hình học giải tích trong không gian

Với chủ đề này, nhóm sẽ trình b{y phương ph|p tọa độ trong không gian bao gồm 5 chương chính: hệ tọa độ trong không gian, phương trình mặt phẳng, phương trình đường thẳng, giải toán hìn

ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN 2014

LỜI NÓI ĐẦU

Trong mặt phẳng, các bản đồ, bản vẽ của chi tiết đ~ thể hiện rõ các sự vật.Và trong không

gian các vật được biểu diễn một c|ch rõ r{ng hơn Trong không gian, với 3 trục tọa độ, các

điểm trên trục làm các hình ảnh của vật trở nên sinh động Hệ trục tọa độ không gian ra đời

đ~ giải quyết được nhiều vấn đề Các khối đa diện trong không gian như hình chóp, tứ diện,

hình lập phương, hình hộp chữ nhật, bát diện đều được thể hiện qua tọa độ không gian Vì

vậy nhóm đ~ chọn chủ đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Với chủ đề này,

nhóm sẽ trình b{y phương ph|p tọa độ trong không gian bao gồm 5 chương chính: hệ tọa

độ trong không gian, phương trình mặt phẳng, phương trình đường thẳng, giải toán hình

học không gian bằng phương ph|p tọa độ, một số bài tổng hợp Mỗi chương sẽ được trình

b{y như sau:

- Tóm tắt lý thuyết cơ bản

- Các dạng to|n thường gặp

- Một số chú ý khi giải các dạng toán

Ngoài ra, phần cuối gồm một số bài tập tổng hợp về tọa độ không gian giúp độc giả hiểu rõ

hơn về phương ph|p tọa độ không gian Nhóm hy vọng với nội dung này sẽ giúp các bạn

tham khảo, làm quen với hệ tọa độ trong không gian cũng như củng cố thêm kiến thức giải

các bài hình học không gian, tìm được sự hứng thú v{ đam mê với toán học

Mặc dù đ~ có nhiều cố gắng trong quá trình biên soạn, nhưng khó tr|nh khỏi những sai sót ,

chúng tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các bạn

Xin chân thành cảm ơn

CHƯƠNG I: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Hệ trục tọa độ trong không gian là hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một tại điểm gốc O, trên đó có c|c vector đơn vị lần lượt là , , ,i j k gọi là hệ trục tọa độ Đề Các vuông

góc Oxyz trong không gian Trong đó:

 x Ox : gọi là trục hoành

 y Oy : gọi là trục tung

 z Oz : gọi là trục cao

 O: gọi là gốc tọa độ

 Oxy, Oyz, Ozx đôi một vuông góc với nhau gọi là các mặt phẳng tọa độ

Các tính chất của vector trong không gian cũng giống như tính chất vector trong mặt phẳng Tuy nhiên trong không gian có một tính chất mà trong mặt phẳng không có :” Đó l{ tích có hướng của hai vector.”

I LÝ THUYẾT TỌA ĐỘ VECTOR

Bài toán

Chúng ta hãy thử nghĩ xem, nếu cho tọa độ của (1,0,0); (0,0,1); (2,1,1);D(3,1,0)A B C Bạn hãy tính diện tích hình bình hành ABCD và diện tích tam gi|c ABC như thế nào?

Với yêu cầu bài toán này, rõ ràng ta có thể tính độ dài các cạnh của tam giác rồi dùng công thức HÊ-RÔNG để tính diện tích tam gi|c, sau đó diện tích hình bình hành gấp đôi diện tích tam giác Tuy nhiên với cách làm này, chúng ta phải tính toán khá nhiều, đặc biệt là sử dụng công thức HÊ-RÔNG Khi đó với tích có hướng, ta sẽ giải quyết b{i to|n nhanh hơn

1

, 6

1.3.3 Điều kiện đồng phẳng của 3 vector

Giả sử ta cần chứng minh 3 vector đồng phẳng, tức là cùng nằm trong một mặt phẳng hay nếu chúng không đồng phẳng, tức là chúng tạo thành một tứ diện thì ta sẽ chứng minh bằng cách n{o đ}y Với phương ph|p sử dung tọa độ ta sẽ dễ dàng chứng minh được Đ}y l{ một ví dụ cụ thể:

Phương trình mặt cầu tạo nên những thiết kế cho kiến trúc và mở rộng hơn về các hình dạng, góp phần làm nên vẻ đẹp cho con người

II PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN VECTOR TRONG KHÔNG GIAN

 Dạng 1: Tìm tọa độ của vector và điểm

Bài 1:

Trong không gian cho 3 điểm A(1, 2,3) ; (1, 2, 3) ;B  C(7, 4, 2)

a Tìm tọa độ điểm D sao cho ACBD

b Tìm tạo độ điểm E sao cho CE 2EB

Bài 2:

Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(1, 2,1);B(5,3, 4);C(8, 3, 2).

Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông tính diện tích tam giác ABC

  là tam giác vuông tại B

Diện tích tam giác ABC: 1 1 26.7 7 26

Ta có: AC (8, 2, 2);BD ( 4, 4,0).

Góc giữa 2 vector AC và BD:

8.( 4) 2.4 2.0 24 1cos( , )

2

64 4 4 16 16 0 6 2.4 2

Cho 3 điểm A(1,0,0);B(0,0,1);C(2,1,1)

a Chứng minh A,B,C không thẳng hàng

b Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành

c Tính chu vi và diện tích tam giác ABC

d Tính độ d{i đường cao tam giác kẻ từ A

e Tính các góc của tam giác ABC

Giải

a Ta có: ( 1, 0,1)

(1,1,1)

AB AC

  là tam giác vuông tại A

Diện tích tam giác ABC là: 1 A 1 2 3 6

55

121

2 7

112

1

121

k

y ky y

k

z kz z

x y

⍣⍣ Một số chú ý khi giải dạng toán này:

Đ}y l{ dạng to|n đơn gian trong tọa độ không gian, tuy nhiên cần phải nắm vững các công thức, biết áp dụng đúng công thức, tính toán chính xác và cẩn thận, đồng thời linh hoạt sử dụng các tính chất đ~ được học ở lớp dưới

 Dạng 2: Tích có hướng của 2 vector

Bài 1:

Xét sự đồng phẳng của 3 vector trong c|c trường hợp sau:

a a(1,1,3);b(3, 1, 2); c(2,3,1)

Trong không gian Oxyz cho 3 vector a ( 2,3,1);b(5, 7, 0); c(3, 2, 4).

a Chứng minh 3 vector , ,a b c không đồng phẳng

b Phân tích vector d(3, 2,1) theo 3 vector , ,a b c

Giải

Vậy 3 vector , ,a b c không đồng phẳng

b Theo đề bài ta cần tìm các số thực m,n,k sao cho d manbkc

337

Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm (1,0,2); ( 3,1,3); (1, 2,1).A B  C 

a Chứng minh A,B,C l{ 3 đỉnh của 1 tam giác Tính các góc của tam giác ABC

b Tính diện tích ABCv{ độ d{i đường cao kẻ từ A

4.4 ( 1).( 3) ( 1).( 2) 7 58

58

16 1 1 16 9 4

0.( 4) 2.3 1.2cos

0

4 1 16 9 4 

Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm (1,0,1); ( 1,1,2); ( 1,1,0);D(2, 1, 2).A B  C   

a/ Chứng minh A,B,C,D l{ 4 đỉnh của một tứ diện, và tính thể tích tứ diện đó

b/ Tính độ d{i đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh A

b Độ d{i đường cao kẻ từ A

13

1313

⍣⍣ Một số chú ý khi giải dạng toán này:

Với công thức tích có hướng của 2 vector, chúng ta có thể giải quyết được nhiều b{i to|n như tính diện tích, thể tích, 3 điểm thẳng h{ng… Tuy nhiên, cần nắm các quy tắc tính, nên sắp xếp các tọa độ cùa 2 vector theo dòng và theo cột tương ứng thẳng h{ng, để tr|nh trường hợp nhầm lẫn Nhớ c}u “(2,3);(3,1);(1,3)” v{ nhớ khi tính tích có hướng của 2 vector kết quả ra là một vector mới chú không phải là một số như tích vô hương trong mặt phẳng

Bài 3:

Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho 4 điểm A (2,0,0); (0,2,0); (0,0,2); (0,0,0) B C D Viết phương

trình mặt cầu đi qua 4 điểm A,B,C,D

Giải

Gọi phương trình mặt cầu cần tìm: 2 2 2

x  y  z ax by cz d

4 điểm có tọa độ lần lượt là: A (2,0,0); (0, 2,0); (0,0, 2); (0,0,0) B C D

Vì phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A,B,C,D nên ta lần lượt thay tọa độ c|c điểm v{o phương

trình tổng quát của mặt cầu, ta có hệ phương trình sau:

a b c d

Vì có đường kính nên ta tìm được bán kính mặt cầu

Tâm của mặt cầu l{ trung điểm của AB

Gọi A (1, 2,0);B(3, 2, 2)   là tọa độ điểm

Do độ d{i AB l{ đường kính của mặt cầu nên ta có tọa độ tâm của mặt cầu là:

22

02

12

Cho 4 điểm trong không gian A(3,0,0) ; (0,6,0) ;B C(0,0,9) ; D(3,6,9)

Tìm tập hợp c|c điểm M trong không gian sao cho MA MB MCMD4MG

Giải

Gọi G là trọng tâm tứ diện ABCD

234

924

⍣⍣ Một số chú ý khi giải dạng toán này:

Muốn viết phương trình mặt cầu thì cần x|c định tâm và bán kính của mặt cầu Khi đề bài cho phương trình mặt cầu, ta cần đưa đúng về dạng chính tắc của phương trình mặt cầu để dễ dàng thực hiện việc x|c định tâm và bán kính Chú ý thực hiện các phép toán cẩn thận

 Dạng 4: Dùng tọa độ vector chứng minh một số bất đẳng thức

Trong không gian Oxyz, ta đặt: u( x, y, z); v(1,1,1).

Theo công thức tọa độ trong không gian ta có:

Trong không gian Oxyz, ta đặt: u(a, b, c); v(1,1,1).

Theo công thức tọa độ trong không gian, ta có:

Trong không gian Oxyz, ta đặt: u(a, c, e); v(b, d, f)

Theo công thức tọa độ trong không gian ta có:

⍣⍣ Một số chú ý khi giải dạng toán này:

Việc đầu tiên là phải chọn các vector sao cho có thể chứng minh bất đẳng thức được Chú ý các bất đẳng thức đặc biệt trong tọa độ không gian như: u v,  u v và 2 2 2

( , )u v u v để áp dụng vào các bất đẳng thức cần chứng minh

Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D    có AB=4; AD=2AB Tính thể tích mặt phẳng

CHƯƠNG II: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

Nếu các mặt bên của khối đa diện, các mặt đ|y thường được viết bằng tên như mặt phẳng (ABC), (BCD), (AMNP) nhưng ta chỉ biết tên chứ chưa thể biết chúng có tính chất đặc biệt gì Với các tọa độ trong không gian, ta có thể biết được phương trình mặt phẳng và biểu thị được các mặt phẳng đó bằng các tọa độ Như vậy, sự xuất hiện của phương trình mặt phẳng sẽ làm cho các mặt phẳng trong không gian có them các tính chất giống như phương trình đường thẳng Khi mặt phẳng được thể hiện lên trên trục tọa độ, ta có thể chứng tỏ được mặt phẳng đó

có giao tuyến với mặt phẳng khác hay không, chúng song song hay vuông góc với nhau mà trên hình vẽ chúng ta không thấy được Với phương trình mặt phẳng, chúng ta sẽ thấy được những ứng dụng rất cụ thể

I TỔNG HỢP LÝ THUYẾT

1.1 Vector pháp tuyến của mặt phẳng:

Vector n được gọi là vector pháp tuyến của mặt phẳng ( )  nếu giá của nó vuông góc với mặt phẳng Viết tắt là n  ( ) 

Gọi M l{ trung điểm AB nên ta có:

2 1

22

42

⍣⍣ Một số chú ý khi giải dạng toán này:

Để viết phương trình mặt phẳng, ta cần tìm một điểm mà mặt phẳng đó đi qua v{ 1 vector ph|p tuyến của mặt phẳng Chú ý x|c định vector pháp tuyến của mặt phẳng, nếu 2 mặt phẳng song song thì chúng có cùng vector pháp tuyến

 Dạng 2: Vị trí tương đối giữa 2 mặt phẳng- Góc giữa 2 mặt phẳng- Khoảng cách từ

1 điểm đến 1 mặt phẳng

Bài 1:

Cho 2 mặt phẳng ( ) :5 x   y 3z 2 0 và ( ) : 2 x my   3z 1 0 Định m để 2 mặt phẳng vuông góc với nhau

Giải

Mặt phẳng ( ) song song với mặt phẳng ( ) nên có phương trình dạng:

( ) : 2 x3y6z D 0 (D 12)

Ta có: ( 2,4,3) ( )A   

( 2).2 3.4 6.3 0

2

D D

  

Vậy ( ) : 2 x3y6z 2 0

Do là 2 mặt phẳng song song nên ta tính khoảng c|ch như sau:

Lấy một điểm tùy ý M x y z( , , )( )

Bài 5:

Trong không gian Oxyz, cho điểm (3,6, 2)A  và mặt cầu 2 2 2

(S) : x y z 6x4y2z 3 0Viết phương trình mặt phẳng ( ) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm A

Giải

Gọi ( ) là mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại A thì nhận IA làm vector pháp tuyến

Tâm của mặt cầu : (3,2, 1)I 

⍣⍣ Một số chú ý khi giải dạng toán này:

Cần nhớ các công thức về góc giữa 2 mặt phẳng và công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng Công thức tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song, các tính chất về vị trí tương đối giữa 2 mặt phẳng cần chú ý và tính toán cẩn thận, không để nhầm lẫn

 Dạng 3: Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu

Bài 1:

Viết phương trình mặt phẳng ( ) tiếp xúc với mặt cầu 2 2 2

( ) : (S x1) (y2)  (z 3) 25 tại điểm M(1,3, 2).

Giải

Mặt cầu có tâm (1,2,3)I và bán kính R4

Mặt phẳng ( ) song song với mặt phẳng ( ) nên phương trình của ( ) có dạng:

4x3y12z D 0.(D 1)

m m

Bài 4:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu 2 2 2 2

(S) : x y z 2x2zm 0 và mặt phẳng ( ) : 3x 6 y 2 z 22    0

X|c định tham số m để ( ) cắt (S) theo giao tuyến l{ đường tròn có diện tích bằng 2

Giải

Điểm M nằm trong mặt cầu

Do đó, mặt phẳng qua M luôn luôn cắt mặt cầu theo một đường tròn

Gọi r là bán kính của đường tròn và H là hình chiếu vuông góc của I trên ( )

Tam giác IHM vuông tại H, ta có:

Tìm điểm M trên mặt cầu sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng là ngắn nhất

Theo công thức vector ta có:

⍣⍣ Một số chú ý khi giải dạng toán này:

Cần x|c định tâm và bán kính của đường tròn chính x|c Đường tròn trong không gian thường

là giao của 1 mặt phẳng với một mặt cầu, hoặc là giao của 2 mặt cầu Có 3 vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu:

 Nếu khoảng cách từ tâm của mặt cầu đến mặt phẳng lớn hơn b|n kính mặt cầu thì mặt phẳng và mặt cầu không cắt nhau

 Nếu khoảng cách từ tâm của mặt cầu đến mặt bằng bán kính mặt cầu thì mặt phẳng và mặt cầu tiếp xúc nhau

 Nếu khoảng cách từ tâm của mặt cầu đến mặt nhỏ hơn b|n kính mặt cầu thì mặt phẳng

và mặt cầu cắt nhau

CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẮNG

Phương trình đường thẳng trong không gian có giống như phương trình đường thẳng trong tọa

độ mặt phẳng Oxy không? Xét về tính chất thì đường thẳng trong không gian khá giống với đường thẳng trong mặt phẳng, tuy nhiên, trong không gian thì ngoài các tính chất như song song, vuông góc, trùng nhau, còn có thêm tính chất hai đường thẳng chéo nhau Ngoài ra một số tính chất trong không gian v{ phương trình mặt phẳng cũng được áp dụng trong phương trình đường thẳng Khoảng cách giữa hai đường thẳng trong không gian rất khó x|c định nếu bài toán không có tọa độ đầy đủ Vì vậy, với phương trình đường thẳng, việc tìm giao tuyến giữa các mặt phẳng hay khoảng cách sẽ không còn phức tạp nữa

I TỔNG HỢP LÝ THUYẾT

1.1 Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng

Ta có đường thẳng đi qua điểm A(x ,0 y z0, 0) và có vector chỉ phương l{ u( , , )a b c

 Phương trình tham số:

0 0 0( ) :

1.2 Vị trí tương đối của hai đường thẳng:

Đường thẳng d đi qua điểm A và có vector chỉ phương u

Đường thẳng d1 đi qua điểm A1 và có vector chỉ phương u1

1.3 Góc giữa hai đường thẳng:

Cho hai đường thẳng d và d1 lần lượt có vector chỉ phương l{:

1.4 Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng:

Khoảng cách từ một điểm A1 đến đường thẳng (d) đi qua điểm A và có vector chỉ phương u

là: d(A , (d))1 1 ,

A A u u



II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

 Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng

Bài 1:

Trong mặt phẳng Oxyz cho mặt phẳng ( ) đi qua 3 điểm (1,3,2); (1,2,1); (1,1,3)A B C Viết phương trình đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng chứa tam gi|c đó

 Vector chỉ phương của (∆) cũng l{ vector chỉ phương của (d), a d (2,3, 4)

v{ (∆) đi qua điểm M (1,2,3)

Vậy phương trình tham số của (∆) :

Ta có: Vector chỉ phương của (∆) là AB  1, 1, 1

V{ (∆) đi qua điểm B (2,1,2)

Vậy :

 Phương trình tham số của (∆):

212

⍣⍣ Một số chú ý khi giải dạng toán này:

Để viết phương trình đường thẳng, ta cần tìm 1 điểm và 1 vector chỉ phương của nó Chú ý phương trình đường thẳng nếu là giao tuyến của 2 mặt phẳng thì cần đưa về dạng chính tắc hay tham số để thuận tiện cho việc viết phương trình đường thẳng

Dạng 2: Vị trí tương đối của 2 đường thẳng- Của đường thẳng và mặt phẳng- Của đường thẳng và mặt cầu

x y z d

Giải

⍣⍣ Một số chú ý khi giải dạng toán này:

Các công thức để xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng- Của đường thẳng và mặt phẳng- Của đường thẳng và mặt cầu cần phải nắm vững từng trường hợp, cách tốt nhất l{ nên đưa phương trình đường thẳng về dạng tham số rồi xét hệ phương trình tọa độ của c|c điểm chung, dựa vào

số nghiệm của hệ suy ra kết luận cuối cùng

Dạng 3: Khoảng cách và góc

Bài 1:

Trong không gian Oxyz cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A(0,0,0), B(1,0,0), D(0,1,0), A’(0,0,1) Gọi M và N lần lượt l{ trung điểm của AB và CD Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C v{ MN

Giải

Gọi (P) là mặt phẳng chứa A’C v{ song song với MN

Khi đó : d(A’C,MN) = d(M,(P))

Vậy khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng là:

⍣⍣ Một số chú ý khi giải dạng toán này:

Khi tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng, ta cần xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng đó Nếu

2 đường thẳng song song thì khoảng cách giữa chúng là khoảng cách từ 1 điểm bất kì thuộc đường thẳng n{y đến đường thẳng kia Nếu 2 đường thẳng chéo nhau thì áp dụng công thức tính đ~ có, đ}y l{ trường hợp dễ nhầm lẫn Các công thức tính khoảng cách và góc phải nắm vững, tính toán cẩn thận