Luyện thi vào THPT III.. Từ một PT biểu diễn ẩn này theo ẩn kia, rồi thế vào PT còn lại để thu được một phương trình mới.. Giải phương trình mới, tìm được một ẩn, rồi thế vào một trong h
Trang 1Luyện thi vào THPT
III HỆ PHƯƠNG TRÌNH
III.1 Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:
*Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng:
) 2 ( ' ' '
) 1 (
c y b x a
c by ax
Trong đó phương trình (1) và (2) là hai phương trình bậc nhất hai ẩn x, y
Phương pháp giải:
a) Phương pháp thế:
1 Từ một PT biểu diễn ẩn này theo ẩn kia, rồi thế vào PT còn lại để thu được một phương trình mới
2 Giải phương trình mới, tìm được một ẩn, rồi thế vào một trong hai PT của
hệ để tìm ẩn còn lại b) Phương pháp cộng đại số:
1 Biến đổi 2 phương trình sao cho chúng có hệ số của cùng một ẩn bằng nhau hoặc đối nhau, bằng cách nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp
2 Cộng hoặc trừ từng vế của hai phương trình sau khi biến đổi để thu được một phương trình một ẩn
3 Giải phương trình thu được, tìm được một ẩn, rồi thế vào một trong 2 phương trình của hệ để tìm ẩn còn lại
Ví dụ: Giải hệ:
) 2 ( 7 7 2
) 1 ( 6 2
y x y x
(bằng phương pháp thế) Giải: Từ PT (1) ta có: x = 6 – 2y (*) Thay x = 6 – 2y và PT (2), ta được PT:
2(6-2y) – 7y = 7 -11y = -5 y = 5/11 Thay y=5/11 vào (*) ta được: x = 56/11 Vậy nghiệm của hệ là x=56/11 và y=5/11
Ví dụ: Giải hệ:
) 2 ( 7 7 2
) 1 ( 6 2
y x y x
(bằng phương pháp cộng đại số) Giải: Nhân hai vế của PT (1) với 2, ta được PT: 2x + 4y = 12 (3)
Trừ từng vế của PT (2) và PT (3) ta được PT:
(2x – 7y) – (2x + 4y) = 7 – 12 -11y = -5 y = 5/11 Thay y=5/11 vào PT (1) ta được: x = 56/11
Vậy nghiệm của hệ là x=56/11 và y=5/11
*Bài tập
Bài 1: Giải các hệ sau:
a)
8 5 3
7 2
y x y x
b)
6 5
2
5 7
3
y x
y x
Bài 2: Cho hệ phương trình:
2 1
y ax ay x
a) Giải hệ khi a = 2 b) Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm duy nhất Bài 3: Cho hệ phương trình:
1 2
m my x
m y mx
Tìm các giá trị nguyên của m để phương trình có nghiệm x, y là các số nguyên Bài 4: Với giá trị nào của m thì hệ phương trình:
1 4
my x
y mx
có nghiệm thỏa mãn điều kiện
1
8 2
m y x
*Các hệ phương trình đưa về được dạng hệ 2 phương trình bậc nhất hai ẩn
Bài 5: Giải các hệ sau:
a)
7 5 3 2
5 2 1 1
y x
y x
b)
33 11
5
39 13
7
2 2
y x
y x
c)
15 2 5
1 2
2 2 3
1
y x
y x
d)
6 )
3 )(
4 (
) 2 )(
2 (
xy y
x
xy y
x
III.2 Hệ phương trình đối xứng loại I
Trang 2Trần Đức Minh
*Hệ phương trình đối xứng loại I là hệ mà trong từng phương trình của hệ khi ta thay đổi
vai trò của hai biến thì phương trình không thay đổi Cụ thể là hệ có dạng:
0 ) , (
0 ) , (
y x g
y x f
với f(x ,y) = f(y, x ) và g(x, y) = g(y, x)
*Phương pháp giải: Đặt
xy P
y x S
hệ đã cho thành (*)
0 ) , (
0 ) , (
P S G
P S F
Giải hệ (*) tìm S, P Từ đó suy ra x, y.
*Chú ý: Điều kiện để hệ có nghiệm là: S 2 – 4P 0
Ví dụ: Giải hệ phương trình:
1 1
2 2
y x
xy y x
Giải: Đặt
xy P
y x S
Hệ thành:
) 2 ( 0 2 ) 1 ( 1
1 2 2
S S S P P S P S
2
1 0
2
2
S
S S
S
Khi S=1 ta có P=0 và khi S=-2 ta có P=3
Với S=1 và P=0, ta có:
1 0 0 ) 1 ( 1 0
y y y x xy y x
Với S=-2 và P=3, ta có: S2 – 4P = 4 – 12 = - 8 < 0 nên hệ vô nghiệm
Vậy hệ có hai nghiệm: (0; 1) và (1; 0)
*Bài tâp:
1 Giải các hệ sau:
a)
4 10
2 2
y x y x
b)
12 25
2 2
xy y x
c)
5 6
2 2
y x xy
xy y x
d)
2 ) (
2
3 3
y x xy y x
2 Xác định m để hệ sau có nghiệm:
m y
x
m xy y x
2 2
III.3 Hệ phương trình đối xứng loại II
*Hệ phương trình đối xứng loại II là hệ mà nếu đổi vị trí hai ẩn trong hệ thì phương trình này
trở thành phương trình kia.
*Phương pháp giải:
+Trừ từng vế của hai phương trình, ta được một phương trình
+Đưa phương trình thu được về dạng phương trình tích có dạng (x – y).f(x)
+Xét từng trường hợp: x – y = 0 và f(x) = 0 để tìm x, y
+Tổng hợp nghiệm từ các trường hợp
*Chú ý: Hệ có nghiệm duy nhất khi x = y (do nếu (a, b) là nghiệm thì (b, a) cũng là nghiệm)
Ví dụ: Giải hệ:
) 2 ( 1 2
) 1 ( 1 2
2 2
x y
y x
Giải: Trừ từng vế của hai phương trình ta được:
(x2 – 2y) – (y2 – 2x) = - 1 – (-1) (x2-y2) + 2(x – y) = 0 (x-y)(x+y+2) = 0
*Trường hợp: x – y =0 x = y
(1) x2 – 2x + 1 = 0 x = 1
*Trường hợp: x + y + 2 = 0 x = 2 – y
(1) y2 – 2(2 – y) = -1 y2 + 2y -3 = 0 y = 1 hoặc y = -3 Khi y = 1 thì x = 1
Khi y = - 3 thì x = 5 (loại) Vậy nghiệm của hệ là: (1; 1)
*Bài tập:
1 Giải các hệ sau:
a)
x y y
y x x
2 3 2 3
2 2
b)
x y y
y x x
2 2
3 3
2* Xác định m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
1 1
1 1
m x y
m y x
III.4 Hệ đẳng cấp bậc 2
Dạng:
' '
'
2 2
d y c xy b x a
d cy bxy ax
Phương pháp giải:
Phương pháp 1:
+Xét xem x =0 có phải là nghiệm hay không?
2
Trang 3Luyện thi vào THPT
+Với x khác 0, đặt: y = kx, thế vào hệ, khử x ta được phương trình bậc hai theo k +Giải phương trình tìm k Từ đó suy ra x, y
Phương pháp 2:
+Dùng phương pháp cộng đại số khử x 2 hoặc y 2
+Tính y theo x thế vào một trong hai phương trình được phương trình theo x
+Tìm x, sau đó tìm y
Trang 4Trần Đức Minh
Ví dụ: Giải hệ: (I)
) 2 ( 17 3
2
) 1 ( 11 2
3
2 2
2 2
y xy x
y xy x
Giải:
Cách 1: *Với x = 0, ta có:
17 3
11
2 2
y y
suy ra hệ vô nghiệm
*Với x khác 0, đặt y = kx (k khác 0)
17 ) 3 2 1 (
11 ) 2 3 ( 17 3 2
11 2
3
)
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
k k x
k k x y
k kx x
x k kx x
I
4 5
2 0
10 3 4 ) 3 2 1 ( 11 ) 2
3 (
k
k k
k k
k k
k
Khi k = 2, ta có:
2 1 2
11
11 2
y x x y x
Khi k =
4
5
, ta có:
3 5 3 4
4 5
11 16
33 2
y x x y x
Vậy hệ có 4 nghiệm
17 3
2
33 3
6 9
)
2 2
y xy x
y xy x
I
Suy ra: 8x2 + 4xy = 16
x
x x
x
4
8
(do x=0 không phải là nghiệm) Thay vào (1), ta được: 3 2 4 2 4 2 11
2 2 2
2
x
x x
x x x
3 4 1 3
1 6 1
0 16
1 9 3
2 2
2 4
x x x x
x x
Khi x = 1, ta có: y = 2
Khi x = -1, ta có: y = -2
Khi x =
3
4
, ta có: y =
3 5
Khi x =
3
4
, ta có: y =
3
5
Vậy hệ có 4 nghiệm
*Bài tập: Giải các hệ sau:
a)
13 3
3
1 3
2 2
2 2
y xy x
y xy x
b)
15 3
9 5
38 4
5 3
2 2
2 2
y xy x
y xy x
Lời giải:
*Hệ 2 phương trình bậc nhất 2 ẩn
Bài 2: Khi a = 0 hệ có nghiệm duy nhất x = 1 và y = 2
Khi a0, ta có:
2 1 1
2 y ax
x a y y ax ay x
Suy ra hệ có nghiệm duy nhất khi 1 a a 1
a
Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi a1
Bài 3: Ta có: y = 2m – mx Suy ra: x + m(2m – mx) = m + 1
hay
m m
m m
m
m m
x
1
1 2 1
) 1 ( 2 1 1
2 1
2
2 2
2
Suy ra: xZ 1 + m = 1 hoặc 1 + m = -1 m = 0 hoặc m = -2
Vậy với m =0 hoặc m = -2 thì hệ có nghiệm x, y là các số nguyên
Bài 4:
Từ phương trình (1), ta có: y = 4 –mx (*), thay vào phương trình hai ta có:
x – 4m + m2x = 1
1
4 1 2
m
m x
Thay vào (*), ta được:
1
4 1
) 4 1 (
m
m m
m m
y
Suy ra: hệ có nghiệm với mọi m và
1
3 5 1
4 1
4 1
2 2
2
m
m m
m m
m y
x
4
Trang 5Luyện thi vào THPT
1
3 5 1
8 1
8
2 2
m
m m
m y x
Vậy với m=1 hệ có nghiệm (x, y) thỏa điều kiện
1
8 2
m y x
Bài 5:
Đặt: u = x2 ; v = y
231 77 35
165 65 35 33 11 5
39 13 7
v u v u v
u v u
Suy ra: 142v = - 396
71
198 142
396
v
Suy ra:
355
2541 71
5
198 71 33 5
71
198 33
u
Do đó:
355
2541
71
198
y