Xây dựng hệ thống bài tập mô hình toán kinh tế cho sinh viên khối ngành quản lý kinh doanh

Việc biết cách mô tả các vấn đề kinh tế dưới dạng mô hình toán học, vận dụng các phương pháp toán học để giải quyết chúng, phân tích và chú giải cũng như kiểm nghiệm các kết quả đạt được

HAUI - KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN - HỆ THỐNG BÀI TẬP MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

-

BÀI TẬP

MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ

CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH QUẢN LÝ KINH DOANH

HÀ NỘI, NĂM 2018

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Nguyễn Quang Dong – Ngô Văn Thứ - Hoàng Đình Tuấn, Mô hình toán kinh tế, Đại học Kinh tế quốc dân, Nhà xuất bản Thống kê, 2006

[2] Nguyễn Quang Dong, Kinh tế lượng, Đại học Kinh tế quốc dân, Nhà xuất bản Giao thông Vận tải, 2008

[3] Lê Quốc Phương, Đặng Huyền Linh, Tình hình xây dựng và ứng dụng mô hình

kinh tế tại một số cơ quan, tổ chức ở Việt nam, Ban Phân tích và Dự báo Vĩ mô (Trung tâm Thông tin Dự báo Kinh tế - Xã hội quốc gia)

[4] Nguyễn Quảng, Nguyễn Thượng Thái, Toán kinh tế, Học viện Công nghệ bưu chính viễn thông, 2007

[5] Nguyễn Hải Thanh, Các phương phápToán kinh tế, Đại học Nông nghiệp Hà Nội,

2008

[6] Lê Đình Thúy(Chủ biên), Toán cao cấp cho các nhà kinh tế, Nhà xuất bản Đại học Kinh tế quốc dân, 2012

[7] Bùi Trinh, Bảng vào ra, Nhà xuất bản Thống kê, 2006

[8] Tổng cục Thống kê, Bảng cân đối liên ngành của Việt Nam năm 1989, 2007, 2012 Nhà xuất bản thống kê, 2010

[9] Alpha C.Chiang – Kevin Wainwright, Fundamental methods of mathematical

economics, Springer, 2006

HAUI - KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN - HỆ THỐNG BÀI TẬP MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ 3

MỤC LỤC Trang TÀI LIỆU THAM KHẢO 2

LỜI NÓI ĐẦU……… 5

Chương 1: QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH………….……… 7

§1 Bài toán lập kế hoạch sản xuất ……… 7

A Ví dụ về bài toán lập kế hoạch sản xuất……… 7

B Hướng dẫn giải bài tập……….9

§2 Bài toán quy hoạch tuyến tính 11

A Tóm tắt lý thuyết………11

B Ví dụ ……… 15

C Hướng dẫn giải bài tập……… 18

§3 Phương pháp đơn hình để giải bài toán quy hoạch tuyến tính ……… 19

A Tóm tắt lý thuyết………19

B Ví dụ ……….……….22

C Hướng dẫn giải bài tập……… 27

§4 Phương pháp tìm phương án cực biên xuất phát 31

A Tóm tắt lý thuyết………31

B Ví dụ ……… 33

C Hướng dẫn giải bài tập……… 34

Chương 2: BẢNG VÀO RA ( input - output table )…….… 43

§1 Bảng vào ra ……… 43

A Tóm tắt lý thuyết………43

B Ví dụ ……… 43

C Hướng dẫn giải bài tập……… 44

§2 Cấu trúc cơ bản và một số ứng dụng của bảng vào ra…….……… 45

A Tóm tắt lý thuyết………45

B Ví dụ ……….……….47

C Hướng dẫn giải bài tập……… 51

§3 Một số ứng dụng của bảng vào ra.……… 55

A Tóm tắt lý thuyết……… 55

B Ví dụ ……… ………….……… 57

C Hướng dẫn giải bài tập……….61

Chương 3: MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ…….… ……… 69

§1 Các khái niệm cơ bản về mô hình toán kinh tế ……… 69

A Tóm tắt lý thuyết……… 69

B Ví dụ ……….72

C Hướng dẫn giải bài tập……… 73

§2 Phân tích mô hình toán kinh tế 75

A Tóm tắt lý thuyết……… 75

B Ví dụ ……… ……… 77

C Hướng dẫn giải bài tập……… 88

§3 Một số mô hình tối ưu 92

A Tóm tắt lý thuyết……… 92

B Ví dụ ……….……… 94

C Hướng dẫn giải bài tập……… 103

§4 Xây dựng và sử dụng mô hình toán kinh tế ở Việt Nam ……… 109

HAUI - KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN - HỆ THỐNG BÀI TẬP MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ 5

Lêi nãi ®Çu

Kinh tế học là môn khoa học xã hội nghiên cứu sự tồn tại và vận động của các đối tượng kinh tế trong hoạt động kinh tế, các đối tượng đó rất đa dạng và phức tạp Toán học là một môn khoa học cơ bản, giải quyết các bài toán kinh tế có kích cỡ không hạn chế với độ phức tạp cao cho kết quả chính xác Việc biết cách mô tả các vấn đề kinh tế dưới dạng mô hình toán học, vận dụng các phương pháp toán học để giải quyết chúng, phân tích và chú giải cũng như kiểm nghiệm các kết quả đạt được một cách logic luôn

là một yêu cầu cấp thiết đối với các chuyên gia làm việc trong lĩnh kinh tế Nhà kinh tế học người Na Uy Trygve Haavelmo, được nhận giải thưởng Nobel kinh tế năm 1989,

đã từng phát biểu: “Nếu không có toán học kinh tế làm trung tâm cho các nghiên cứu kinh tế học, môn khoa học kinh tế có thể vẫn chưa vượt quá giới hạn những bài nói chuyện chung chung chẳng có kết quả thực sự hữu ích nào”

Đề tài ” Xây dựng hệ thống bài tập mô hình toán kinh tế cho sinh viên khối ngành quản lý kinh doanh ” được giải quyết theo chương trình các môn học của sinh viên khối ngành quản

lý và kinh doanh của trường Đại học Công nghiệp Hà Nội Trong đề tài này, ngoài những vấn

đề cơ bản của Toán học, chúng tôi đưa vào các Mô hình toán kinh tế với mong muốn làm nổi bật một số ứng dụng của Toán học trong thực tiễn Để nghiên cứu môn Mô hình toán kinh tế, người học cần các có kiến thức cơ bản về :

1 Toán cao cấp : Đại số tuyến tính ( Ma trận, định thức, giải hệ phương trình tuyến tính, không gian véc tơ), giải tích ( Đạo hàm, vi phân của hàm số một biến và nhiều biến, phương trình vi phân, phương trình sai phân)

2 Kinh tế : Kinh tế vi mô, kinh tế vĩ mô

3 Tin học : Có kỹ năng sử dụng tốt các phần mềm mathtype, excel, matlab trên máy tính

để tính toán, giải các mô hình toán kinh tế với biến không hạn chế, tốc độ nhanh Mục tiêu của đề tài : Hệ thống bài tập mô hình toán kinh tế là cầu nối giữa kinh tế-toán học-công nghệ thông tin Đề tài trình bày tóm tắt lý thuyết, đưa ra các ví dụ điển hình, các bài tập cơ bản và cách giải quyết các mô hình toán kinh tế Đề tài gồm có ba chương :

Chương 1 trình bày tóm tắt những nội dung cơ bản về mô hình tối ưu tuyến tính Cụ thể

là các khái niệm, tích chất cơ bản và phương pháp đơn hình để giải bài toán quy hoạch tuyến tính.Thông qua mô hình tối ưu tuyến tính sinh viên có thể lập các bài toán sản xuất với số biến hữu hạn và tìm nghiệm của chúng

Chương 2 trình bày cấu trúc, các khái niệm về bảng vào ra hay gọi là mô hình cân đối liên ngành Thông qua mô hình đó người đọc có thể hiểu về mối liên hệ tuyến tính giữa các ngành kinh tế, tăng đầu tư có ảnh hưởng trực tiếp đến thu nhập, việc làm như thế nào Thông qua bảng vào ra sinh viên có thể nhìn toàn cảnh bức tranh kinh tế của một quốc gia và xây dựng được các bảng vào ra cho một số ngành kinh tế, ngành sản phẩm đơn giản

Chương 3 trình bày về mô hình toán kinh tế Cấu trúc, các khái niệm, cách phân tích một

mô hình toán kinh tế Trong đó có đưa ra một số mô hình toán kinh tế : mô hình tối ưu, mô hình cân đối liên ngành, mô hình kinh tế cân bằng, mô hình kinh tế tĩnh,…

Trong lần nghiên cứu này, chúng tôi hy vọng đề tài sẽ có ý nghĩa thiết thực đối với sinh viên khối ngành quản lý và kinh doanh Chúng tôi đã nhận được nhiều ý kiến đóng góp quý báu của các bạn đồng nghiệp ở các khoa : Kiểm toán – kế toán, Quản lý và kinh doanh, Khoa học cơ bản của Trường Đại học Công nghiệp Hà Nội Chúng tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các bạn bởi sự đóng góp đó

Tuy nhiên vẫn còn rất nhiều vấn đề trong đề tài này cần phải tiếp tục thảo luận Chúng tôi rất mong tiếp tục nhận được những ý kiến đóng góp từ phía các bạn đồng nghiệp và đông đảo bạn đọc để đề tài được sáng tỏ hơn

Xin chân thành cảm ơn!

Hà nội, tháng 12 năm 2018

CÁC TÁC GIẢ

HAUI - KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN - HỆ THỐNG BÀI TẬP MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ 7

Chương 1: QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH MỤC TIÊU CHƯƠNG 1 Giải bài toán quy hoạch tuyến tính sau bằng phương pháp đơn hình : Tìm vectơ x( ,x x1 2, ,x n) n sao cho hàm số:

1 1 2 2 1 ( )

n j j n n j j j z f x c x c x c x c x c x         min(max) (1.1) Thỏa mãn các điều kiện: 1 ij ( , , ) ; 1, (1.2) ( , , ) 0 ; 1, (1.3) n j i j j a x b i m x j n                §1 MÔ HÌNH LẬP KẾ HOẠCH SẢN XUẤT A CÁC VÍ DỤ VỀ MÔ HÌNH LẬP KẾ HOẠCH SẢN XUẤT Ví dụ 1.1: Một doanh nghiệp hiện có 3 nguyên liệu b1 8,b2 8,b3 4 người ta muốn sản xuất 2 sản phẩm, c14,c2 3( triệu đồng) là giá bán một đơn vị sản phẩm loại j j, 1, 2, mỗi sản phẩm phải dùng số lượng nguyên liệu được cho như trong bảng sau: Sản phẩm Nguyên liệu 1 x x2 Ng.liệu hiện có b i 1 2 3

2 1

0 1

1 0

8 8 4

Tiền bán được từ SP x i 4 3

Với các điều kiện khác ( thuế, nhà xưởng, công nghệ, nhân công) ổn định Hãy lập

mô hình sản xuất mỗi loại sản phẩm là bao nhiêu sao cho tổng danh thu từ việc bán các sản phẩm lớn nhất trong điều kiện nguyên liệu hiện có

Mô hình: Gọi số lượng loại sản phẩm thứ nhất thứ hai theo thứ tự là x1,x2

Doanh thu từ việc bán các sản phẩm là: z4x13x2

Tìm x1,x2 để z4x13x2 đạt giá trị lớn nhất với các điều kiện:

Lượng nguyên liệu thứ hai dùng để sản xuất sản phẩm thứ hai x2là 1x2

…Tìm x1,x2 để f x x( 1, 2)4x13x2 m xa

Ví dụ 1.2: Một nông dân có b1 sào đất để trồng hoa và lúa Ông ta dự định mua hai loại

sao cho tổng tiền thu được lớn nhất ( chi phí là nhỏ nhất) từ việc bán các sản phẩm

Mô hình : Gọi x1 là số sào trồng hoa thu hoạch quy ra tiền làc1 ,x2 là số sào trồng lúa thu hoạch quy ra tiền là c2

Tìm x1,x2 để zc x1 1c x2 2 đạt max với điều kiện:

Mô hình: Gọi x j 0, ( j1,n) là số lượng sản phẩm thứ j sẽ sản xuất, c j; j1,n là

Lượng nguyên liệu thứ i i; 1,mdùng để sản xuất sản phẩm thứ nhất x1là a x i1 1

Lượng nguyên liệu thứ i i; 1,mdùng để sản xuất sản phẩm thứ hai x2là a x i2 2

…………

Lượng nguyên liệu thứ i i; 1,m dùng để sản xuất sản phẩm thứ n x nlà a x in n

a x i1 1a x i2 2  a x in n

quá lượng nguyên liệu hiện có b i ;i1,m nên:

B HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP

1.1 Một xí nghiệp dệt có kế hoạch sản suất 3 loại vải A, B, C Nguyên liệu để sản

xuất là các loại sợi cotton, kater, polyester Xí nghiệp đã chuẩn bị 3 loại nguyên liệu trên với khối lượng tương ứng là 3 tấn; 2,5 tấn; 4,2 tấn Mức tiêu hao mỗi loại sợi để sản xuất 1m vải và giá bán (ngàn đồng/m) vải thành phẩm mỗi loại được cho trong bảng sau:

Hãy lập mô hình toán học của bài toán để lập kế hoạch sản xuất tối ưu, nghĩa là

Sản phẩm

Nguyên liệu(kg)

Cotton Katé Polyester

sản xuất mỗi loại vải bao nhiêu mét để tổng doanh thu của xí nghiệp đạt được cao nhất, biết rằng với giá bán đã định thì xí nghiệp có thể tiêu thụ được hết số sản phẩm

sẽ sản xuất

Lời giải:

Mô hình: Gọi số lượng loại sản phẩm 3 loại vải A, B, C theo thứ tự là x1,x x2, 3 (m)

quá lượng nguyên liệu hiện có b i ;i1,3 nên:

1.2 Một công ty lương thực cần vận chuyển gạo từ các kho I, II với khối lượng lần

lượt là 150 tấn, 120 tấn đến các đại lí A, B, C với nhu cầu cần nhập hàng lần lượt là 70 tấn, 110 tấn, 80 tấn Cho biết chi phí vận chuyển gạo (ngàn đồng/tấn) từ các kho đến các đại lí được cho trong bảng sau:

Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng tổng quát

Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát có dạng:

Dạng chính tắc của bài toán quy hoạch tuyến tính

Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc có dạng như sau:

ij j i j

Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc là bài toán mà mọi ràng buộc hàm đều

là phương trình, còn mọi ràng buộc dấu đều không âm.

Quy tắc chuyển bài toán quy hoạch tuyến tính về dạng chính tắc

Nếu ràng buộc dấu xj0 Đặt x j  xj

Nếu ràng buộc dấu xj mang dấu tuỳ ý, ta đặt:

ij j n i i j

ij j i j

ij j n i i j

ij j i j

Ràng buộc: Các ràng buộc xác định ở (1.3) là ràng buộc dấu (nếu không nói gì về

điều kiện dấu của biến x j thì quy ước x j nhận dấu tuỳ ý).Các ràng buộc xác định ở

(1.2) gọi là ràng buộc hàm ( hàm mục tiêu là hàm tuyến tính và các ràng buộc là các phương trình, bất phương trình tuyến tính) Ứng với ràng buộc thứ i ta có

j j j

mj

a a A a

n

x x x x

t

n

c c c c

m

b b b b

của ma trận A;biến số, hệ số của biến số, b ihệ số của ràng buộc

Phương án: Mỗi véctơ x( ,x x1 2, ,x n) thoả mãn mọi ràng buộc của bài toán gọi là

một phương án

HAUI - KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN - HỆ THỐNG BÀI TẬP MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ 13

Phương án tối ưu: Phương án x( ,x x1 2, ,x n)mà tại đó hàm mục tiêu đạt cực tiểu

(hoặc cực đại) gọi là phương án tối ưu

Ràng buộc chặt: Phương án x nếu thoả mãn ràng buộc thứ i với dấu “bằng”, nghĩa

Ràng buộc lỏng: Phương án x nếu thoả mãn với dấu “không bằng”, nghĩa là: ràng buộc dấu x i( , )0  , ij

Bài toán giải được: Bài toán có ít nhất một phương án tối ưu gọi là bài toán giải

được Bài toán không có phương án tối ưu gọi là bài toán không giải được

Có hai khả năng của bài toán không giải được:

(i) Bài toán không có phương án

(ii) Bài toán có phương án nhưng hàm mục tiêu không bị chặn dưới đối với bài toán min tức là f x( ) , hoặc không bị chặn trên đối với bài toán max tức là

( )

Giải bài toán quy hoạch tuyến tính là đi tìm phương án tối ưu của bài toán hoặc kết

luận bài toán không giải được, hoặc chứng tỏ tập phương án là rỗng

Phương án cực biên: Một phương án thoả mãn chặt n ràng buộc độc lập tuyến tính gọi là

buộc gọi là phương án cực biên suy biến

Bài toán quy hoạch tuyến tính được gọi là không suy biến nếu mọi phương án cực biên của nó đều không suy biến, trái lại gọi là bài toán suy biến

Ta có thể chuyển bài toán max về bài toán min ( giữ nguyên các điều kiện ràng buộc (1.2) và (1.3) theo quy tắc sau:



Phương án cực biên của bài toán dạng chính tắc

Định lí 1 Điều kiện cần và đủ để phương án 0

1 2

( , , , j, , n)

hoạch tuyến tính dạng chính tắc là phương án cực biên là hệ các véctơ cột ứng với các

Giả sử x( ,x x1 2, ,x n) là phương án cực biên của bài toán dạng chính tắc Ta gọi hệ

m véctơ J  A j|x j 0 độc lập tuyến tính là cơ sở của phương án cực biên x

Nếu x là phương án cực biên không suy biến thì nó có đúng m thành phần x j

dương, J  A j |x j 0 là cơ sở duy nhất

Nếu x là phương án cực biên suy biến thì hệ véctơ A j | x j 0giả sử có k thành phần dương (km), ta bổ xung thêm (m k ) véctơ cột khác của A để được một hệ

phương án cực biên x Kí hiệu cơ sở là J

Với phương án cực biên x, ta gọi các thành phần x j, jJ là thành phần cơ sở;

còn x k 0 với kJ là thành phần phi cơ sở

Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn

Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn có dạng:

Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn là bài toán thoả mãn ba điều kiện: Là bài

toán dạng chính tắc; vế phải hệ ràng buộc hàm không âm; ma trận hệ số:

Tính chất 1: Nếu bài toán quy hoạch tuyến tính có phương án và hạng của ma trận hệ

ràng buộc bằng n biến số thì bài toán có phương án cực biên

HAUI - KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN - HỆ THỐNG BÀI TẬP MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ 15

Tính chất 2: Nếu bài toán quy hoạch tuyến tính có tập phương án khác rỗng và hàm

mục tiêu bị chặn (bị chặn dưới đối với bài toán min, bị chặn trên đối với bài toán max) trên tập phương án thì bài toán có phương án tối ưu

Tính chất 3: Số phương án cực biên của bài toán quy hoạch tuyến tính là hữu hạn

x thỏa mãn mọi ràng buộc của bài toán nên nó là phương án của bài

toán Hơn nữa nó thỏa mãn chặt ràng buộc (1) và 3 ràng buộc dấu x2 x3 x4 0,

Ví dụ1.6: Cho bài toán quy hoạch tuyến tính

bài toán không? Phương án nào tốt hơn? Kiểm tra các ràng buộc của bài toán

Ví dụ 1.7: Trong ví dụ1 5, phương án 0 4

Ta kiểm tra xem 4 ràng buộc này có độc lập tuyến tính không?

Thật vậy, xét hệ véctơ A(1, 2, 3,1), (0,1, 0, 0), (0, 0,1, 0), (0, 0, 0,1) , ta có:

Lời giải: Ta thấy véctơ 0

chặt ràng buộc dấu x5 0,x6 0) nên 0

Ví dụ 1.9: Cho bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc

Ví dụ 1.10: Đưa bài toán sau về dạng chính tắc

Lời giải: Mọi ràng buộc dấu đều không âm, có 2 ràng buộc hàm chưa phải là phương trình

Do đó, thêm hai biến phụ x x5, 6 ta được bài toán dạng chính tắc

Ví dụ 1.11: Đưa bài toán sau về bài toán min, dạng chính tắc

Lời giải: Phương án 0

Ví dụ 1.14: Cho bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn

C HƯỚNG DẤN GIẢI BÀI TẬP

1.3 Chuyển bài toán quy hoạch tuyến tính sau về dạng chính tắc

1.4 Chuyển bài toán quy hoạch tuyến tính sau về dạng chuẩn Chỉ ra cơ sở đơn vị,

phương án cực biên ứng với cơ sở đơn vị đó

b Phương án nào tốt hơn? Kiểm tra các ràng buộc của bài toán

§3 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

x với cơ sở J0 của bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc tìm cách đánh giá, nếu phương án cực biên

Ax b x

Ước lượng các biến

Gọi k là ước lượng của biến x k theo cơ sở J0được xác định bởi:

Dấu hiệu tối ưu

Định lí 1 (Dấu hiệu tối ưu):Nếu phương án cực biên 0

dạng chính tắc mà    k 0, k J0 thì 0

dấu hiệu tối ưu, nghĩa là  j 0 , j1,n mà tồn tại    k 0, k J0 thì bài toán có

x

Định lí 2 (Định lí cơ bản): Giả sử 0

dạng chính tắc mà tồn tại    k 0, k J0 Khi đó :

a) Nếu có một   k 0, k J0 và x jk 0 thì bài toán không giải được

b) Nếu mỗi    k 0, k J0,tồn tại ít nhất mộtx jk 0 thì xây dựng được phương án

x

Thuật toán của phương pháp đơn hình

Xét bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn:

HAUI - KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN - HỆ THỐNG BÀI TẬP MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ 21

Trong bảng đơn hình đầu tiên, ta ghi các số liệu của bài toán theo thứ tự như sau:

(1) ghi các biến x j, j1,n (2) ghi các hệ số c j, j1,n của các biến x j (3) ghi ma trận hệ số các ràng buộc hàm

 j 0 , j J Chuyển sang bước 2

x

x và fmin  0 ở bảng đơn hình tương ứng Thuật toán kết thúc

Nếu tồn tại  k 0 ,kJmà tất cả các hệ số khai triển a jk   0 j J thì kết luận

A đưa vào cơ sở mới véctơ véctơ r

A bị loại khỏi cơ sở cũ

phần tử trục gọi là dòng xoay, cột s chứa phần tử trục gọi là cột xoay Chuyển sang

bước 4

x trong cơ sở mới 1

J

Ta thay c A s, s vào vị trí của c A r, r các c A j, j(jr j, J) được giữ nguyên

Dòng chuẩn trong bảng đơn hình mới là các phần tử của dòng xoay chia cho a rs

Dòng thứ j trong bảng đơn hình mới lấy dòng j trong bảng cũ trừ đi a js *Dòng chuẩn

thức:

0 1

0 0

r rs j

r

rs

j J x

j J j r a

1

x Quá trình quay trở lại kể từ bước 2

Quá trình tính toán cứ tiếp tục như vậy, sau một số hữu hạn bước sẽ xuất hiện dấu hiệu tối ưu hoặc kết luận bài toán không giải được Trong trường hợp bài toán có phương án tối ưu ta cũng biết đó là phương án tối ưu duy nhất hay nó có vô số phương

dòng xoay Giao giữa dòng xoay và cột xoay xác định phần tử trụ (được đặt trong ngoặc đơn) Thực hiện biến đổi Gauss, ta có bảng đơn hình thứ 2

tỉ số đơn hình trên cột này, ta có:

Giá trị min đạt được ở chỉ số r6 nên A6 bị loại khỏi cơ sở Phần tử trục là x642

Ở bảng đơn hình 3, do  j 0, j1, 6 nên bài toán ( )P1 có phương án tối ưu

Ví dụ 1.16: Giải bài toán sau bằng phương pháp đơn hình

Ở bảng đơn hình thứ 2, có 3 = 15/4 > 0 và x j30 nên kết luận bài toán có hàm mục

tiêu giảm vô hạn trên tập phương án Bài toán không giải được

• Chú ý: Khi áp dụng thuật toán đơn hình gốc, ta cần chú ý các vấn đề sau:

a Khi áp dụng các quy tắc chọn véctơ k

A đưa vào cơ sở mới và chọn véctơ

chỉ số, ta chọn ngẫu nhiên một chỉ số nào đó Tuy nhiên, nên chọn chỉ số sao

cho phần tử trục được xác định khiến việc biến đổi bảng đơn hình càng đơn giản

càng tốt

toán F x( ) f x( )min với chú ý fmax  Fmin hoặc cũng có thể giải trực

tiếp bài toán đã cho Sau đây ta đưa ra một số điểm giống và khác nhau cơ

c Nếu  j 0 , j1,n mà  k 0 (kJ) thì bài toán có thể có phương án tối

x*  x t z k

trong đó x là phương án tối ưu ở bảng đơn hình,

0 0

Xác định tỉ số đơn hình

Ví dụ 1.17: Cho bài toán

a) Giải bài toán trên bằng phương pháp đơn hình

b) Xác định tập phương án tối ưu của bài toán

Lời giải: a) Bài toán đã ở dạng chuẩn với cơ sở đơn vị  4 5 6

ưu z6   ( 1 / 3, 2 / 3, 0,  2, 0, 1) Tập phương án tối ưu của bài toán là:

c) Từ tập phương án tối ưu x*, phương án tối ưu có thành phần x4 44 nên 104 2  t 44

suy ra t 30(thỏa mãn điều kiện 0  t 36) Vậy phương án tối ưu có thành phần

4 44

x  là x (2, 26,0, 44,0,30)

Ví dụ 1.18: Cho bài toán

bảng thứ nhất và thứ hai dưới đây:

Ở bảng 4, xuất hiện dấu hiệu hàm mục tiêu không bị chặn do   3 4 0 và

j

x

b) Từ bảng 4, ta xác định phương giảm trị số hàm mục tiêu 3

HAUI - KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN - HỆ THỐNG BÀI TẬP MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ 27

hay    50 34 4t suy ra t4

Với t 4 thay vào (*) ta được phương án x(6, 0, 4,14,80, 0)

Vậy trị số hàm mục tiêu f x( ) 50 sẽ đạt tại phương án x(6, 0, 0,14,80, 0)

mục tiêu bằng  50

c) Do hàm f x( ) giảm vô hạn trên tập phương án nên với điều kiện f x( )   102 thì giá trị f x( )   102 chính là giá trị tối ưu Làm tương tự câu b) ta được:

102    34 4t t 17

Khi đó x(19, 0,17, 40, 223, 0) là phương án tối ưu của bài toán

1.6 Giải bài toán quy hoạch tuyến tính sau bằng phương pháp đơn hình:

Lời giải: F(x) = 7x1 - x2 - 3x3 - x4 - x5 - 6x6 → min

Bài toán nhận x0 = ( 0; 2; 0; 9; 15; 0 ) là phương án cận biên với cơ sở đơn vị

J = ( A5 ; A4 ; A2 ) Bảng đơn hình xuất phát như sau:

HAUI - KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN - HỆ THỐNG BÀI TẬP MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ 29

và điều kiện

0 0

-1 (1)

0

1 -1

0

1

0

0 -1

và giá trị tối ưu :

1.11 Giải bài toán quy hoạch tuyến tính sau bằng phương pháp đơn hình:

HAUI - KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN - HỆ THỐNG BÀI TẬP MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ 31

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Khi dùng thuật toán đơn hình để giải BTQHTT dạng chuẩn với giả thiết biết một phương án cực biên với cơ sở tương ứng Nếu BTQHTT chính tắc không phải dạng chuẩn, không biết PACB, như vậy muốn áp dụng thuật toán ta cần phải tìm PACB Ta

có thể dùng thuật toán đơn hình để tìm PACB

Xét bài toán dạng chính tắc: Tìm vectơ x( ,x x1 2, ,x n) n để hàm số

Giả sử b i 0,i1,m, ma trận hệ số A a ij mxn không chứa vecsto đơn vị nào

Bài toán (I) chưa có cơ sở đơn vị

Thêm vào vế trái phương trình ràng buộc thứ i trong bài toán (I) biến giả

x x

hình ta giải bài toán (M)

có kết luận cho bài toán (I)

Giả sử x( ,x x x1 2, 3, ,x x n n i),x n i 0,i1,m là phương án của bài toán (M) thì

1 2 3

( , , , )n

x x x x x là phương án của bài toán (I) và ngược lại, đồng thời f x( )F x( )

Mối liên hệ giữa bài toán (M) và bài toán (I)

Nếu x( ,x x x1 2, 3, ,x x n n i ),x n i 0,i1,m là phương án tối ưu của bài toán (M) thì

1 2 3

( , , , )n

x x x x x là phương án của bài toán (I) và f x( )F x( )

Nếu x( ,x x x1 2, 3, ,x x n n i ),mà x n i 0,i1,m là phương án tối ưu của bài toán (M)

thì bài toán (I) không giải được

Chú ý

đơn vị Và trong quá trình biến đổi bảng đơn hình, nếu véctơ ứng với biến giả bị loại khỏi cơ sở thì không cần tính toán ở cột ứng với biến giả đó nữa

b) Bài toán (M) có phương án tối ưu, mà trong phương án tối ưu của bài toán (M), mọi thành phần ứng với biến giả bằng 0 thì bỏ đi các thành phần ứng với biến giả, ta được phương án tối ưu của bài toán ban đầu

nhận giá trị dương thì bài toán ( )I không có phương án

d) Nếu bài toán (M) có hàm mục tiêu không bị chặn và cơ sở ở bảng đơn hình tương ứng không chứa véctơ ứng với biến giả, thì đây cũng là một cơ sở của bài toán (I), ta kết luận bài toán (I) có phương án nhưng hàm mục tiêu không bị chặn dưới trên tập phương án của nó

HAUI - KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN - HỆ THỐNG BÀI TẬP MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ 33

Lời giải:

ban đầu có phương án tối ưu x(6, 14, 3, 0, 0, 0) và fmin  2

Ví dụ 1.20: Giải bài toán sau

1.12 Giải bài toán quy hoạch tuyến tính sau bằng phương pháp (M):

Từ bảng đơn hình thứ 2 có x=(0,0,25,43,2,0), có biến giả x5 2>0

Vậy bài toán không có PATU

1.13 Giải bài toán quy hoạch tuyến tính sau bằng phương pháp (M):

Vì bài toán chưa ở dạng chuẩn, ma trận hệ số A mới có một vecto đơn vị Thêm hai biến giả (với M là số dương tùy ý) ta có bài toán mở rộng (M) của bài toán đã cho là: F(x)=

ở bảng 3 dấu hiệu tối ưu xuất hiện nên bài toán (M) có phương án tối ưu x*=(3,6,0,0,3,0,0)

→bài toán 1 có phương án tối ưu x=(3,6,0) F(x)= -36,fmax=36

có ∆6 =0 nên bài toán có tập phương án tối ưu là x* =(3-t,6+t,0,0,5,t)

6x1 4x2 5x3 + x4 = 20

x1 + 2x2 + x3 +x6 = 8

3x1 + x2 + x3 x5 +x7 = 8

xj 0, j =1÷7

Bài toán (M) là bài toán dạng chuẩn, với hệ vecto cơ sở là J = {A4, A6,A7}

Lập bảng đơn hình xuất phát như sau:

-3 -1/2

2 3/2

Kết luận: Hàm mục tiêu không bị chặn

1.20 Cho bài toán

b) Giải bài toán khi có thêm điều kiện f x( )  50.Từ bảng 2, ta xác định phương

Vậy trị số hàm mục tiêu f x( ) 50 sẽ đạt tại phương án x=(19;0;6;7;2)