Sách điện từ - Chương 1

sách điện từ

te Fs -: Giải tích Vectơ

PP’ =ảf =vár? +r 49” tr” sin”

ede? ; (1.8.5)

ø Độ đời vị phân

PP’ =df = dra, +rd@a, + rsin Gdoa, (1.9.6)

1.9.3 Quan hệ giữa tọa độ cầu và tga độ vuông góc

a)_ Quan hệ giữa hệ tọa độ cầu và hệ tọa độ vuông góc

b) Hình chiếu của hình a) lên mặt phẳng pz

Goi (x, y, z) va (r, 9, ¿) là tọa độ vuông góc và tọa độ cầu

của cùng một điểm P (Hình 1.11a) Ta có:

‘X= pcosd = rsin® cosd (1.9.7a)

y = p sing = rsinO sing "¬ (1.9.7b)

z= rcos 9 - (1.9.7e)

Ngược lại, ta có:

`.32

2+ ` CHƯƠNG 1

Giao tuyến của 'mặt nón 0 = 8¡ với nửa mặt phẳng $ = ở

là nửa đường thẳng di qua O, trên đó chỉ có r thay đổi, gọi là

đường tọa độ r Vectơ ay chỉ hướng tăng của r

_ Giao tuyến của nửa mặt phẳng 6 = ú¡ với mặt câu

r = r¡ là nửa vòng tròn tâm O, trên đó chỉ có 9 thay đổi; gọi là

đường tọa độ 9 Vecfơ a, chỉ hướng tăng của 9

Giao tuyến của mặt cầu r = rị¡ với mặt nón 9 = 9; là mệt

vòng tròn có tâm nằm trên trục z, trên đó chỉ có $ thay đổi;

gọi là đường tọa độ 6 Vecto ay chi hướng lăng của ý (giống

như trong tọa độ trụ)

Tai Pi, ba vectd (ay;,aa,a¿) đôi một vuông góc và tạo

thành một tam diện thuận Mỗi vectơ tiếp xúc với một đường

_ tọa độ và vuông góc với một mặt tọa độ tương ứng Ta nói hệ

tọa độ cầu là một hệ tọa độ trực giao, tương tự hệ tọa độ

trụ và hệ tọa độ vuông góc Rõ ràng Pạ là giao điểm của ba

mặt tọa độ đôi một trực giao |

1.9.2 Chiều dài, diện lích và thể tích vi phân trong hệ tọa độ cầu

Xét điểm P có tọa độ cầu (r, 9, ¿) trên hình 1.10c và giả sử

ta cho r, 9 và ¿ tăng lên một lượng vi phân đr, đ6 và dó

Hai mặt cầu bán kính r và r +dr, hai mặt nón có nửa góc

đỉnh @va 6+d@ ; va hai ntia mặt phẳng tạo với nửa mặt

Giai tich Vecta

a) Tọa độ cầu (r,Ð,È) của P

b) Các mặt tọa độ và đường tọa độ trong hệ tọa độ cầu

c) Các chiều dai, điện tích và thể tích vi phân trong tọa độ cầu

d) Hình hộp gần đúng của thể tích vi phân tại P có ba cạnh là

(dr,r đô, r sin0dệ) `

Ngược lại, xét một bộ ba 36 (r1,61,1) (Hinh 1.10 b) véi

O<n < 40; 050 Sa 3 0X) <2n (1.9.1)

Tập hợp các điểm có r = rị là một mặt cầu tâm O ban

kính rụ, gọi là một mặt tọa độ r Tập hợp các điểm có Ô = Ôy

là một mặt nón dinh O, true Oz va nữa góc đỉnh @, gọi là

_ một mặt tọa độ 9 Tập hợp các điểm có > = $ị¡ là nửa mặt

° phẳng tạo với nửa mặt phang xOz một nhị điện có góc Ôi, gọi

là một mặt tọa độ ¿ (giống như trong toa d6 tru)

`^

25 " CHƯƠNG 1

@ 1.9 HỆ TỌA ĐỘ CẦU

1.9.1 Mặt tọa độ và đường tọa độ của hệ tọa độ cầu

Gọi P là một điểm trong không gian và M là hình chiếu

của P xuống mặt phẳng xy (hình 1.10a) Tọa độ cầu của M là

bộ ba số (r, 9, $ ) xác định như sau:

er la khoảng cách từ P đến gốc O (r > 0}

e 8 là góc tạo bởi trục Ởz với veectơ ƠP (0< 6 < m)

s ¿ là góc tạo bởi trục Ox với vectơ OM (0<¿< 2m) _giống

như trong tọa độ trụ

Lễ (a) "- : : z (b)

28

¿ ở 2 Giai ich Vecto

b) Các mặt tọa độ và đường tọa độ trong hệ tọa độ trụ

e) Các chiều dài, điện tích và thể tích vi phân trong tọa độ trụ

đ) Hình hộp gần đúng của thể tích vi phân tại P có 3 cạnh là

(dp, pdẻ, dz)

24.0 CHUONG 1

Tiếp theo, xét giao tuyến của mặt tọa độ Yÿ= ÿ¡ với mặt

tọa độ z = z¡ Đó là một đường thẳng trên đó chỉ có x thay

đổi còn y = hằng số và z = hằng số Đường thẳng này có

phương trình (y = y¡, z = z¡) và được gọi là đường tọa dé x

_ Vậy điểm P; là giao điểm của ba mặt tọa độ có phương trình

X=%,Y=y, Va z= 21

Tai Pi, goi a, la uectơ đơn uị tiếp tuyến của đường tọa độ

_+ có chiều theo hướng x tặng, a„ cũng là vectơ pháp của mặt

tọa độ x = xị Tương tự với hai tọa độ kia và ta được ba vectơ

đơn vi (a,x, ay, a;) VUông BOC ` với nhau đôi một và tạo thành

một tam diện thuận

1.8.2 Mặt tọa độ và đường tọa độ của hệ tọa độ trụ

Bây giờ ta chuyển sang hệ tọa độ trụ Gọi P là một điểm

trong không gian và gọi M là hình chiếu của P xuống mặt

phẳng z = 0 (Hình 1.8a) Tọa độ trụ của P là bộ ba sé (p, 4,

z) trong đó (p, $) là tọa độ cực của M trong mặt phẳng xy, còn

z giống như trong hệ tọa độ vuông góc Nói rõ hơn:

s p là khoảng cách từ M đến gốc O, hay khoảng cách từ

¢ ya / ;

@ 1.8 HE TOA DO TRU

1.8.1 Mặt tọa độ và đường toa độ của hệ tọa độ vuông gúc

Trước khi xét hệ tọa độ trụ, ta sẽ đưa ra một số khái niệm

tương tự - nhưng dễ hiểu hơn - trong hệ tọa độ vuông góc

Ta đã biết rằng tọa độ của một điểm là một bộ ba số để

xác định uị trí của điểm đó trong không gian Bất cứ một

điểm nào cũng có một tọa độ duy nhất, và ngược lại bất cứ

một bộ ba số nào cũng giúp ta xác định được vị trí của một

điểm duy nhất Trong hệ tọa độ vuông góc, xét một bộ ba số

(Xị, Vì, ZL) VỚI:

—0 < Xj, Yi, Zi < +0 (1.8.1) Giả sử ta vẽ mặt phẳng vuông góc với trục x tại vị trí

x= xị Mặt phẳng này có phương trình x = xị và được gọi là

một mặt tọa độ x, trên đó x = hằng số còn y và z thay đổi tự

do Tương tự, ta có mặt tọa độ y với phương trình y = ÿy¡ và

mặt tọa độ z với phương trinh z = 21

20

c) Mot vecto phdp đơn vị của mặt phẳng chứa tam

gidc P iP 2P 4

ĐÁP a) 24a, + 78ay + 20a,; — b)42

c) 0,286a, + 0,928a, + 0,238a,

19

ao,

Lan Giải tich Vecto

Hai mặt trụ bán kính p và p.+ dp, hai nửa mặt phẳng tạo

với nửa mặt phẳng xOz các góc ¿ và O + độ; và hai mặt phẳng

nằm ngang có độ cao z và z + dz sẽ bao một thể tích vi phân

có dạng hình nêm cụt Khi thể tích này rất nhỏ, nó có dạng

PP’ = dẾ= dpa, + pd¿a¿ + dza,

1.8.4 Quan hệ giữa tọa độ trụ và tọa độ vuông gúc

(1.8.6)

(1.8.7)

Hinh 1.9: a) Quan hệ giữa hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ vuông góc

b) Hình chiếu của hình a) lên mặt phẳng xy

` 2Ä

23 “Y= oe CHƯƠNG 1

Ngược lại, xét một bộ ba số (pị, $1, 21) (Hinh 1.8b) với:

OSp, < +0; 0< 6, <2z7; 0 <Z, < +00 (1.8.2) Tập hợp các điểm có P=Pp, là một mặt trụ trục z, bán kinh

P¡ gọi là một mặt tọa độ p Tập hợp các điểm có $=ở, là

_ nủa mặt phẳng tạo với nửa mặt phẳng xOz một nhị điện có

góc È¡; gọi là một mặt tọa độ ÿ Cuối cùng, tập hợp các điểm

(OZ = z¡ là mét mat phdng vuông góc với trục 2 và có cao độ

21; goi la mét mat toa độ z

Giao tuyến của nửa mặt phẳng $=$, với mặt phẳng z = z¡

là nửa đường thẳng vuông góc với trục z; trên đó chỉ có p thay

_ đối Đó là đường tọa dé p Vecta By chi hướng tăng của ø

Giao tuyến của mặt phẳng z = z¡ với mặt trụ p=p, là vòng

tròn có bán kính p¡ và tâm nằm trên trục z, trên đó chỉ có ó

- thay đổi Đó là đường tọa đó $ Vectơ a¿ ch hướng tăng của á

Giao tuyến của mặt trụ p=p, với nửa mặt phẳng $= 4; la

một đường thẳng song song với trục z; trên đó chỉ có z thay đổi

Đó là đường tọa độ z Vectơ a„ chỉ hướng tăng của z

Tại Pị, ba vectơ (a), ay, a, ) đôi một vuông góc và tạo thành

một tam diện thuận Mỗi vectơ tiếp xúc với một đường tọa độ

và vuông góc với một mặt tọa độ tương ứng Ta nói hệ tọa độ

trụ là hệ tọa độ trực giao, tương tự hệ tọa độ vuông góc Rõ

ràng P\ là giao điểm của ba mặt tọa độ đôi một trục giao

1.8.3 Chiều dài, diện tích và thể tích vị phân trong hệ tga độ trụ

Xét điểm P có tọa độ tru (p, 6, z) trên hình 1.8e và giả sử

ta cho p, 6, va z tăng lên một lugng vi phan dp, do, dz

23 |

na

ts

e<

4 3 Giải tích Vectơ

Theo định nghĩa (1.7.2), đối với ba vectơ don vi ax, ay, az

của hệ tọa độ vuông góc trên hình 1.3a, ta có:

Do do, nếu khai triển

AxB = (A, ay + Ayay + A,a,)x(B,ay +Byay + B,a,) ,

ay ay a, AxB=/2 -3 1

-4 -2 5

= [-8/5)-(11-9)]av©((31(6)~(1/-4)Jay£ ((Ø/—9)-(-3)(-4)1az

1? CHƯƠNG 1

@ 1.7 TÍCH VECTƠ (TÍCH CHÉO, TÍCH HỮU HƯỚNG)

Cho hai vectơ Avà 8 (Hinh1.6) Goi A 14 dé ) lớn của A,B

là độ lớn của B va 9 1a góc nhỏ (0< Ô< x) giữa A va B Tich

vectơ, hay tích chéo › hay tích hữu hướng của Ẩ với Ö, là

m6t vectơ ký hiệu AxB (doc A chéo B) va xdc dinh nhu sau:

Phương vuông góc với A va vuông góc với B

: Chiều (hướng) là chiều tiến của một đỉnh ốc thuận khi ta

Hình 1.6: Tích chéo của A với B

Nếu gọi ẩn /ờ 0uectơ phúp đơn uị của mặt phẳng (A, B) có

hướng tiến của định ốc thuận quay từ A sang Bthi: —ˆ `

|Ẩx | = (ABsin Oa, | —' 79)

Nếu đổi thứ tự của Ä và thì ta có vectơ "pháp đơn vi

(-4 n) nguge hướng với ẩn Vậy tích chéo có tính đối giao hoan:

ế Á ft ý

iO Giải tich Vects

b) Vectơ đơn vị an theo hướng của N là:

c) Thành phần vectơ của A tại P theo hướng của N là:

(Aranan = (2) B (2a, +ay —9a,)

= —1,333a„ -0,667ay +1,333a,

đ) Góc 0 giữa A tại P và ay¿ được tính từ công tuúc

_ a) Rus; b) Ry; c) Gée 6, & dinh Pj

_ d) Hình chiếu vectơ của Rạ; lên Rịa

ĐÁP

a) -Bay + day - Ga, ; b) -9ax„ + 2ay +3a;

c) 53,6° ; d) -B,94a„ + 1,319ay +1,979az

16

uô hướng (hình chiếu uô hướng) uà thành phân uectơ (hình

chiếu vecto) cia một uectơ theo một hướng cho trước

Theo hình 1.5b, thành phân vô hướng của B theo hướng

b) Thành phần vô hướng của A tại P theo hướng của vectơ

N= 2a, +ay -2az

c) Thành phần vectơ của Á tại P theo hướng của N

d) Góc 9 giữa Á tại P và N

+

GIAI

a) Thay tọa độ của P vào biểu thức của A, ta được:

A= Bay - lay + öaz

15

si

a3

Ay? ay = dytdy sa .n Gray =a,° ay = 8+ az = 0

Mặt khác, tích chấm có tí: giao hoán và kết hợp nên

nếu chọ hai vectơ A và B dưới dạng:

Hình 1.5: (a) Cac dai lượng trong tích chấm

(b) Thành phần vô hướng của B theo hướng a

(c) Thành phần vectơ của B theo hướng a

Nếu A và B là hai vectơ khác không thì AB > 0 và do đó

- 5 o>

- 5 2

dau cia AeB chính là đấu của cos0 Ta được bảng 1.1

Bang 1.1: Dấu của AeB tùy theo vị trí tương đối giữa A và B

aS, = dydz, dŠy = dzdx, d5; = dxdy (1.3.2)

« Dudng chéo: PP’ = dl = dx” + dy” + dz" (1.3.4)

©) e D6 dédi vi phan; PP’ = df =dxa, +dyay+dza, (1.3.5)

` @1L4 VECTƠ ĐƠN VỊ VÀ THÀNH PHẦN CỦA VECTƠ

Vectơ đơn vị, ký hiéu a, 1a vecto co chiều dài bằng 1

:Vectơ đơn vị của một trục tọa độ là vectơ đơn vị hướng theo

chiều tăng của tọa độ trục đó Hình 1.3a cho thấy ba vectơ `

đơn vị (a„, ay, a„) của hệ tọa độ vuông góc

P,(1,2,3)

Hình 1.3: (a) Ba vectơ đơn vị của hệ tọa độ vuông góc

(b) Ba vectơ thành phần Š, Ÿ, của vectơ T

—~> > >

(c) Veeto Ryo =r -Ty

Vectơ đối của A, ky hiéu là “A, là veckd ngược © chiều u‹ voi A

va co do lon bang dé lon của Ä Hiệu A -B 1a téng A+ 8B)

Nếu k là mét s6 thuc thi kA là một vectơ có độ lớn bằng

" nhân với độ lớn của A; va cung chiều với A nếu k > Ô,

hoặc ngược chiéu véi A néu k < 0

‘CHUGNG 1

Oy

CHƯƠNG Ì -

GIẢI TÍCH VECTƠ

Giải tích vectơ là một công cụ toán học cơ bản của môn

Điện Từ, và sẽ được trình bày ở đây trên quan điểm kỹ thuật

bằng cách nhấn mạnh các ý nghĩa vật lý

.® 1.1 VÔ HƯỚNG VÀ VECTƠ

Danh từ vô hướng dùng để chỉ các đại lượng mà giá trị chỉ

- phụ thuộc một số thực (dương hoặc âm) Các tọa độ x, y, z của

một điểm; thời gian t, nhiệt độ T là các vô hướng Một số vô

hướng khác là khối lượng, thể tích, điện áp

— Danh từ vectơ dùng để chỉ các đại lượng oờo có độ lớn,

0ửa có hướng trong không gian Lực, vận tốc, gia tốc là các ví

dụ về vectơ

Gọi D là một miễn trong không gian Nếu ứng với mãi

điểm P của D, ta xác định được một vô hướng hoặc một vectd,

ta nói rằng ta có một trường vô hướng hoặc một trường

vectơ trong D Chẳng hạn, nhiệt độ tại từng điểm trong

phòng học là một trường vô hướng; gia tốc trọng trường tại

từng điểm trong một vùng trên mặt đất là một trường vectd

@ 1.2 ĐẠI SỐ VECTƠ

Vectơ được biểu diễn bởi một đoạn thẳng 'c©ó' Hướng;

niệu A, B, (Hình 11a) Tổng A + B được vẽ bởi quy ắc

3

LOI NOI DAU

2K OOK OK kK

Điện Từ là môn học cơ sở của Các ngành khoa học tự

nhiên và kỹ thuật, được đặt nên tảng trên hệ phương trình

Maxwell Tuy nhiên, nhằm mục đích giúp sinh viên tự tin,

thích thú và không cảm thấy rằng đây là một môn học quá

Khó, chúng tôi đã theo cách trình bày của phản lớn giáo trình

Điện Từ hiện nay, thể hiện qua hai ý tưởng chính:

(1) Trường điện tĩnh và trường từ dừng được trình bày trước,

đợi đến khi sinh viên đã thành thạo các công cụ vẻ giải tích

vectơ mới chuyển sang trường biến thiên theo thời gian; và

(2) không đưa ra cùng một lúc và ngay từ đầu cả bốn phương

trình Maxwell kèm theo các điều kiện biên như một dạng tiên

đề; mà sẽ bát đầu từ các định luật thực nghiệm rồi để cho

từng phương trình Maxwell xuất hiện dàn dàn

Cuốn sách này được viết sao cho sink viên có thể tự

lọc một cách đễ dàng Các kiến thức sẻ được sắp xếp từ

dễ đến khó, trong mỗi đoạn có nhiều ví đự nhằm minh họa

và ứng dụng các khái niệm cơ ban; sau mỗi đoạn déu có bài

tập cuối đoạn kèm đáp số nhằm giúp sinh viên tự kiếm tra

xem đã hiếu rö các khái niệm vừa trình bày trong đoạn đó

hay chưa

Trong lần xuất bản đầu tiẻ ; É không thể nào tránh

khỏi, chúng tôi rất mong sự đóng góp ý kiến quý báu cua các,

đỏng nghiệp và các bạn sinh viên

Nguyễn Kim Đính _ Nguyễn ThànhVấn