Sách điện từ - Chương 4

sách điện từ

C Tế seềy ch đụ? diag Yul Sv

(Q aan Laity deh dt” tàng,

thể Ah: af Ge: hey

mh

D = e,E = -35, 4xya, -17,71x’a, +44,3a, (pC/m’)

Dùng phương trình Maxwell thứ nhất, ta được:

— 8D, By aD,

= FES O+r © =

Thay x = -4, y = 3, z = 6 vao cdc biểu thức trên, ta có giá

_ trị bằng số của chúng tại P(—4, 3, 6):

a) Vp= 66V

b) Ep =48 a, ~32a,+5a, (V/m)

c) agp = 0,829a, -0,553a, +0,086a,

d) Dp = 424, 8a, ~159,4a, +44,3a, (pC/m?)

Tepe ab ag om BR Ce She gC ye) ,

CH vet Sth ul lu tel p eho by”

nt

“seo cP TS CUS R w A SUM, 4M

) ae) [Sig = Đo, + =Ø, 63x, 3 0,0%% a

=%ân # Kuay “ AD, HAR oy Ay, Bory CPY wt y

_ “bp = 124, Vow ~ AS 4G & Hep Ser, | Qe pwr)

Sf RMB = AMY CPCIMID mà g2, = ct9a 6 (f€/))

137

425 Năng lượng và điện thế

Nếu điện thế V được cho bởi hàm vô huéng V(x, y, Z) trong

hệ tọa độ vuông góc thì dùng (4.6.19), ta được:

TẾ 2V „ ae OX By BY ¬% a, OV» ov —»

Tương tự, nếu thêm dấu trừ vào (4.6.9) và (4.6.10), ta sẽ

tính được E theo V trong tọa độ trụ và tọa độ cầu

@ VÍ DỤ 4⁄7

Cho trường điện thế V = 2x”y — 5z và điểm P(-4, ở, 6) Xác

định các đại lượng sau tại P:

—4xy a, — Qx"ay +5a,

Suy ra: ag= _

đoạn cực nhỏ dn dọc theo chiều đường dòng (cũng là chiều pháp

tuyến của mặt đẳng thế theo hướng V giảm) thì V ý thay đối một

Hình 4.11 Trường điện thế V được mô tả bởi một họ mặt đẳng thế

Tại một điểm bất kỳ P, điện trường E vuông góc với mặt dẳng thế qua.P và hướng về các mặt có điện thế thấp hơn

185

1£1 Năng 1 ig lương và điện thé ì điện thế

1 VV vuông góc với mặt đẳng trị và chỉ hướng tăng nhanh

nhất của trường vô hướng V

2 Biên độ IVVI chính là tốc độ thay đổi nhanh nhất theo

không gian của Ÿ

4.6.3 Quan hệ giữa điện trường E và điện thế V

Bây giờ ta quay lại bài toán đặt ra ở đầu đoạn này: tìm

điện trường E khi biết điện thế V Trong công thức (4.3.2) để

tính hiệu điện thế giữa hai điểm, nếu ta xem A là Q và Blà P

trên hình 4.10 thì: ¡

Vor = -Ƒ Bede

Nếu chọn đường tích phân chính là đoạn thẳng vi phan PQ

thì doc theo doan nay E xem nhu không đổi Vậy:

Như vậy, nếu xuất phát từ P và di chuyển theo một vectơ vì

phan dé thi sé gia vi phân của V là tích chấm của -E với dẺ

So sánh (4.6.18) với (4.6.14), ta có quan hệ giữa E và V:

Nếu gọi S là một mặt đẳng thế, trên đó mọi điểm có cùng

một điện thế V thì (4.6.17) cho ta:

trong đó, đa là oectơ pháp don vi cua S va hướng theo chiéu tang

của điện thế, tức là uề phía có điện thé cao hon

_ Tai mét diém P cố định, ta có một vectơ VV cố định Nếu

xuất phát từ P với giá trị V, ta di chuyển theo nhiều hướng

cùng một đoạn vi phân dÉthì số gia dV của V cho bởi (4.6.15)

có các tính chất sau:

1 dV tăng nhanh nhất, tức là tốc độ thay đổi theo không

gian của V lớn nhất khi cos0 = 1, tức là khi hướng di chuyển

ay trùng với hướng của VV Vậy zốc độ thay đổi theo không

gian của V cực đại khi ta di chuyển theo còng hướng uới VV

2 Tốc độ giảm của V lớn nhất bhi ta đi chuyển ngược

hướng uới vv

t

3 dV = 0 khi 0=, tức là khi di chuyển theo các hướng

Uuông góc uới VV

Bây giờ xét các điểm trong không gian có cùng một giá trị

V =C= hằng số Tất cả các điểm này nằm trên một mặt § có -

goi là mặt đẳng tri Theo trên, khi di chuyển theo các hướng

d& vuông góc với VV thì V không đổi, nghĩa là VV chính là

một vectơ pháp của mặt đẳng trị qua P, và vectơ pháp này

hướng theo chiều tăng nhanh nhất của V

Gọi an là vectơ pháp đơn vị của mặt đẳng trị S và hướng về

phía có giá trị V cao hơn Vì av cho bởi (4.6.13) cực đại khi ag

' Hãng lượng và điện thế:

Ax = AP.cosơ, Ay = Abcosp, Az = Abcosy -

Do đó nếu thay AV từ (4.6.3) vào (4.6.11), ta được:

Vậy muốn tính tốc độ thay đổi theo không gian của V khi

P di chuyển một đoạn dÉ theo hướng a,, ta chi cần lấy tích

chấm của gradient của V với ay Nói cách khác nếu xuất phát

qua P và chỉ hướng tăng nhanh nhất của V

Gọi 6 là góc nhỏ (0 <0 < r) giữa vecto gradient VV va vecto

di chuyén vi phan df Cong thie (4.6.14) có thể viết:

| dV = IVVI dÉ cos9 (4.6.15)

Trong tọa độ trụ (Hình 1.8c) nếu giá trị của trường vô hướng V tại điểm P (p, $,z) 1a V (p, $,z) và nếu xuất phát từ

P ta di chuyển liên tiếp theo ba hướng a p› 34, 8z các đoạn vi

phân dp, pd, dz ta sé được biểu thức của gradient trong

tọa độ trụ:

Œ VV= OV a +> lấy a, ata (tru) (4.6.9)

phát từ P ta di chuyển liên tiếp theo ba hướng ay, ag, ay các

đoạn vi phân dr, rd6 và rsin0dệ; ta sẽ được biểu thức của

phân dÊ trong tọa độ tương ứng, với vi phan riêng (8) thay

cho vi phân thường (d);, chẳng hạn rsin9dệ trở thành rsin92¿

4.6.2 Bao ham theo hướng Quan hệ giữa gradient và các

mặt đẳng trị của trường vô hướng V

Bây giờ giả sử ta cố định hướng a, và cho điểm Q tiến đến

điểm P (Hình 4.9) Ta định nghĩa đạo hàm của V theo hướng a, 1a:

Gọi œ,B,y(0<d,B,y<m) là các góc giữa vectơ đơn vị chỉ

hướng a, Va Cac vectd ax, ay, az, ta có:

131

11T Năng lượng và điện thế

Tương tự, khi đi từ M đến N thì Ý có số gia AV, = và

và khi di từ N dén Q thi V cé sd gia AV, = 30 z

‘Vay số gia gân đúng của V khi đi từ P đến Q là:

AV = Min Maye Maz & (4.6.3)

Ta định nghĩa gradient của V là một vectơ xác định tại

từng điểm P bởi công thức:

nghĩa là thành phần của gradV trên một trục tọa độ bằng tốc

độ thay đổi của V theo hướng tang của tọa độ đó

Nếu dùng toán tử vectơ Ÿ cho bởi (3.5.1):

Thay vì đi trực tiếp từ P đến Q, ta có thể đi theo hướng ax

một đoạn Ax để đến M, rồi đi theo hướng ay một đoạn Ay để đến

N, và cuối cùng đi theo hướng a„ một đoạn Az để đến Q

Vay ta cé: |

Khi ải từ P đến M thì V có số gia AV, có giá trị gần đúng:

3 | 2 ‘2 Năng lượng và điện thế

@ 4.6 GRADIENT

Đến đây, ta đã có hai phương pháp xác định điện thế:

1) Tính từ điện trường E bằng tích phân đường;

2) Tính từ mật độ điện tích pz, Ps, Pv bằng tích phân đường

mặt, khối

Tuy nhiên, cổ hai phương pháp này không hiệu quả lắm

trong các bài toán thực tế uì thường ta không biết rõ điện

trường uà một độ điện tích; nhưng lại biết trước điện thế của

một số mặt đẳng thế nào đó Do đó, trên thực tế ta phải giải

bài toán ngược: cho biết điện thé va di tim dién truong

Bài toán này sé đưa đến khái niệm gradient, một khái

niệm liên hệ một trường vô hướng với một trường vectơ, áp

dụng cho nhiều ngành vật lý khác như thủy lực, nhiệt động lực ;:

và từ học Vì vậy, ta sẽ giới thiệu gradient của một trường vô

hướng bất kỳ

4.6.1 Gradlient của một irường vô hướng -

_Nếu tại mỗi điểm P(, y, 2), ta xác định được một vô hướng

V (x, y, 2) ; ta có một trường vô hướng Theo đoạn trên, điện

thế V do một phân bố điện tích tạo ra la mot trường vô hướng

Trong đoạn này, ta xem V là một trường vô hướng bất kỳ

142

Hiệu điện thế giữa điểm A và điểm B bằng công thực hiện

để mang một điện tích dương đơn vị từ B đến A dọc theo một

Tính chất này được phát biểu cách khác như sau: công £hực

hiện khi mang một điện tích đơn uị đi hết một đường hít C

q E-df = 0 © (4.5.9)

Vòng tròn nhỏ trên dấu tích phân cho biết rang C kin

Phương trình (4.5.9) chỉ đúng uới trường tĩnh uà không còn

đúng khi trường Diệ biến thiên theo thời gian Đây là dạng tổng

quát của định luật Kirchhoff về áp (ĐKA) trong mạch điện

P= ZA ay vert R=r-r'= za, — aa, c6 chiéu dai lr—r'l-=

Va’ +z" va do dé ding (4.5.4) ta duge:

Ũ 4mra da +Z "26, az +27

4.5.3 Tinh chất bảo toàn của trường điện tĩnh -

Một phân bố điện tích bất kỳ sẽ tạo ra một trường điện thế V trong không gian Nếu chọn gốc điện thế ở vô cực thì điện thế

của điểm A bằng công thực hiện để mang một điện tích dương

đơn u¿ từ uô cực đến A dọc theo một đường bất ky:

; Nang luong va dién thé

P(r") ela v tao ra tai điểm trường PŒ) một điện thế vi phân

Tương tự, trên Hình 2.7b, điện tích phân bố với mật độ đường

pgứ) trên đường L tạo ra tại Pí) điện thế

Cuối cùng, trên hình 2.11b, điện tích phân bố với mật độ mặt

pr) trén mat S tao ra tai P(r) dién thé

Nên so sánh các công thức từ (4.5.2) đến (4.5.4) để tính điện

thế theo phân bố điện tích với các công thức (2.2.9), (2.3.10),

(2.4.6), (2.5.6) để tính điện trường theo phân bế điện tích

VÍ DỤ 4.6

Cho điện tích phân bố đều với mật độ p¿ trên đường tròn tâm

O bán kính a của mặt phẳng z = 0 Tìm điện thế tại một điểm

trên trục 2

| @ 4.5 TRƯỜNG ĐIỆN THE CUA MOT PHAN BO DIEN *

TICH TINH CHAT BAO TOAN |

Từ công thức (4.4.5) dễ dàng thấy rằng nếu một điện tích Q nằm ở một vị trí bất kỳ thì điện thế do nó tạo ra tại một điểm P

_ uới điều hiện gốc điện thế được chọn ở uô cực

Mặt khác, từ nguyên lý xếp chồng của điện trường E, ta có thể chứng tổ rằng nguyên lý xếp chẳng vẫn đúng đối với trường

điện thế V; nghĩa là điện thế do một phân bố điện tích tạo ra

bằng tổng của tất cả điện thế do từng điện tích thành phần

Tương tự như trường hợp điện trường trong chương 2, ta sẽ xét

bốn loại phân bố: điểm, đường, mặt, khối

4.5.1 Điện thế đo một phân hố điện tích điểm tạo ra Xét n điện tích điểm Q\, Qạ, , Qạ trên hình 2.3 và gọi Rị là

khoảng cách từ Q¡ đến điểm trường P (i = 1, 2, ., n) Ta có

BR = |r - rịị với r và rị là vectơ vị trí của điểm trường P và điểm

nguồn Q¡ Từ (4.5.1) và nguyên lý chẳng trường, điện thế Ví(r) do

hệ thống điện tích điểm Qì, Q¿, , Qìa tạo ra tại Pœ) là:

4.5.2 Điện thế do một phân hố điện tích liên tục tạo ra

Cho điện tích phân bế liên tục với mật độ khối o, trong thé

tích v trên hình 2.5b Thể tích vi phân dv' tại điểm nguồn

123

1 O 9 Năng lượng và điện thế

@ BÀI TẬP 4.41

Một điện tích lõnC được đặt tại gốc tọa độ trong chân không

Tìm điện thế Vị của điểm P; có tọa độ (~2, 3, ~1) riếu

_trong đó C 1A mét hang sé bat ky Ta sé chon C sao cho V thỏa

một điểu kiện nào đó; chẳng hạn V = Vọ lúc r = ro

Theo định nghĩa, mặt đẳng thế iờ một mặt S gôm tốt cả các

điểm có cùng điện thế Ta không tốn năng lượng khi di chuyển

điện tích trên mặt đẳng thế vì hiệu điện thế giữa hai điểm bất

Vậy hiệu điện thế giữa A và B chỉ phụ thuộc các khoảng cách

từ A và B đến điện tích Q, không phụ thuộc đường nối A với B

và cũng không phụ thuộc các tọa độ 9 và ¿ của A và B

Tiếp theo, để tìm điện thế tại một điểm P, ta cần phải chọn

gốc điện thế Có nhiều cách chọn gốc điện thế (còn gọi là điểm

quy chiếu) khác nhau, nhưng hiệu điện thế (4.3.3) không phụ

thuộc gốc điện thế

Cách 1: Chọn điểm uô cực (©) làm gốc điện thế

Theo (4.3.4) điện thế của A là hiệu điện thế giữa A và œo

"

~ ‘Téng quat, néu P 1a mét diém trutng bất kỳ cách điểm nguồn

‘Q một khoảng r (Hình 4.7) thi dién thé V do Q tao ra tai P là:

Ý nghĩa vật lý của V rất rõ ràng: để mang một điện tích 1C

từ về điểm P cách điện tích Q một khoảng r (m) thì nguồn bên

ngoài phải thực hiện: một công (tức là tốn một năng lượng) bằng"

re

@ 4.4 TRƯỜNG ĐIỆN THẾ CỦA MỘT ĐIỆN TÍCH ĐIỂM

Xét điện tích điểm Q đặt tại gốc O trong tọa độ cầu (Hình 4.7) Điện trường do Q tạo ra tại điểm P có vectơ vị trí r được

Hình 4.7 Đường L bất kỳ nối hai diém B va A bat ky trong dién

trường E của điện tích Q đặt tại gốc tọa độ

Gọi A (ra, 8a, da), B (rg, Ôn, bp) la hai diém bat ky va Lla một

đường bất kỳ đi từ B đến A Hiệu điện thế Vag được tính từ

(4.3.2) trong đó dÝ là vectơ di chuyển vi phân trong tọa độ cau:

4 Ộ 5 Năng lượng và điện thế

Trong các thí nghiệm hoặc các phép đo thực tế, ta thường

dùng “đế?” làm gốc, nghĩa là điện thế của mặt đất bằng 0

Một gốc điện thế khác thường dùng là điểm vô cực, khi

vùng khảo sát khá xa trái đất, chẳng hạn trường bên trong

một nguyên tử, hoặc trường điện tĩnh ở cánh máy bay đang

tích điện khi sét đánh

Tuy nhiên, nếu điện tích có phân bố ở vô cực thì việc dùng

điểm vô cực làm gốc điện thế lại không phù hợp Chẳng hạn

trong bài toán cáp đồng trục, ta sé chon uật dẫn điện ngodi

làm gốc điện thế

VI DU 4.5

Hãy chọn gốc điện thế và tính điện thế do điện tích đường

đều mật độ p, trên đường thẳng vô tận tạo ra

_ Theo công thức (4.3.3) trong ví dụ 4.4, nếu chọn co lam gốc

thì không phù hgp vi Va = œ Do đó ta chọn một điểm Po

cách đường thẳng mang điện một đoạn pọ làm gốc Lúc đó ,

điện thế của một điểm P cách đường thẳng này một đoạn p là:

Pt in Po (4.3.7)

V,

Trong trường hợp này, tất cả các điểm của mặt trụ có trục -

là đường thẳng mang điện và bán kính pọ sẽ có điện thế = 0:

Ta nói mặt trụ này là một mặt đẳng thế

117

{ O 5 Nang luong và điện thế

trong đó pa và pg là khoảng cách từ A và B đến đường thẳng

Néu p,>0 va pa< ps, (A gần điện tích đường hơn B)

thi Vạp > 0, tức là nguồn bên ngoài phải tốn năng lượng để

mang điện tích dương từ B đến  Điều này phù hợp với thực

tế vì khi đó ngoại lực phải chống lại lực đẩy giữa các điện tích

cùng dương

4.3.2 Điện thế của một điểm

Bây giờ, tự ý chọn một điểm Pọ và tính hiệu điện thế giữa

_ một điểm bất kỳ A và điểm Pạ Nếu quy ước rằng điện thế của

Pẹ ià 0V thì theo định nghĩa, điện thế của A, ký hiệu Vạ, là

hiệu điện thế giữa A và Po (Hình 4.6)

Hình 4.6 Gốc điện thế, ký hiệu điện thế và hiệu điện thế

Nếu điện thế ở điểm A là Vụ và ở điểm B là Vạ thì :-

Vạn = VAT Vs| @ (4.3.5)

uới điều biện chọn cùng một gốc điện thế Po dé do Va va Vp

Cách ghỉ Vụ ,Vạ và Vạp được cho trên hình 4.6 —

Ý nghĩa vật lý của điện thé của A rất rõ ràng: đó là năng

lượng phải tốn để di chuyển một điện tích dương don vi tỪ

diém géc Po dén diém A trong dién truong: