H¬íng dÉn chÊm thi chän häc sinh giái líp 9 THCS huyÖn Th¹ch ThÊt n¨m häc 20142015 ================ m«n: to¸n Bài 1 (5 điểm): a ĐKXĐ: . (0,5điểm) P = (1điểm) ...= (0,75 điểm) ....= . (0,75điểm)
Trang 1Phòng giáo dục và đào tạo THCS huyện Thạch Thất năm học 2014-2015
================
môn: toán Bài 1 (5 điểm):
a/ ĐKXĐ: x 0; x 1 (0,5điểm)
P =
x +1 2 x +1 x - 1 2 x +1 :
x x 5 x + 7 + x + 7 x 1 x x 1
x - 1 x x + 1
(1điểm)
.=
4 x +2 x + x + 1
x - 1 x + 1 2 x + 1 : x - 1 x x + 1
(0,75 điểm) = 2
x + 1 (0,75điểm)
b/ P = 2 2 2 x 1 5 x 16
5 x 1 5 (1 điểm)
c/ P = 2
x + 1 cú giỏ trị nguyờn x + 1 là ước của 2 (0,25điểm)
Vỡ x 0 x + 1 1 x + 1 nhận cỏc giỏ trị 1; 2
x = 0 hoặc x = 1 ( khụng t/m ĐK) (0,5điểm)
Vậy P nguyờn với x = 0 (0,25điểm)
Bài 2(4điểm):
1/ Vì x, y, z khác không thoả mãn xy + yz + zx =0
1 1 1
0
Nên M =xy zx yz
z y x = xyz 2 2 2
1 1 1
(0,5điểm)
2
1 1 1 2
(0,5điểm)
0 ( 1) xyz 2
(0,5điểm)
1 x xy 1 y yz 1 z zx
1
z xz xyz xz xyz xyz z zx (1điểm)
z xz xz z z zx (0,5điểm)
Trang 2= 1 1
1
z zx
z zx
(đpcm) (0,5điểm)
Bài 3 (4 điểm):
1/ Ta có : M = a3 + b3 + ab = (a + b)(a2 + b2 – ab) +ab (0,5điểm)
Vì a + b = 1 b = ( 1 – a ) (0,25điểm) Nên M = a2 + b2 – ab +ab = a2 + b2 (0,25điểm)
= a2 + ( 1 – a)2 (0,25điểm) = 2 ( a - 1
2)2 + 1
2
1 2
(0,5điểm) Suy ra: M đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1
2 khi a = 1
2và b =1
2 (0,25điểm) 2/
(1,25điểm)
Lập luận được
0
a b c a b c (0,5điểm) Suy ra: x = a + b+ c (0,25điểm)
Bài 4 (5 điểm):
K
H
E
F
C B
A
I
0,5điểm
a) AEHF là hcn EF = AH Mà AH2 = BH.CH = 81
EF = AH = 9 0,75 điểm b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
AH2 = AE.AB ; AH2 = AF.AC AE.AB = AF.AC 0,75 điểm c) AEHF là hcn AE = HF ; EF = AH AEF = FHA
AEF = AHF, mà AHF C (cùng phụ với FHC )
1 điểm
Trang 3 AEF = C
Mặt khác: C + B = 90 ; 0 AEF + EAK = 90 0 EAK = B
Do đó AIB cân ở I IB = IA
Chứng minh tương tự, ta có: IA = IC Suy ra IB = IC
Vậy I là trung diểm BC
d) SΔABCAEHFΔAEFABC = 2SAEHF = 4SΔABCAEHFΔAEFAEF ΔABCAEHFΔAEFABC
ΔABCAEHFΔAEFAEF
S = 4 S
Mặt khác: ΔABCAEHFΔAEFABC ΔABCAEHFΔAEFAEF (g - g)
2 ΔABCAEHFΔAEFABC
ΔABCAEHFΔAEFAEF
= = 4
= 2 EF = BC
EF 2 , mà AH = EF
AH = 1BC
2 hay AH = AI
Vì AH AI , AH = AI H I Khi đó ΔABCAEHFΔAEFABC vuông cân
1 điểm
e) Gọi p là chu vi ΔABCAEHFΔAEFABC Ta có: p = AB + BC + CA
ΔABCAEHFΔAEFABH ΔABCAEHFΔAEFCAH (g - g)
CA CH AH CA+CH+AH 40 4 (1)
ΔABCAEHFΔAEFABH ΔABCAEHFΔAEFCBA (g - g)
CB CA BA CB+CA+BA p (2)
Từ (1) đặt: AB = 3k ; AC = 4k BC = 5k
=
CB 5, thay vào (2) ta được: 30
3
p 5 p = 50
1 điểm
Bài 5( 2 điểm ) VÏ h×nh (0,25®iÓm)
Gọi N là trung điểm của BH Đường MN cắt BC tại E Trong tam giác AHB đoạn MN là đường trung bình nên:
MN song song với AB và MN bằng nửa AB (0,5®iÓm)
Từ MN song song với AB suy ra: MN vuông góc BC, do đó N là trực tâm của tam giác BMC (0,25®iÓm) Theo giả thiết, CK song song AB và CK bằng nửa CD nên bằng nửa AB (0,25®iÓm) Vậy ta có MN song song và bằng CK, suy ra MNCK là hình bình hành, do đó MK song song NC V ì N là trực tâm của tam giác CBM nên BM vuông góc NC (0,5®iÓm)
Vậy BK vuông góc MK (0,25®iÓm) HÕt
( Học sinh có cách giải khác đúng cho điểm tương đương, điểm toàn bài làm tròn đến 0,25điểm)