Sách điện từ - Chương 3

sách điện từ

§ 6 CHƯƠNG 3

» VI DU 3.6

Kiém tra phuong trinh Maxwell của trường D do một điện

tích điểm Q đặt tại gốc O tạo ra

Vậy p„ = 0 khắp nơi, ngoại trừ ở gốc 0 thì nó bằng vô cực

3.6.3 Định lý divergence đối với trường D

Trong đoạn 3.5.2, ta đã chứng minh định lý divergence

(3.5.5) đúng với mọi trường vectơ A Riêng đối với trường D,

định lý này có thể suy dễ dàng từ định luật Gauss Thật vậy, nếu -

đi từ định luật Gauss:

q D-dS = Q chia trong v bao béi S

5

rồi tính Q theo mật độ điện tích khối trong v, ta được:

99

rồi chia hai vế cho thể tích Av (nghĩa là viết định luật Gauss

trên đơn vị thể tích), ta được:

D-ds AQ œ LÊN

om Av =— AV ans (8.6.5)

Khi cho thé tich Av co lai va tiến đến không thì vế trái là

đivergence của D,VsD, còn vế phải là mật độ điện tích khéi py:

->

@ | v.D=o, (3.6.6)

Đây chính là phương trình Maxwell thứ nhất trong bốn

phương trình Maxwell áp dụng cho trường điện tĩnh và

trường từ dừng, phát biểu như sau: điện thông thoát ra khỏi

_ một thể tích cực nhỏ trên đơn vi thể tích (tức là mật độ thoát

điện thông) đúng bằng mật độ điện tích khốt trong thể tích

cực nhỏ đó Phương trình này còn gọi là dang diém của

định luật Gauss vì định luật Gauss cho biết quan hệ giữa

điện thông thoát ra khỏi một mặt kín với điện tích chứa trong

mặt kín đó; còn phương trình Maxwell phát biểu tương tự,

nhưng đối với một thể tích cực nhỏ, tức là một điểm

Mặt khác, vì V-D là tổng của ba đạo hàm riêng nên phương

- trình Maxwell thứ nhất được gọi là dạng vi phân của định

luật Gauss; và ngược lại định luật Gauss gọi là dang tich

-ˆ phân của phương trình Maxwell thứ nhất

BAL CHUONG 3

@ 3.6 DIVERGENCE CUA D VA PHUONG TRINH MAXWELL

THU NHAT (TRUONG DIEN TINH)

3.6.1 Điện tích chứa trong một thể tích cực nhỏ

Bây giờ ta sẽ áp dụng các kết quả của hai đoạn 3.4 và 3.5 cho

trường vectơ mật độ điện thông D, đồng thời kết hợp với định

luật Gauss (3.2.12), theo đó điện thông thoát ra khỏi mặt kín AS

.bao thể tích Av là:

AS trong đó AQ là điện tích chứa trong Av Mặt khác, theo (3.4.4),

Điện tích chứa trong thể tích Av ~ V.Ö x thể tích Av (3.6.3)

trong đó các biểu thức của V.D trong các hệ tọa độ vuông góc, trụ

và cầu lần lượt cho bởi (3.4.6), (3.4.8), (3.4.9) với  thay bdi D

8 3 CHUONG 3 Logi 1: Mặt kín AS; của Avi (biên giới của Avi) không có

phân chưng với biên giới S của v (nghĩa là Av: nằm hoàn toàn

trong v) Lúc đó, thông lượng thoát ra khỏi AS¿ bằng thông

lượng đi vào các biên giới chung của Av; với các thể tích nhỏ kề

với nó; nghĩa là hai thông lượng “thoát ra” này triệt tiêu nhau

Loại 2: Biên giới AS; của Avs có một phần chung với biên

giới 5 của v (nghĩa là có một phần của biên giới AS; không kê

với bất cứ thể tích Av nào của v) Lúc đó, thông lượng của A

thoát ra khỏi phần này của S không bị triệt tiêu bởi một

thông lượng khác

Do đó, khi ta cộng đại số tất cá thông lượng thoát ra khỏi

tất cả thể tích Av của cả hai loai; ta chi con lại thông lượng

thodt ra khdi bién gidi S cia v _ ST

Mặt khác, theo ý nghĩa vật lý (3.4.5) của divA, thông lượng

A® thoát ra khỏi Av là A® = (divA)Av Do đó, cộng đại số tất

ca A®@ thoát ra khỏi mọi Av của y cũng bằng cộng đại số mọi số

hạng dạng (divA)Av; và ở giới hạn thì tổng này chính là tích

phân của divA trong v

Tóm lại, dạng toán học của dinh ly divergence Ia:

và nếu nhắc lại rằng đây là thông lượng tổng ® thoát ra khỏi v

thi V-A trong vế phải của (3.5.5) có thể xem là mật độ thoát 7

thông lượng trong v Danh từ này được gợi ý từ mật độ điện

tích khối p, : điện tích tổng Q chứa trong thể tích v được cho bởi

công thức (2.3.5):

93

9 2 Mật độ điện thông

Tuy nhiên, VsA, nếu xem là tích chấm của vectơ del với vectơ

A, chỉ cho ta biểu thúc đúng của diuA trong hệ toa độ uuông góc,

còn trong hệ tọa độ trụ hoặc câu thì toán tử V không có dang cụ

thể, nghĩa là ta xem V-A như một ký hiệu khác của diuA cho bởi

biểu thức (3.4.8) hoặc (3.4.9)

3.5.2 Dinh ly divergence

Định lý này sẽ được dùng rất phổ biến trong môn trường điện

Tích phân của thành phần pháp tuyến hướng ngoại của một

trường vectơ A trên khắp một mặt kín 5 bằng tích phân của

divergence của A trong khắp thể tích v bao bởi mặt kín S đó

(Hình 3.9) và tìm cách tính thông lượng của À thoát ra khỏi

Av Ta phân Av ra làm hai loại:

92

Khi làm toán với toán tử V, ta cứ xem nó nhự một vectơ

.bình thường, với điều kiện ¿Èay toán nhân uô hướng bởi các

đạo hàm riêng tương ứng Chẳng hạn, nếu A là vectơ

A = A, (x,y, za, +A y(Œ%, Y,Z)Ay + A„(x,y,z)a„ (3.5.2)

TT OAx „ Sây dA,

Theo (3.4.6), đây chính là divergence của A trong hệ tọa độ

vuông góc:

divÄ=v.Á - 2x , Ay | aA, 3 : Ox ay az |? j — (35.4)

Ky hiéu V-A thong dung hon divA, mac dù mỗi thứ có mot uu

diém riêng Khi viết VeA, ta tim ngay được biểu thức của

divergence, con néu viết divA ta sé nhớ ý nghĩa vật lý của

divergence (thông lượng thoát ra) Ngoài ra, toán tử vectơ V còn

được dùng để ký hiệu một số toán tử khác, chẳng han gradient:

va curl (rotationnel) trong các chương Sau

RO _ Mạ£ độ điện thông BÀI TẬP 341 _ _ mt

Tim divA tai điểm P cho trước (chú ý hệ tọa độ)

@ 2) A=(2xyz- y’)ax + (x72 ~ 23xy)ay + x’ya,; P (2, 3, -1)

b)A =2pz sin’ $a, + pz sin 2ha, + 2p zsin™ oa, ; P(2,110",-1)

c) A=2rsin @cos $a, + 100s 9 cos pag ~T sin pa, ; (LS, 30°, 50°)

13 CHƯƠNG 3

Nếu dùng tọa độ trụ với thế tích vi phân dv.= pdpd¿dz trên

Hình 1.8c, và nếu tại điểm P(p,¿,2), ta viết

A = A,a, + Aya, + A,a, , thi:

Nếu dùng tọa độ cầu với thể tích vi phân dv = r’sinOdrd6édo

trên Hình 1.10c, và nếu tại điểm P(r,0,) ta viét

A= A,ay + Agag + Agay, thi:

A OA, OA

divA = OA +—Ỷ+—* (vuông góc) (3.4.6) @®

Từ (3.4.5), ta được ý nghĩa vật lý của divA như sau: nếu dv

là một thể tích vi phân bao quanh điểm P thì ¿hông lượng của

A thoát ra khỏi mặt kín ui phân dS bao quanh dv la:

Vậy có thé néi divA la mdt dé thoat thông lượng tại P Nếu

tại P ta có đivA> 0 thì thông lượng thực sự thoát ra khôi d5 và Ỷ

-P là điểm nguồn (Hình3.8a) Ngược lại nếu divA<0 thì thông

luong thuc sự đi vào d5 và P là điểm giếng (Hình3.8b)

d& = divA.dv>0) dé& = divA.dv<0)

với AV = AxAyAz là thể tích hình hộp bao bởi AS Hoàn toàn

tương tự, tổng thông lượng thoát ra khỏi mặt phải và mặt trái

Ta định nghĩa divergence cia trường vectơ A là:

=> dd = adivé d

@ | divA= lim -4S = lim (3.4.5)

Av+0 Av Av-0 ‘AV

Nếu A thuộc họ vectơ mật độ thông lượng thì ý nghĩa vật

lý của A rất rõ ràng `

Divergence của vectơ mật độ thông lượng A bằng thông

lượng thoát ra khỏi một mặt kín nhỏ trên đơn vị thể tích

khi thể tích này co lại và tiến đến không ,

"87

¬‡ự

Ở đây AS gồm sáu mặt của hình hộp: trước, sau, phải, trái,

trên, dưới; nhưng vì cách tính giống nhau nên ta chỉ cân tính

hai thông lượng thoát ra khỏi mặt trước và mặt sau của hình

hộp, ký hiệu A5: và A5 Tọa độ của các tâm P¡ và Pạ của A5¡

2

Gọi Ao = À;oA„ + Âyoay + Agp@z> Ar = Arias + Ayiay + Anas

va Ag = Aygax t Ayoay + Azz az lần lượt là giá trị của A tại

Po, Pi, Pe Ta cé: ˆ

AcdS = A,-AS, = Aya AS; = AyAyAz ~

AS]

Vi P¡ cách Pạ một đoạn Ax/2 nên::

Agi = Axo + > x tốc độ thay đổi của A; theo x

xem như hàm của một biến x, trong một cận của Xo, khi ta chỉ

giữ lại hai số hạng đầu tiền Vậy:

| _ OA, Ax

R A-dS = [As + aya

Tuong tự, ta tính thông lượng thoát ra khỏi mặt sau:

| A-dS = Ag-ASe = -Âs-a„AS› = —A,oAyAz ASQ

Vi hoanh dé cia P, bang Xp -= nén:

_86

—

tS CHƯƠNG 3

@ 3.4 DIVERGENCE

Bây giờ xét một trường vectơ A bất kỳ Thông lượng của

A thoát ra khỏi một mặt kín S là một đại lượng thường gặp ở

nhiều ngành vật lý, và được định nghĩa tương tự điện thông

trong đoạn 3.2.1, cụ thể là công thức (3.2.10):

Ta sé tim cach tinh gắn đúng thông lượng này theo các

thành phần của A trong trường hợp S là một mặt kín AS có

kích thước khá nhỏ bao quanh một thể tích Av

Goi Po(xo, Yo, zo) la mot diém bat kỳ ở trong trường A

(Hình 3.7) và chọn một mặt kín AS là một hình hộp chữ nhật

nhỏ có tâm Pp va ba cạnh có chiều đài Ax, Ay, Az Thông lượng

của A thoát ra khỏi hình hộp AS này là:

4 Mat d6 dién thong

BAI TAP 3.3.1

Cho ba phan bé dién tich sau: điện tích điểm Q = 0,25HC

tại tâm O, điện tích mặt 2mŒ/mˆ trên mặt cầu r = lcm và

điện tích mặt -0, 6m€/m trên mặt cầu r = 1,8cm Tinh D tai:

a) P(r = 0,5em); b) Polr = 1,5cm); c) Pzứ = 2,5em)

d) Hỏi mặt câu r = 3cm phải mang điện tích mặt bằng bao

nhiêu để D = 0 trên mặt cầu r = 3,5cm

+3 ~ CHƯƠNG 3 GIẢI

Do đối xứng, trường D tai Plxy,z) cé dang Dz)az khi

z > 0 va -D,(z)az khi z < 0 Chon mat Gauss d&c biét 1A một

hình hộp chữ nhật có đáy trên và đáy dưới cách mặt phẳng

mang điện tích (mà ta chọn là mặt phẳng z = 0) một khoảng h

Rõ ràng trên bể mặt xung quanh thì D‹dS =0; và do đó chỉ còn

điện thông thoát ra qua đáy trên và đáy dưới của hình hộp

Ngoài ra, điện tích tổng chứa trong hình hộp là điện tích chứa

trên hình chữ nhật OABC của mặt phẳng z = 0, với diện tích

bang S O day S, gồm đáy trên và đáy dưới của hình hộp

Ta tìm lại cùng kết quả như trong ví dụ 2.6, nhưng tốn ít

công sức hơn nhiều

T2 Mat độ điện thông

Kết quả này có dạng hoàn toàn giéng (3.3.15) va (3.3.16)

của điện tích đường vô tận

3 Miền 3 (p >b) Lúc đó Qc = Q— Q = 0 và D = E =0

Chú ý: Kết quả trên đây vẫn đúng nếu vật dẫn điện bên

_ trong là một hình trụ (đặc) vô tận bán kính a Lúc đó điện

tích cũng chỉ phân bố trên bê mặt của nó, còn bên trong hình

_ trụ thì py=0,D=0 và =0

_ VÍ DỤ 85 | |

Dùng định luật Gauss dé tìm điện trường do điện tích phân

bế đêu với mật độ p; trên mặt phẳng vô tận tạo ra (Hình 3.6):

Hình 3.6 Dùng định luật Gauss để tìm điện trường do điện tích

mặt đều ps trên mặt phang z = 0 tao ra ,

_ 82

T1 — CHƯƠNG3

VÍ DỤ 3.4

Xót một cáp đồng trục gồm hai mặt trụ đồng trục dài vô

tận bán kính a và b (0<a<b) Giả sử mặt trụ trong mang điện

tích mặt đều với mật độ mặt p;, còn mặt trụ ngoài mang điện

tích bằng nhưng trái đấu với mặt trụ trong Dùng định luật

Gauss để tìm E tại một điểm P bất kỳ trong không gian

_(Hình 3.5)

GIẢI

Bài toán cáp đồng trục được giải tương tự bài toán điện tích

đường trong ví dụ 3.3 Do đối xứng, trường D tại P(, ¿, z) có

dạng D =D;(p)a, và nếu chon mat Gauss đặc biệt là một mặt

trụ bán kính đáy p và chiều cao , ta có ba miền:

1 Miền 1 (p <a) Lúc đó: Qc=0vàD=E=0

chiều dài của mặt trụ trong chứa điện tích bằng 2maps nên ta

xem như mặt trụ trong có phân bố điện tích đường đều với mat

độ đường pụ = 2naps Vay:

- „ oa T=

81

Mat do dién thong

Hình 3.5 Dùng định luật Gauss để tìm điện trường do:

a) Điện tích đường đều pẹ trên trục z tạo r4

b) Cáp đồng trục tạo ra

Do đối xứng, trường D tại P(p, 4, 2) chỉ có một thành phần

D, và thành phần này chỉ phụ thuộc p:D = D,(p)a, Trên bề

mặt xung quanh của hinh tru thi a, = ap; tai day trén thi

a, = a, ; con tại đáy dưới thì a„ = —a, (nhac lai: an là vectd

pháp hướng ngoại của mặt trụ) Vậy 8, chính là bé mat

xung quanh Suy ra:

việc ở đây nhẹ nhàng hơn nhiều - 2 nh " -

¥

Ễ

Vay D va E giống trường hợp toàn bộ điện tích Q tập trung

tợi tâm thay 0ì phân bố đều trong hình câu

VÍ DỤ 3.3

Dùng định luật Gauss để tìm điện trường do điện tích phân

bố đều với mật độ Pe trén đường thẳng vô tận tạo ra

GIẢI

Ta chọn đường thẳng mang điện tích là trục z trong hé toa

độ trụ và chọn mặt Gauss đặc biệt là một mặt trụ tròn xoay

trục z, bán kính đáy p và chiều cao et (Hinh 3.5a)

79

Mat a6 dién thong

cm ey

Vi-DU 3.2

Dùng định luật Gauss để

Q phân bố đều trong hình cầu bán kính a tạo ra

tìm điện trường do một điện tích

Trường hợp 1: Ð ở trong hình cầu S, (r < a)

Chọn mặt Gauss đặc biệt là mặt câu S tâm O bán kính r

Dùng định luật Coulomb và xét tính đối xứng, ta thấy rằng D

có phương ay Mặt khác, vì điện tích phân bố đều (0v không

đổi) nên điện tích tổng chứa trong 8 là:

GIAI

Đặt điện tích Q tại tâm O của tọa độ câu (Hình 3 4a) Theo

định luật Coulomb, E tại P(r) có phương ay (ta nói nó có tính

đối xứng cầu), Chọn mặt Gauss đặc biệt là một mặt cầu S

tâm O bán kính r, ta thấy rằng D vuông góc với dŠ tại mọi

điểm của S8, nghĩa là S, = S = 4mr? Vậy ding (3.3.1), (3.3.2) va

(3.3.3) ta duge:

_ (a) Hinh 3.4 Ding dinh luật Gauss để tìm điện trường d do:

a) Một điện tích điểm Q tao ra 5 ES Eg

66 oo Mật độ điện thông

3.3 ÁP DỤNG ĐỊNH LUẬT GAUSS ĐỂ TÍNH D VÀ E

Bây giờ ta tìm cách dùng định luật Gauss (3.2.12) để tìm Ð

và suy ra E=D/eạ khi biết phân bố điện tích nguồn Giả sử

ta tìm được một mặt kín 8, gọi là mặt Gauss đặc biệt, thỏa

các điều kiện sau:

1 Có thể chia S ra làm 2 phần: 8, trên đó D vuông góc với

đS (tức là song song với d8) và Sy, trên đó D song song với

dS (tức là vuông góc với d8) Vậy trên S, thi DedS = Dds;

còn trén S, thi DedS =0

2 TrênS,, biên độ của D là hằng số

Lúc đó, nếu áp dụng định luat Gauss (3.2.12) ta có:

Dùng định luật Gauss để tìm điện trường do

diém tao ra "

một điện tích

76