quá trình giải bài tập
Tổng hợp tất cả các bài tập đã nêu ở trên, học sinh có thể làm đợc một số bài tập có nhiều ý nhỏ
Tuy nhiên cũng không thể tránh đợc những thiếu sót, mặc dù tôi cũng có
đầu t thời gian nghiên cứu và vận dụng
Một lần nữa kính mong các đồng chí, đồng nghiệp đóng góp ý kiến để chuyên đề của tôi đợc tốt hơn