Sách điện từ - Chương 7

sách điện từ

a) Tir théng xuyén qua mat S bằng tích phân của thành phần

phap tuyén B, cia B trén S

b) Tổng từ thông đi vào mát kín S bang tong từ thông đi ra

Tương tự, trên hình 7.25a, ta định nghĩa từ thông xuyên

qua mặt 5 theo hướng an là tích phôn của thành phân pháp

tuyến của B trên mặt S:

301

Xét hình 7.25b; trên đó ta vẽ một vài đường sức từ (đường

dòng từ) đi vào S rồi đi ra khỏi S Gọi S, (8_) là tập hợp các

điểm P, (P_) của S tai dé B tạo với dS (hướng ra ngoài) một

A 9 2 CHƯƠNG 7

Bay giờ ta tìm dạng điểm của định luật bảo toàn từ thông

Ap dung định lý divergence, ta được:

Phương trình (7.5.14) là dạng điểm hay dạng vi phân của

(7.5.8), và gọi là phương trình Maxwell thứ tư

VÍ DỤ 7.1L

Xét cáp đồng trục trên hình 7.13a Hãy tính từ thông chạy

vòng quanh trong miền không gian giữa hai dây dẫn trong va

ngoài; cụ thể là tính từ thông xuyên qua hình chữ nhật

(a<p<b,0<z<d) nằm trong nửa mặt phẳng xuyên trục

$ = ủo bất kỳ

Hình 7.26 Tính từ thông chạy vòng quanh trong cáp đồng trục

303

vn tai -E Trưởng từ dừng

Hình chữ nhật được vẽ trên hình 7.26 Trong ví dụ 7.5, ta

đã tính được từ trường H tại một điểm Pí(p, éo, 7) trên hình

chữ nhật (P nằm trong khoảng không gian giữa hai dây dẫn

của cáp) bởi công thức (7.2.18):

1

Vậy mật độ từ thông tại P là:

_ B=uoH= Hol a, | (7.5.16)

Vectơ diện tích vi phân của hình chữ nhật § tại P la

dS = dpdza, và do đó từ thông xuyên qua 5 là

Biểu thức này sẽ được dùng về sau để tính điện cảm của

đường dây tải điện đồng trục

A 3 5 CHƯƠNG 7

BÀI TẬP 7.5.1

Một dây dẫn tiết điện tròn có trục z và bán kính a = 1 mm

Dây dẫn đài vô tận, có độ từ thẩm nạ và mang dòng 20A theo

thông trên đơn vị chiều đài bên: trong dây)

: 8 “Tương tự câu (c), với (0 < p <0,5 mm, 0 <z< 1m),

_e) Từ thông tổng trên đơn vị chiều dài bên ngoài dây

ĐÁP - (a) 1592 Am ; (b) 3,2 mĩ ; (c) 2 HWb;

| (d) 0,5 uWh; (e) oo

305

175 Trường từ dừng

@ 7.6 TỔNG KẾT HỆ PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL

Đến đây, ta đã có đủ cơ sở để gom các phương trình

Maxwell của trường điện tĩnh và trường từ dừng được tìm từ

trước đến nay thành hệ phương trình Maxueli của trường

điện lĩnh uà trường từ dừng: đó là các phương trình (3.6.6)

của D, (7.4.8) của E, (7.3.18) của H va (7.5.14) cua B:

(7.6.1) @ (7.6.2) @ (7.6.3) ® (7.6.4) ®

Ngoài ra, trong chân không, D liên hệ với E bởi (3.1.3);

con B liên hệ với H bởi (7.5.1): ơn

D=c, E

(7.6.5)®

(7.6.6) ®

trong đó cọ là độ điện thẩm tuyệt đối, còn nọ là độ từ thẩm

tuyệt đối của chân không

Trong vật liệu cách điện, quan hệ giữa D va_E 18 (5.6.26):

với

`D=ecE

&= C6

(7.6.7) @ (7.6.8) @

trong đó s; là độ điện thẩm tương đối và e là độ điện thẩm

tuyệt đối của vật liệu cách điện

Tương tự, sau này ta sẽ thấy rằng trong vật liệu dẫn từ,

trong đó tr là độ từ thẩm tương đối và u là độ từ thấm

tuyệt đối của vật liệu dẫn từ.”

Vectơ mật độ dong J trong (7.6.3) gọi là vectơ mật độ

dòng dẫn; và trong vật liệu dẫn điện, nó liên hệ với E bởi

trong đó o lA diém dan suất của vật liệu dẫn điện

_: Trong trường điện, ta cũng đã định nghĩa điện thế tĩnh Vv

do mét phan bé dién tich khéi p, tao ra béi (4.5.3); rồi sau đó

Tương tự đối với trường từ, trong đoạn sau ta sẽ định nghĩa `

từ thế vô hướng U do một phân bố đòng khối J tao ra, réi

sau đó tính H theo U từ hệ thức:

- Tuy nhiên quan hệ này chỉ đúng trong miền có J = 0

Dang từ (7.6.1) đến (7.6.4) gọi là dạng điểm hay đạng vì

phân của hệ phương trình Maxwell vì chúng đúng tại từng

điểm và vì trong toán tử V có đạo hàm theo các tọa độ không

gian

Bây giờ, ta gọi v là một thể tích bất kỳ có biên là một mặt

kín Š với dS hướng ra ngoài; và gọi S là một mặt hở bất kỳ có:

biên là một đường kín C với dÉ của € và dS của S có chiều

quan hệ hữu cơ với nhau theo quy tắc bàn tay phái Nếu áp

dụng định lý divergence (3.5.5) cho (7.6.1) và (7.6.4); và định

307

4Öð Trường từ đừng

- lý Stokes (7.4.2) cho (7.6.2) va 7.6.3), ta sẽ được dạng tích

phân của hệ phương trình Maxwell:

Phương trình (7.6.14) là định luật Gauss của trường điện

tĩnh; (7.6.15) là định luật bảo toàn điện thế (trong mạch điện

là định luật Kirchhoff vé dién ap); (7.6.16) là định luật

Ampere cua trường từ dừng; và (7.6.17) là định luật bảo toàn

từ thông

7.7 TỪ THẾ VÔ HƯỚNG

Trong trường điện tĩnh, nhiều bài toán được giải dễ dàng

bằng cách tính điện thế vô hướng V rỗi suy ra điện trường

= —VV bằng phép toán đạo hàm Tất nhién, ta sé hdi: trong

trường từ dừng, có tôn tại một từ thế uô hướng U kiểu như uậy

huy không? Giả sử rằng có Ủ như thế, và ta-có thể tinh H

: nã Di nhiên định nghĩa này không được mâu thuẫn với các kết

quả trước đây về từ trường H, và nói riêng ta phải có phương

fads = \y-ady ”

| Tương tự công thức (3.1.3), ta định nghĩa mật độ từ thông

trong chân không bởi:

B=„u¿H (7.5.1) @

Hing số hạ gọi là độ từ thẩm tuyệt đối của chân không,

và có giá tri (tinh bang Henry/mét, viết tắt là Him):

uọ = 40x10 Him _ " -_ (ï.6.2®

Đơn vị của B là Weber / mét vuông (WWmÐ bay Tesla Th

Một đơn vị cii dé do B 1a Gauss (G) Ta cé:

Vì H có đơn vị (A/m) nên B có thứ nguyên (H/m) x (A/m)

= (H x A)/m?; nghĩa là Weber = Henry x mét Sau này, trong

phân trường biến thiên, ta sẽ thấy rằng Weber = vôn x giây

Vectơ mật độ từ thông B thuộc họ trường vectơ mật độ :

thông lượng Ta có thể xét một sự tương ứng giữa điện

trường và từ trường như sau: nếu so sánh định luật Coulomb

với định luật Biot-Savart, thì E tương ứng với H ;và D=egọE

4 52 ` CHƯƠNG 7

BÀI TẬP 7.4.1

Cho từ trường H = 6xyax- 3y ay (A/m) và gọi S là diện tích

của hình chữ nhật 2 < x < 5, —1 < y < 1 nằm trong mặt phẳng

z = 0 Kiểm tra định lý Stokes bằng cách tính hai vế của

._ (7.4.2) đối với H Chọn vecto pháp của S$ là a¿

'ĐÁP

Hai vế cùng bằng —126A

299

16!

-; — Đây chính là định luật Ampére (7.2 8), trong dé I là dòng

“bao béi C” va cũng chính là dòng xuyên qua bất cứ mặt 5 nào

có biên là C

7.4.2 Phương trình Maxwell của trường E

Trước tiên, ta chứng mình rằng nếu V là một trường vô

hướng bất kỳ thì curl của gradient của V bằng không:

ox\ dy / dy\ ax Oxdy ôyôx

Tương tự đối với các thành phần y, x ; và ta được (7.4.4)

Bây giờ gọi V là trường điện thế và E là điện trường do

một phân bố điện tích tĩnh tạo ra Dùng công thức (4.6.19):

cho trường điện 7 va à trường từ dừng

Nếu dùng định lý Stokes (7.4.2) cho trường E, ta được:

-và đây chính là (4.5.9) trong đoạn 4 5.3, mô tả tính chất bảo

toàn của trường điện tĩnh Ta nói (7.4.8) là đạng điểm; còn

(7.4.9) là đạng tích phân của phương trình Maxwell thứ nhất

_298

ASF _——— CHƯƠNG 7

Loại 1: Biên giới AC, của AS, khéng có phần chung với -

biên giới C của S (nghĩa là AS; nằm hoàn toàn bên trong S)

Lúc đó, tích phân đường của H dọc theo AC; sẽ bị triệt tiêu

bởi các tích phân đường dọc theo các biên giới của các diện

tích kể với nó (vì chiều tích phân ngược nhau)

+oạt 2: Biên giới AC; của AS; có một phần chung với biên giới

C của S (nghĩa là có một phân của AC; không kề với bất cứ diện

tích AS nào của S) Lúc đó, tích phân đường của A dọc theo phần

này của Ở sẽ không bị triệt tiêu bởi một tích phân đường khác

Do đó, khi cộng đại số tất cả tích phân đường dọc theo tất

cả biên giới AC của cả hai loại, fœ chỉ còn tích phân đường dọc

Mặt khác, theo ý nghĩa (7.3.4) của VxA, nếu gọi AS = ASau

là vectơ phần tử mặt của 8, có chiều phù hợp với chiều df của

C theo quy tắc bàn tay phải, ta có:

và đẳng thức này chính là định lý Stokes phát biểu ở trên

Dùng định lý Stokes và phương trình Maxwell VxH=vJ, ta

suy ra dễ dàng định luật Ampère Thật vậy, gọi S là một mặt

hở có biên là đường kín C như trên hình 7.24 va chọn A là từ

trường H do một phân bố dòng J tao ra

Dùng (7.4.2), ta có:

4 H‹# = | (VxH)‹d§= [ J‹dS=1 — (438) C 8

§

297

Cũng như định lý divergence trong đoạn 3.5.2, định lý

Stokes rất thông dụng trong môn Điện Từ, phát biểu như sau:

Tích phân đường của một trường vectơ A dọc theo một

đường kín C bằng tích phân mặt của thành phần pháp

tuyến của vectơ VxA trên mặt hở 5 có biên la C

Hình 7.24 Tổng tất cả tích phân đường kín dọc theo các biên giới

AC, của AS, cũng bằng tích phân đường kín dọc theo biên giới C của

S vì tích phân trên các đường bên trong triệt tiêu lấn nhau

Chứng minh: Chia 5 thành nhiều điện tích nhỏ A5 có

biên là AC (Hình 7.24) va tìm cách tính hoàn lưu của A doc

‘tied AC Ta phân A8 ra hai loại ©

296

4 $ 5 | CHUONG 7 BAI TAP 7.3.1

Cho trường H = 3zax — 2x'a,(A/m); vA xét chu tuyến chữ

nhat ABCD với A(2,3,4); B(4,3,4); C(4,3,1) va D(2,3,1)

a) Tính hoàn lưu của H doc theo chu tuyến trên,

b) Tính giá trị gần đúng của (VxH); tại tâm hình chữ nhật

bằng cách lấy hoàn lưu trên chia cho diện tích hình chữ

nhật

c) Tính giá trị chính xác của(VxH)y tại tâm hình chữ nhật

DAP (a) 354A ; (b) 59A/m? ; (c) 57 A/m?

BÀI TẬP 7.3.2

Tính giá trị của vectơ mật độ dòng điện tjj tại một điểm

sau:

trường cho trước khi biết từ trường H trong mỗi trường hợp

@ aH= X”zay _ y’xa, tai A (2,3,4) trong tọa độ vuông góc

A XY 7 : mo,

- một chu tuyến bao quanh diện tích A5 và nằm trong một mặt

phẳng vuông góc với 4z Định luật Ampère cho ta:

H-d# =1, = | J-dS=J,AS

Hình 7.23 Ap dung định luật Ampère vào chu tuyến AC rồi cho

AC — 0 để tìm phương trình Maxwell thứ ba

Dùng định nghia (7.3.3) cla V x H, ta được:

H-dé

_ AC _ Œ (VxH), = lim - 8Ø — =, (7.3.17)

Đây là phương trìn] trình Maxwell thứ ba của trương tĩnh: đó

chính là dạng d lạng điểm hay dang vi lạng vi phân | của định luật Ampere

| 294

7.3.4 Phương trình Maxwell thứ ha của trường tinh

Xét một phân bế dòng khối trong không gian và gọi J lA mật độ dòng tại điểm P (Hình 7.23) Phân bế dòng khối này

tạo ra một từ trường H cho bởi công thức (7.1.16) Gọi AC là

AO

Theo dinh nghia (7.3.3), thanh phan cia curlA trén truc Z la:

Néu chon chu tuyến chữ nhật lần lượt nằm trong các mặt -

of Anat aA, 2A,

A

AC là chu vi của một hình chữ nhật có hai cạnh Ax và Ay lần

lượt song song với trục x và trục y (Hình 7.39); và bao quanh

dién tich AS = Ax Ay Goi Py (xo, yo, zo) A tam hình chữ nhat;

Ay = Ayoa t Aypay t+A,ga,, A, = Aya, + Ayay +Ana, và

Ag = Aya, + Aya, + Aja, lan luot 1a gid trị của A tai Py, P;

va Po Toa dé cha P, vA P IA P, (xạ + Ax, Yo, Zo) VA

Py (Xo, To+ sy Zo)

z

x

Hình 7.22 Một chu tuyến chữ nhật được chọn để tìm biểu thức của

curÌA; với P, Pa, Pạ, P¿ là trung điểm các cạnh

Hoàn lưu cia A đọc theo AC là:

Trudag ti dung

vi DU 7.10

Hình 7.21 cho thấy trường vectơ vận tốc V của dòng chảy

của một con sông Xác định curlV bằng cách dùng curl ké là

bánh guồng trên đây

Hình 7.21 Curl kế cho thấy một thành phan cda curl của vận tốc V

của nước hướng từ ngoài vào trong

GIẢI

Hình 7.21 là tiết điện dọc của một dòng sông rộng, lấy ở

- giữa dòng sông Vận tốc bằng không ở đáy sông và tăng tỷ lệ

với độ cao khi đi từ đáy sông lên mặt sông Bánh guong G dat

ở vị trí như trên hình (trục vuông góc với tờ giấy) sẽ quay

theo chiều kim đồng hỗ và cho thấy rằng curÏV có một thành

phần vuông góc với tờ giấy và hướng từ ngoài vào trong Nếu

V không đổi ở các điểm có cùng một độ cao thì đây là thành

phần duy nhất của curlV '

7.3.3 Biểu thức cia curl của một trường vecld

Định nghĩa của curÌA trong đoạn 7.3.1 không phụ thuộc hệ

tọa độ Bây giờ xét hệ tọa độ vuông góc và áp dụng định nghĩa

(7.3.3) để lần lượt tìm các thành phần của curlA theo từng

huéng ax, ay, az Trước tiên, xét hướng a và chọn chu tuyến

290

Vậy nếu xét cùng một diện tich dS trong tất cả các mặt

phẳng đi qua P thi d@ tỷ lệ với cosœ, và ta có các kết luận

sau:

1) Trường A xody nhiéu nhét quanh true eda curlA

2) Trường A không xoáy quanh các trục vuông góc với

curlA

3) Nếu an tạo với curlA mét géc nhon (0 < œ < 1⁄2) thì A

xoáy quanh an theo chiều dương; còn nếu an tạo với

curLA một gốc tù (2 < œ < x) thì Á xoáy quanh an theo

chiều âm

Từ định nghĩa (7.3.3), ta có thể nói rằng cưri là hoờn lưu

trên đơn uị diện tích Người ta có thể dùng một bánh guồng

(chong chóng) cực nhỏ để làm “curl kế”, tức là để đo độ lớn và

chiểu của curlA tại từng điểm Lúc đó, phải tưởng tượng rằng

vecta A cé khả năng tác dụng một lực lôn từng cúnh của bánh

quông; độ lớn của lực tỷ lệ với thành phần của trường A vuông

góc với bể mặt cánh Muốn thử để tìm curl cửa trường A, ta

nhúng bánh guôồng vào trong trường: muốn tìm thành phần của

curlA theo huéng apy nao thi ta đặt trục của bánh guông theo

hướng đó, rồi xem tác động của trường lên bánh guồng Bánh

guỗng không quay tức là (curlA)a = 0; bánh guồng càng quay

nhanh nghĩa là (curlA); càng lớn; bánh guồng đối chiều quay

cho biết (curlLA)a đối dấu Muốn tìm hướng của vectơ curl A, ta

phải xoay trục bánh guồng theo mọi hướng để đò hướng nào

làm cho nó quay nhanh nhất (ngầu lực tác động lên bánh guồng

lớn nhất) Lúc đó, bướng của vectơ curlA chính là hướng của:

trục bánh guéng, phi hop với chiều quay của nó theo quy tắc

bàn tay phải :

289

Trường từ dừng

Hình 7.90 Trường A xoáy nhiều nhất trong mặt phẳng đi qua P và

vuông góc với curÌlA Chiểu xoáy quanh trục curlA cho bởi quy tắc

bàn tay phải

Bây giờ xét một điểm P cố định và xét vectơ curlA cố định

tại P (Hình 7.20) Xét vô số trục d đi qua P, mỗi trục xác định

bởi một vectơ đơn vị chỉ hướng an Gọi d5 là một diện tích vì

phân bao bởi một đường kín vi phân dC (biên của dS) va nam

trong một mặt phẳng (m) vuông góc với d Hai câu hỏi sau

được đặt ra:

1) Mức độ xoáy của A quanh từng trục d phụ thuộc uùào

hướng của d như thế nào? và A xoáy theo chiều nào? -

2) Quanh trục đ nào thì A xoáy nhiều nhất?

Hai câu hỏi này được trả lời dễ đàng bằng cách tính hoàn

lưu vi phân của A dọc theo chu tuyến vi phan dC tir (7.3.4):

— đẾ= (curlA)a đS = |curlA | cosa dS