Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo gỡ và giải quyết tốt những khó khăn, vướng mắc trong học tập đồng thời nâng cao chất lượng thi vào lớp 10 THPT bản thân tôi đã chọn chuyên đề: “Ôn thi vào lớp 10 THPT phần hệ phương trình. Trong phần nội dung của sáng kiến chủ yếu là chỉ ra các dạng bài tập cơ bản hay gặp trong các đề thi vào lớp 10 THPT dành cho HS đại trà dùng để củng cố và nắm chắc kiến thức cơ bản, giúp các em tự tin hơn khi gặp dạng toán này. Trong mỗi dạng tôi đưa ra phương pháp chung, các ví dụ, hướng giải quyết cụ thể và bài tập vận dụng tương ứng cho từng dạng.
Trang 1PHÒNG GD-ĐT VĨNH TƯỜNG TRƯỜNG THCS LŨNG HÒA
=====***=====
BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ
ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT PHẦN HỆ
PHƯƠNG TRÌNH
Môn: Toán
Tổ chuyên môn : Khoa học tự nhiên
Người thực hiện : Vương Thị Phương Hoa
Tháng 3,năm 2019
Trang 26 Ngày chuyên đề được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử 3
9 Các điều kiện cần thiết để áp dụng chuyên đề 21
10 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến thu được do áp
dụng chuyên đề theo ý kiến của tác giả
Trang 3BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ
1 Lời giới thiệu
a Lý do chọn đề tài
Toán học là bộ môn khoa học được coi là chủ lực, bởi trước hết Toán học hình thànhcho các em tính chính xác, tính hệ thống, tính khoa học và tính logic, … Vì thế nếu chấtlượng dạy và học toán được nâng cao thì có nghĩa là chúng ta tiếp cận với nền kinh tế trithức khoa học hiện đại, giàu tính nhân văn của nhân loại
Cùng với sự đổi mới chương trình và sách giáo khoa, tăng cường sử dụng thiết bị, đổimới phương pháp dạy học nói chung và đổi mới phương pháp dạy và học toán nói riêngtrong trường THCS hiện nay là tích cực hoá hoạt động học tập, hoạt động tư duy, độc lậpsáng tạo của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, nhằm nâng cao năng lựcphát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện và hình thành kĩ năng vận dụng kiến thức mộtcách khoa học, sáng tạo vào thực tiễn
Trong chương trình Đại số lớp 9, dạng toán giải hệ phương trình là nội dung hết sứcquan trọng trong các đề thi vào lớp 10 THPT Qua thực tế giảng dạy nhiều năm, cũngnhư qua việc theo dõi kết quả học tập của học sinh lớp 9 đã giảng dạy, tôi thấy việc giải
hệ phương trình là không khó, nhưng vẫn còn nhiều học sinh làm sai hoặc chưa thực hiệnđược, chưa nắm vững các phương pháp giải, chưa hình thành kĩ năng biến đổi một cáchlinh hoạt, sáng tạo vào từng bài toán cụ thể
b.Thực trạng của vấn đề
Thực tế học sinh ở trường THCS Lũng Hòa một bộ phận học sinh tiếp thu bài cònchậm và vận dụng kiến thức từ lý thuyết vào làm bài tập còn hạn chế Các em còn nhầmlẫn và chưa thành thạo các dạng toán về hệ phương trình, do thời lượng làm bài tập còn ítnên chưa giải được những dạng toán mở rộng, nâng cao
Nguyên nhân học sinh còn tồn tại các khuyết điểm trên là :
+ Do thời lượng luyện tập giờ còn ít, hơn nữa về nhà học sinh chưa chăm học, vì vậyhọc sinh chưa có thời gian để ôn tập, làm bài tập, giải bài tập nhiều
+ Học sinh nắm kiến thức chưa tốt, chưa sâu, một số chỉ học máy móc, hiểu một cáchđơn giản chứ chưa nắm vững kiến thức nên gặp nhiều khó khăn trong quá trình làm bàitập
Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo gỡ và giảiquyết tốt những khó khăn, vướng mắc trong học tập đồng thời nâng cao chất lượng thi
vào lớp 10 THPT bản thân tôi đã chọn chuyên đề: “Ôn thi vào lớp 10 THPT phần hệ
phương trình".
Trong phần nội dung của sáng kiến chủ yếu là chỉ ra các dạng bài tập cơ bản hay gặptrong các đề thi vào lớp 10 THPT dành cho HS đại trà dùng để củng cố và nắm chắc kiếnthức cơ bản, giúp các em tự tin hơn khi gặp dạng toán này
Trong mỗi dạng tôi đưa ra phương pháp chung, các ví dụ, hướng giải quyết cụ thể vàbài tập vận dụng tương ứng cho từng dạng
2.Tên chuyên đề
Trang 4Ôn thi vào lớp 10 THPT phần hệ phương trình
3.Tác giả chuyên đề
- Họ và tên: Vương Thị Phương Hoa
- Địa chỉ : Trường THCS Lũng Hòa- Vĩnh Tường- Vĩnh Phúc
- Số điện thoại: 0377862824 Email:
4.Chủ đầu tư tạo ra chuyên đề:
- Họ và tên: Vương Thị Phương Hoa
- Địa chỉ : Trường THCS Lũng Hòa- Vĩnh Tường- Vĩnh Phúc
- Số điện thoại: 0377862824 Email:
b.Vấn đề mà chuyên đề cần giải quyết
- Sắp xếp bài toán theo các mức độ, những dạng toán cơ bản
- Xây dựng các phương pháp giải cơ bản về hệ phương trình
* Đối với học sinh đại trà: Vận dụng thành thạo 2 phương pháp cơ bản giải hệ 2
phương trình bậc nhất hai ẩn ( phương pháp cộng và phương pháp thế)
* Đối với học sinh khá, giỏi:Phát triển tư duy giải các hệ phương trình dạng khác
6 Ngày chuyên đề được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử:
Từ tháng 1 năm 2019
7.Mô tả bản chất của chuyên đề
A.Về nội dung của chuyên đề
Hệ phương trình thi vào lớp 10
7.1.Dạng 1: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
* Khái niệm về hệ 2 phương trình bậc nhất hai ẩn
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng:
= +
= +
) 2 ( ' '
'
) 1 (
c y b x
a
c by ax
trong đó (1) và ( 2) là các phương trình bậc nhất hai ẩn
Trang 57.1.1.Phương pháp giải:
Cách 1: Sử dụng phương pháp thế
Quy tắc thế dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương
Gồm hai bước sau:
Bước 1: Từ một phương trình của hệ phương trình đã cho( coi là phương trình thứ nhất)
ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương
trình mới ( chỉ còn một ẩn)
Bước 2: Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ
( phương trình thứ nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn
kia có được ở bước 1)
Cách 2: Sử dụng phương pháp cộng đại số
Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương
Gồm hai bước sau:
Bước 1: Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được một
phương trình mới
Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ ( và
giữ nguyên phương trình kia)
=
−
3 2 3
1
y x
y x
( Đề thi tuyển sinh lớp 10 Vĩnh Phúc năm học 2015- 2016)
Giải Cách 1: Sử dụng phương pháp thế
=
−
3 2 3
1
y x
y x
= + +
+
=
⇔
3 2 ) 1 ( 3
1
y y
y x
+
=
⇔
3 2 3 3
1
y y
y x
1
y
y x
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: (1;0)
=
−
3 2 3
1
y x
y x
= +
=
−
⇔
3 2 3
2 2 2
y x
y x
y x
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: (1;0)
Trang 65 5 4
y x
y x
( Đề thi tuyển sinh lớp 10 Vĩnh Phúc năm học 2010- 2011)
Giải Cách 1: Sử dụng phương pháp thế
5 5 4
y x
y x
5 5 4
4
5 5
y y
y x
5 5
y y
y x
5 5
y
y x
5 5
y
y x
y x
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: ( ; 2
5 5 4
y x
y x
4 2
y x
−
=
⇔
5 10 4
2
x y
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: ( ; 2
3 2 4
y x
y x
= +
10 6 4
5 3 2
y x
y x
= +
−
14 2 5
0 2 4 3
y x
y x
14 2 3
3 5 2
y x
y x
−
= +
−
1 5 )
3 1
(
1 ) 3 1 ( 5
y x
y x
= +
5 3
3 , 0 1 , 0 2 , 0
y x
y x
=
0 10 3 2
y x y
=
− +
+
−
= +
−
12 ) 1 ( 3 ) 3 3 )(
1
(
54 ) 3 ( 4 ) 4 2 )(
3 2
(
x y y
x
y x y
−
+
= +
−
7
5 6 3
1
2 4
27 5
3
5 2
x y y x
x y
x y
Trang 732 ) 2 )(
2 ( 2
1 2
1
50 2
1 ) 3 )(
2 (
2
1
y x xy
xy y
−
=
− +
xy y
x
xy y
x
) 1 )(
10 (
) 1 )(
20 (
7.2.Dạng 2: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
7.2.1.Phương pháp giải:
+ Tìm điều kiện xác định của các phương trình trong hệ ( nếu có)
+ Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ ( nếu có)
+ Giải hệ phương trình theo các ẩn phụ đã đặt
+ Trở lại ẩn ban đầu để tìm nghiệm của hệ
=
− + +
5 ) ( 2 ) (
4 ) ( 3 ) ( 2 )
y x y x
y x y x a
−
−
−
= + +
−
3 ) 1 ( 2 ) 2 ( 3
2 ) 1 ( 3 ) 2 ( 2 )
y x
y x
=
− + +
5 ) ( 2 ) (
4 ) ( 3 ) ( 2 )
y x y x
y x y x a
=
− + +
⇔
5 2 2
4 3 3 2 2
y x y x
y x y x
4 5
y x
y x
1 2
y x
3 2 1
y x
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là:
v y x
u y x
Khi đó, hệ phương trình đã cho có dạng:
= +
= +
5 2
4 3 2
v u
v u
= +
⇔
10 4 2
4 3 2
v u
v u
= +
6
v u
=
⇔
5 12
6
7
y x
y x
y x
3 2 1
y x
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là:
b)Cách 1:
Trang 8−
−
= + +
−
3 ) 1 ( 2 ) 2 ( 3
2 ) 1 ( 3 ) 2 ( 2
y x
y x
−
⇔
3 2 2 6 3
2 3 3 4 2
y x
y x
⇔
5 2 3
1 3 2
y x
y x
⇔
15 6 9
2 6 4
y x
y x
=
⇔
1 3 2
13 13
y x
=
⇔
1 3 2
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: ( )1 ; − 1
=
−
v y
u x
1 2
Khi đó, hệ phương trình đã cho có dạng:
3 2 3
2 3 2
v u
v u
⇔
9 6 9
4 6 4
v u
v u
−
=
⇔
2 3 2
13 13
v u
−
=
−
0 1
1 2
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: ( )1 ; − 1
* Nhận xét: Với ví dụ này giáo viên hướng dẫn học sinh quan sát và làm theo cách 2 vì
trong mỗi bước giải ở cách 2 học sinh có thể kiểm tra kết quả bằng sự hỗ trợ của máy tính bỏ túi
Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình sau:
=
−
5 4 3
1 1 1 )
y x
y x a
3 2 2
2 1
1 2
1 )
y x
y x
u x
1
1
) 0
; 0 (u≠ v≠ Khi đó hệ phương trình đã cho có dạng:
=
−
⇔
5 4 3
4 4 4
v u
v u
v u
9 7 9
v u
Trang 9x
( Thỏa mãn điều kiện)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là:
3
2
2
2 1
u x
1 1
⇔
1 3 2
6 3 3
v u
v u
=
⇔
2
7 5
v u
=
⇔
2 5
7 5 7
v u
1
5
7 2
5 2
y
x
( Thỏa mãn điều kiện)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là:
Ví dụ 3: Giải các hệ phương trình sau:
−
=
−
1 2
2 2
3
y x
y x
1 1 1
2
y x
y x
−
=
−
1 2
2 2
2 2 3
v u
v u
=
⇔
1 2
0 7
v u
Trang 10( Thỏa mãn điều kiện)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: ( )0 ; 1
1 1 1
2
y x
y x
u x
=
⇔
2
3 3
v u
=
⇔
2 1
1 1
y x
= +
5 2 3
8 3 5 )
y x
y x a
= +
= +
xy y x
xy y x b
5 2 3
8 3 5 )
( Đề thi tuyển sinh lớp 10 Vĩnh Phúc năm học 2005- 2006)
= +
⇔
15 6 9
16 6 10
y x
y x
= +
=
⇔
8 3 5
1
y x
=
⇔
8 3 5
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: ( )1 ; 1
= +
⇔
xy y
x
xy y
x
15 6 9
16 6 10
=
⇔
xy y x
xy x
8 3
=
−
⇔
xy y x
xy x
8 3 5
=
−
⇔
xy y x
y x
8 3 5
0 ) 1 (
0 0
) 1 (
y
x y
+ Với x= 0 thay vào phương trình 5x+ 3y= 8xy ta được y= 0
+ Với y= 1 thay vào phương trình 5x+ 3y = 8xy ta được 5x+ 3 = 8x ⇔ 3x= 3 ⇔ x= 1
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là: (0;0); (1;1)
Cách 2:
+ Dễ thấy cặp số (0;0) là một nghiệm của phương trình
+ Với x≠ 0; y≠ 0: Chia cả hai vế của các phương trình trong hệ cho xy ta được:
u x
1 1
Khi đó hệ có dạng:
Trang 11= +
5 3
2
8 5
3
v u
v u
= +
= +
⇔
15 9 6
16 10 6
v u
v u
= +
=
⇔
5 3 2
1
v u
=
⇔
5 3 2
= +
= +
zx x
z
yz z
y
xy y
x
4 ) ( 3
5 ) ( 6
3 ) ( 2
= +
= +
4 3 5 6 3 2
x z zx
z y yz
y x xy
= +
= +
⇔
3
4 1 1
6
5 1 1
2
3 1 1
x z
z y
y x
= +
= +
3 4 6 5 2 3
u w
w v
v u
Cộng vế với vế các phương trình trong hệ ta được:
6
11 ) 3
4 6
5 2
3 ( 2
1
= + +
= + +v w
u
6
5 6
4 6
3 6
Trang 12= +
= +
3 4 6 5 2 3
= +
= +
⇔
3
4 1 1
6
5 1 1
2
3 1 1
x z
z y
y x
= +
= +
3 4 6 5 2 3
u w
w v
v u
Cộng vế với vế các phương trình trong hệ ta được:
6
11 ) 3
4 6
5 2
3 ( 2
1 + + =
= + +v w
u
6
5 6
4 6
3 6
−
= + +
11 ) ( 3 ) (
2
) ( 2 9 ) (
3
y x y x
y x y
=
− + +
5 ) ( 2 ) (
4 ) ( 3 ) ( 2
y x y x
y x y x
4
) 2 3 ( 5 4 ) 2 3 (
2
y x
y x
−
= + +
11 ) 3 ( 3 ) 2 ( 2
) 3 ( 2 9 ) 2 ( 3
y x y
x
y x y
= +
1 15 8
12
1 1 1
y x
y x
− +
= +
+ +
1 2
3 2
4
3 2
1 2
2
x y y x
x y y x
− +
= +
− +
9 4
5 1 2
4 4
2 1 3
y x
x
y x
6 2
3
13 2 2
2 2
y x
y x
11 3
2
16 2
3
y x
y x
= +
10 3
18 4
y x
y x
−
−
= + +
−
7 1 2 ) 2 (
3
0 1 )
2 (
2
2
2
y x
x
y x x
+
−
= +
−
−
13 4 4 5
4 8 4 2
7 2 3 1 5
2
x
y x
Bài 3: Giải các hệ phương trình sau:
= +
−
=
−
xy y
x
xy y
x a
31 11 10
7 11 2 )
xy y
x
xy y
x b
24 3
4
16 7 4 )
Trang 13Bài 4: Giải các hệ phương trình sau:
= +
= +
zx x z
yz z
y
xy y
x
3 ) ( 4
7 ) ( 12
5 ) ( 6
−
= +
−
= +
4 3 5 6 3 2
x z zx
z y yz
y x xy
7.3.Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số m để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước
Thông thường các bài tập ở dạng 3 có cấu trúc chung như sau:
= +
' ' 'x b y c a
c by ax
trong đó 1 số hệ số của một trong hai phương trình có chứa tham số
a) Giải hệ phương trình với giá trị tham số cho trước
b) Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất? Vô
nghiệm? Vô số nghiệm?
c) Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn một hệ thứccho trước
7.3.1.Phương pháp giải:
* Đối với câu a:
+ Bước 1: Thay giá trị của tham số vào hệ phương trình
+ Bước 2: Giải hệ phương trình mới ( như dạng 1, dạng 2 ở trên)
* Đối với câu b:
Cách 1: Dựa vào mối quan hệ giữa các hằng số a,b,c và a’,b’,c’
Cách 2: Sử dụng phương pháp cộng hoặc phương pháp thế ta thu được một
phương trình mới ( chỉ còn 1 ẩn)
Số nghiệm của hệ phương trình bằng số nghiệm của phương trình mới thu được
* Đối với câu c:
+ Bước 1: Sử dụng phương pháp cộng hoặc phương pháp thế ta thu được một
phương trình mới ( chỉ còn 1 ẩn)
Số nghiệm của hệ phương trình bằng số nghiệm của phương trình mới thu được
+ Bước 2: Biểu diễn x, y theo tham số
+ Bước 3: Thay x, y vào hệ thức đã cho và giải để tìm điều kiện của tham số
3 4 2
1 2
y x
y mx
( m là tham số có giá trị thực)a) Giải hệ phương trình (I) với m =1
b) Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất
( Đề thi tuyển sinh lớp 10 Vĩnh Phúc năm học 2009- 2010)
Trang 143 4
2
1 2
y x
⇔
3 4 2
2 4 2
y x
y x
= +
=
⇔
1 2
1 4
y x
=
⇔
1 2 4 1 4 1
y x
Vậy với m = 1 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là ( )
8
5
; 4 1
3 4 2
1 2
y x
y mx
⇔
3 4 2
2 4 2
y x
y mx
Cộng vế với vế hai phương trình trên ta được: 2mx+ 2x= − 1 ⇔ 2 (m+ 1 )x= − 1 (*)
Hệ phương trình ( I ) có nghiệm duy nhất
⇔Phương trình ( * ) có nghiệm duy nhất
1
0 1
−
≠
⇔
≠ +
= +
m y
mx
m my x
1
2
với m là tham sốa) Giải hệ phương trình khi m = 2
b) Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất? Vô
nghiệm? Vô số nghiệm?
= +
1 2
4 2
y x
y x
= +
⇔
2 2 4
4 2
y x
y x
= +
=
−
⇔
4 2
6 3
y x
Vậy với m = 2 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: (− 2 ; 3)
b) Từ phương trình mx+y = 1 −m suy ra y= 1 −m−mx: Thay vào phương trình
* Hệ phương trình có nghiệm duy nhất
⇔Phương trình ( 2* ) có nghiệm duy nhất
0
1 − 2 ≠
⇔ m ⇔m2 ≠ 1 ⇔m≠ ± 1
Vậy với m≠ ± 1thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất
* Hệ phương trình vô nghiệm
⇔Phương trình ( 2* ) vô nghiệm
Trang 15m m
m
1
=
Vậy với m= 1thì hệ phương trình vô nghiệm
* Hệ phương trình vô số nghiệm
⇔Phương trình ( 2* ) có vô số nghiệm
±
=
⇔
0 ) 1 (
1
m m
m m
=
−
4 2
1
my x
y mx
với m là tham sốa) Giải hệ phương trình khi m =1
b) Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn x+ y= 2
( Đề thi tuyển sinh lớp 10 Vĩnh Phúc năm học 2016- 2017)
=
−
4 2
1
y x
y x
5 3 5
y x
Vậy với m =1 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là:
b) Từ phương trình mx−y= 1 suy ra y =mx− 1: Thay vào phương trình 2x+my= 4
ta được: 2x+m(mx− 1 ) = 4
⇔ 2x+m2x−m= 4
⇔ (m2 + 2 )x=m+ 4 (3*)
Hệ phương trình ( I ) có nghiệm duy nhất
⇔Phương trình ( 3* ) có nghiệm duy nhất
0 2
Theo đề bài x+ y= 2
2 2
2 4 2
4 2
+
− + +
+
⇔
m
m m
m
4 2 2
5 + = 2 +
⇔ m m
0 2 5
2 2 − + =
⇔ m m
⇔ (m− 2 )( 2m− 1 ) = 0
Trang 162 0
1 2
0 2
m
m m
=
−
7 3 2
1
my x
y mx
( m là tham số)a) Giải hệ phương trình khi m =1
b) Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) thỏa mãn điều kiện x> 0 và y< 0
=
−
7 3 2
1
y x
=
−
⇔
7 3 2
3 3 3
y x
y x
y x
Vậy với m =1 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: ( )2 ; 1
b) Từ phương trình mx−y= 1 suy ra y =mx− 1: Thay vào phương trình 2x+ 3my = 7
ta được: 2x+ 3m(mx− 1 ) = 7
⇔ 2x+ 3m2x− 3m= 7
⇔ ( 3m2 + 2 )x= 3m+ 7 (4*)
Ta có 3m2 + 2 ≠ 0 với mọi m ( vì m2 ≥ 0 nên 3m2 + 2 > 0 với mọi m)
Vậy với mọi m thì hệ phương trình đã cho luôn có nghiệm duy nhất
Khi đó,
2 3
7 3
2 7
2 7
0 2 3
7 3
2
2
m
m m
0 7 3
m
m
7
2 3
3 2
−
=
−
m y x
m y
x
, m là tham sốa)Giải hệ phương trình (1) với m = 2
b)Tìm tất cả các giá trị của m để hệ (1) có nghiệm duy nhất
c)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= x2 +y2, trong đó ( y x; ) là nghiệm duy nhất của hệ (1)
( Đề thi tuyển sinh lớp 10 Vĩnh Phúc năm học 2017- 2018)
Giải
a) Thay m = 2 vào hệ phương trình ta có:
Trang 17
= +
=
−
12 2
1 2
y x
y x
= +
=
−
⇔
24 2 4
1 2
y x
y x
25 5
y x
Vậy với m = 2 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: ( )5 ; 2
b) Từ phương trình 2x+ y= 3 (m+ 2 ) suy ra y = 3 (m+ 2 ) − 2x: Thay vào phương trình
5 = +
3 +
9 ) 2
3 ( 2 9 6 2 9
* Nhận xét: Đối với câu b) học sinh có thể giải theo cách 2 hoặc cách 3
Cách 2:
Ta có:
1
2 2
3 2
m y x
m y
x
m x
3 2
15 5 5
x
y mx
2 3 2 5
2 5 2
, m là tham sốa) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
b) Tìm m nguyên để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho x và ycùng nguyên
5 − = − ta được: x m mx 3 2m
5
) 2 2 ( 2
⇔ 25x− 4m2x− 4m= 15 − 10m
⇔ ( 25 − 4m2 )x= 15 − 6m
15 6 ) 25 4
( 2 − = −
⇔ m x m