Mô hình toán kinh tế

Từ đây, ta sẽ quan niệm mô hình toán kinh tế là một tập hợp gồm các biến số và các hệ thức toán học liên hệ giữa chúng nhằm diễn tả đối tượng liên quan tới sự kiện, hiện tượng kinh tế..

M C L C Ụ Ụ

MỤC LỤC 1

Bài tập chương 1 33

Chương 2 39

Bài toán quy hoạch tuyến tính 39

2.2.1 Tính chất chung 48

2.4 Bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu 85

Bài tập chương 2 104

Bài tập chương 3 140

4.1 Giới thiệu chung 142

4.6 Thời gian dự trữ của các việc không găng liên quan 150

4.7 Đường gần găng và hệ số găng 151

4.8 Đường đẳng thời và các biến pháp rút ngắn đường găng 155

Bài tập chương 4 157

Tài liệu tham khảo 160

Chương 1

Giới thiệu Mô hình Toán Kinh tế

1.1 Khái niện mở đầu

1.1.1 Mô hình và mô hình kinh tế

Có rất nhiều quan niện về mô hình của đối tượng, từ hình thức đơn giản, trựcquan đến hình thức khái quát, có sử dụng các khái niệm toán học trìu tượng Sauđây chúng ta sẽ đề cập tới quan điểm khá đơn giản về mô hình

Mô hình của đối tượng là sự phản ánh hiện thực khách quan của đối

tượng; sự hình dung, tưởng tượng đối tượng đó bằng ý nghĩ của người nghiên cứu

và việc trình bày thể hiện ý nghĩ đó bằng lời văn, chữ viết, sơ đồ, hình vẽ hoặc một ngôn ngữ chuyên nghành.

Như vậy, mỗi mô hình bao gồm nội dung của mô hình và hình thức thể hiệncủa nội dung

Mô hình của đối tượng trong lĩnh vực kinh tế gọi là mô hình kinh tế.

1.1.2 Mô hình toán kinh tế

Mô hình toán kinh tế là mô hình kinh tế được trình bày bằng ngôn ngữ

Toán học Việc sử dụng ngôn ngữ toán học tạo khả năng áp dụng các phương pháp

suy luận, phân tích toán học và kế thừa các thành tựu trong lĩnh vực này cũng nhưtrong các lĩnh vực khoa học có liên quan Phương pháp suy luận toán học giúpchúng ta nghiên cứu và phân tích kinh tế cả về định tính và định lượng

Ví dụ 1.1.

Phân tích quá trình hình thành giá của một loại hàng hoá A trên thị trường.Giả sử cho trước điều kiện sản xuất hàng hoá, thu nhập và sở thích của người tiêudùng không thay đổi

+ Nếu cầu lớn hơn cung, hình thành nên giá mới cao hơn.

Với mức giá mới lại xuất hiện mức cung và mức cầu mới Qúa trình tiếp

diễn cho đến khi cung bằng cầu ở một mức giá mới khác gọi là giá cân bằng.

Mô hình toán kinh tế

Gọi S, D là đường cung - cầu tương ứng, khi đó với mức giá p ta có:

+ Người mua sẽ mua ít hơn nếu p tăng, D là hàm nghịch biến

0

' = <

dp

dD D Nếu cung bằng cầu S D= ⇔S p( ) =D p( )

Vậy ta có mô hình cân bằng thị trường của hàng hoá A, ký hiệu MHIA

( ) ( ) ( ) ( )

' '

0 0

dS

S S p S p

dp dD

Xét 2 kiểu mô hình trên ta thấy

+ Với mô hình bằng lời ta không thể biết chắc rằng liệu quá trình hình thànhgiá trên thị trường có kết thúc hay không Tức là, liệu có cân bằng thị trườngkhông

+ Với mô hình toán kinh tế về cân bằng thị trường, ta sẽ tìm được câu trả lờibằng việc giải phương trình S=D và phân tích đặc điểm nghiệm

Ví dụ 1.2.

Mô hình tác động của thu nhập (M), thuế (T) tới quá trình hình thành giá,

ký hiệu MHIB

( ) ( )

' '

1.2 Cấu trúc của mô hình toán kinh tế

Cùng là sản phẩm của quá trình mô hình hoá nhưng ta thấy mô hình toán kinh

tế có những điểm khác biệt so với các loại mô hình khác

Quan sát mô hình MHIA trong ví dụ 1.1, ta thấy mô hình chứa một số yếu tố

mang tính định lượng (S D p S D, , , , ' ') và các hệ thức toán học biểu thị quan hệ giữachúng (phương trình, bất phương trình) Đây là đặc trưng cơ bản, là hình thức kết

cấu của mô hình toán kinh tế Từ đây, ta sẽ quan niệm mô hình toán kinh tế là một

tập hợp gồm các biến số và các hệ thức toán học liên hệ giữa chúng nhằm diễn tả đối tượng liên quan tới sự kiện, hiện tượng kinh tế Như vậy cấu trúc của mô hình

toán kinh tế bao gồm các biến số và các mối quan hệ giữa chúng

1.2.1 Các biến số của mô hình

Để mô tả đối tượng và phân tích định lượng các hiện tượng, các vấn đề kinh

tế liên quan tới đối tượng Chúng ta cần xem xét và lựa chọn một số yếu tố cơ bản đặc trưng cho đối tượng và lượng hoá chúng Các yếu tố này gọi là các đại lượng,

các biến số (kinh tế) của mô hình Chúng có thể thay đổi trong phạm vi nhất định

Các biến số kinh tế thường gặp trong mô hình

Biến nội sinh (biến được giải thích) là các biến mà về bản chất chúng phản

ánh, thể hiện trực tiếp sự kiện, hiện tượng kinh tế và giá trị của chúng phụ thuộc vào giá trị của các biến khác trong mô hình.

Ví dụ, trong mô hình MHIA các biến (S D p S D, , , , ' ') đều có thể phản ánh trực tiếp(hoặc gián tiếp) trạng thái của thị trường và chúng phụ thuộc lẫn nhau, do đó chúngđều có thể coi là các biến nội sinh Tuy nhiên, người ta thường chỉ coi S,D, p là

các biến nội sinh vì tại trạng thái cân bằng có thể tính được S', D' từ các biến

p

D

S, ,

Biến ngoại sinh ( biến giải thích) là các biến độc lập với các biến khác

trong mô hình, giá trị của chúng được xem là tồn tại bên ngoài mô hình.

Ví dụ, trong mô hình MHIB, các biến M , T có giá trị không phụ thuộc vào các biếnkhác, do đó chúng được gọi là các biến ngoại sinh

Tham số (thông số) là các biến số mà trong phạm vi nghiên cứu đối tượng

chúng thể hiện các đặc trưng tương đối ổn định, ít biến động hoặc có thể giả thiết

là như vậy của đối tượng Các tham số của mô hình phản ánh xu hướng, mức độ

ảnh hưởng của các biến tới biến nội sinh

Ví dụ, trong mô hình MHIB ta có S = αp Tβ γ Khi đó các biến α β γ , , là cáctham số của mô hình vì giá trị của chúng quyết định mức độ tác động của biếnngoại sinh T tới các biến nội sinh S,D, p(S', D')

Chú ý Các khái niệm trên chỉ mang tính chất tương đối, cùng một biến số trong

các mô hình khác nhau có thể đóng vai trò khác nhau, thậm chí trong cùng một mô hình nó cũng có thể có vai trò khác nhau tuỳ thuộc vào mục đích sử dụng của mô hình.

1.2.2 Mối liên hệ giữa các biến số

Các quan hệ kinh tế nảy sinh trong quá trình hoạt động kinh tế giữa các chủ thể kinh tế (tác nhân kinh tế), giữa chủ thể với Nhà nước, giữa các khu vực, bộ phận của nền kinh tế và giữa nền kinh tế của các quốc gia…tạo ra quan hệ giữa các

biến số liên quan Quan hệ giữa các biến số trong mô hình thường được thể hiện bằng các biểu thức, hệ thức toán học (phương trình, bất phương trình…).

Phương trình định nghĩa (đồng nhất thức) là phương trình thể hiện quan hệ

định nghĩa giữa các biến số hoặc giữa hai biểu thức ở hai vế của phương trình Ví

dụ, lợi nhuận (LN) được định nghĩa là phần hiệu số giữa tổng doanh thu (TR) vàtổng chi phí (TC), nghĩa là LN=TR-TC

Phương trình hành vi là phương trình mô tả quan hệ giữa các biến số do

tác động của các quy luật hoặc do giả định Từ phương trình hành vi ta có thể biết

sự biến động của biến nội sinh - “hành vi” của biến này khi các biến số khác thayđổi Sự biến động này có thể phản ánh sự biến động trong hành vi của con người(ví dụ, trong hành vi tiêu dùng, nếu thu nhập tăng lên thì người tiêu dùng sẽ chinhiều tiền hơn), nhưng cũng có thể chỉ là thể hiện quy luật về mối quan hệ phụthuộc lẫn nhau giữa các biến số Trong mô hình MHIA các phương trình S = S(p),

D = D(p) là các phương trình hành vi vì chúng thể hiện sự phản ứng của người sảnxuất và người tiêu dùng trước sự thay đổi của giá

Phương trình điều kiện là phương trình mô tả quan hệ giưa các biến số

trong các tình huống có điều kiện mà mô hình đề cập Trong mô hình MHIA,

phương trình S=D là phương trình điều kiện vì nó thể hiện điều kiện cân bằng thịtrường

1.3 Phân loại mô hình toán kinh tế

Có nhiều căn cứ khác nhau để phân loại mô hình, nó phụ thuộc vào nội dung,hình thức, quy mô, phạm vi, công dụng hay mục đích của mô hình

1.3.1 Phân loại mô hình theo đặc điểm cấu trúc và công cụ toán học sử dụng

Mô hình tối ưu là mô hình phản ánh sự lựa chọn cách thức hoạt động,

nhằm tối ưu hoá một hoặc một số chỉ tiêu định trước Cấu trúc cơ bản của mô hình

là bài toán tối ưu có thể gồm bài toán quy hoạch, bài toán điều khiển tối ưu Khi

phân tích mô hình này công cụ chính được sử dụng là các phương pháp tối ưutrong toán học.

Mô hình cân bằng là lớp mô hình xác định sự tồn tại của trạng thái cân

bằng nếu có và phân tích sự biến động của trạng thái này khi các biến ngoại sinh hay tham số thay đổi Mô hình thể hiện đối tượng trong trạng thái đặc biệt gọi là

trạng thái cân bằng Trong nhóm này bao gồm các mô hình cân bằng thị trường,

mô hình cân đối Công cụ thường được sử dụng để phân tích mô hình là cácphương pháp toán học giải hệ phương trình, tìm điểm bất động,…

Mô hình tất định, mô hình ngẫu nhiên: Mô hình với các biến là tất định

(phi ngẫu nhiên) gọi là mô hình tất định, nếu có chứa biến ngẫu nhiên gọi là mô hình ngẫu nhiên.

Mô hình toán kinh tế và mô hình kinh tế lượng: Về mặt hình thức, ta có

thể xem các mô hình kinh tế lượng chính là các mô hình toán kinh tế và thuộc lớp

mô hình ngẫu nhiên Tuy nhiên, trên thực tế người ta thường phân biệt chúng vì lí

do kĩ thuật phân tích và ứng dụng

Đối với các mô hình toán kinh tế, các tham số của mô hình hoặc là cho trước

hoặc được giả định rằng đã biết và khi phân tích ta sử dụng các phương pháp toánhọc thuần tuý

Đối với mô hình kinh tế lượng, các tham số lại chính là các ẩn số, giá trị của

chúng được xác định nhờ các phương pháp suy đoán thống kê căn cứ vào giá trịquá khứ của các biến khác trong mô hình

Mô hình tĩnh (theo thời gian), mô hình động

Mô hình có các biến mô tả hiện tượng kinh tế tồn tại ở một thời điểm hay

một khoảng thời gian đã xác định (thời gian cố định) gọi là mô hình tĩnh.

Mô hình mô tả hiện tượng kinh tế trong đó có các biến phụ thuộc vào thời

gian gọi là mô hình động.

1.3.2 Phân loại mô hình theo quy mô, phạm vi, thời gian

Theo quy mô của các yếu tố ta có các mô hình

Mô hình vĩ mô là mô hình mô tả các hiện tượng kinh tế liên quan đến một

nền kinh tế, một khu vực kinh tế gồm một số nước.

Mô hình vi mô là mô hình mô tả một thực thể kinh tế nhỏ hoặc những hiện

tượng kinh tế với các yếu tố ảnh hưởng trong phạm vi hẹp và ở mức độ chi tiết.

Theo thời hạn mà mô hình đề cập ta có mô hình ngắn hạn (tác nghiệp) và

mô hình dài hạn

Ngoài ra, ta có thể phân loại mô hình theo các chuẩn mực khác mà chúng takhông đề cập đến ở đây

1.4 Phương pháp phân tích mô hình - Phân tích so sánh tĩnh

Khi đã có mô hình ta cần phân tích mô hình bằng cách sử dụng các công cụtoán học nhằm xác định quan hệ trực tiếp giữa biến nội sinh và biến ngoại sinhcùng tham số Tức là, ta cần phải biểu diễn dưới dạng các hệ thức toán học giữabiến nội sinh theo biến ngoại sinh, tham số và có thể theo các biến nội sinh khác,cách biểu diễn này cho ta nghiệm của mô hình

Như vậy, nghiệm của mô hình phụ thuộc vào biến ngoại sinh và tham số.Điều ta cần quan tâm phân tích là khi biến ngoại sinh thay đổi thì nghiệm sẽ thayđổi như thế nào Phân tích này gọi là phân tích so sánh tĩnh

Sau đây ta sẽ xét chi tiết hơn phương pháp phân tích so sánh tĩnh và việc ứngdụng toán đối với một số phương pháp được trình bày dưới đây

1.4.1 Đo lường sự thay đổi của biến nội sinh theo biến ngoại sinh

a Đo lường sự thay đổi tuyệt đối

Xét hàm y= f x x( 1 , , , 2 x n) cho x i thay đổi một lượng nhỏ ∆x i ta có:

ρ ∆ =

∆

Nếu f khả vi theo x i thì tốc độ thay đổi tức thời tại thời điểm x x= 0 đangxét là:

( ) ( )0

i

i

f x x

x

ρ =∂

∂Nếu ∆x i khá nhỏ thì ρ( )x i ≈ ρ

Nếu ∆ =x i 1 thì ρ( )x i = ∆y i

Ví dụ 1.3 Hàm tổng chi phí sản xuất của một doanh nghiệp có dạng:

TC Q =Q − Q + Q+ ,Khi đó, chi phí cận biên được ký hiệu và xác định bởi công thức:

( ) '( ) 3 2 10 14

MC Q =TC Q = Q − Q+Tại mỗi mức sản lượng Q, MC cho biết xấp xỉ lượng chi phí tăng thêm khisản xuất thêm 1 đơn vị sản phẩm

Trong trường hợp tất cả các biến ngoại sinh đều thay đổi với các lượng khánhỏ ∆x i (∀ =i 1;n), để tính lượng thay đổi của biến nội sinh y dùng công thức xấpxỉ

x x

f y

1Nếu ∆x i (∀ =i 1;n) là các vi phân của biến ngoại sinh thì ta có thể sử dụng

công thức vi phân toàn phần:

dx x

f dy

1Nếu bản thân x i lại là biến nội sinh phụ thuộc vào một hoặc nhiều biến khác,

để đo lường sự thay đổi của biến y theo sự thay đổi của x i, ta sử dụng công thứctính đạo hàm của hàm hợp

Ví dụ 1.4 Xét hàm y= f x x( 1 , 2); x2 =g x( )1 trong đó y x, 2 là các biến nội sinh; x1 làcác biến ngoại sinh, ta có:

1 1

2 2

f x

x x

f dx

dy

∂

∂ +

b Đo lường sự hay đổi tương đối - Hệ số co giãn

Để đo tỉ lệ của sự thay đổi tương đối (tức thời) của biến nội sinh với sự thay

đổi tương đối của một biến ngoại sinh, người ta dùng hệ số co giãn (hệ số co giãn

riêng) Hệ số co giãn của biến ytheo biến x i tại x= x0, ký hiệu là i

y x

ε và được xácđịnh bởi công thức:

( ) ( )0

0 0

x f

x x

Hệ số này cho biết tại x= x0, khi x i thay đổi 1% thì y thay đổi bao nhiêu %.Nếu y i( )0 0

ε < thì ta nói x y i, thay đổi tương đối ngược hướng

Để đo lường sự thay đổi tương đối của y khi tất cả các biến ngoại sinh đều

thay đổi (tương đối) theo cùng một tỉ lệ ta dùng hệ số co giãn chung (toàn phần)

được tính theo công thức:

+ Nếu y=uv v

x

u x

x

f MF

∂

∂

= ,

i i

x

AF

MF

i = ε

Ví dụ 1.5 Xét hàm tổng chi của doanh nghiệp trong ví dụ 1.3.

TC Q

i

y x

y x i i i

y x n i i

i

a a

y

x x

y x

x x x a a x

y

i i

n i

1 1

2 1

0 α 1 α 2 α 1 α ε ε ε

1.4.2 Hệ số tăng trưởng (nhịp tăng trưởng)

Nếu trong mô hình có biến ngoại sinh là biến thời gian thì khi đó sự biến

động của biến nội sinh theo thời gian được đo bằng hệ số tăng trưởng (nhịp tăng

∂

∂

=

Ví dụ 1.7 Một lượng tiền T0, gửi vào ngân hàng với lãi xuất k, sau thời gian t sốtiền có được là ( ) 0

kt

T t =T e Hệ số tăng trưởng của T theo thời gian t

k e T

ke T T t

Hệ số này cho biết tỉ lệ biến động của tiền theo đơn vị thời gian

Từ công thức tính hệ số tăng trưởng và các quy tắc tính đạo hàm, ta có thểchứng minh các công thức sau Cho u =g( )t ; v=h( )t :

+ Nếu y uv= ⇒ = +r y r u r v

u

y r r r v

ε lần lượt là hệ số co giãn của y theo x i

và hệ số tăng trưởng của x i theo t

Ví dụ 1.8 Hàm sản xuất của một công ty có dạng:

8 4 6

Q=trong đó Q,K,L lần lượt là sản lượng, vốn và lao động Hệ số tăng trưởng của vốn

và lao động theo thời gian lần lượt là r K = 2 %,r L = 3 %

Hệ số tăng trưởng toàn phần của sản lượng theo thời gian là

( )% 4

13 3 4

3 2 2

1

= +

= +

Hai hàng hoá được gọi là thay thế cho nhau nếu việc tiêu dùng hàng hoá này

có thể thay thế bằng việc tiêu dùng hàng hoá kia nhưng vẫn đảm bảo mục đích sử dụng ban đầu Ví dụ nước xả vải Comfor và Downy, xà phòng Tide và Omo, bếp

ga và bếp điện là những cặp hàng hoá thay thế

Hai hàng hoá được gọi là bổ sung cho nhau nếu việc tiêu dùng hàng hoá này phải đi kèm việc tiêu dùng hàng hoá kia nhưng vẫn đảm bảo mục đích sử dụng banđầu Ví dụ xăng và xe máy, sim card điện thoại và di động là những cặp hàng hoá

i

j j

i j j

i i

x f x f dx

dx dx

x

f dx x f

∂

∂

=

Khi đó ( )* được gọi là hệ số thay thế (bổ sung, chuyển đổi) của x i cho x j

Ký hiệu là MRS x i/x j, và được xác định bởi công thức

i

j x

x

x f x

f MRS i j

Nếu MRS x i/x j > 0 ta nói x , i x j có thể bổ sung cho nhau (tại x= x0) với tỉ lệ

(cận biên) của x i cho x j

Nếu MRS x i/x j = 0 ta nói x , i x j không thể thay thế (hoặc bổ sung) cho nhau

Ví dụ 1.9 Hàm sản xuất của một doanh nghiệp có dạng:

T O L K

Q= 0 , 4 + 0 , 7 − , 1

trong đó: Q,K,L,T lần lượt là sản lượng, vốn, lao động và thất thoát

Tính hệ số thay thế của Lcho K và K cho T , nêu ý nghĩa

Giải

Hệ số thay thế của Lcho K là

0 7

4 7 , 0

4 , 0

Q MRS L K

Vậy khi tăng (giảm) một đơn vị K thì phải giảm (tăng)

7

4

đơn vị L để Q không đổi.

Hệ số thay thế của Kcho T là

0 4

1 4 , 0

1 , 0

Vậy khi tăng (giảm) một đơn vị T thì phải tăng (giảm)

4

1

đơn vị K để Q không đổi.

1.4.4 Quy mô và hiệu quả

Định nghĩa (Hàm sản xuất): Một doanh nghiệp có thể sử dụng n loại yếu tố

được sử dụng ở mức x i (∀ =i 1;n) để tạo ra sản phẩm, doanh nghiệp thu được

Q đơn vị sản phẩm (hiện vật hoặc giá trị) Như vậy có một mối liên hệ giữa mức sử dụng các yếu tố x i (∀ =i 1;n) và mức sản lượng Q Quan hệ này được thể hiện bởi hàm số: Q= f x x( 1 , , , 2 x n) = f x( ) với x=(x x1 , , , 2 x n) và gọi là hàm

sản xuất của doanh nghiệp.

Trong đó:

+ Mức sản lượng Q là biến nội sinh

+ Mức sử dụng các yếu tố x i (∀ =i 1;n)là biến ngoại sinh và có thể chứa tham số.

Ví dụ 1.10 Với số liệu nước A ở một năm trong nông nghiệp, người ta ước lượng

được giá trị sản xuất

3193 , 0 6172 , 0 0635 , 0

439 ,

trong đó K ,,L X lần lượt là vốn, lao động và nguồn tài nguyên được khai thác

Với hàm sản xuất: Q= f(x1,x2, ,x n), λx=(λx1, λx2, , λx n) với λ > 1:

+ Nếu f( )λx > λf x( ) thì ta nói tăng quy mô có hiệu quả.

+ Nếu f ( )λx < λf x( ) thì ta nói tăng quy mô không hiệu quả.

+ Nếu f( )λx = λf x( ) thì ta nói tăng quy mô không thay đổi hiệu quả.

i x a Q

1 + Hàm sản xuất dạng Cobb - Douglas với vốn K và lao động L:

Q aK L= α βvới a, , α β > 0 là các tham số; Q là sản lượng

Ví dụ 1.11 Xét hàm sản xuất dạng Cobb - Douglas vơi hai yếu tố vốn (K) và lao

động (L) Q aK L= α β , ta có:

Hệ số co giãn của Q theo các biến không đổi ε = ε + εQ = α + β

L

Q K

Quy mô và hiệu quả Q(λK, λL) ( ) ( )=a λK α λL β = λα+βaKαLβ = λα+βQ(K,L)

Vậy, khi tăng quy mô sản xuất λ lần thì kết quả sản xuất tăng λ α β + lần Nếu:

+ α β + > 1 thì ta nói tăng quy mô có hiệu quả.

+ α β + < 1 thì ta nói tăng quy mô không có hiệu quả.

+ α β + = 1 thì ta nói tăng quy mô không thay đổi hiệu quả.

x

∂

=

∂ cho chúng

ta biết khi doanh nghiệp cố định mức sử dụng các yếu tố khác và tăng (giảm) mức

sử dụng yếu tố i thì mức sản lượng sÏ tăng (giảm) bao nhiêu đơn vị Với ý nghĩanhư trên, MP i thường được giả thiết là dương

- Năng xuất trung bình của yếu tố i: ( )

i i

f x AP

MP

i = ε

- Hệ số thay thế giữa yếu tố i và yếu tố j:

i

j x

MP MRS i/ j = − .Nếu doang nghiệp chỉ có khả năng thay đổi được các yếu tố i còn các yếu tốkhác cố định thì việc sử dụng yếu tố i ở mức có lợi nhất sẽ là ở mức mà năng suấttrung bình của yếu tố i đạt cực đại, ta có mô hình:

( ) max

i

f x

x → .

+ Về mặt dài hạn, doanh nghiệp có khả năng thay đổi tất cả các yếu tố và

tình huống được quan tâm là khi tất cả các yếu tố đều thay đổi theo cùng một tỉ lệ(tương đối, tuyệt đối) thì tác động này ảnh hưởng như thế nào tới sản lượng Khi

đó ta đề cập tới vấn đề tăng quy mô và hiệu qủa (Return to Scale)

Xét năng suất biên của các yếu tố:

β α

αK L a

MP MRS

L

K K

α /

1.5 Mô hình cần bằng kinh tế

1.5.1 Mô hình cân bằng thị trường

a Mô hình cân bằng thị trường một loại hàng hoá

Ví dụ 1.11 Hàm cung, cầu của một loại hàng hoá có dạng: S S Y p D D p= ( ); ; = ( ),

trong đó Y là biến thu nhập Phương trình cân bằng có dạng S Y p( ) ( ); =D p Đạo

hàm hai vế theo Yta có:

p Y

S p

S p

D Y

p Y

p p

D Y

p p

Ví dụ 1.12 Khi phân tích hoạt động của thị trường hàng hoá các nhà kinh tế sử

dụng hàm cung và cầu để biểu diễn sự phụ thuộc của lượng cung S , lượng cầu D

vào giá p của hàng hoá với các giả thiết là các yếu tố khác không thay đổi) Khi

đó, ta có dạng tuyến tính của hàm cung - cầu tương ứng là:

p D

β α

p

β

b Mô hình cân bằng thị trường nhiều hàng hoá

Trong thị trường nhiều hàng hoá liên quan, thì giá của hàng hoá này có thểảnh hưởng đến lượng cung và lượng cầu tương ứng của các hàng hoá kia

Gọi S , i D i, p i là các hàm cung, hàm cầu và giá tương ứng của hàng hoá thứ i

Ta có:

p b p

b p b b D

n i p a p

a p a a S

n in i

i i i

n in i

i i i

, 1

, 1

2 2 1 1 0

2 2 1 1 0

= +

+ +

+

=

= +

+ +

b p b b p a p

a p a a D S

i i n in in i

i i

i

n in i

i i n in i

i i i i

, 1

, 1

0 0 2

2 2 1 1 1

2 2 1 1 0 2

2 1 1 0

− +

−

⇔

= +

+ +

+

= +

+ +

+

⇔

=

Giải hệ phương trình trên ta xác định được giá và lượng cân bằng tương ứng

Ví dụ 1 13 Xét thị trường 3 loại hàng hoá có các hàm cung - cầu tương ứng:

3 2 1 1

3 3

3 2 1 2

2 2

3 2 1 1

1 1

5 10 300 ,

13

2 8 2 120 ,

5 20

3 5 100 ,

2 10

p p p D

p S

p p p D

p S

p p p D

p S

= +

−

=

− +

−

= +

= +

−

− +

−

= +

−

23 325 23 1140 23 760

23 25 23 320 23 495

5 10 300 13

2 8 2 120 5

20

3 5 100 2

10

3 2 1

3 2 1

3 2 1 3

3 2 1 2

3 2 1 1

Q Q Q

p p p

p p p p

p p p p

p p p p

Vậy giá và lượng cân bằng tương ứng của 3 loại hàng hoá trên:

23

25 ,

23

1140 ,

23

320 ,

23

760 ,

23

495

3 3

2 2

1

p

1.5.2 Mô hình cân bằng tĩnh vĩ mô

Phân tích kinh tế vĩ mô là phân tích mối liên hệ giữa các biến số kinh tế tổnghợp (biến gộp) đặc trưng cho hoạt động của toàn bộ nền kinh tế Trong kinh tế thịtrường, hoạt động của nền kinh tế diễn biến trong ba thị trường gồm: thị trườnghàng hoá - dịch vụ, thị trường tiền tệ và thị trường lao động Cả ba thị trường nàyđều có liên hệ với nhau Trong mỗi thị trường đều xuất hiện mức tổng cung, tổngcầu loại hàng hoá tương ứng Đối với nền kinh tế mở, tham gia vào mức tổng cung,tổng cầu còn có các chủ thể bên ngoài quốc gia Nghiên cứu và phân tích các nhân

tố tác động đến tổng cung, tổng cầu và cân bằng của ba thị trường là việc quantrọng trong phân tích và hoạch định chính sách của nhà nước Trong chương này, tachỉ đề cập tới tình huống ngắn hạn, và chỉ xét thị trường hàng hoá - dịch vụ vớicác phương trình tuyến tính

Mô hình hoá Các chỉ tiêu kinh tế vĩ mô sử dụng trong mô hình là các chỉ

tiêu thực (tính theo giá cố định)

Mô tả cung: Vì chúng ta chỉ xét thị trường hàng hoá - dịch vụ nên tổng cung

của nền kinh tế (mức sản lượng, kết quả sản xuất) được coi là ngoại sinh và ký hiệu

là Q Tổng cung có thể được đo bằng tổng sản phẩm quốc nội (GDP) hoặc tổng thunhập quốc gia (GNI)

Mô tả cầu: Tổng cầu của nền kinh tế bao gồm các bộ phận cấu thành:

C (Consumption) - Nhu cầu tiêu dùng của dân cư

I (Investment) - Nhu cầu cho đầu tư của dân cư

G (Government) - Nhu cầu tiêu dùng của chính phủ - chi tiêu của chính phủ

EX (Export) - Nhu cầu cho xuất khẩu

Khi đó, ta có phương trình mô tả quan hệ giữa các biến:

- Tiêu dùng của dân cư được giả thiết là có một bộ phận không phụ thuộc thunhập - phần tiêu dùng tự định C0 và phần phụ thuộc vào thu nhập khả dụng:

0

C C= + β Y T−trong đó: Y , T là thu nhập quốc dân, thuế với giả thiết C0 > 0;0 < < β 1 (β là khuynhhướng tiêu dùng biên (MPC))

- Đầu tư I trong trường hợp đơn giản thường được giả thiết là gồm một phầnkhông phụ thuộc lãi suất - I0 và một phần phụ thuộc tuyến tính theo lãi suất r:

- Thuế T được giả thiết gồm khoản thuế thu nhập ( )δY và các loại thuế khác

( )γ : T = + γ δY (γ > 0; 0 < < δ 1) Có thể coi δ là thuế suất của thuế thu nhập

Điều kiện cân bằng thị trường hàng hoá - dịch vụ:

Do tổng cung trong nước được thanh toán bằng thu nhập quốc dân Y để đápứng tổng cầu trong nước nên ta có phương trình cân bằng:

Phân tích so sánh tĩnh Để xem xét tác động của thu - chi ngân sách nhà

nước đối với sản xuất ta xét: Y; Y ; Y

∂ được gọi là nhân tử gia tăng chi tiêu của chính phủ.

Khi chính phủ tăng thuế T thì thu nhập quốc dân Y giảm

Tuỳ thuộc vào tình huống cụ thể, mô hình cân bằng vĩ mô trên có thể đượcđơn giản hoá Ví dụ đầu tư I, thuế T có thể coi là ngoại sinh, nhưng ta có thể mởrộng mô hình Ví dụ xuất khẩu, nhập khẩu có thể coi là biến nội sinh.

Ví dụ 1.14 Một số chỉ tiêu vĩ mô của nền kinh tế có các mối liên hệ sau:

( ) (0 1), ( ) (1 0 1)

, 1 0

=

t Y t Y

Y IM

Y C IM EX G I C Y

d d

d

ρ ρ

β β

Trong đó:

Y: Thu nhập quốc dân C: Tiêu dùng của dân cư

d

Y : Thu nhập khả dụng I: Đầu tư

G: Chỉ tiêu của chính phủ EX: Xuất khẩu

IM: Nhập khẩu t: Thuế suất thuế thu nhập

a Với G = 400; I = 250; EX = 250;β = 0,8; ρ = 0, 2;t= 0,1 Hãy xác định thunhập và tình trạng ngân sách nhà nước

b Với các chỉ tiêu ở câu a, có ý kiến cho rằng nếu giảm xuất khẩu 10% thìchính phủ có thể tăng chi tiêu 10% mà không ảnh hưởng tới thu nhập Nhận xét ýkiến trên

Giải

a Giải mô hình trên ta được 1- 1-t( ) EX(1 ) 9000

I G Y

1.6 Mô hình tối ưu

1.6.1 Mô hình tối đa hoá lợi nhuận

Đặt vấn đề: Như chúng ta đã biết, mục tiêu của doanh nghiệp là thu lợi

nhuận tối đa Để đạt mục tiêu này, doanh nghiệp phải xử lý quan hệ giữa doanhnghiệp - thị trường đầu vào và doanh nghiệp - thị trường đầu ra, đồng thời cũngphải biết kết hợp giữa tối ưu về kỹ thuật, về kinh tế với các điều kiện trong thịtrường đầu ra Các điều kiện này bao gồm vị thế của doanh nghiệp trên thị trường

và sự hình thành giá bán sản phẩm của doanh nghiệp

Doanh nghiệp sẽ tính toán mức cung sản phẩm cho thị trường và giá bán đểtối đa hoá lợi nhuận Với ý nghĩa đó người ta gọi mô hình này là mô hình xác địnhmức cung Tuỳ thuộc vào vị thế của doanh nghiệp trên thị trường đầu ra sẽ có cáchtính khác nhau

Sau đây, ta xét 2 loại hình doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo và độc quyền.

Mô hình hoá: Kí hiệu TR( )Q là hàm doanh thu khi doanh nghiệp cung ứng

và tiêu thụ trên thị trường mức sản lượng Q với chi phí sản xuất tương ứng là( )Q

TC Khi đó, ta có các định nghĩa hàm chi phí cận biên, doanh thu cận biên,

doanh thu trung bình và lợi nhuận như sau:

( )

dQ

dTC Q

Phân tích mô hình

+ Giải mô hình

Điều kiện cần của tối ưu:

( )Q MC( )Q MR

dQ

dTC dQ

dTR

=

⇔

Như vậy, điều kiện cần để mức sản lượng làm tối đa hoá lợi nhuận là tại mức

này doanh thu cận biên bằng chi phí cận biên.

- Trường hợp doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo: Doanh nghiệp là người

chấp nhận giá nên giá bán sản phẩm p là biến ngoại sinh và pkhông đổi theo mứccung của doanh nghiệp Doanh nghiệp căn cứ vào hàm sản xuất, hàm chi phí và giá

để xác định mức cung tối đa hoá lợi nhuận Ta có: TR( )Q = pQ nên mô hình ( )* chỉ

có một biến nội sinh là Q Vì MR= p⇒ ( )* * ⇔ p=MC( )Q ( )3 * Tức là, đối với

doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo, họ sẽ chọn sản lượng đem cung ứng cho thị trường ở mức mà chi phí biên bằng giá.

- Trường hợp doanh nghiệp độc quyền: Vì không có sản phẩm cạnh tranh thay

thế nên doanh nghiệp có toàn quyền quy định giá bán và mức cung để tối đa hoálợi nhuận và mức cầu của thị trường bằng mức cung của doanh nghiệp Như vậy,giá bán sản phẩm của doanh nghiệp phụ thuộc vào mức cung của doanh nghiệp,tức là: p= p( )Q (hàm cầu ngược) khi đó, mô hình ( )* có hai biến nội sinh pvà Q.Thông thường p là hàm nghịch biến nên có tồn tại hàm ngược Q=Q ( p)(hàm cầu

p + =

Như vậy, để giải mô hình - xác định mức cung làm tối đa hoá lợi nhuận - tacần giải phương trình ( )* hoặc ( )3 * hoặc ( )4 * rồi kiểm tra điều kiện đủ của nghiệm

Phân tích so sánh tĩnh: Gọi Q*, ∏ * là mức sản lượng tối đa hoá lợi nhuận

và mức lợi nhuận tối đa, ta thấy * Q*

3 5 , 5Q 150Q 675 ,TR 4350Q 13Q Q

a) Xác định hàm chi phí trung bình, chi phí cận biên

b) Xác định hàm doanh thu trung bình, doanh thu cận biên

c) Xác định mức sản lượng cho lợi nhuận tối đa

Giải

a Ta có:

Chi phí bình quân: ( )

Q Q

Q Q

Q TC

AC= = 2 − 5 , 5 + 150 +675Chi phí cận biên: MC=TC'( )Q = 3Q2 − 11Q+ 150

b Doanh thu trung bình: ( ) Q

Q

Q TR

AR= = 4350 − 13

Doanh thu cận biên: MR=TR'( )Q = 4350 − 26Q

c Điều kiện cần để lợi nhuận tối đa:

−

⇔

35

40 26

4350 150

11

Q

Q Q Q

Q

Vì Q> 0 nên ta chọn Q= 35, tại Q= 35, ta có: TR" = − 26 ,TC" = 199 ⇒TR" <TC"

Vậy mức sản lượng tối đa là Q= 35

Ví dụ 1.16 Một doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo với hàm chi phí cận biên

25 12

3 , 143

* 20

25 6

* 4

p Q

p dp

dQ

Q p

9 , 1 3 , 143

39 7

1.6.2 Mô hình tối ưu hoá sản xuất

Xét trường hợp một doanh nghiệp cạnh tranh thuần tuý sản xuất 1 loại sảnphẩm Mục tiêu của doanh nghiệp là thu được lợi nhuận tối đa trên cơ sở sử dụnghợp lý các yếu tố đầu vào là lao động và tư bản (giả sử các yếu tố khác giữnguyên) Gọi p là giá của sản phẩm, p ; L p Klần lượt là giá thuê lao động và giá thuê

tư bản và hàm sản xuất có dạng Q= f(K;L)thì hàm tổng lợi nhuận có dạng :

f p

p K

f p

p L

f p L

p K

f p K

0 0

Mặt khác, ta có

L K

f p K L L K L

f p L K

f p

2 2

2 2

2

, ,

f p

L K

f p K

f p L

K L

L K K H

2

2 2

2 2

2

2

2 2

2 2

2

Điều kiện đủ để doanh nghiệp thu được lợi nhuận tối đa:

Trường hợp sản xuất nhiều loại sản phẩm

Xét trường hợp mộtdoanh nghiệp cạnh tranh thuần tuý sản xuất 2 loại sản phẩm Giả sử chi phí kết hợpđược tính theo số lượng sản phẩm TC=TC(Q1;Q2)trong đó Q1;Q2lần lượt là số lượngsản phẩm thứ nhất và thứ hai Gọi p1; p2lần lượt là giá của 2 loại sản phẩm, khi đóhàm tổng lợi nhuận có dạng: ∏ = p1Q1 + p2Q2 −TC(Q1;Q2)

Bài toán đặt ra trong trường hợp này là chọn một cơ cấu sản xuất (Q1;Q2)đểhàm tổng lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất

Ví dụ 1.17 Hàm tổng chi phí của một doanh nghiệp cạnh tranh có dạng:

2 1

2 2

2

1 3 4

TC = + +Xác định lượng hàng hoá bán ra để doanh nghiệp có thể tối đa hoá lợi nhuậnvới giá sản phẩm tương ứng là p1= 60 ;p2 = 34

0

0

0

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

f L

f K f L f K f

L K

f L

6 4 34

0 4 12 60

2 1 2

1 2

2 1 1

Q

Q Q

Q Q

Q Q Q

Ta lại có:

4 ,

6 ,

12

1 2

2 2 1

2 2

2 2

2 2

1 2

Q

0 56

0 12 6

4

4 12

1200 300

7

3

2 2

−

=

∏

= +

−

=

∏

200 50 400 0

1200 4

14

0 300 6

0 4 2

3 2 1

1 3 '

2 '

3 1 '

1 2 1

Q Q Q Q

Q Q

Q Q

Q Q Q

Vậy hàm lợi nhuận có điểm dừng M(400 , 50 , 200)

Bước 2 Kiểm tra điều kiện đủ:

0 ,

0

, 4 ,

14 ,

6 ,

3 3 1

1 2 2 1 3

3 2

2 2

Q Q

Q Q Q Q Q

Q Q

Q Q

Xét ma trận:

( ) 2 0 , det( ) 12 0 , det( ) 72 0 det

14 0

4

0 6 0

4 0 2

3 2

50 ,

1 = Q = Q =

Q để thu được lợi nhuận tối đa ∏max = 127520.

Tối đa hoá lợi nhuận của doanh nghiệp độc quyền

Xét trường hợp một doanh nghiệp độc quyền sản xuất hai loại sản phẩm vớihàm kết hợp có dạng TC =TC(Q1;Q2)

Giả sử hàm cầu đối với các sản phẩm lần lượt là:

1 1 1 1 1 1 ; 2 2 2 2 2 2

Q =D p ⇔ p =D− Q Q =D p ⇔ p =D− Q

Khi đó, hàm lợi nhuận có dạng: ∏ = p1Q1 + p2Q2 −TC(Q1;Q2)

Giải bài toán tìm cực trị của hàm hai biến, ta xác định được mức sản lượng2

2

1 5Q Q Q Q

TC = + + , và hàm cầu tương ứng là:p1 = 56 − 4Q1 ;p2 = 48 − 2Q2 Xác định giá bán tối ưu để doanh nghiệp có thể tối đa hoá lợi nhuận

=

∏ p1Q1 p2Q2 TC 56 4Q1 Q1 48 2Q2 Q2 ( 2)

2 2 1

Vậy giá bán tương ứng để doanh nghiệp thu được lợi nhuận tối đa:

1.6.3 Mô hình tối ưu hoá tiêu dùng

Lượng cầu đối với một loại hàng hoá trên thị trường là tổng lượng cầu của các cá nhân, do đó việc nghiên cứu cầu phải xuất phát từ sự lựa chọn của cá nhân người tiêu dùng Để phân tích hành vi của người tiêu dùng chúng ta phải tính dến các yếu tố chi phối sự lựa chọn cá nhân Trong kinh tế học chứng tân cỏ điển người

ta quan tâm dến hai yếu tố quan trọng sau đây:

- Sở thích

- Các ràng buộc, hay cơ hội lựa chọn

Sở thích của người tiêu dùng được các nhà kinh tế mô tả thông qua hàm lợi ích Trên thực tế, cơ cấu tiêu dùng gồm nhiều mặt hàng, nhưng khi nghiên cứu cầu đối với một loại hàng hoá ta gộp tất cả các hàng hoá còn lại thành một mặt hàng thứ hai Ta xét hàm lợi ích dạng:

( , )

U U x y=trong đó x là lượng hàng hoá thứ nhất, y là lượng hàng hoá thứ hai, U là lợi ích ( độ ưa chuộng) của người tiêu dùng đối với mỗi túi hàng ( )x y,

Quyết định mua sắm của người tiêu dùng không thể chỉ dựa theo sở thích, bởi vì hàng hoá được bán theo giá thị trường và thu nhập của mỗi người có hạn Do

đó, quyết dịnh mua sắm còn phải căn cứ vào ràng buộc về giá và thu nhập Ta kí hiệu các biến ngoại sinh đó như sau:

p x p y m+ =Bằng phương pháp nhân tử Lagrange ta sẽ xác định được lượng cầu đối với mỗi loại hàng hoá ở mỗi mức giá và thu nhập:

( ) ( )

Để phân tích ảnh hưởng của sự thay đổi giá đối với lợi ích, ta tính đạo hàm riêng của U theo giá

Từ hàm lợi ích gián tiếp (3.5) ta có:

Hệ thức trên có thể hiểu như sau: Khi giá hàng hoá thứ nhất tăng thêm 1 đơn

vị và các yếu tố khác không thay đổi thì lợi ích của người tiêu dùng giảm một lượng bằng λx

1.6.4 Ý nghĩa kinh tế của nhân tử Lagrange

Bài toán tìm cực trị của hàm số w=f(x x1 ; ; ; 2 xn) = f x( ) với điều kiện:

Trong đó λ được gọi là nhân tử Lagrange.

Trong bài toán tìm cực trị có điều kiện ta thấy:

+ x x1 ; ; ; ; w 2 x n : là các biến nội sinh

+ b: là biến ngoại sinh

Như vậy, sự thay đổi của b đặc trưng cho sự thay đổi của ngoại cảnh, làm mërộng hay thu hẹp ràng buộc Điều này dẫn tới sự thay đổi lời giải của bài toán

Nghĩa là, phương án chọn tối ưu x(x x1 ; 2 ; ;xn) của bài toán và giá trị tối ưu wcủa hàm mục tiêu phụ thuộc vào b:x1 =x b x1( ); 2 =x b2( ); ; x n =x b n( )

Theo phương pháp nhân tử Lagrange, phương án tối ưu nói trên được xác định cùng với một giá trị của nhân tử Lagrange λ λ = ( )b và giá trị tối ưu của wlà hàm số của b:

2

1 1 2

1

b

x x

f b

x x

f b

x x

f db

w d b w x x x f

∂

∂

∂

∂ +

f

i i

, 1

2 2

1 1

∂

∂

∂

∂ +

g b

x x

g b

x x

Bài tập chương 1 Bài 1.1 Hàm tổng chi phí khai thác một loại khoáng sản có dạng:

2

1 , 0 10

TC = + + (Q là sản lượng)

giá pđược xác định bởi phương trình Q= 800 − 2 , 5p

a Tìm hàm chi phí cận biên MC

b Tìm hàm chi phí trung bình AC, khảo sát sự thay đổi của nó

c Tính hệ số co giãn của TC tại p= 80

Bài 1.2 Cho hàm sản xuất Y( )t = 0 , 2K0 , 4L0 , 8, trong đó: K = 120 + 0 , 1t,L= 200 + 0 , 3t

a Tính hệ số co giãn của Ytheo K, L

b Tính hệ số tăng trưởng của K ,,L Y

c Hãy cho biết hiệu quả của việc tăng quy mô trong trường hợp này

Bài 1.3 Xét mô hình hàm lợi nhuận: ∏( )Q =TR( )Q −TC( )Q −aQ, trong đó TR,TC,a

lần lượt là hàm tổng doanh thu, tổng chi phí và thuế suất theo doanh thu

a Xác định biểu thức điều kiện của Q để lợi nhuận cực đại

b Khi thuế suất tăng mức Q tối ưu biến động như thế nào

Bài 1.4 Nhu cầu hai mặt hàng phụ thuộc giá như sau:

2 1 2

2 1

a Xác định Q1,Q2 cho tổng lợi nhuận lớn nhất

b Tính chi phí cận biên cho từng mặt hàng tại mức tối ưu tìm được ở ý a

c Hai mặt hàng này có thay thế cho nhau trong tiêu dùng được không?

Bài 1.5 Các chỉ tiêu kinh tế vĩ mô của một quốc gia như sau:

(Y T) T d tY b

a C G I C

Y = + 0 + 0, = + − , = +

a Chỉ ra đâu là biến nội sinh, ngoại sinh trong mô hình trên

b Xác định Y , T cân bằng của nền kinh tế.

Bài 1.6 Xét mô hình kinh tế vĩ mô trong trường hợp nền kinh tế đóng Biết:

( )1 , 90 , 140 ,

7 , 0

Bài 1.7 Cho biết các thông tin sau về một nền kinh tế đóng, với lãi xuất r tínhbằng % và các biến còn lại tính bằng triệu USD:

1500 ,

50 5 , 94 ,

65 , 25 25 , 0 , ,

15 8

,

Xác định mức thu nhập cân bằng và lãi suất cân bằng

Bài 1.8 Xác định giá và lượng cân bằng của thị trường hai hàng hoá sau:

Hàng hoá 1: Q s1 = − 2 + 4p1 ,Q d1 = 18 − 3p1 + p2

Hàng hoá 2: Q s2 = − 2 + 3p2 ,Q d2 = 12 + p1 − 2p2

Bài 1.9 Xác định giá và lượng cân bằng của thị trường ba hàng hoá, cho biết hàm

cung và hàm cầu của mỗi mặt hàng như sau:

b Gỉa sử t là thuế suất mà chính phủ đánh vào chi phí, Q* thay đổi như thế nàotheo t.

Bài 1.11 Hàm lợi nhuận của doanh nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm có dạng :

18 120

2 2

3

2 2 1

2 1

=

Xác định Q1,Q2 để thu lợi nhuận tối đa

Bài 1.12 Một hãng độc quyền sản xuất hai loại sản phẩm Biết hàm cầu đối với hai

loại sản phẩm đó như sau:

2 2

1

1 25 0 , 5p ,Q 30 p

Q = − = −với hàm chi phí kết hợp:

20

2 2 1

2

TC

Cho biết mức sản lượng Q1,Q2 và giá bán tương ứng cho lợi nhuận tối đa

Bài 1.13 Cho hàm lợi ích tiêu dùng:

6 , 0 4 ,

0 y x

U =Giả sử giá bán của các mặt hàng tương ứng là 2, 3 và thu nhập dành cho tiêudùng là 130 Xác định lượng cầu của từng mặt hàng để người tiêu dùng thu lợi íchtối đa

Bài 1.14 Một doanh nghiệp có hàm sản xuất:

3 , 0 7 , 0

Q=

a Đánh giá hiệu quả của việc tăng quy mô sản xuất

b Giả sử giá thuê tư bản và lao động tương ứng là 28, 10 và doanh nghiệp tiếnhành sản xuất với ngân sách cố định 4000 Hãy cho biết doanh nghiệp đó sửdụng bao nhiêu đơn vị tư bản và bao nhiêu đơn vị lao động để thu được sảnlượng tối đa?

Bài 1.15 Năng suất một giống cây trồng phụ thuộc vào lượng phân bón N, P,K

được cho dưới dạng:

5 8 6 12

2 2

Tìm công thức phân bón sao cho năng suất đạt cao nhất

Bài 1.16 Hàm sản xuất của một doanh nghiệp có dạng:

2 , 0 2 , 0 4 , 0

Q =trong đó Q,K,L,R lần lượt là sản lượng, vốn, lao động và nguyên liệu khác Giámua 1 đơn vị K ,,L R tương ứng là 80, 12, 10 và ngân sách cho sản xuất là 24000

Xác định sự kết hợp giữa các yếu tố đầu vào để có thể tối đa hoá sản lượngcủa doanh nghiệp trên

Bài 1.17 Một hãng độc quyền sản xuất 1 loại sản phẩm, đem bán ra hai thị trường

riêng biệt với các hàm cầu tương ứng :

2 2

Xác định lượng hàng hoá bán ra và giá cả của hàng hoá trên hai thị trường

để doanh nghiệp có thể thu được lợi nhuận tối đa trong trường hợp phân biệt giá vàkhông phân biệt giá

Bài 1.18 Hàm sản xuất của một doanh nghiệp có dạng:

4 3

Q=

trong đó Q,K,L lần lượt là sản lượng, vốn và lao động Giá một đơn vị tương ứngcủa vốn K và lao động L là p K = 20 ,p L = 12.

a Xác định K, L cho sản lượng tối đa với chi phí cho sản xuất là 8000

b Xác định hệ số co giãn của tổng chi phí TC theo K, L

c Gỉa sử các yếu tố Q,K,L đều tăng trưởng theo thời gian.Xác định hệ số tăngtrưởng của Q, biết hệ số tăng trưởng của K, L tương ứng là 12% và 10%

Chương 2

Bài toán quy hoạch tuyến tính

2.1Bài toán quy hoạch tuyến tính

Nhằm mục đích làm quen với cách thành lập bài toán quy hoạch tuyến

tính, dưới đây chúng ta sẽ phân tích một số vấn đề thực tế dẫn tới lớp bài

toán này

Ví dụ 2.1.

Bài toán lập kế hoạch sản xuất

Một xí nghiệp cần sản xuất hai loại sản phẩm A A từ ba loại nguyên liệu1, 2

1, 2, 3

B B B với số nguyên liệu dự trữ lần lượt là b b b Biết rằng để sản xuất một1, ,2 3

đơn vị mặt hàng A cần j a nguyên liệu ij B và một đơn vị mặt hàng i A bán được j

với giá c đơn vị tiền j

Hãy lập kế hoạch sản xuất sao cho xí nghiệp thu dược tổng giá trị sản

phẩm cao nhất trong khuôn khổ nguyên liệu dự trữ

Giải

Gọi x x lần lượt là số sản phẩm1, 2 A A cần sản xuất thì tổng giá trị sản1, 2

phẩm thu được biểu hiện theo hàm số: f x( )=c x1 1+c x2 2

Số đơn vị nguyên liệu cần dùng là:

Loại B : 1 a x11 1+a x12 2

Loại B : 2 a x21 1+a x22 2

Loại B : 3 a x31 1+a x32 2

Vì số sản phẩm từng loại không thể âm nên: x1 ≥0,x2 ≥0

Căn cứ vào yêu cầu của bài toán thì dạng toán học của bài toán trên như sau:

Tìm vectơ x=(x x1, 2)sao cho:

f x( )=c x1 1 +c x2 2 →Max.Với điều kiện :

Bài toán lập thực đơn

Có n loại thực phẩm A j j( =1,n) Biết rằng một đơn vị thực phẩm A chứa j

ij

a đơn vị chất b i i( =1,m) và có giá thành là c đơn vị tiền j

Hãy lập một thực đơn sao cho bữa ăn đảm bảo ít nhất b đơn vị chất và i

có giá thành rẻ nhất

Giải

Gọi x là số đơn vị thực phẩm j A j j( =1,n) dùng trong bữa ăn

Tổng giá thành của thực đơn được biểu diễn bởi hàm số:

1

( )

n

j j j