giáo trình mô hình toán kinh tế

Công nghệ tuyến tính cố định: Quá trình sản xuất được giả thiết là có các định mức kinh tế, kĩ thuật không đổi và tổng chi phí của mỗi ngành là một hàm tuyến tính các yếu tố sản xuất.. q

Chương 1 SƠ LƢỢC VỀ MÔ HÌNH TOÁN

§1 Các khái niệm cơ bản về mô hình toán

1 Mô hình toán kinh tế

Mô hình của các đối tượng hoạt động tronglĩnh vực kinh tế gọi là mô hình kinh tế Các vấn đề liên quan tới kinh tế vốn dĩ là vấn đề hết sức phức tạp, do đó khi phác thảo mô hình kinh tế chúng ta cần phải thu thập sử dụng các thông tin về những công trình nghiên cứu có liên quan, các dữ liệu được công bố và thậm chí phải sử dụng các kiến thức của các ngành khoa học khác

Mô hình toán kinh tế là mô hình kinh tế được trình bày bằng ngôn ngữ toán học Việc

sử dụng ngôn ngữ toán học tạo khả năng áp dụng các phương pháp suy luận, phân tích toán học và kế thừa các thành tựu trong lĩnh vực này cũng như trong các lĩnh vực khoa học khac có liên quan Đối với các vấn đề phức tạp có nhiều mối quan hệ đan xen thậm chí tiềm ẩn mà chúng ta cần nghiên cứu, phân tích chẳng những về mặt định tính mà cả về mặt định lượng thì phương pháp suy nghĩ thông thường, phân tích giản đơn không đủ hiệu lực để giải quyết Chúng ta cần đến phương pháp suy luận toán học, đây chính là điểm mạnh của mô hình toán kinh tế

Ví dụ: Giả sử chúng ta muốn phân tích, nghiên cứu quá trình hình thành giá của một

loại hàng hóa A trên thị trường với giả định các yếu tố khác như điều kiện sản xuất hàng hóa

A, thu nhập sở thích của người tiêu dùng, đã cho trước và không thay đổi

Đối tượng liên quan tới vấn đề nghiên cứu ở đây là thị trường hàng hóa A và sự vận hành của nó Chúng ta cần mô hình hóa đối tượng này

+) Mô hình bằng lời:

Xét thị trường hàng hóa A, nơi đó người bán và người mua gặp nhau và xuất hiện mức giá ban đầu Với mức giá đó lượng hàng hóa mà người bán muốn bán là mức cung và lượng hàng hóa mà người mua muốn mua là mức cầu Nếu cung lớn hơn cầu, do người bán muốn bán được nhiều hàng hơn nên phải giảm giá vì vậy hình thành mức giá mới thấp hơn Nếu cầu lớn hơn cung thì người mua sẵn sàng trả giá cao hơn để mua được hàng do vậy một mức giá cao hơn được hình thành Với mức giá mới xuất hiện mức cung, mức cầu mới Quá trình tiếp diễn cho đến khi cung bằng cầu ở một mức giá gọi là giá cân bằng

+) Mô hình bằng hình vẽ:

Vẽ đường cung S và đường cầu D trên cùng một hệ trục tọa độ trong đó trục tung thể hiện mức giá, trục hoành thể hiện mức cung, mức cầu hàng hóa với các mức giá Quá trình hình thành giá được thể hiệ qua sơ đồ minh họa dưới đây:

Giải thích sơ đồ:

Nếu ở thời điểm bắt đầu xem xét thị trường, giá hàng là P1 và giả sử:

S1 = S(P1) > D1= D(P1), khi đó dưới tác dụng của qui luật cung cầu, giá P sẽ phải hạ xuống mức P2

Ở mức giá P2 do S2 = S(P2) < D2 = D(P2) nên giá sẽ tăng lên mức P3

Ở mức giá P3 do S3 = S(P3) > D3 = D(P3) nên giá sẽ xuống mức P4

Quá trình này cứ tiếp diễn cho tới khi P = P0, tại mức giá này có cân bằng cung cầu

+) Mô hình toán kinh tế:

Hàm cầu: D = D(p)

Hàm cung: S = S(p)

Người mua sẽ giảm nhu cầu nếu giá cao hơn giá cân bằng nên: D’(p) = d D

dp < 0 Người bán sẽ tăng nguồn cung nếu giá cao hơn giá cân bằng nên: S’(p) = d S

Được gọi là mô hình cân bằng thị trường MHIA

Khi muốn đề cập tới thu nhập M, thuế T ta có mô hình cân bằng MHIB:

2 Cấu trúc của mô hình toán kinh tế:

Các vấn đề kinh tế khi được mô hình sẽ được xem xét lựa chọn một số yếu tố cơ bản đặc trưng và được tiến hành lượng hóa

Biến nội sinh thể hiện trực tiếp các sự kiện, hiện tượng kinh tế và giá trị của chúng phụ thuộc vào các biến khác trong mô hình

Q

D

P1 P0

Q0

S

P2 P3 P4

Biến ngoại sinh là biến độc lập với các biến khác trong mô hình và giá trị của chúng được xem là tồn tại ngoài mô hình

Ví dụ: Trong mô hình MHIB: M, T là các biến ngoại sinh

Tham số: là biến phản ánh xu hướng, mức độ ảnh hưởng của các biến tới biến nội sinh

Một số phương trình trong mô hình toán kinh tế:

§ 2 PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH MÔ HÌNH

Khi xem xét một mô hình toán kinh tế thì rõ ràng biến ngoại sinh, tham số ảnh hưởng tới các biến nội sinh Việc xem xét ảnh hưởng của biến ngoại sinh tới mô hình được gọi là phép so sánh tĩnh

1 Đo lường sự thay đổi của biến nội sinh theo biến ngoại sinh:

Giả sử có hàm Y = F(X1, X2, … , Xn) trong đó Y là biến nội sinh và X1, X2, … , Xn là các biến ngoại sinh

a) Đo lường sự thay dổi tuyệt đối

Biến Xi thay đổi một lượng Xi Khi đó:

Ví dụ: Cho hàm chi phí của một công ty:

i i

Giải:

Đặt: F(P, S) = SP – 0,1.P2

lnS – c = 0 Tốc độ thay đổi của giá khi chênh lệch cung cầu thay đổi:

2

2 2

b) Đo lường sự thay đổi tương đối – Hệ số co giãn:

Hệ số co giãn của biến Y theo biến Xi tại X = X, kí hiệu:

i

Y

X(X )0

 - được định nghĩa:i

X 1

   , còn các đẳng thức khác tương tự Xét tại điểm X = (X1, … , Xn) thì:

 ,

2

Y X

 ,… ,

n

Y X

 thì khi các biến ngoại sinh co giãn theo cùng một tỉ lệ ta dùng hệ số co giãn chung:

Sản lượng lúa thu hoạch được trong năm nay là: 280 tấn Tính hệ số co giãn của cầu tại mức giá mà cung cầu cân bằng? Nêu ý nghĩa của hệ số co giãn

Giải:

Mức giá khi cung cầu cân bằng sẽ là: 280 = 480 – 0,1.P0 P0 = 2.000

Hệ số co giãn cầu theo giá tại mức giá P0:

Giả sử Y = F(X1, X2, … , Xn, t) với t là biến thời gian Hệ số tăng trưởng của biến Y là

tỉ lệ biến động của biến đó theo đơn vị thời gian, kí hiệu: ry – được xác định như sau:

Ví dụ 1: Công thức tính lãi kép liên tục: Vt = V0 ert

Hệ số tăng trưởng của Vt là:

t

t V

Ví dụ 2: Quan hệ giữa tiền công của lao động có đào tạo (V) và tỉ lệ thất nghiệp của người lao

động trong một quốc gia (U), chi phí đào tạo G được mô tả bởi một mô hình:

aV2 – bG2 – c.ln U = 0 Trong đó: a, b, c là các hằng số khác không

V = V(t); G = G(t); U = U(t) là các hàm số phụ thuộc vào biến thời gian

Tình hệ số tăng trưởng của chi phí đào tạo như một hàm của các yếu tố khác

Hệ số tăng trưởng của chi phí đào tạo sẽ là:

Theo công thức vi phân toàn phần ta có

F / XdX

dX0

dX  ta nói Xi có thể thay thế được cho Xj tại X0

i j

dX0

dX  ta nói Xi, Xj bổ sung cho nhau tại diểm X0 i

j

dX0

dX  thì ta nói Xi, Xj không thể thay thế tại X0

Ví dụ 1: Một người đi chợ mua M kg thịt bò, P kg khoai tây Cho biết hàm tổng hữu dụng đối

với thịt bò và khoai tây của người này là: TU = (M – 2).P

a) Tìm hệ số thay thế giữa thịt bò và khoai tây để hữu dụng không thay đổi

b) Giả sử người đó mua 3kg thịt bò và 4kg khoai tây, tính hệ số thay thế giữa thịt bò

và khoai tây trong trường hợp này Nêu kết luận về hệ số thay thế này?

Để tổng hữu dụng TU = (3 – 2).4 = 4 (Đvhd) không thay đổi thì khi tăng (giảm) lượng nhỏ khoai tây 1 đơn vị thì cần giảm (tăng) 1/4 đơn vị thịt bò

Tại điểm (M, P) = (3, 4) thì thịt bò và khoai tây la hai mặt hàng có thể thay thế được

Ví dụ 2: Một nhà máy cần 2 yếu tố K, L để sản xuất ra sản phẩm X, biết hàm sản lượng là:

Q = a1X1 + a2X2 + …… + an Xn

Ví dụ 2: Thu nhập quốc dân của một quốc gia (Y) phụ thuộc vào vốn (K), lao động được sử

dụng (L) và ngân sách đào tạo 5 năm trước đó (G) như sau: Y = 0,24.K0,3

.L0,8.G0,05Trong đó các yếu tố thay đổi theo thời gian như sau: hằng năm vốn tăng 15%; công ăn việc làm tăng 9%; chi phí đào tạo tăng 20%

a) Tính hệ số tăng trưởng của thu nhập quốc dân

b) Trong điều kiện Y, K không đổi còn công ăn vệc làm phụ thuộc vào ngân sách đào tạo trước đó 5 năm, hãy viết biểu thức chỉ ra sự thay đổi của công ăn việc làm theo ngân sách đào tạo theo 5 năm trước

Chi phí đào tạo: G(t) = G0 (1 + 0,2)t

Hệ số tăng trưởng của vốn, lao động, chi phí đào tạo lần lượt là:

t 0

0

K (1 0,15) ln(1,15)K(t) / t

rY(t ) YK.rK(t )  YL.rL(t )  GY.rG(t ) 0,3.ln(1,15)0,8.ln(1, 09)0, 05 ln(1, 2)0,12b) Đặt: F(L,G) = 0,24.K0,3

dX   MPGiả sử doanh nghiệp chỉ thay đổi được yếu tố Xi còn các yếu tố khác không thay đổi Thì việc sử dụng yếu tố Xi ở mức có lợi nhất sẽ là:

i X

F(X )

0X

Năng suất trung bình = Năng suất biên

Về dài hạn doanh nghiệp có thể thay đổi các yếu tố, giả sử các yếu tố đều thay đổi theo cùng một tỉ lệ Khi đó ta nói tới vấn đề tăng qui mô

Hàm sản xuất Q = F(X1, X2, … , Xn) với X= (X1, X2, … , Xn) ta nói qui mô sản xuất tăng với hệ số 

F(X) > .F(X) gọi là tăng qui mô có hiệu quả

F(X) = .F(X) tăng qui mô không thay đổi hiệu quả

F(X) < .F(X) tăng qui mô không hiệu quả

Ví dụ 1: Xét hàm sản xuất Cobb – Douglass: Q = a.K.L

Tăng qui mô lên  lần thì kết quả sản xuất tăng  + 

Hàm sản xuất của doanh nghiệp Q = F(X1, X2, … , Xn) và giá của các yếu tố sản xuất

b) Mô hình sản lượng tối đa:

Mô hình MHID: Max Q = F(X1, X2, … , Xn) (Tối đa hóa sản lượng)

Tỉ giá = Hệ số thay thế giữa hai yếu tố

c) Phân tích tác động của sản lượng, giá các yếu tố tới chi phí:

 (

* i

X là nghiệm tối ưu trong mô hình)

L0,5 với giá PK =12, PL = 3

a) Tính mức sử dụng K, L để sản lượng Q0 = 1250 với chi phí nhỏ nhất

b) Tính hệ số co giãn của tổng chi phí theo sản lượng Q0

c) Nếu giá vốn và lao động đều tăng 10% với mức sản lượng như trước, mức sử dụng vốn và lao động tối ưu sẽ thay đỏi như thế nào?

d) Phân tích tác động của giá vốn, lao động tới tổng chi phí

Giải:

a) Mô hình MHIC: Min(12K + 3L)

với điều kiện: 25K0,5L0,5 = Q0

Phương án tối ưu là nghiệm của hệ:

0,5 0,5 0,5 0,5

Vậy để chi phí nhỏ nhất thì phải sử dụng K = 25; L = 100

b) Mức chi phí TC(Q0) = 600 nên AC(Q0) = 600 0, 48

Một nhà máy có hàm sản xuất: Q = 2K.(L – 2), biết nhà máy chi khoản tiền là

15000 (đvt) để mua hai yếu tố K, L với giá pK = 600 (đvt), pL = 300 (đvt)

a) Tìm phương án sản xuất để thu được sản lượng tối đa

b) Tìm hệ số co giãn của hàm tổng chi phí tại sản lượng tối đa Nêu ý nghĩa của hệ

Doanh nghiệp sản xuất Q sản phẩm có doanh thu: TR(Q)

Lợi nhuận của doanh nghiệp: (Q) = TR(Q) – TC(Q)  Max

Điều kiện cần để tối ưu sẽ là: dTR dTC (MR MC)

là mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận và mức lợi nhuận tối đa

Đối với doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo:

*QP

a Hãy xác định hàm tổng chi phí với FC = 20 Với p = 39 hãy xác định mức sản

lượng và lợi nhuận tối ưu

b Nếu giá tăng lên 10% thì mức sản lượng, lợi nhuận tối ưu sẽ biến động như thế nào?

Vậy mức giá tăng 10% thì lợi nhuận sẽ tăng 19%

Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q = F(K, L) với giá vốn là pK, giá lao động là pL, giá bán sản phẩm của doanh nghiệp là p

 p.Q(p KK p L)L = p.F(K, L) – (pK.K + pL.L)  Max

Điều kiện tối ưu: p.MPK = pK ; p.MPL = pL

Đối với doanh nghiệp độc quyền:

 p(Q).Q(p KK p L)L = p(F(K, L)).F(K, L) – (pK.K + pL.L)  Max Điều kiện tối ưu:

Kp

  

 ;

*

* L

Lp

a) Có ý kiến cho rằng hàng hóa A luôn có thể thay thế hàng hóa B và tỉ lệ thay thế

là 1:1 Hãy nhận xét ý kiến này!

b) Hãy xác định mức cầu hàng hóa A, B của hộ gia đình nếu thu nhập là 600

dX  nên hai mặt hàng A, B là hai mặt hàng thay được cho nhau

Tuy nhiên kết luận tỉ lệ thay thế giữa hai mặt hàng là 1:1 là sai, mà nếu tăng XB lên một đơn vị thì phải giảm XA một lượng là A

Hàm cầu thị trường: D = D(p, pi, M, , , … ) D 0

p



Nếu giá các hàng hóa liên quan pi cố định, khi đó:

D = D(M) ( Đồ thị gọi là đường cong Engel) dD

Ví dụ: Mức cầu một loại hàng hóa: D = 1,5 M0,3

.p-0,2 và mức cung loại hàng này:

S = 1,4.p0,3

a) Xác định hệ số co giãn của cầu theo giá, theo thu nhập

b) Xem xét mức tác động của thu nhập tới mức giá cân bằng

Giải:

a) Hệ số co giãn của cầu theo giá:

0,3 1,2 D

Nên khi thu nhập tăng thì giá cân bằng cũng tăng

a) Cân bằng kinh tế vĩ mô:

Y là thu nhập quốc dân, ta có phương trình cân bằng:

Y = C + I + G + EX – IM (*) Trong đó: C = C0 + (Y - T) C0 > 0; 0 <  < 1

01

b) Với các số liệu ở câu a) có ý kiến cho rằng nếu giảm xuất khẩu 10% thì chính phủ có thể tăng chi tiêu 10% mà không ảnh hưởng tới thu nhập quốc dân

Hãy nhận xét ý kiến này?

Vậy thu nhập quốc dân sẽ là 1956,5 tỷ

Nguồn thu của ngân sách nhà nước: T = Y – Yd = t.Y = 0,1 1956,5 = 195,65 và chi tiêu của chính phủ là 400 tỷ > T = 195,65 nên ngân sách chính phủ bội chi

hay thâm hụt ngân sách

b) Hệ số co giãn của thu nhập theo chi tiêu của chính phủ:

G Y

1 Cho hàm doanh thu trung bình AR(Q) = 15 – Q

a Xác định mức doanh thu cận biên MR tại Q1 = 5; Q2 = 8 Phân tích các kết quả

b Xác định mức thu chênh lệch của doanh thu cận biên và doanh thu trung bình như một hàm của Q

c Nêu biểu thức tổng quát xác định mức chênh lệch của doanh thu cận biên và doanh thu trung bình nếu hàm doanh thu trung bình có đạo hàm

2

Các đơn vị được xếp vào cùng một ngành sản xuất thuần túy là các đơn vị:

Sản xuất ra sản phẩm giống nhau về mặt công dụng kinh tế và có thể thay thế hoàn toàn cho nhau

Sử dụng các loại tài nguyên, vật liệu tương tự nhau

Quá trình công nghệ giống nhau

Như vậy có sự tương ứng 1 – 1 giữa các ngành thuần túy và các loại sản phẩm

Ngành thuần túy trong mô hình I/O theo hệ thống phân ngành của mỗi quốc gia bao gồm nhiều ngành thuần túy

Một ngành thuần túy tương ứng với một loại sản phẩm nên số ngành thuần túy là rất lớn

Việc phân loại các ngành trong bảng I/O dựa vào phân loại hoạt động sản xuất hay phân ngành kinh tế trong hệ thống tài khoản quốc gia SNA (System of National Accounts) được gọi tắt là ISIC

Ở Việt Nam theo nghị định chính phủ ngày 27/10/1993 vè việc phân ngành cho nền kinh tế nước ta:

1 Nông nghiệp và lâm nghiệp

2 Thủy sản (Nuôi trồng và khai thác)

3 Khai mỏ, khai khoáng

11 Hoạt động khoa học công nghệ

12 Kinh doanh tài sản và dịch vụ tư vấn

13 Quản lí nhà nước, an ninh quốc phòng

14 Giáo dục, đào tạo

15 Y tế và hoạt động cứu trợ xã hội

16 Văn hóa, thể thao

17 Hoạt động Đảng, đoàn thể, hiệp hội

20 Hoạt động của các tổ chức và doàn thể quốc tế

2 Giá trị sản xuất GO (Gross Output)

Giá trị sản xuất là một chỉ tiêu tổng hợp được tính bằng giá trị sản lượng của tất cả các ngành (Khi tính riêng cho từng ngành ta sẽ có giá trị sản xuất của ngành)

Tóm tắt cách tính giá trị sản xuất của các ngành:

- Ngành sản xuất hàng hóa bán trên thị trường:

Giá trị sản xuất = Doanh thu bán hàng + Giá trị hàng hóa sử dụng khác + Giá trị thay đổi tồn kho

- Thương nghiệp:

Giá trị sản xuất = Doanh thu bán hàng + Hàng hóa sử dụng khác + Giá trị thay đổi tồn kho – Nguyên giá hàng bán

- Các ngành dịch vụ:

Giá trị sản xuất = Doanh thu

- Các ngành nhận nguồn vốn từ ngân sách nhà nước:

Giá trị sản xuất = Tổng các nguồn kinh phí do ngân sách cấp – Các khoản chi

có tính chất đầu tư tích lũy tài sản

3 Nhu cầu trung gian:

Hàng hóa và dịch vụ được sử dụng cho mục đích của sản xuất được gọi là nhu cầu trung gian

Nhu cầu trung gian không bao gồm khấu hao tài sản cố định Khấu hao tài sản cố định

là một yếu tố của phần giá trị gia tăng

4 Nhu cầu cuối cùng

Hàng hóa và dịch vụ cuối cùng của ngành sau khi dùng một phần cho nhu cầu trung gian, phần còn lại phục vụ nhu cầu của con người gọi là nhu cầu cuối cùng

5 Giá trị gia tăng:

Giá trị gia tăng là phần còn lại của giá trị sản xuất sau khi trừ đi chi phí trung gian Nó chính là phần trị giá mới do lao động tạo ra và phần khấu hao Về cơ cấu nó bao gồm: Tiền công của lao động, thuế sản xuất và thuế hàng hóa trừ đi trợ cấp, khấu hao và thặng dư sản xuất

Nếu vai trò của các yếu tố trong quá trình tạo ra sản phẩm, các yếu tố của giá trị gia tăng còn được gọi là đầu vào của các yếu tố sơ cấp

6 Các giả thiết cơ bản:

Đồng nhất về mặt công nghệ: Mỗi ngành chỉ sản xuất một sản phẩm thuần túy và sử dụng các yếu tố đầu vào cũng thuần nhất

Đồng nhất về mặt sản phẩm: Sản phẩm của các nghanh không thể thay thế cho nhau, trong phạm vi từng ngành thì các sản phẩm có thể thay thế hoàn toàn cho nhau

Công nghệ tuyến tính cố định: Quá trình sản xuất được giả thiết là có các định mức kinh tế, kĩ thuật không đổi và tổng chi phí của mỗi ngành là một hàm tuyến tính các yếu tố sản xuất

Hiệu quả dây chuyền: Hiệu quả sản xuất trong một ngành là do hiệu quả sản xuất

Qn

Tấn

Kw

m3

q11 q12 q1n

q21 q22 q2n qn1 qn2 qnn

q1

q2

qn

Q0 Người q01 q02 q0n q0 Qi: Sản lượng sản phẩm của ngành thứ i

qi: Sản phẩm cuối cùng của ngành i qij: Sản phẩm ngành j mua từ ngành i Q0: Tổng số lao động của nền kinh tế q0j: Tổng số lao động được sử dụng trong ngành j q0: Số lao động được sử dụng trong các ngành khác Phương trình phân phối sản phẩm dạng hiện vật trong nền kinh tế:

qQ

 (E ).Qq

Trong đó: E là ma trận đơn vị

11 12 1n 21 22 2n n1 n 2 nn

                    

1 2 n Q Q Q Q             

1 2 n q q q q              Ma trận  = (ij)n x n được gọi là ma trận hệ số chi phí trực tiếp hay ma trận hệ số kĩ thuật Đặt: 0 j 0 j j q j Q    , khi đó    ( 01; 02; ;0n) gọi là vectơ hệ số sử dụng lao động và:

n 0 0j 0 j = 1 Q q  q

n 0 0 j j 0 j 1 Q Q q     Ví dụ 1: Cho bảng cân đối liên ngành dạng hiện vật năm t: Sản lượng Sản phẩm trung gian Sản phẩm cuối cùng 300 60 24 80 136 240 30 48 40 122 400 90 24 120 166 Lao động 30 36 40 a) Hãy xác định ma trận hệ số kĩ thuật và hệ số sử dụng lao động b) Hãy giải thích ý nghĩa kinh tế của 31? Giải: a) Hệ số chi phí trực tiếp: 11 11 1 q 60 0, 2 Q 300     12

12 2 q 24 0,1 Q 240     13

13 3 q 80 0, 2 Q 400     21

21 1 q 30 0,1 Q 300     22

22 2 q 48 0, 2 Q 240     23

23 3 q 40 0,1 Q 400     31

31 1 q 90 0,3 Q 300     32

32 2 q 24 0,1 Q 240     33

33 3 q 120 0,3 Q 400     Ma trận hệ số kĩ thuật:

0, 2 0,1 0, 2 0,1 0, 2 0,1

0, 3 0,1 0, 3

Hệ số sử dụng lao động:

01

30 0,1 300

   02 36 0,15

240

   03 40 0,1

400

Vectơ sử dụng lao động:  = (0,1; 0,15; 0,1)

b) 31 = 0,3 – Có ý nghĩa kinh tế: Để sản xuất ra một đơn vị sản phẩm ngành 1 thì ngành 3 phải cung cấp cho ngành một một lượng sản phẩm bằng 0,3 dưới dạng tư liệu sản xuất

3 Hệ số chi phí toàn bộ:

(E ).Qq  Q(E ) q1 (1)

ij n x n(E ) ( )

      - Được gọi là ma trận hệ số chi phí toàn bộ dạng hiện vật

Để lập kế hoạch sản xuất thì cần đưa ra mức sản lượng cụ thể đối với từng ngành với nhu cầu cuối cùng cho trước, bởi thực tế điều mà một nền kinh tế quan tâm chính là sản lượng được dùng cho nhu cầu cuối cùng Khi đó trong phương trình (1) ta có ma trận nhu cầu cuối cùng q và ta có thể xác định mức sản lượng của từng ngành Q:

Q =  q =

0,56 1,88 0, 68 1500,96 1, 08 1,88 100

n

PPP

n

www

PT = wT.(E - )-1

Giá sẽ được xác định thông qua các yếu tố đầu vào wT

Nếu ở năm (t + 1) có sự thay đổi của vectơ w, chẳng hạn là sự thay đổi của mức tiền công tính trên 1 sản phẩm của ngành là:

w = wt + 1 - wt

Khi đó mức thay đổi giá sẽ là: PT = wT.(E - )-1

Ví dụ 2: Với các ngành được cho như trong ví dụ 1, cho

23 = 0,263 có ý nghĩa: Để tạo ra 1 đơn vị sản phẩm cuối cùng ngành 3 thì ngành 2 phải cung cấp 23 = 0,263 đơn vị sản phẩm

b) Vectơ giá sản phẩm của các ngành vào năm T sẽ là:

dùng

Tích lũy tài sản

Xuất khẩu

Nhập khẩu

Xn

x11 x12 … x1n x11 x12 … x1n

fn1

f12 f22

fn2

f13 f23

fn3

-f14 -f24 -fn4

x1 x2

Xi – Giá trị sản xuất của ngành thứ i

xij – Giá trị sản phẩm mà ngành j mua từ ngành i

xi – Giá trị sử dụng cuối cùng của ngành i

fik – Giá trị sử dụng cuối cùng của ngành i dùng cho mục đích tiêu dùng thứ k

Yh – Giá trị yếu tố đầu vào sơ cấp thứ h

Yhj – Giá trị yếu tố đầu vào sơ cấp thứ h được sử dụng trong ngành j

Phương trình phân phối giá trị sản phẩm:

Giá trị sản xuất = Chi phí trung gian + Tiêu dùng cuối cùng + Đầu tư +Xuất khẩu –

i 1



Tổng giá trị nhu cầu cuối cùng bằng GDP tính theo phương pháp sử dụng sản phẩm

Có những bảng vào ra dạng giá trị tách riêng sản phẩm nhập khẩu: Với bảng vào ra này ta giả sử nền kinh tế nhập khẩu không cạnh tranh, tức là các sản phẩm trong nước đã sản xuất thì không nhập khẩu nữa

Các ngành Giá trị sản

xuất Nhu cầu trung gian Tổng

Nhu cầu cuối cùng

Tổng Tiêu

dùng

Tích lũy tài sản

Xuất khẩu

f12

f22 fn2

f13

f23 fn3

x1

x2

4 iny

Bảng I/O gộp của Việt Nam, 1989, theo giá sản xuất:

CN 6036 1635 1184 566 491 1434 11346 6457 739 3429 10625 21971 NN,LN 939 2949 26 83 4 69 4070 8406 193 2168 10767 14837

Ví dụ 1: Cho bảng cân đối liên ngành:

Giá trị TSL Giá trị sản phẩm trao đổi trung gian Giá trị SPCC

Hãy điền số thích hợp vào bảng cân đối liên ngành

Giải: Bảng cân đối liên ngành sẽ là:

Giá trị TSL Giá trị sản phẩm trao đổi trung gian Giá trị SPCC

A = (aij)n x n – Được gọi là ma trận hệ số chi phí trực tiếp dạng giá trị

Phương trình phân phối giá trị sản phẩm:

n

XXX

n

xxx

y

X

B = (bij)5 x n – Được gọi là ma trận hệ số đầu vào các yếu tố sơ cấp

bhj cho biết để có một đơn vị giá trị sản phẩm ngành j thì ngành này phải sử dụng trực tiếp bhj đơn vị giá trị đầu vào yếu tố sơ cấp thứ h

hay: Y = B.X

c) Ma trận hệ số nhu cầu cuối cùng:

Nhu cầu cuối cùng:

1 2

n

VVV

f

V

dik – Trong 1 đơn vị giá trị tiêu dùng của nhu cầu Vk có dik giá trị của ngành i

D = (dik)n x 3 – Ma trận cơ cấu nhu cầu cuối cùng

X = A.X + D V Hay: (E – A).X = D.V

Ví dụ 2: Cho bảng cân đối liên ngành như ví dụ 1

a) Tìm ma trận hệ số chi phí trực tiếp dạng giá trị, ma trận hệ số đầu vào các yếu tố sơ cấp Giải thích ý nghĩa của a13 và b42?

b) Giả sử vào thời kỳ kế hoạch các định mức kinh tế, kĩ thuật không đổi Lập bảng cân đối liên ngành năm (t + 1) với xt + 1 = (300; 500; 700)

Giá trị TSL Giá trị sản phẩm trao đổi trung gian Giá trị SPCC

C = (E – A)-1 = (cij)m x n – được gọi là ma trận hệ số chi phí toàn bộ dạng giá trị

Hệ số cij cho biết: Để sản xuất ra một đơn vị nhu cầu cuối cùng của ngành j thì ngành i phải sản xuất một lượng sản phẩm có giá trị là cij

3 Xác định chỉ số giá trên cơ sở bảng I/O:

Nếu giá 1 đơn vị sản phẩm ngành j thời điểm t là Pj(t) và thời điểm (t+1) là Pj(t + 1) thì chỉ số giá sản phẩm này sẽ là:

j j

Để đơn giản người ta kí hiệu chỉ số giá là: kj

Tương tự chỉ số giá các yếu tố đầu vào sơ cấp kí hiệu là: wi

Do nguồn hình thành bằng nguồn phân phối nên ta có:

Khi đó viết dưới dạng ma trận ta có:

K = AT K + BT.w

 (E – AT) K = BT.w

 KT(E – A) = wT B

 KT = wT B (E – A)-1Công thức cho phép xác định chỉ số giá sản phẩm của ngành khi biết chỉ số giá các yếu tố đầu vào sơ cấp

Nếu các yếu tố đầu vào sơ cấp thay đổi thì sự thay đổi của chỉ số giá sẽ là:

KT = wT B (E – A)-1

Ví dụ 3: Cho bảng cân đối liên ngành như trong ví dụ 1 (§3 Bảng vào ra dạng giá trị)

Cho chỉ số giá các yếu tố đầu vào năm (t + 1) là: wT

= (1,01; 1,05; 1,2; 1,1; 1,2) Hãy xác định chỉ số giá của các sản phẩm được sản xuất

0, 2 0,15 0, 251,137 1,138 1,147

BÀI TẬP

1 Cho bảng cân đối liên ngành dạng hiện vật năm t

a Hãy xác định hệ số kỹ thuật và hệ số sử dụng lao động

b Biết q(t + 1) = (150,140,180) và các hệ số kỹ thuật, lao động không đổi so với năm t Lập bảng cân đối liên ngành năm (t + 1)

c Hãy xác định vectơ giá sản phẩm được sản xuất ra Biết giá trị gia tăng của các ngành là: wT = (0,05; 0,1; 0,15)

2 Cho bảng cân đối liên ngành của ba ngành năm t:

a Hãy xác định các giá trị còn thiếu trong bảng

b Xác định ma trận hệ số kỹ thuật và véctơ sử dụng lao động năm t

c Nếu biết 31 1 1 31 

2

    còn các hệ số khác không đổi và q(t + 1) = (70, 130, 100) Hãy lập bảng cân đối liên ngành năm t + 1

3 Cho ma trận hệ số kỹ thuật của năm t của 3 ngành dạng hiện vật:

và vectơ sử dụng lao động hàng năm t: ( )t (0,1;0, 2;0,15)

a Tìm ma trận hệ số chi phí toàn bộ của năm t Giải thích nghĩa kinh tế của phần tử ở cùng cột 3 của ma trận này

b Biết q(t+1)=(60,50,70) và các hệ số không đổi so với năm t Lập bảng cân đối liên ngành năm t+1

c Hãy xác định vectơ giá sản phẩm các ngành, biết phần giá trị gia tăng năm kế hoạch là: wT = (0,1; 0,05; 0,15)

4 Cho các chi phí hệ số trực tiếp dạng giá trị năm t của 3 ngành như sau:

A(t) =

0, 3 0, 2 0, 30,1 0, 3 0, 2

và các hệ số chi phí lao động A0(t) = (0,2; 0,1; 0,2)

Giá trị sản lượng của các ngành ở năm t tương ứng lần lượt là : 450; 600; 560

c Nếu đến năm t+1 nhu cầu về sản phẩm cuối cùng của các ngành là (180; 150; ;100) hãy tính giá trị sản lượng của các ngành năm t+1 biết rằng hệ số chi phí của 2 năm là như nhau

5 Cho bảng cân đối liên ngành dạng giá trị của 3 ngành ở năm t:

a Tìm các số liệu còn thiếu ở bảng trên

b Tính các hệ số chi phí trực tiếp, ma trận hệ số chi phí toàn bộ của năm t Giải thích ý nghĩa kinh tế của phần tử a32 và hệ số chi phí toàn bộ ở dòng 3 cột 1

c Biết x(t + 1) = (500, 200, 300) và các hệ số chi phí của năm t không thay đổi so với năm t Hãy lập dự án cho năm t + 1

6 Cho hệ số chi phí trực tiếp dạng giá trị năm t của 3 ngành như sau:

A=

0, 2 0 0,30,1 0,1 0,1

a Hãy lập bảng cân đối liên ngành năm t

b Tính các hệ số chi phí toàn bộ của năm t Hãy chọn một hệ số chi phí toàn bộ

và giải thích ý nghĩa kinh tế của nó

c Biết x(t+1) = (800, 1500, 700) và các hệ số không đổi Lập bảng cân đối liên ngành năm t+1

7 Cho bảng cân đối liên ngành dạng giá trị năm t của 3 ngành:

a Hãy tính số liệu còn thiếu trên bảng

b Tính các hệ số chi phí trực tiếp của năm t Giải thích ý nghĩa của phần tử a32

c Nếu đến năm t+1 nhu cầu về sản phẩm cuối cùng của các ngành tương ứng lần lượt là: (540; 250; 300) tỷ VND Lập bảng cân đối liên ngành cho năm t+1 biết A(t+1) = A(t) ;

8 Cho bảng cân đối liên ngành dạng giá trị năm t :

a Hãy tính ma trận hệ số kỹ thuật và giải thích ý nghĩa của phần tử a12

b Hãy tính ma trận hệ số các yếu tố đầu vào sơ cấp giải thích ý nghĩa của b23

c Cho x(t+1) = (150;120;70), các yếu tố hệ số không đổi Lập kế hoạch năm t+1

9 Cho bảng cân đối liên ngành dạng giá trị năm t:

b Lập kế hoạch năm t + 1 biết : x(t+1) = (500;100;400) và hệ số không thay đổi

10 Cho ma trận hệ số chi phí năm t :

 

0,1 0,1 0,10,1 0,15 0,20,15 0,1 0,2

0, 05 0,1 00,1 0, 075 0,2

0, 05 0,05 0,01

0, 20 0,15 0,10

0, 05 0,06 0,080,10 0,10 0,100,30 0,24 0,41

12 Cho bảng cân đối liên ngành dạng giá trị năm t:

Giá trị TSL Giá trị SP trao đổi trung gian Giá trị SPCC

a Giả thiết rằng trong thời kỳ kế hoạch các định mức kinh tế kỹ thuật không thay đổi Lập bảng cân đối liên ngành năm t + 1 với x(t + 1) = (300; 500; 700)

b Cho chỉ số giá đầu vào năm kế hoạch là wT

= (0,1; 0,05; 0,2; 0,1; 0,2) Hãy xác định vectơ chỉ số giá của các sản phẩm được sản xuất

13 a Điền giá trị thích hợp vào chỗ trống trong bảng cân đối liên ngành dưới đây:

Giá trị TSL Giá trị SP trao đổi trung gian Giá trị SPCC

a Với x(t + 1) = (1000; 1500; 800) lập bảng cân đối liên ngành năm t + 1

b Cho wT = (0,05; 0,1; 0,15; 0,1; 0,2) Hãy xác định vectơ chỉ số giá của các sản phẩm được sản xuất

15 Cho ma trận hệ số chi phí trực tiếp dạng giá trị ở năm t như sau:

0,3 0,2 0,30,1 0,3 0,2

A

  và các hệ số lương:(0,2; 0,1; 0,2)

a Lập bảng cân đối liên ngành năm t

b Tìm ma trận hệ số chi phí toàn bộ dạng giá trị năm t Giải thích ý nghĩa kinh tế của phần tử ở dòng 2 cột 3 của ma trận này

c Năm t + 1 nhu cầu sản phẩm cuối cùng của ngành là (180 ; 150 ; 100) (tỷ VNĐ) Tính giá trị sản lượng của các ngành, biết rằng các hệ số chi phí năm t + 1 và năm t như nhau

16 Cho ma trận hệ số chi phí trực tiếp về sản phẩm trung gian dạng giá trị năm t như

sau:

0, 2 0, 2 0,30,1 0, 2 0,1

Hãy tính giá trị sản phẩm trao đổi giữa các ngành trong năm đó

b Với chỉ tiêu ở câu a) tính giá trị sản phẩm cuối cùng của các ngành

c.Năm (t + 1) hệ số chi phí trực tiếp dạng giá trị của ngành 2 trong tất cả các ngành tăng 50% so với năm t, còn các hệ số khác không đổi Chỉ tiêu giá trị sản lượng các ngành là (500,

800, 1000) tỷ VNĐ thì giá trị sản phẩm cuối cùng của ngành 2 sẽ như thế nào?

17 Cho ma trận hệ số chi phí toàn bộ dạng giá trị ở năm t:

1,68 0,66 0,820,72 1,33 0,470,51 0,66 1,41

a Giải thích ý nghĩa kinh tế của các phần tử trên dòng 2 của C

b Với giá trị sản phẩm cuối cùng năm t là (400, 600, 200) tỷ VND, tính giá trị sản lượng của các ngành và giá trị sản phẩm trao đổi trung gian của các ngành trong năm t

c Tính quỹ lương của các ngành nếu chúng bằng 5% giá trị sản lượng mỗi ngành

18 Cho các ma trận hệ số chi phí trực tiếp và hệ số chi phí toàn bộ dạng giá trị năm t:

a Hãy nêu ý nghĩa của a12 và c12 Vì sao chúng khác nhau?

b.Với x(t) = (90, 60, 100) Lập bảng số liệu phản ánh phân bố sản phẩm của các ngành trong năm t

c Tính quỹ lương các ngành, biết hệ số lương cùa sản phẩm các ngành là 0,05

19 Cho ma trận hệ số chi phí toàn bộ dạng giá trị năm t:

1,21 0,19 0,360,4 1,22 0,120,49 0,39 1,25

20 Cho các ma trận hệ số chi phí trực tiếp và hệ số chi phí toàn bộ dạng giá trị năm t và năm t+1 như sau:

0, 2 0, 4 0, 2 1,636 0,848 0,545

0, 2 0, 4 0, 454 0,606 1,8180.1

c Tính giá trị khối lượng sản phẩm của ngành 2 mà các ngành sử dụng trong năm t+1

21 Nền kinh tế với 3 ngành, sản phẩm có mọi định mức kĩ thuật năm t+1 như năm t

a Giả sử so với năm t, năm t+1 đồng tiền mất giá u% (giá các sản phẩm tăng u%) trong khi đó hệ số tiền lương sản phẩm của các ngành tăng v% Cần thay đổi chỉ tiêu giá trị sản lượng như thế nào để đáp ứng nhu cầu tăng lên z% khối lượng sản phẩm cuối cùng của tất cả các ngành trong năm t+1?

b Nêu 1 thí dụ cụ thể và tiến hành các tính toán, kiểm tra kết quả câu a

22 Cho ma trận hệ số chi phí trực tiếp A và ma trận hệ số chi phí toàn bộ C dạng giá trị năm t:

0, 4 0,3 0.4 ; 2,066 2,957 2, 253

0, 2 0, 2 1,361 1, 267 2,3940.3

c Nếu muốn tăng 1 đơn vị sảm phẩm cuối cùng của ngành thứ nhất thì sản lượng các ngành phải thay đổi như thế nào?

23 Cho ma trận hệ số chi phí trực tiếp A và ma trận hệ số chi phí toàn bộ C dạng giá trị năm t:

0, 2 0,1 0,35 0, 28 1, 260.2

a Hãy cho biết ý nghĩa kinh tế của a21 và c21 Vì sao chúng có sự khác biệt nhau?

b Với x(t) = (150, 150,200) tỷ VND, hãy tính giá trị tổng sản lượng và giá trị gia tăng của các ngành

c Có ý kiến cho rằng nếu các hệ số chi phí toàn bộ của các ngành đều giảm 10% thì với x(t) như câu b, giá trị tổng sản lượng của các ngành sẽ tăng 10% Hãy nhận xét ý kiến trên

25 Cho bảng cân đối liên ngành dạng năm t như sau:

a Xác đinh giá trị còn thiếu trong bảng

b Tìm ma trận hệ số chi phí trực tiếp dạng giá trị năm t Giải thích ý nghĩa kinh tế của phần tử ở dòng 2 cột 2 của ma trận này

c Với điều kiện mọi định mức năm (t+1) như năm t Tính lượng giá trị sản phẩm ngành thứ 2 cung cấp cho mỗi ngành trong quá trình sản xuất ở năm (t+1) Nếu nhu cầu giá trị sản phẩm cuối cùng của các ngành năm (t+1) là (200; 400; 600) tỷ VNĐ

Biết ma trận hệ số chi phí toàn bộ năm (t+1) là:

1,707 0,732 0,9760,78 2,049 0,732

Chương 3 BÀI TỐN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH

MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC LIÊN QUAN

1 hệ phương trình tuyến tính

1.1 các khái niệm cơ bản

+ Định nghĩa: Hệ m phương trình và n ẩn số tuyến tính có dạng như sau:

2 m 1 1

m

2 n n 2

22 1

21

1 n n 2

12 1

11

bxa

xax

a

bxa

xax

a

bxa

xax

a

xj , J=1 n là các ẩn số, aij, bi là các hệ số

n

j

i ij

ij ; 1,1

m 1 m

n 22

21

n 12

11

a

aa

a

aa

a

aa

b

b

b

;

X = (x1 x2 xn)T Khi đó ta có thể viết hệ (2) dưới dạng ma trận : AX = B

+ Dạng bảng: Người ta trình bày hệ phương trình (1) dưới dạng một bảng gồm m dòng và

n+1 cột Mỗi dòng tương ứng với một phương trình, mỗi cột tương ứng với ẩn số và cột cuối cùng tương ứng với cột hệ số tự do

mn 2

m 1 m

n 22

21

n 12

11

b

bb

a

aa

aa

a

aa

- Bộ số X = (x1, x2, xn) khi thế vào hệ (1) trở thành một hệ đẳng thức đúng được gọi là một nghiệm của hệ (1)

- Hai hệ phương trình tuyến tính được gọi là tương đương nếu một nghiệm của hệ PT này cũng là một nghiệm của hệ PT kia và ngượclại

1.2 các tính chất của hệ PT tuyến tính

+ Định lý1: Nếu X1, X2 là hai nghiệm phân biệt của hệ (1), thì X=(X1+X2)/2 cũng là một nghiệm của hệ (1)

+ Hệ quả: Hệ PTTT (1) có và chỉ có một trong 3 khả năng sau:

1 Hệ (1) có duy nhất một nghiệm

2 Hệ (1) có vô số nghiệm

3 Hệ (1) vô nhiệm

+ Định lý 2: Một hệ PT tuyến tính có số PT nhiều hơn số ẩn số bao giờ cũng tương đương